Формула крюков. Количество заполнений диаграммы равно

"$
ÊÂÀÍT$ 2009/¹3
Ôîðìóëà êðþêîâ. Êîëè÷åñòâî çàïîëíåíèé äèàãðàììû
ðàâíî ôàêòîðèàëó êîëè÷åñòâà åå êëåòîê, äåëåííîìó íà
ïðîèçâåäåíèå äëèí âñåõ åå êðþêîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî, êîòîðîå âû âñêîðå óçíàåòå, îñíîâàíî íà
ñâîéñòâàõ àíòèñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ. Ñíà÷àëà ââåäåì óäîáíûå îáîçíà÷åíèÿ.
Óïðàæíåíèÿ
3. Âûâåäèòå èç ôîðìóëû êðþêîâ ôîðìóëû äëÿ: à) ÷èñåë ñî÷åòàíèé; á) ÷èñåë Êàòàëàíà.
4. Ïðè ïîìîùè ôîðìóëû êðþêîâ âû÷èñëèòå, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàññòàâèòü ÷èñëà îò 1 äî: à) 9; á) 16 â âèäå êâàäðàòíîé
òàáëèöû òàê, ÷òîáû ÷èñëà âîçðàñòàëè è ïðè äâèæåíèè ñëåâà
íàïðàâî, è ïðè äâèæåíèè ñâåðõó âíèç.
Îáîçíà÷åíèÿ
Îáîçíà÷èì áóêâîé k êîëè÷åñòâî ñòðîê ðàññìàòðèâàåìîé
äèàãðàììû; λ1, λ 2 ,K , λ k – èõ äëèíû, ïðè÷åì íóìåðóåì
ñâåðõó âíèç: ïåðâàÿ ñòðîêà ñàìàÿ äëèííàÿ, âòîðàÿ òîé
æå äëèíû èëè êîðî÷å
ïåðâîé, è òàê äàëåå,
λ1 ³ λ 2 ³ K ³ λ k . Íàïðèìåð, äëÿ äèàãðàììû ðèñóíêà 14 èìååì:
λ1 = 13, λ 2 = 10, λ 3 =
= 7, λ 4 = 7, λ 5 = 4,
λ 6 = 4, λ 7 = 4, λ 8 = 4,
λ 9 = 1 è λ10 = 1.
Äëèíà êðþêà âåðõíåé ëåâîé (óãëîâîé) êëåòêè ðàâíà λ1 + k – 1. Äëèíà
êðþêà êëåòêè, ðàñïîëîæåííîé íåïîñðåäñòâåííî ïîä íåé, ðàâíà λ 2 + k – 2. Âîîáùå,
äëèíà lm êðþêà m-é ñâåðõó êëåòêè ëåâîãî
ñòîëáöà ðàâíà lm + k – m. Î÷åâèäíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèí êðþêîâ l1, l2,K , lk ñòðîãî óáûÐèñ. 14
âàþùàÿ: l1 > l2 > K > lk .
Êðþêè êëåòîê ïåðâîé ñòðîêè è ëåâîãî ñòîëáöà
Ñðåäè äëèí êðþêîâ âåðõíåé ñòðîêè ðèñóíêà 14 îòñóòñòâóþò ÷èñëà 4, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 20 è 21. Çàìåòüòå: 22 – 18 =
= 4, 22 – 14 = 8, 22 – 13 = 9, 22 – 9 = 13, 22 – 8 = 14, 22 –
– 7 = 15, 22 – 6 = 16, 22 – 2 = 20 è 22 – 1 = 21. Èíòåðåñíî è
íåîæèäàííî, íå ïðàâäà ëè?
Ëåììà 1. Ñðåäè äëèí êðþêîâ ÷èñåë âåðõíåé ñòðîêè
ïðèñóòñòâóþò âñå ÷èñëà îò 1 äî l1 , êðîìå ðàçíîñòåé
l1 - lm , ãäå 1 < m £ k .
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà. Ïðè äâèæåíèè âäîëü âåðõíåé ñòðîêè ðèñóíêà 14 ñïðàâà íàëåâî ñíà÷àëà äëèíû êðþêî⠖
ïîñëåäîâàòåëüíûå ÷èñëà 1, 2 è 3. Ïåðâîå îòñóòñòâóþùåå
÷èñëî – 4. Ðàçíîñòü êîëè÷åñòâ êëåòîê êðþêà äëèíû 22,
ñîñòîÿùåãî èç âñåõ êëåòîê âåðõíåé ñòðîêè è ëåâîãî ñòîëáöà,
è æåëòîãî êðþêà äëèíû 18 ðàâíà êîëè÷åñòâó çåëåíûõ êëåòîê
– ÷èñëó 4.
Ðàçíîñòü ìåæäó ÷èñëîì 22 è ÷èñëîì 7 –
êîëè÷åñòâîì êëåòîê
æåëòîãî êðþêà ðèñóíêà
15 – ðàâíà êîëè÷åñòâó
çåëåíûõ êëåòîê ýòîãî ðèñóíêà. Íàäåþñü, áîëüøå íè÷åãî îáúÿñíÿòü íå
íóæíî – âû óæå âñå ïîíÿëè.
Óïðàæíåíèå 5. Ïîðèñóéòå, ïîäóìàéòå – è çàâåðøèòå äîêàçàòåëüñòâî.
Ðèñ. 15
37-53.p65
46
Íîâûé âèä ôîðìóëû êðþêîâ
Âñëåäñòâèå ëåììû 1, ïðîèçâåäåíèå äëèí êðþêîâ ïåðâîé
ñòðîêè äèàãðàììû ðàâíî ÷èñëó l1 !, äåëåííîìó íà ïðîèçâåäåíèå l1 - l2 l1 - l3 K l1 - lk .
Îòáðîñèâ âåðõíþþ ñòðîêó, ìû ïîëó÷àåì äèàãðàììó, ê
âåðõíåé ñòðîêå êîòîðîé – âòîðîé ñòðîêå èñõîäíîé äèàãðàììû – ïðèìåíèìà òà æå ëåììà. Òàêèì îáðàçîì, äëèíû êðþêîâ
âòîðîé ñòðîêè – ÷èñëà îò 1 äî l2 , êðîìå ðàçíîñòåé l2 - l3 ,K
..., l2 - lk . Ðàññóæäàÿ òàê æå äëÿ òðåòüåé, ÷åòâåðòîé è âñåõ
ñëåäóþùèõ ñòðîê, ïðèõîäèì ê âûâîäó: ïðîèçâåäåíèå äëèí
êðþêîâ âñåõ êëåòîê äèàãðàììû ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ôàêòîðèàëîâ l1 ! l2 !K lk ! , äåëåííîìó íà ïðîèçâåäåíèå âñåâîçìîæíûõ ðàçíîñòåé lj - lm , ãäå 1 £ j < m £ k .
Ïîýòîìó ôîðìóëà êðþêîâ îçíà÷àåò, ÷òî èíòåðåñóþùåå íàñ
êîëè÷åñòâî ðàññòàíîâîê ðàâíî âåëè÷èíå
n ! Õ lj - lm
F l1, l2,K, lk =
1£ j < m £ k
l1 ! l2 !K lk !
ãäå
,
n = λ1 + λ 2 + K + λ k -1 + λ k =
= l1 + l2 + K + lk -1 + lk - k - 1 - k - 2 - K - 2 - 1 .
Îáðàòèòå âíèìàíèå íà ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî: îíî áóäåò èñïîëüçîâàíî â êîíöå äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëû êðþêîâ.
Óìíîæåíèå íà íîëü
Êàê ÷àñòî ïðåäñêàçûâàþò êîíåö ñâåòà! – è
âåäü íè ðàçó íå ñáûëîñü…
 ÷èñëèòåëå äðîáè F ïðèñóòñòâóþò âñå ðàçíîñòè âèäà
lj - lm . Ïîýòîìó âåëè÷èíà F l1, l2 ,K, lk ðàâíà íóëþ, åñëè â
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè l1, l2,K , lk åñòü ñîâïàäàþùèå ÷èñëà:
lj = lm ïðè j ¹ m . Âû ïîìíèòå, ÷òî l1 > l2 > K > lk . Òåì íå
ìåíåå, âûøåñêàçàííîå – èñòèíà, õîòÿ íàâåðíÿêà ïîêà êàæåòñÿ, ÷òî îíà íå êî äâîðó.
Ñôîðìóëèðóåì ýòî ñâîéñòâî ôóíêöèè F ÷óòü èíà÷å. Ïîìåíÿåì ìåñòàìè l1 è l2 . Ðàçíîñòü l1 - l2 çàìåíèòñÿ íà
l2 - l1 = - l1 - l2 , à äðóãèå ìíîæèòåëè ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ ïîìåíÿþòñÿ äðóã ñ äðóãîì ìåñòàìè èëè îñòàíóòñÿ
íåèçìåííûìè. Çíà÷èò, F l1, l2,K, lk = - F l2, l1, l3 ,K , lk .
