Linalg_prg_BI_2 + - Высшая школа экономики

Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации
Государственный университет –
Высшая школа экономики
Факультет Бизнес-информатики
Программа дисциплины
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Для направления 080700.62 «Бизнес-информатика»
подготовки бакалавров
Автор программы: д.ф.-м.н. Д.И.Пионтковский
Рекомендовано секцией УМС
Математические и статистические
методы в экономике
Председатель
__________А .С .Шведов
“___” __________ 200_ г .
Утверждена УС
______________
Ученый секретарь
_________________
“___” __________ 200_ г .
Одобрена на заседании
кафедры высшей математики
на факультете экономики
Зав . кафедрой
__________Ф .Т .Алескеров
“___” _____ _____ 200_ г .
Тематический расчет часов курса
№
Название темы
Всего
часов
В т.ч.
лекции
В т.ч.
семинар
ы
Самост
. работа
1
2
3
4
5
6
7
Итог
о
Векторы и матрицы
Определитель
Невырожденные матрицы
Системы линейных уравнений
Линейные пространства
Евклидовы пространства
Собственные векторы
16
20
18
20
20
26
30
162
4
6
6
4
8
8
8
44
4
6
4
6
8
8
8
44
8
10
8
10
8
14
16
74
Пояснительная записка
Требования к студентам: Изучение курса "Линейная алгебра" не требует
предварительных знаний, выходящих за пределы программ общеобразовательной средней
школы.
Аннотация
Курс "Линейная алгебра" включает в себя начала линейной алгебры и аналитической
геометрии и общей алгебры в том объеме. Основными темами курса являются системы
линейных уравнений, линейные пространства и отображения, билинейные формы и начала
аналитической геометрии. Особое внимание в данном курсе уделяется экономикоматематическим моделям, построенным на основе конструкций линейной алгебры.
Овладение основными понятиями
курса необходимо для дальнейшего изучения
многомерного анализа, эконометрики,
дискретного анализа и численных методов,
изучаемых в рамках направления «Бизнес-информатика».
Ко всем разделам курса предлагаются геометрические иллюстрации и примеры
экономического содержания.
Учебные задачи курса
Одной из основных целей курса является знакомство студентов с основными идеями и
конструкциями высшей алгебры, их геометрическими интерпретациями и приложениямик
экономическим задачам.
В результате изучения курса «Линейная алгебра» студенты
должны:
– уметь пользоваться методами линейной алгебры для формализации и решения
прикладных задач, в том числе экономических;
– овладеть основными алгоритмами линейной алгебры.
Содержание программы
1. Векторы и матрицы.
Векторы как упорядоченные наборы чисел. Линейные операции. Скалярное произведение,
неравенство Коши, неравенство треугольника, угол между векторами.
Матрицы и линейные операции над ними. Простейшие матричные уравнения, система
линейных уравнений в матричной форме.
Простейшая линейная производственная модель.
Литература:
1. Основная литература: [1] (гл. 2,3)
2. Дополнительная литература: [5] (гл. 1)
2. Определитель.
Перестановки. Знак перестановки. Определитель квадратной матрицы.
Метод математической индукции и метод спуска. Свойства определителя. Способы
вычисления определителей. Определитель произведения матриц.
Литература:
1.Основная литература: [1] (гл. 1)
2.Дополнительная литература: [5] (гл. 2)
3. Невырожденные матрицы.
Ранг матрицы: различные определения. Миноры и вычисление ранга.
Невырожденная матрица. Обратная матрица. Формула обратной матрицы. Другие способы
вычисления обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений с невырожденной
матрицей. Формулы Крамера.
Литература:
1.Основная литература: [1] (гл. 2,3)
2.Дополнительная литература: [5] (гл. 1,2)
4. Системы линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли. Общий вид решений системы линейных уравнений.
Элементарные преобразования. Метод Гаусса.
Литература:
1.Основная литература: [1] (гл. 2)
2.Дополнительная литература: [5] (гл. 2)
5. Линейные пространства.
Определение и примеры линейных пространств. Линейная независимость, базис,
размерность. Замена координат.