Íåìíîãî ïîäóìàâ, âû ïîéìåòå, ÷òî âåëè÷èíà F ìåíÿåòñÿ íà
ïðîòèâîïîëîæíóþ íå òîëüêî ïðè çàìåíå l1 íà l2 è l2 íà l1 ,
íî è ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáûõ äâóõ àðãóìåíòî⠖ òàê íàçûâàåìîé òðàíñïîçèöèè. Òàêèå ôóíêöèè F íàçûâàþò àíòèñèììåòðè÷åñêèìè.
Ñèììåòðè÷åñêèìè íàçûâàþò ôóíêöèè, íå ìåíÿþùèå ñâîå
çíà÷åíèå íè ïðè êàêîé ïåðåñòàíîâêå àðãóìåíòîâ.
 çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê ïåðåñòàíîâêà äåéñòâóåò íà
àíòèñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí – ìåíÿåò åãî çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé èëè ñîõðàíÿåò ìíîãî÷ëåí íåèçìåííûì, – ïåðåñòàíîâêó íàçûâàþò, ñîîòâåòñòâåííî, íå÷åòíîé èëè ÷åòíîé.
Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî Sk âñåõ ïåðåñòàíîâîê
ìíîæåñòâà ïåðâûõ k íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìîæíî ðàçáèòü íà
äâå ðàâíûå ïîëîâèíû. Âñå ïåðåñòàíîâêè σ îäíîé èç íèõ –
íå÷åòíûå ïåðåñòàíîâêè – îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî
F lσ 1 , lσ 2 ,K, lσ k = - F l1, l2, l3 ,K, lk .
Ïåðåñòàíîâêè èç äðóãîé ïîëîâèíû – ÷åòíûå – óäîâëåòâîðÿþò
ðàâåíñòâó
F lσ 1 , lσ 2 ,K, lσ k = F l1, l2 , l3 ,K , lk .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëû êðþêîâ íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùèå äâå ëåììû.
29.05.09, 14:35
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
Ëåììà 2. Åñëè ìíîãî÷ëåí g x, y àíòèñèììåòðè÷åí, òî
g x, x = 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ìåíÿÿ ìåñòàìè áóêâó x ñ áóêâîé x (äà,
ýòî íå îïå÷àòêà, ìû ìåíÿåì áóêâó ñ òàêîé æå â òî÷íîñòè
áóêâîé!), ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî g x, x = - g x, x , îòêóäà è
ñëåäóåò ðàâåíñòâî g x, x = 0 .
Ëåììà 3. Åñëè ìíîãî÷ëåí g x, y àíòèñèììåòðè÷åí, òî
ñóùåñòâóåò òàêîé ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí h x, y , ÷òî
g x, y = x - y h x, y .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäåëèâ óãîëêîì1 ìíîãî÷ëåí g x, y íà
ðàçíîñòü x – y, ïîëó÷àåì íåêîòîðîå ÷àñòíîå h x, y è
íåêîòîðûé îñòàòîê f y . Ýòî çíà÷èò, ÷òî âåðíî òîæäåñòâî
ñàìîì äåëå ñëåäóåò îòáðàñûâàòü ñàìûå ïðàâûå êëåòêè íå âñå
ïîäðÿä, à òîëüêî òå, ïîä êîòîðûìè íåò êëåòîê òàáëèöû,–
«ëèøíèå» ñëàãàåìûå âñå ðàâíî íóëåâûå).
Ëåììà 4. Åñëè ôóíêöèÿ F àíòèñèììåòðè÷íà, òî àíòèñèììåòðè÷íà è ôóíêöèÿ
F l1 - 1, l2 ,K , lk -1, lk + F l1, l2 - 1,K , lk -1, lk + K
...+ F l1, l2,K, lk -1 - 1, lk + F l1, l2 ,K , lk -1, lk - 1 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ìåíÿÿ ìåñòàìè l1 è l2 , ïîëó÷àåì
F l2 - 1, l1,K , lk + F l2 , l1 - 1,K , lk + K
...+ F l2, l1,K, lk -1 - 1, lk + F l2 , l1,K, lk - 1 .
Î÷åâèäíî,
g x, y = x - y h x, y + f y .
g x, x = x - x h x, x + f x .
Âû÷èòàíèå íóëÿ
Ðîáêèé ÷åëîâåê ÷óòü áûëî íå ïðîñëûë ðåøèòåëüíûì. Õàðàêòåðà íå õâàòèëî.
Ñ.Ëóçàí
Ïóñòü lk = 0. (Âû ïîìíèòå, ÷òî òàêîãî íå áûâàåò. Íî ÿ õî÷ó
ðàññìîòðåòü ýòó ñèòóàöèþ – êàê íè ñòðàííî, îíà íàì ïðèãîäèòñÿ!) Ïîñêîëüêó l1 - 0 = l1 , l2 - 0 = l2 ,K , lk -1 - 0 = lk -1 è
n = l1 + l2 + K + lk -1 + 0 - k - 1 - k - 2 K - 2 - 1 =
= l1 - 1 + l2 - 1 + K + lk -1 - 1 - k - 2 - K - 2 - 1 ,
òî
F l1, l2 ,K, lk -1,0 = F l1 - 1, l2 - 1,K , lk -1 - 1 .
Èíäóêöèîííûé ïåðåõîä
1!
.
1!
Ïðèìåíèì èíäóêöèþ. Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî ôîðìóëà êðþêîâ
âåðíà äëÿ âñåõ äèàãðàìì, ñîñòîÿùèõ èç n – 1 êëåòîê, äîêàæåì
åå äëÿ n-êëåòî÷íîé äèàãðàììû. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðèåìîì,
êîòîðûé ìû óæå îáñóæäàëè, – îòáðàñûâàíèåì êëåòîê.
Ïåðåõîä îò äèàãðàìì ðèñóíêà 7 ê äèàãðàììàì ðèñóíêà 8
ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëå
Äëÿ k = 1 è λ1 = 1 ôîðìóëà êðþêîâ òðèâèàëüíà: 1 =
F 7,4,3,1 = F 6,3,2 + F 7, 4,2,1 + F 6,4,3,1 .
Ïîñêîëüêó F 6,3,2 = F 7, 4,3,0 è F 7,3,3,1 = 0 , åå ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
F 7,4,3,1 = F 6, 4,3,1 + F 7,3,3,1 + F 7,4,2,1 + F 7, 4,3,0.
Ïî î÷åðåäè êàæäûé àðãóìåíò óìåíüøàåì íà 1.  îáùåì âèäå
ôîðìóëà òàêîâà:
F l1, l2,K, lk = F l1 - 1, l2 ,K, lk +
+ F l1, l2 - 1,K , lk + K + F l1, l2 ,K , lk - 1 . ( * )
 ïðàâîé ÷àñòè k ñëàãàåìûõ: ìû êàê áû ïî î÷åðåäè îòáðàñûâàåì èç êàæäîé ñòðîêè åå ñàìóþ ïðàâóþ êëåòêó (õîòÿ íà
1 Ïðè äåëåíèè g x, y ðàññìàòðèâàåì êàê ìíîãî÷ëåí îò õ,
êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî – ìíîãî÷ëåíû îò ó.
37-53.p65
47
F l2 - 1, l1,K , lk = - F l1, l2 - 1,K , lk ,
F l2, l1 - 1,K , lk = - F l1 - 1, l2 ,K , lk ,
…
Ïîäñòàâèâ â ýòî òîæäåñòâî y = x, ïîëó÷àåì
 ñèëó ëåììû 2 èìååì g x, x = 0 ; ñëåäîâàòåëüíî, f x = 0 ;
ëåììà 3 äîêàçàíà.
Ìíîãîêðàòíî ïðèìåíÿÿ ëåììó 3, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó
óòâåðæäåíèþ.
Ñëåäñòâèå èç ëåììû 3. Âñÿêèé àíòèñèììåòðè÷åñêèé
ìíîãî÷ëåí g l1, l2,K, lk ïðåäñòàâèì â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ
âñåâîçìîæíûõ ðàçíîñòåé âèäà lj - lm , ãäå 1 £ j < m £ k , è
íåêîòîðîãî ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà.
"%
ÊÐÓÆÎÊ
F l2, l1,K, lk -1 - 1, lk = - F l1, l2 ,K, lk -1 - 1, lk ,
F l2 , l1,K, lk - 1 = - F l1, l2 ,K , lk - 1 .
Ïðè ëþáîé äðóãîé òðàíñïîçèöèè ñèòóàöèÿ àíàëîãè÷íà. Ëåììà äîêàçàíà.
Íè ïðàâàÿ, íè ëåâàÿ ÷àñòè ðàâåíñòâà ( * ) – íå ìíîãî÷ëåíû:
«ìåøàþòñÿ» ôàêòîðèàëû. Îäíàêî, ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íà
(n – 1)! è äîìíîæèâ íà l1 ! l2 !K lk ! , ïðèõîäèì ê íåîáõîäèìîñòè äîêàçàòü òîæäåñòâî
n
Õ lj - lm = l1 Õ l1 - 1 - lm Õ lj - lm +
1£ j < m £ k
+ l2 l1 - l2 - 1
1< m £ k
2£ j < m £k
Õ l1 - lm Õ l2 - 1 - lm Õ lj - lm + K
2< m £k
2< m £k
K + lk
3£ j <m £k
Õ lj - lm Õ lj - lk - 1 . ( * * )
1£ j < m < k
1£ j < k
Âûïèñàíî îíî øèêà ðàäè. À ïðèíöèïèàëüíî òî, ÷òî âñëåäñòâèå ëåììû 4 ïðàâàÿ ÷àñòü (**) – àíòèñèììåòðè÷åñêèé
ìíîãî÷ëåí îò l1, l2,K , lk , òàê ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü äåëèòñÿ íà
âñåâîçìîæíûå ðàçíîñòè ýòèõ ïåðåìåííûõ, à ÷àñòíîå îò
äåëåíèÿ – ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí h l1, l2,K, lk ïåðâîé
ñòåïåíè. (Ïåðâîé – ïîñêîëüêó ñòåïåíü ïðàâîé ÷àñòè íà
åäèíèöó áîëüøå ñòåïåíè ëåâîé ÷àñòè âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ
ìíîæèòåëåé l1, l2,K , lk , ñîîòâåòñòâåííî, â êàæäîì èç k ñëàãàåìûõ ïðàâîé ÷àñòè.)
Ëþáîé ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ïåðâîé ñòåïåíè îò
l1, l2,K , lk èìååò âèä a l1 + l2 + K + lk - b , ãäå à è b – ÷èñëà.
Îñòàëîñü èõ íàéòè.
Êîýôôèöèåíò ïðè l1k â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû ( * * ) ðàâåí
ïðîèçâåäåíèþ
Õ lj - lm , à êîýôôèöèåíò ïðè l1k -1 â
2£ j < m £k
ìíîãî÷ëåíå
Õ lj - lm ðîâíî òàêîé æå. Ñëåäîâàòåëüíî,
1£ j < m £ k
à = 1 è h l1, l2,K, lk = l1 + l2 + K + lk - b , ãäå âåëè÷èíà b
çàâèñèò òîëüêî îò k, à íå îò l1, l2,K , lk .
Ïîñëåäíèé óäàð
Êîãäà õîðîøî ïîäóìàåøü – è ãîâîðèòü íå î ÷åì.
Îñòàëîñü ñäåëàòü ïîñëåäíèé øà㠖 îáîñíîâàòü ðàâåíñòâî
b = 1 + 2 + K + k - 1 .
Óäèâèòåëüíûì îáðàçîì íèêàêèõ âû÷èñëåíèé íå òðåáóåòñÿ!
Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî k ôîðìóëà êðþêîâ
âåðíà äëÿ ñòîëáèêà âûñîòîé k, òî äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ïðàâèëüíîãî ïåðåõîäà îò ñòîëáèêà âûñîòîé k – 1 ê ñòîëáèêó âûñîòîé
k âåëè÷èíà b èìåííî òàêàÿ, êàê íàäî!
29.05.09, 14:35
ÅÑÒÜ ÈÄÅß?!
Ïðåäëàãàåìàÿ ñòàòüÿ íàïèñàíà îäíèì èç ñàìûõ äàâíèõ è ëþáèìûõ àâòîðîâ íàøåãî æóðíàëà ïðîôåññîðîì
Ìîñêîâñêîãî ôèçèêî-òåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà À.Ë.Ñòàñåíêî. Ìíîãî ëåò îí ÿâëÿåòñÿ âåäóùèì ðàçäåëà «Øêîëà â
«Êâàíòå» è ÷àùå âñåãî ïèøåò íåáîëüøèå çàìåòêè-ýññå èìåííî äëÿ ýòîé ðóáðèêè. Ïî÷åìó æå íà ýòîò ðàç ðåäêîëëåãèÿ
ðåøèëà îïóáëèêîâàòü ñòàòüþ À.Ë.Ñòàñåíêî â ðàçäåëå «Åñòü èäåÿ?!»? Äåëî â òîì, ÷òî ýòà ñòàòüÿ íåîáû÷íà êàê äëÿ ñàìîãî
àâòîðà, òàê è äëÿ æóðíàëà. Êàê ïðàâèëî, ìû ïóáëèêóåì ìàòåðèàëû, ïîñâÿùåííûå ïîïóëÿðíîìó èçëîæåíèþ âîïðîñîâ,
ïðîøåäøèõ ðàíåå àïðîáàöèþ íà ñòðàíèöàõ íàó÷íûõ æóðíàëîâ è êíèã è ïðèçíàííûõ íàó÷íûõ ñîîáùåñòâîì. Â
ïðåäëàãàåìîé æå ñòàòüå àâòîðó çàõîòåëîñü ïîôàíòàçèðîâàòü íà òåìó î òîì, êàê íà îñíîâå íàó÷íûõ ñîîáðàæåíèé è
àðãóìåíòîâ ìîæíî ïðèäóìàòü, «ñêîíñòðóèðîâàòü» ôîðìóëó äëÿ êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ. Íàì êàæåòñÿ, ÷òî ÷èòàòåëÿì
áóäåò èíòåðåñíî ïîçíàêîìèòüñÿ ñî ñâîáîäíûì íàó÷íûì ôàíòàçèðîâàíèåì, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì çâåíîì â
ïîèñêå íîâûõ èñòèí. Ìû ïðåäëàãàåì âàì ïîðàçìûøëÿòü íàä ïîëó÷åííîé àâòîðîì ñòàòüè ôîðìóëîé, ñðàâíèòü åå ñ
ëþáûìè äîñòóïíûìè âàì äàííûìè è, ìîæåò áûòü, ïðåäëîæèòü ñâîþ (âîçìîæíî, áîëåå óäà÷íóþ) ôîðìóëó èëè òåîðèþ.
Óïðóãîñòü,
òåêó÷åñòü,
òðåíèå...
À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ
...â ìåõàíèêå òâåðäûõ òåë ïðèìåíÿåòñÿ
...òåõíè÷åñêè íåîáõîäèìîå, íî ôèçè÷åñêè ïëîõî
ðàñïîçíàâàåìîå ïîíÿòèå î âíåøíåì òðåíèè.
Ð. Ïîëü
Ý
ÒÎ ÑËÅÃÊÀ ÏÅÑÑÈÌÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÅ ÏÐÈ-
íàäëåæèò èçâåñòíîìó íåìåöêîìó äåìîíñòðàòîðó ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ïîïðîáóåì âíåñòè ñâîþ ëåïòó â ïîíèìàíèå
ñòîëü ïîâñåìåñòíîãî ïðîöåññà, êàê òðåíèå.
Ïðåäñòàâèì ñåáå áðóñîê âåñîì Ð, ëåæàùèé íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëèòå èç òîãî æå ìàòåðèàëà (ðèñ.1). Â ðåàëüíîñòè îáà
òåëà øåðîõîâàòû, òàê ÷òî îíè ñîïðèêàñàþòñÿ â íåêîòîðîì
÷èñëå êîíòàêòíûõ îáëàñòåé (â ïðèíöèïå, äëÿ ðàâíîâåñèÿ
Ðèñ. 1
Ðèñ. 2
äîñòàòî÷íî òðåõ), ñóììàðíàÿ ïëîùàäü êîòîðûõ ìíîãî ìåíüøå âèäèìîé. Ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðèì âîçìîæíûå òèïû
äåôîðìàöèè, êîòîðîé ïîäâåðæåíû êîíòàêòíûå âûñòóïû («áóãîðêè» øåðîõîâàòîñòè), ñ÷èòàÿ èõ â íåäåôîðìèðîâàííîì
ñîñòîÿíèè âåðòèêàëüíûìè öèëèíäðèêàìè èëè áðóñêàìè.
Ïðè îñåâîì ñæàòèè ñòåðæíÿ íà÷àëüíîé âûñîòû l è ñå÷åíèÿ
S ïîä äåéñòâèåì ñèëû N íàáëþäàåòñÿ åãî óêîðî÷åíèå íà
37-53.p65
48
âåëè÷èíó x (ðèñ.2,à), êîòîðîå âûðàæàåòñÿ â âèäå õîðîøî
èçâåñòíîãî çàêîíà Ãóêà
l N
x=
.
E S
Çäåñü âåëè÷èíà E íàçûâàåòñÿ ìîäóëåì ïðîäîëüíîé óïðóãîñòè, èëè ìîäóëåì óïðóãîñòè ïåðâîãî ðîäà, èëè (ñîêðàùåííî)
ìîäóëåì óïðóãîñòè, èëè ìîäóëåì Þíãà. Ïðèâåäåííîå âûðàæåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå, ïðèâû÷íîì äëÿ øêîëüíèêà
è õàðàêòåðèçóþùåì ïðóæèíó:
ES
x = kx .
l
Òàêèì îáðàçîì, ìû óïîäîáèëè óïðóãèé ñòåðæåíü ïðóæèíå
æåñòêîñòüþ k = ES l .