Линейные отображения и линейные операторы. Замена базисов. Подпространство. Ядро и
образ линейного отображения.
Литература:
1.Основная литература: [1] (гл. 7)
2.Дополнительная литература: [5] (гл. 1,2)
6. Евклидовы пространства.
Билинейные и квадратичные формы. Ортогональные базисы, процесс ортогонализации
Грама-Шмидта. Канонический вид и нормальный вид квадратичной формы, закон инерции.
Положительно определенные квадратичные формы. Метод Якоби. Критерий Сильвестра.
Кривые и поверхности второго порядка.
Евклидовы пространства. Матрица Грама. Неравенство треугольника, неравенство Коши.
Угол между векторами, объем параллелепипеда. Проекции, нормали, расстояния.
Литература:
1.Основная литература: [1] (гл. 8)
2.Дополнительная литература: [5] (гл. 5)
7. Собственные векторы.
Комплексные числа. Арифметические операции, формулы Муавра. Решение простейших
алгебраических уравнений.
Инвариантные подпространства и собственные вектора линейного оператора. Собственные
значения и характеристический многочлен. Теорема о минимальной размерности
инвариантных подпространств. Диагонализуемый оператор. Симметрические матрицы.
Линейные операторы в евклидовом пространстве. Самосопряженные (симметрические)
операторы и ортонормированные собственные базисы. Ортогональные операторы.
Модель межотраслевого баланса.
Литература:
1.Основная литература: [1] (гл. 4,5,7)
2.Дополнительная литература: [5] (гл. 6)
Формы рубежного контроля и структура итоговой оценки
Предусмотрены контрольная работа в конце 1-го и в 2-го модулей и большое домашнее
задание, которое выполняется в течение 1-го и 2-го модулей. В конце 2-го модуля по итогам
контрольных работ и рабоиы на семинаре выставляется зачет. В конце 3-го модуля
проводится экзаменационная работа.
Оценка за зачет З по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма
З = 0,2 С +0,3 К1 +0,5K2
10-балльных оценок за работу на семинарских занятиях С и двух контрольных работ К1 и
K2 с округлением до целого числа баллов.
Итоговая оценка К формируется как взвешенная сумма
К = 0,2 С +0,3 З +0,5 Э
10-балльных оценок за работу на семинарских занятиях, зачёта З и экзаменационную работу
Э с округлением до целого числа баллов.
В течение обучения студентам предлагаются индивидуальные домашние задания, по одной
задаче на каждый логический раздел курса. У слушателей, не сдавшим своевременно какоето количество N из этих задач, из оценки за зачетную (соответственно, экзаменационную)
контрольную вычитается N/2 баллов.
При округлении учитывается работа на семинаре. Оценка по 5-балльной системе
выставляется по следующим критериям:
•0 < К< 3 - неудовлетворительно,
•4 < К < 5 - удовлетворительно,
•6 < К < 7- хорошо,
•8 < К < 10 -отлично.
Литература
Базовые учебники
1.
2.
3.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1971
Гельфанд И. М. Линейная алгебра. (любое издание)
Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. (любое издание)
Дополнительная литература
Aleskerov F., Ersel H., Saĝlem E., Linear Algebra for Economists (текст будет
распространяться среди слушателей курса)
5. Винберг Э. Б. Курс алгебры. М., Факториал, 1999
6. Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г., Линейная алгебра с элементами аналитической
геометрии, М., ГУ ВШЭ, 1998
7. Беклемишева Л. А., Петрович А. Ю., Чубаров И. А. Сборник задач по аналитической
геометрии и линейной алгебре. М., Наука, 1987
4.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать около двух тысяч задач из
“Сборника задач по линейной алгебре” И. В. Проскурякова.
Типовой вариант контрольной работы (1-й модуль)
Типовой вариант зачетной контрольной работы (2-й модуль)
Типовой вариант экзаменационной контрольной работы
Типовой вариант домашнего задания за 1-й и 2-й модуль
(все варианты индивидуальны)
Д. И. Пионтковский