Çàêîí Ãóêà óòâåðæäàåò ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíîé äåôîðìàöèè ñòåðæíÿ x/l îò ìåõàíè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ
(íîðìàëüíîé ñèëû, ïðèõîäÿùåéñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè) σ =
= N/S. È ñåðüåçíûå èññëåäîâàòåëè, è øêîëüíèêè î÷åíü
ëþáÿò òàêèå çàâèñèìîñòè çà èõ ïðîñòîòó. Íàïðèìåð, çàêîí
Îìà äàåò ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó ñèëîé òîêà I è
ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ U íà êîíöàõ ïðîâîäíèêà äëèíîé l è
ñå÷åíèåì S:
l
U=
I.
λS
Ñðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ çàêîíîì Ãóêà, âèäèì, ÷òî
ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ïðîâîäíèêà λ ôîðìàëüíî àíàëîãè÷íà
ìîäóëþ Þíãà Å.
Îäíàêî, ïðè óâåëè÷åíèè ìåõàíè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ ïðîñòàÿ ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ïåðåñòàåò áûòü ñïðàâåäëèâîé:
ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè σò = Nmax S íàñòóïàþò íåîáðàòèìûå äåôîðìàöèè – ñæàòàÿ ïðóæèíà-ñòåðæåíü íå ðàñïðÿìèòñÿ ïîñëå ñíÿòèÿ íàãðóçêè. Çíà÷åíèå σò íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì
òåêó÷åñòè. Ñ ïîìîùüþ ýòîé âåëè÷èíû ìîæíî îïðåäåëèòü,
íàïðèìåð, íàèáîëüøóþ âûñîòó h ãîð íà Çåìëå. Â ñàìîì äåëå,
ñ÷èòàÿ ãîðó êîíóñîì è ïðèðàâíèâàÿ äàâëåíèå ïîðîäû åå
ïðåäåëó òåêó÷åñòè:
1
ρgh Ù σò ,
3
ïîëó÷èì
3 σò
3 × 108
:
hÙ
ì = 104 ì = 10 êì.
ρg
3 × 103 × 10
N=
Çäåñü ïëîòíîñòü áàçàëüòîâîé ïîðîäû ïðèíÿòà ðàâíîé
3000 êã/ì 3 , à åå ïðåäåë òåêó÷åñòè – ïîðÿäêà 108 Ïà . Êàê
èçâåñòíî, ñàìàÿ âûñîêàÿ ãîðà íà Çåìëå èìååò âûñîòó 8,848 êì.
Îòñþäà æå ìîæíî çàêëþ÷èòü, ê ïðèìåðó, ÷òî íà Ëóíå ìîãëè
áû ñóùåñòâîâàòü ãîðû â 6 ðàçà âûøå.
Íî ëèíåéíîå ñæàòèå è ðàñòÿæåíèå – íå åäèíñòâåííûé
âèä äåôîðìàöèè. Ñóùåñòâóåò åùå äåôîðìàöèÿ ñäâèãà. Ïðåäñòàâèì ñåáå óïðóãèé áðóñîê ABDC, íèæíÿÿ ãðàíü êîòîðîãî
AB ïðèêëååíà ê àáñîëþòíî æåñòêîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ.2,á).
29.05.09, 14:35
ÅÑÒÜ
Ïîä äåéñòâèåì êàñàòåëüíîé ñèëû Fτ åãî âåðõíÿÿ ãðàíü CD
ïðèìåò ïîëîæåíèå C ¢D¢ , à âåðòèêàëüíûå ãðàíè íàêëîíÿòñÿ íà óãîë γ . (Íà ðèñóíêå ðàññòàâëåíû ñèëû òàê, ÷òîáû
äåôîðìèðîâàííûé áðóñîê îñòàëñÿ â ðàâíîâåñèè.) Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ñæàòèÿ, çàêîí Ãóêà ïðè ñäâèãå âûðàæàåòñÿ â
âèäå
στ
,
G
ãäå σ τ – íàïðÿæåíèå ñäâèãà, èëè êàñàòåëüíàÿ ñèëà â ðàñ÷åòå
íà åäèíèöó ïëîùàäè, à âåëè÷èíà G íàçûâàåòñÿ ìîäóëåì
ñäâèãà èëè ìîäóëåì óïðóãîñòè âòîðîãî ðîäà è, åñòåñòâåííî,
èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è ìîäóëü Þíãà, è ìåõàíè÷åñêîå
2
íàïðÿæåíèå ( [G] = Í ì ).
Íî ïðè ÷åì çäåñü òðåíèå? Íåñîìíåííî, åùå ïåðâîáûòíûé
÷åëîâåê, òàùà òóøó ìàìîíòà èëè áðåâíî ê êîñòðó, óáåäèëñÿ,
÷òî åãî óñèëèÿì ïðîòèâîäåéñòâóåò òàíãåíöèàëüíàÿ ñèëà F
òåì áóëüøàÿ, ÷åì áîëüøå âåñ P ìàìîíòà èëè áðåâíà. Ïðîøëî
íåìàëî âðåìåíè, ïðåæäå ÷åì Àìîíòîí îòâàæèëñÿ çàïèñàòü
(1699 ã.) ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó ýòèìè ñèëàìè:
γ=
F = µP ,
à êîýôôèöèåíò µ íàçâàòü êîýôôèöèåíòîì òðåíèÿ. È ïðîøëî
åùå íåìàëî ëåò, ïîêà ôèçèêè îñîçíàëè, ÷òî ìàêðîñêîïè÷åñêèé ýôôåêò, íàçûâàåìûé òðåíèåì, åñòü ðåçóëüòàò ìíîæåñòâà
ìèêðîñêîïè÷åñêèõ âçàèìîäåéñòâèé ìîëåêóë, àòîìîâ, ýëåêòðîíîâ ñîïðèêàñàþùèõñÿ òåë. Áûëè íàïèñàíû ñîòíè (à ìîæåò
áûòü, è òûñÿ÷è) äèññåðòàöèé, â êîòîðûõ èññëåäîâàëèñü
ðàçëè÷íûå àñïåêòû ïðîáëåìû òðåíèÿ. È òåì íå ìåíåå, äàæå
â ýíöèêëîïåäèþ âîøëè ïåññèìèñòè÷åñêèå íîòêè: «...êîýôôèöèåíòû òðåíèÿ ÷àñòî ÿâëÿþòñÿ ëèøü ãðóáîé è óñëîâíîé
õàðàêòåðèñòèêîé ñèë òðåíèÿ. Êðîìå òîãî, âåëè÷èíà êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ ñóùåñòâåííî èçìåíÿåòñÿ ïðè èçìåíåíèÿõ
(÷àñòî ñ òðóäîì ïîääàþùèõñÿ êîíòðîëþ) ôèçè÷åñêèõ óñëîâèé íà ïîâåðõíîñòè ñîïðèêîñíîâåíèÿ». Çäåñü èìååòñÿ â âèäó
íàëè÷èå ïëåíîê îêèñëîâ, àäñîðáèðîâàííûõ ñëîåâ ãàçîâ,
ïàðîâ è æèäêîñòåé; êðîìå òîãî, ëîêàëüíàÿ òåìïåðàòóðà â
ìåñòàõ êîíòàêòîâ ïðè ñêîëüæåíèè îäíîãî òåëà ïî äðóãîìó
ìîæåò áûòü ãîðàçäî áîëåå âûñîêîé (íàïðèìåð, íåñêîëüêî ñîò
ãðàäóñîâ), ÷åì ñðåäíÿÿ òåìïåðàòóðà îáîèõ òåë. À åùå –
êðóïíûå áóãîðêè, ñòàëêèâàÿñü äðóã ñ äðóãîì, ïðîñòî ïðåïÿòñòâóþò äâèæåíèþ è äîëæíû áûòü ñðåçàíû àêòèâíîé ñèëîé F
(íà ðèñóíêå 1 ñïðàâà è íà ðèñóíêå 2,â èçîáðàæåíû äâà òàêèõ
áóãîðêà, êîòîðûå ãîòîâÿòñÿ âñòðåòèòüñÿ äðóã ñ äðóãîì). Â
ðåçóëüòàòå êîýôôèöèåíò òðåíèÿ çàâèñèò åùå è îò êà÷åñòâà
îáðàáîòêè ïîâåðõíîñòåé – íå íàïðàñíî âåäü â ìàøèíîñòðîåíèè òùàòåëüíî øëèôóþò òðóùèåñÿ äåòàëè.
Âñåìè ýòèìè ôàêòîðàìè îáúÿñíÿåòñÿ ðàçáðîñ çíà÷åíèé
êîýôôèöèåíòîâ òðåíèÿ, ïðèâîäèìûõ â ðàçëè÷íûõ ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêàõ. Íàïðèìåð, çíà÷åíèå µ = 0,18 äëÿ ñëó÷àÿ òðåíèÿ ìåòàëëà ïî ìåòàëëó ïðèâåäåíî â ó÷åáíèêå ïîçàïðîøëîãî âåêà ñ ïûøíûì íàçâàíèåì «Íà÷àëüíàÿ ôèçèêà âú
îáúåì ãèìíàçè÷åñêîãî ïðåïîäàâàíiÿ ñ 766-þ ïîëèòèïàæàìè
â òåêñò, çàäà÷àìè, ðåïåòèòîðióìîìú è âîïðîñàìè äëÿ
óïðàæíåíié» Í. Ëþáèìîâà (Ìîñêâà, 1876. Ëèöåé Öåñàðåâè÷à Íèêîëàÿ).
 «Ìåõàíèêå, àêóñòèêå è ó÷åíèè î òåïëîòå» óïîìÿíóòîãî
âûøå Ðîáåðòà Âèõàðäà Ïîëÿ óêàçàíî, ÷òî ÷èñëåííîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ ïîêîÿ ëåæèò áîëüøåé ÷àñòüþ
ìåæäó 0,2 è 0,7, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ëåæèò ìåæäó 0,2 è 0,5, à ñ âîçðàñòàíèåì
ñêîðîñòè îí ìîæåò ñíèçèòüñÿ íà 20% îò íà÷àëüíîé âåëè÷èíû,
èìåþùåéñÿ ïðè ìàëîé ñêîðîñòè.
 äðóãèõ èñòî÷íèêàõ ìîæíî íàéòè òàêèå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ: äëÿ ñàíîê ïî òâåðäîìó ñíåãó µ = 0,05 ; ìåæäó
äåðåâîì è ëüäîì µ = 0,09 ; äëÿ ñòàëè ïî ÷óãóíó µ = 0,15 - 0,18 ,
37-53.p65
49
"'
ÈÄÅß?!
à äëÿ ñòàëè ïî ñòàëè µ = 0, 44 ; äëÿ êîëåñ òîðìîçÿùåãî
òðàìâàÿ µ = 0,2 è ò.ä.
 ýòèõ óñëîâèÿõ âïîëíå îïðàâäàíî ïðåäëîæèòü êàêóþëèáî ïðîñòóþ çàâèñèìîñòü, îïèñûâàþùóþ ñòîëü ñëîæíîå è
íåîïðåäåëåííîå ÿâëåíèå. Äëÿ ýòîãî è âîñïîëüçóåìñÿ ââåäåííûìè âûøå ïîíÿòèÿìè ìîäóëåé óïðóãîñòè è ïðåäåëà òåêó÷åñòè.
Êàðòèíà, èçîáðàæàþùàÿ âçàèìîäåéñòâèå ïîâåðõíîñòåé
äâóõ ñîïðèêàñàþùèõñÿ òåë (ñì. ðèñ.1), íàãëÿäíî èëëþñòðèðóåò êàê óïðóãóþ äåôîðìàöèþ îäíèõ «áóãîðêîâ» øåðîõîâàòîñòåé, òàê è íåóïðóãóþ äðóãèõ, êàê èõ ëèíåéíîå ñæàòèå (ñì.
ðèñ.2,à), òàê è ñäâèãîâóþ äåôîðìàöèþ (ñì. ðèñ.2,á), êîòîðàÿ â êîíöå êîíöîâ ïðèâîäèò ê ðàçðûâó «ñïàåê» â îáëàñòè
íåóïðóãîé äåôîðìàöèè (ñ ïîñëåäóþùèì îáðàçîâàíèåì íîâûõ ñïàåê â ïðîöåññå äâèæåíèÿ). Çíà÷èò, êîýôôèöèåíò
òðåíèÿ äîëæåí, â ïðèíöèïå, çàâèñåòü îò âñåõ ðàññìîòðåííûõ
íàìè ìàêðîñêîïè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê âåùåñòâà: E, G, σò .
Ïðåæäå âñåãî âûïèøåì â òàáëèöó (â ïåðâûå òðè ñòîëáöà)
õàðàêòåðíûå çíà÷åíèÿ âñåõ íóæíûõ íàì âåëè÷èí äëÿ íåêîòîðûõ ìåòàëëîâ è ñïëàâîâ. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî
ìîäóëè óïðóãîñòè E è G äàíû â ãèãàïàñêàëÿõ
( 1ÃÏà = 10 9 Ïà ), à ïðåäåëû òåêó÷åñòè σò – â åäèíèöàõ, â
6
òûñÿ÷ó ðàç ìåíüøèõ, ò.å. â ìåãàïàñêàëÿõ ( 1 ÌÏà = 10 Ïà ):
Àëþìèíèé
è ñïëàâû
Ìåäü è ñïëàâû
Ñâèíåö
Ñòàëü
Å, ÃÏà
G, ÃÏà σò, ÌÏà µ = σò
70–80
100–130
16
190–210
26–30
40–47
5,6
230
20–500
30–700
5–10
75–80
EG
13
0,08–0,22
0,08–0,21
0,08–0,1
0,12
Èç ýòîé òàáëèöû âèäåí ðàçáðîñ äàííûõ, ïðèâåäåííûõ â
ðàçëè÷íûõ ñïðàâî÷íèêàõ. Òåì íå ìåíåå, çíà÷åíèÿ ïðåäåëà
òåêó÷åñòè äëÿ âñåõ âåùåñòâ îêàçûâàþòñÿ íà äâà-òðè ïîðÿäêà
ìåíüøå çíà÷åíèé ìîäóëåé óïðóãîñòè
 ñëîæíûõ âîïðîñàõ ôèçèêè ÷àñòî ïðèáåãàþò ê ïîìîùè
òåîðèè ðàçìåðíîñòåé è ïîäîáèÿ. Íî â äàííîì ñëó÷àå èç
ïåðå÷èñëåííûõ õàðàêòåðèñòèê ìàòåðèàëîâ σò , E, G, èìåþùèõ îäíó è òó æå ðàçìåðíîñòü ( Í ì2 ), ìîæíî ñîñòàâèòü
áåñêîíå÷íîå ÷èñëî áåçðàçìåðíûõ êîìáèíàöèé. Êàê òóò áûòü?
Âîñïîëüçóåìñÿ äîïîëíèòåëüíûìè ðàçóìíûìè ñîîáðàæåíèÿìè. Âî-ïåðâûõ, ïîñêîëüêó ïðè äåôîðìàöèè áóãîðêîâ èìååò
ìåñòî êàê èõ ñæàòèå, òàê è ñäâèã, öåëåñîîáðàçíî ââåñòè
E G âìåñòî Å èëè G â îòäåëüíîñòè. Ðàçóìååòñÿ, ýòîò êîðåíü
èìååò òîò æå ïîðÿäîê âåëè÷èíû, ÷òî è ñòîÿùèå ïîä íèì
ñîìíîæèòåëè. Âî-âòîðûõ, σò , êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, íà
äâà-òðè ïîðÿäêà ìåíüøå E G , à âåëè÷èíà µ íàõîäèòñÿ ãäåòî âáëèçè 0,1. Îòñþäà ðàçóìíî ïðåäëîæèòü òàêóþ çàâèñèìîñòü äëÿ êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ:
æ σ ö
µ:ç ò ÷
è EG ø
13
.
Êîíå÷íî, ýòî íå âûâîä è íå äîêàçàòåëüñòâî, è ïðåäëàãàåìàÿ
ôîðìóëà íîñèò îòïå÷àòîê ïðîèçâîëà. Íî âåäü îíà äàåò
ðàçóìíûå çíà÷åíèÿ µ ! Êàê òóò íå âñïîìíèòü àíãëèéñêîãî
ôèçèêà è ìàòåìàòèêà Îëèâåðà Õåâèñàéäà, êîòîðûé ñêàçàë,
÷òî íå ìîæåò îòêàçàòüñÿ îò âêóñíîãî îáåäà òîëüêî ïîòîìó, ÷òî
íå çíàåò, êàê òîò ïðèãîòîâëåí. Èëè Ìàðêà Áëîêà, èñòîðèêà:
«…åñëè áû ôèçèêè íå áûëè òàê äåðçêè â ñâîåé ïðîôåññèè,
ìíîãîãî ëè äîñòèãëà áû ôèçèêà?»
Íàøè âäóì÷èâûå ÷èòàòåëè ìîãóò «èñïûòàòü» ýòó ôîðìóëó
è äëÿ äðóãèõ âåùåñòâ, âûïèñàâ èç ñïðàâî÷íèêîâ èõ ôèçèêîìåõàíè÷åñêèå äàííûå, à òàêæå íàéäÿ â ëèòåðàòóðå (èëè
èçìåðèâ) ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû òðåíèÿ. Ïðàâäà,
òîíêèå ýêñïåðèìåíòû ïîêàçàëè, ÷òî ñèëà òðåíèÿ ñóùåñòâóåò
è â ñëó÷àå, êîãäà íå ïðîèñõîäèò óïðóãî-ïëàñòè÷åñêèõ èçìå-
29.05.09, 14:35
#
ÊÂÀÍT$ 2009/¹3
íåíèé ïîâåðõíîñòè. Ýòà ñèëà ñâÿçàíà ñ òàê íàçûâàåìîé
àäãåçèåé (îò ëàò. adhaesio – ïðèëèïàíèå). Èìåííî äëÿ
îïèñàíèÿ ýòîãî ÿâëåíèÿ Êóëîí «ïîäïðàâèë» çàêîí Àìîíòîíà
è ââåë äîïîëíèòåëüíîå ñëàãàåìîå, ñâÿçàííîå íå ñ ïðèæèìàþùåé ñèëîé, à ñ âçàèìîäåéñòâèåì ïðèïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ
è ìîëåêóë (ñì. ñòàòüþ À.Ñòàñåíêî «Íå ïðåíåáðåæåì òðåíèåì
êà÷åíèÿ...» â Êâàíòå ¹1 çà 2008 ã. – Ïðèì. ðåä.). Çäåñü ìû
íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýòó íåæíóþ äîáàâêó, à âåðíåìñÿ ê
íàøåé òàáëèöå.
 ïîñëåäíåì ñòîëáöå òàáëèöû ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ µ ,
ðàññ÷èòàííûå ïî ïðåäëàãàåìîé ôîðìóëå. Ïðè ýòîì áðàëèñü
êðàéíèå ëåâûå èëè êðàéíèå ïðàâûå çíà÷åíèÿ èç èíòåðâàëîâ
äëÿ E, G è σò (ò.å. ïðèíèìàëîñü, ÷òî áîëåå æåñòêèå òåëà
îáëàäàþò è áîëåå âûñîêèì ïðåäåëîì òåêó÷åñòè). Òàêèì
îáðàçîì, ïðåäëàãàåìàÿ ïðîñòàÿ ñâÿçü ìåæäó ìàêðîñêîïè÷åñêèìè ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè ìàòåðèàëîâ, íåñìîòðÿ íà ãðîìàäíûé ðàçáðîñ òàáëè÷íûõ äàííûõ,
äàåò ïðàâäîïîäîáíîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ ìåæäó
äâóìÿ òåëàìè (ïî êðàéíåé ìåðå, èç îäíîãî è òîãî æå
ìàòåðèàëà).
 îäíîì àìåðèêàíñêîì ó÷åáíèêå ïî ôèçèêå ãîâîðèòñÿ:
«... ó÷åò òðåíèÿ – ýòî, â ñóùíîñòè, áóõãàëòåðñêèé ó÷åò: åñëè
êàêàÿ-òî ÷àñòü ýíåðãèè óõîäèò â áåñïîëåçíîé äëÿ íàñ ôîðìå,
òî ìû ìîæåì íàçâàòü ýòî òðåíèåì». Êîíå÷íî, ýòî íå îçíà÷àåò,
÷òî îêîí÷àòåëüíî ðàçîáðàòüñÿ ñ òðåíèåì ìîæíî ïîñëå ìåñÿ÷íûõ áóõãàëòåðñêèõ êóðñîâ. Ïîæàëóé, äëÿ ýòîãî íåïëîõî
ïîñòóïèòü â Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò, ÷åãî
âàì è æåëàåì.
ÍÀØÈ ÍÀÁËÞÄÅÍÈß
Èç ïëîñêîñòè –
â ïðîñòðàíñòâî
Ìîæåò áûòü, âû óæå ïèñàëè ÅÃÝ, à ìîæåò, åùå íåò, íî â
ëþáîì ñëó÷àå ñëåäóåò çíàòü, ÷òî ýòî òÿæåëàÿ ðàáîòà. Ñêàæåì, ïî ôèçèêå çà 3,5 ÷àñà íóæíî ðåøèòü 36 çàäà÷. Ôàêòè-
âçãëÿäîì íà ðîçîâûé áëàíê îòâåòîâ ÅÃÝ (ðèñ.1). Ïîñìîòðåë
òóäà, ãäå ðàñïîëîæåíû êâàäðàòèêè, â êîòîðûõ íóæíî îòìå÷àòü íîìåðà ïðàâèëüíûõ îòâåòîâ. Ìíå ïîêàçàëîñü, ÷òî áëàíê
ïðèîáðåë ãëóáèíó – ñàíòèìåòðà 2–3, íå ìåíüøå.
Ïîçæå, óæå ïîñëå ýêçàìåíà, ÿ ïîíÿë, ÷òî ýòî áûëî ïðîÿâëåíèåì ñòåðåîñêîïè÷åñêîãî ýôôåêòà. Âîò â ÷åì òóò äåëî
(ðèñ.2). Åñëè ìû ñìîòðèì îáîèìè ãëàçàìè íà îäèí è òîò æå
êâàäðàò, òî óãîë ìåæäó ëó÷àìè çðåíèÿ âåëèê. Åñëè æå ìû
Ðèñ. 1
÷åñêè íåâîçìîæíî ïðîðàáîòàòü òàêîé áîëüøîé îòðåçîê âðåìåíè áåç ïåðåäûøêè, áåç âîëüíûõ èëè íåâîëüíûõ îòâëå÷åíèé.  îäèí èç òàêèõ ìîìåíòîâ ÿ è ïîñìîòðåë ðàññåÿííûì
ñìîòðèì íà äâà ñîñåäíèõ êâàäðàòà – ëåâûì ãëàçîì íà ëåâûé
è ïðàâûì íà ïðàâûé, òî óãîë ìåæäó ëó÷àìè çðåíèÿ ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå. È åñëè âñå-òàêè íàì óäàñòñÿ óáåäèòü ñåáÿ, ÷òî îáà
ãëàçà âèäÿò îäèí è òîò æå êâàäðàò, òî ýòîò êâàäðàò áóäåò
êàçàòüñÿ áîëåå óäàëåííûì.
Ñóùåñòâóþò îïðåäåëåííûå ìåòîäèêè äîñòèæåíèÿ òàêîãî
ñàìîîáìàíà. Âîò îäíà èç íèõ. Ïðèáëèçüòå ðèñóíîê 1 ê ñåáå
è ðàññëàáüòå ãëàçà – ðàñôîêóñèðóéòå ñâîå çðåíèå, íå ïûòàÿñü
ðàçãëÿäåòü êàêèå-ëèáî ìåëêèå äåòàëè ðèñóíêà. Òåïåðü íà÷íèòå ìåäëåííî óäàëÿòü ðèñóíîê, âñå òàê æå íå ïûòàÿñü
ñôîêóñèðîâàòü çðåíèå. Â íåêîòîðûé ìîìåíò äîëæíà âîçíèêíóòü èëëþçèÿ îáúåìà.
Íàäååìñÿ, âû ëèøíèé ðàç óáåäèëèñü â òîì, ÷òî ãëóáèíó
ìîæíî èñêàòü âåçäå – äàæå òàì, ãäå åå íåò.
À.Ïàíîâ
Ðèñ. 2
37-53.p65
50
29.05.09, 14:35
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Ïîòîê
ìàãíèòíîé
èíäóêöèè
Ê.ÐÛÁ
Î
ÏÈÑÀÍÈÅ ÐÀÇËÈ×ÍÛÕ ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÐÎ-
öåññîâ îñíîâàíî íà äâóõ îñíîâíûõ çàêîíàõ – íà çàêîíå
ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè è òåîðåìå Ãàóññà. Îáà çàêîíà
èñïîëüçóþò îäíó è òó æå ôèçè÷åñêóþ âåëè÷èíó – ïîòîê
ìàãíèòíîé èíäóêöèè, èëè ïðîñòî
ur ìàãíèòíûé ïîòîê. Ïîòîê
âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè B ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ïëîùàäüþ S ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ìîäóëÿ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêur
öèè íà ýòó ïëîùàäü è íà êîñèíóñ óãëà α ìåæäó âåêòîðîì B
è íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè:
Φ = BS cos α .
Ñîãëàñíî çàêîíó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè, ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà èíäóêöèè â çàìêíóòîì êîíòóðå ðàâíà ïî ìîäóëþ
ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç ïîâåðõíîñòü,
îãðàíè÷åííóþ êîíòóðîì:
∆Φ
-i =
.
∆t
Òåîðåìà Ãàóññà äëÿ ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè âûðàæàåò
îäíî èç ôóíäàìåíòàëüíûõ ñâîéñòâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ – åãî
âèõðåâîé õàðàêòåð. Îíà ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: àëãåáðàè÷åñêàÿ
ñóììà ïîòîêîâ ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ
ïîâåðõíîñòü ðàâíà íóëþ. Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî âûõîäÿùèå
èç ïîâåðõíîñòè ìàãíèòíûå ëèíèè äàþò ïîëîæèòåëüíûé ïîòîê, à âõîäÿùèå – îòðèöàòåëüíûé.
Îáðàòèìñÿ ê ïðèìåðàì êîíêðåòíûõ çàäà÷, ïðåäëàãàâøèõñÿ íà êîíêóðñíûõ ýêçàìåíàõ è íà îëèìïèàäàõ.
Çàäà÷à 1.  íåîäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, ñèììåòðè÷íîì îòíîñèòåëüíî îñè OZ, îñåâàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ èíäóêöèè
ìàãíèòíîãî ïîëÿ Bz ìåíÿåòñÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó:
æ
1 ö
Bz = B0 ç1 +
z . Îïðåäåëèòå óãîë, êîòîðûé îáðàçóåò
H0 ÷ø
è
âåêòîð èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ íàïðàâëåíèåì îñè OZ
â òî÷êå À, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè R îò îñè è íà
ðàññòîÿíèè H A îò ïëîñêîñòè XOY.
Ðåøåíèå. Îêðóæèì îñü OZ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ ðàäèóñîì R è øèðèíîé ∆z . Ïîâåðõíîñòü âêëþ÷àåò òî÷êó
À. Ñóììàðíûé ìàãíèòíûé ïîòîê ïðåäñòàâèì êàê ñóììó
ïîòîêîâ ÷åðåç òîðöû è ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà.
Òàê êàê ïî òåîðåìå Ãàóññà ñóììàðíûé ïîòîê âåêòîðà èíäóêöèè ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí íóëþ, òî
B
∆Bz × Sòîð = Br × Sáîê , èëè - 0 ∆z × πR2 = Br × 2πR ∆z .
H0
Îòñþäà ïîëó÷àåì
BR
Br = - 0 .
2H0
Òåïåðü î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìûé óãîë ðàâåí
B
R
γ = arctg r = arctg
.
2 H0 + HÀ Bz
37-53.p65
51
Çàäà÷à 2. Âáëèçè ñåâåðíîãî ïîëþñà âåðòèêàëüíî ðàñïîëîæåííîãî íàìàãíè÷åííîãî ñòåðæíÿ íàõîäèòñÿ òîíêàÿ êîëüöåâàÿ êàòóøêà ìàññîé m = 10 ã. Êàòóøêà ìîæåò ñâîáîäíî
ïåðåìåùàòüñÿ âäîëü âåðòèêàëüíîé îñè OZ. Êàòóøêó çàñòàâëÿþò êîëåáàòüñÿ îêîëî ïîëþñà ïî ãàðìîíè÷åñêîìó
çàêîíó ñ àìïëèòóäîé A = 5 ìì è ÷àñòîòîé ν = 50 Ãö. Ïðè
ýòîì íà åå ðàçîìêíóòûõ êîíöàõ ïîÿâëÿåòñÿ ïåðåìåííàÿ
ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà ñ àìïëèòóäîé - 0 = 1 Â. Êàêîé
ïîñòîÿííûé òîê I0 íóæíî ïðîïóñòèòü ÷åðåç êàòóøêó,
÷òîáû îíà çàâèñëà â èñõîäíîì ïîëîæåíèè?
Ðåøåíèå. Òðåáóåìîå óñëîâèå çàâèñàíèÿ êàòóøêè îáåñïå÷èâàåòñÿ êîìïåíñàöèåé ñèëû òÿæåñòè âåðòèêàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñèëû Àìïåðà, êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, îïðåäåëÿåòñÿ
ðàäèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ:
mg = FAy , FAy = I0 × 2πRN × Br ,
ãäå R è N – ðàäèóñ è ÷èñëî âèòêîâ êàòóøêè. Ïðè êîëåáàíèÿõ
êàòóøêè åå ñìåùåíèå âäîëü îñè ÎZ èçìåíÿåò ïîòîê ìàãíèòíîé èíäóêöèè è ñîçäàåò ÝÄÑ èíäóêöèè, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñêîðîñòüþ èçìåíåíèÿ ïîòîêà:
- =
∆Bz
∆Bz
∆Φ
= N πR2
= N πR2
v.
∆t
∆t
∆z
Ïðè àìïëèòóäíîì çíà÷åíèè ñêîðîñòè v êîëåáàíèé êàòóøêè
ìàêñèìàëüíà è ÝÄÑ:
∆Bz
v0 = 2πνA , - 0 = N πR2
× 2πνA .
∆z
Òåîðåìà Ãàóññà ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó ðàäèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ìàãíèòíîé èíäóêöèè è áûñòðîòîé èçìåíåíèÿ èíäóêöèè âäîëü âåðòèêàëüíîé îñè. Êàòóøêà ïðè êîëåáàíèÿõ «âûðåçàåò» â ïðîñòðàíñòâå öèëèíäð ðàäèóñîì R è
âûñîòîé ∆z . Ïî òåîðåìå Ãàóññà ïîòîêè ÷åðåç òîðöû è ÷åðåç
áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ýòîãî öèëèíäðà ðàâíû:
∆Bz
× ∆z × πR2 = Br × 2πR × ∆z ,
∆z
îòêóäà
∆Bz 2Br
=
.
R
∆z
Òåïåðü èç âûðàæåíèÿ äëÿ ìàêñèìàëüíîé ÝÄÑ èíäóêöèè
ïîëó÷èì
-0
Br =
,
4π2 RN νA
à èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ êàòóøêè íàéäåì
2πmgνA
mg
=
= 0,15 A .
I0 =
-0
2πRNBr
Âàæíûì ïðèìåðîì ïðèìåíåíèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ïîòîêà
ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÿâëÿåòñÿ îöåíêà èíäóêöèîííîãî òîêà,
íàâîäèìîãî âíåøíèì ìàãíèòíûì ïîëåì â ñâåðõïðîâîäÿùåì
êîíòóðå. Çäåñü íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü èçìåíåíèÿ ïîòîêîâ
ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ïëîùàäü ñâåðõïðîâîäÿùåãî êîíòóðà êàê âíåøíåãî ïîëÿ, òàê è ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî èíäóêöèîííûì òîêîì. Äåéñòâèòåëüíî, èçìåíåíèå ïîòîêà ìàãíèòíîé
èíäóêöèè ÷åðåç ïëîùàäü êîíòóðà ïîðîæäàåò â íåì ÝÄÑ
èíäóêöèè. À åñëè êîíòóð ñâåðõïðîâîäÿùèé, òî ÷åì îãðàíè÷èâàåòñÿ âîçíèêàþùèé â íåì èíäóêöèîííûé òîê? Îêàçûâàåòñÿ, â òàêîì ñëó÷àå íåëüçÿ ïðåíåáðåãàòü ìàãíèòíûì ïîòîêîì
ïîëÿ, ñîçäàííîãî ýòèì èíäóêöèîííûì òîêîì. Â ñîîòâåòñòâèè
ñ òåîðåìîé Ãàóññà, àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ïîòîêîâ ìàãíèòíîé
èíäóêöèè âíåøíåãî ïîëÿ è ïîëÿ èíäóêöèîííîãî òîêà ÷åðåç
ïëîùàäü ñâåðõïðîâîäÿùåãî êîíòóðà îñòàåòñÿ íåèçìåííîé.
Èíà÷å ãîâîðÿ, èçìåíåíèå ïîòîêà âíåøíåãî ïîëÿ âûçûâàåò
29.05.09, 14:35
#
ÊÂÀÍT$ 2009/¹3
òàêîå èçìåíåíèå òîêà â ñâåðõïðîâîäÿùåì êîíòóðå, ÷òî ñîçäàâàåìûé èíäóêöèîííûì òîêîì ïîòîê ìàãíèòíîé èíäóêöèè
êîìïåíñèðóåò ýòî èçìåíåíèå.
Çàäà÷à 3. Ñâåðõïðîâîäÿùåå êîëüöî èíäóêòèâíîñòüþ L, â
êîòîðîì òå÷åò òîê I0 , âíîñÿò â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå
ïîëå ñ èíäóêöèåé B0 . Íàéäèòå òîê, êîòîðûé áóäåò ïðîòåêàòü ïî êîëüöó. Íîðìàëü ê ïëîñêîñòè êîëüöà ñîñòàâëÿåò ñ
íàïðàâëåíèåì ïîëÿ óãîë α . Ðàäèóñ êîëüöà R.
Ðåøåíèå. Èçìåíåíèå âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç
ïëîùàäü êîëüöà êîìïåíñèðóåòñÿ ïîòîêîì èíäóêöèîííîãî
òîêà, ò.å. èçìåíåíèåì ñîáñòâåííîãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà êîëüöà:
∆Φ âí + ∆Φ ñîá = 0 .
Èçìåíåíèå âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà ðàâíî
∆Φ âí = B0 πR2 cos α .
Òîê â êîíòóðå è ñîçäàííûé èì ìàãíèòíûé ïîòîê ñâÿçàíû äðóã
ñ äðóãîì ÷åðåç èíäóêòèâíîñòü êîíòóðà L:
Φ = LI .
 íàøåì ñëó÷àå èçìåíåíèå ñîáñòâåííîãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà
áóäåò ðàâíî
∆Φ ñîá = L∆I = L I - I0 ,
Òîãäà óðàâíåíèå êîëåáàíèé ðàìêè ïðèìåò âèä
x t =
îòêóäà íàõîäèì
B0
πR2 cos α .
L
Çàäà÷à 4. Êâàäðàòíàÿ ñâåðõïðîâîäÿùàÿ ðàìêà ïîêîèòñÿ
íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Ìàññà ðàìêè m,
äëèíà ñòîðîíû d, èíäóêòèâíîñòü L. Âñÿ ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â íåîäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ êîòîðîãî çàâèñèò îò êîîðäèíàòû õ ñëåäóþùèì
îáðàçîì: Bz = B0 1 + αx . Ðàìêå òîë÷êîì ñîîáùàþò ñêîðîñòü v0 âäîëü îñè ÎÕ. Óñòàíîâèòå çàêîí äâèæåíèÿ
ðàìêè.
Ðåøåíèå. Ïðè ïåðåìåùåíèè ðàìêè ìàãíèòíûé ïîòîê âíåøíåãî ïîëÿ ÷åðåç êîíòóð ðàìêè èçìåíÿåòñÿ. Âîçíèêàþùèé
èíäóêöèîííûé òîê ñîçäàåò ñâîé ìàãíèòíûé ïîòîê, êîìïåíñèðóþùèé èçìåíåíèå ïîòîêà âíåøíåãî ïîëÿ, òàê êàê ñóììàðíûé ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç êîíòóð ñâåðõïðîâîäíèêà èçìåíèòüñÿ íå ìîæåò:
I = I0 -
∆Φ âí + ∆Φ ñîá = 0 , èëè B0 d2 α∆x + Li = 0 .
Îòñþäà äëÿ èíäóêöèîííîãî òîêà ïîëó÷àåì
B d2 α
∆x .
i=- 0
L
Íà âñå ñòîðîíû ðàìêè ñ èíäóêöèîííûì òîêîì äåéñòâóþò
ñèëû Àìïåðà. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ýòèõ ñèë, íàïðàâëåííàÿ ïî
îñè ÎÕ, ðàâíà
B2d4 α2
∆x .
F = iB0 dα x + d + ∆x - x + ∆x = iB0 d α = - 0
L
Ýòî – êâàçèóïðóãàÿ ñèëà. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàìêà áóäåò ñîâåðøàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòîé
2
ω=
B0 d2 α
.
Lm
Òàê êàê íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v0 – àìïëèòóäíàÿ, äëÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé ïîëó÷èì
v
x0 = 0 .
ω
37-53.p65
52
B0 d2 α
sin
B0 d2 α
t.
Lm
Èíòåðåñíûì ïðîÿâëåíèåì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÿâëÿåòñÿ ñîãëàñîâàííîå èçìåíåíèå òîêîâ â
êàòóøêàõ èíäóêòèâíîñòè ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëûì àêòèâíûì
ñîïðîòèâëåíèåì ïðè èõ ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè. Èçìåíåíèÿ òîêîâ ìîãóò áûòü âûçâàíû, ñêàæåì, ðàçðÿäêîé êîíäåíñàòîðà, âêëþ÷åííîãî ïàðàëëåëüíî êàòóøêàì. Ðàññìîòðèì
ýòîò ïðèìåð ïîäðîáíåå.
Ïóñòü ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûå êàòóøêè èìåþò èíäóêòèâíîñòè L1 è L2 . Ñîçäàâàåìûå òîêàìè ïîòîêè ìàãíèòíîé
èíäóêöèè â êàòóøêàõ ðàâíû Φ1 = L1i1 è Φ 2 = L2 i2 . Äîïóñòèì, ÷òî â ìîìåíò çàìûêàíèÿ êëþ÷à êîíäåíñàòîð çàðÿæåí, à
òîêà â êàòóøêàõ íåò. ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, âîçíèêàþùàÿ ïðè
ðàçðÿäêå, ïðåïÿòñòâóåò íàðàñòàíèþ òîêîâ. Âûäåëèì êîíòóð,
ñîäåðæàùèé äâå êàòóøêè ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëûì àêòèâíûì
ñîïðîòèâëåíèåì. Ïî âòîðîìó ïðàâèëó Êèðõãîôà äëÿ ýòîãî
êîíòóðà ìîæíî çàïèñàòü
∆i
∆i
L1 1 - L2 2 = 0 , èëè L1 i1 - i01 = L2 i2 - i02 .
∆t
∆t
Ïåðåãðóïïèðóåì ñëàãàåìûå è ïîëó÷èì
ãäå I – èñêîìûé òîê. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
B0 πR2 cos α = L I0 - I ,
v0 Lm
L1i1 - L2 i2 = L1i01 - L2 i02 = const .
Åñëè ïîòîêó ñ òîêîì, òåêóùèì ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ îáõîäà
êîíòóðà, ïðèïèñûâàòü îòðèöàòåëüíûé çíàê, òî ïîëó÷åííîå
ñîîòíîøåíèå ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: ïðè èçìåíåíèÿõ òîêîâ â
ïàðàëëåëüíûõ èäåàëüíûõ êàòóøêàõ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà
ïîòîêîâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â êîíòóðå îñòàåòñÿ íåèçìåííîé.
Ïðîâåðèì ýòîò âûâîä íà äðóãèõ ñèòóàöèÿõ.
Ïóñòü êëþ÷ ïîäêëþ÷àåò êàòóøêó èíäóêòèâíîñòüþ L2 â
ìîìåíò, êîãäà òîê â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòüþ L1 äîñòèãàåò
çíà÷åíèÿ I1 . Òîãäà ïî âòîðîìó ïðàâèëó Êèðõãîôà ïîëó÷èì
L1
∆i1
∆i
- L2 2 = 0 , èëè L1i1 - L2 i2 = L1i0 = const .
∆t
∆t
Ïðåæíÿÿ ôîðìóëèðîâêà ñïðàâåäëèâà.
Óñëîæíèì ñèòóàöèþ: äîïóñòèì, êëþ÷ çàìûêàþò â ìîìåíò
ïîëíîé ðàçðÿäêè êîíäåíñàòîðà, êîãäà òîê â ïåðâîé êàòóøêå
i01 ìàêñèìàëåí. Âîçíèêàþùàÿ ÝÄÑ ïðîòèâîïîëîæíîé ïîëÿðíîñòè ïðèâåäåò ê óáûëè òîêà i1 â ïåðâîé êàòóøêå è ðîñòó
òîêà i2 ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ âî âòîðîé êàòóøêå.
ÝÄÑ â êàòóøêàõ ïî-ïðåæíåìó ðàçíÿòñÿ çíàêàìè, íî òåïåðü
∆i1
óæå ñàìà âåëè÷èíà
îòðèöàòåëüíà. Ïîýòîìó âòîðîå ïðà∆t
âèëî Êèðõãîôà ïðèìåò âèä
- L1
∆i1
∆i
- L2 2 = 0 .
∆t
∆t
Îòñþäà ñëåäóåò
- L1i1 - L1i01 = L2i2 , èëè L2 i2 + L1i1 = L1i01 = const .
Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ïî îòíîøåíèþ ê íàïðàâëåíèþ îáõîäà îáà
ïîòîêà ïîëîæèòåëüíû – ôîðìóëèðîâêà çàêîíà ñîõðàíåíèÿ
ïîòîêà âûïîëíÿåòñÿ. Åå ìîæíî ïðèìåíèòü, íàïðèìåð, äëÿ
óñòàíîâëåíèÿ ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ìãíîâåííûìè çíà÷åíèÿìè
òîêîâ â êàòóøêàõ. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî.
Çàäà÷à 5. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ C, çàðÿæåííûé äî
íàïðÿæåíèÿ U0 , ðàçðÿæàåòñÿ ÷åðåç êàòóøêó èíäóêòèâíîñòüþ L1 (ðèñ.1). Êàêîé ìàêñèìàëüíûé òîê ìîæíî ïîëó÷èòü â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòüþ L2 , åñëè çàìêíóòü êëþ÷
K â ìîìåíò, êîãäà òîê â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòüþ L1
ìàêñèìàëåí?
29.05.09, 14:35
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
Ðåøåíèå. Ìîìåíòó
çàìûêàíèÿ êëþ÷à ñîîòâåòñòâóåò ìàêñèìóì
òîêà â ïåðâîé êàòóøêå,
çíà÷èò, êîíäåíñàòîð â
ýòîò ìîìåíò ïîëíîñòüþ
ðàçðÿæåí. Èç çàêîíà
ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
ïîëó÷àåì
Ðèñ. 1
îòêóäà
2
CU02 L1I1max
,
=
2
2
I1max =
C
U0 .
L1
Ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à êîíäåíñàòîð ïåðåçàðÿæàåòñÿ, òîê
÷åðåç ïåðâóþ êàòóøêó óáûâàåò, à òîê ÷åðåç âòîðóþ êàòóøêó
âîçðàñòàåò, íî íàïðàâëåí ïî-äðóãîìó. Ïîýòîìó çàïèøåì
∆i
∆i
- L1 1 = L2 2 .
∆t
∆t
Ó÷èòûâàÿ èçìåíåíèÿ òîêîâ â êàòóøêàõ, ïîëó÷èì çàêîí
ñîõðàíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà â âèäå
L1 I1max - i1 = L2 i2 , èëè L1i1 + L2 i2 = L1I1max = const .
Ñîãëàñíî ïåðâîìó ïðàâèëó Êèðõãîôà, êîíäåíñàòîð áóäåò
çàðÿæàòüñÿ äî âûðàâíèâàÿ òîêîâ â êàòóøêàõ. Ïðè ðàâåíñòâå
òîêîâ i1 = i2 = I3 êîíäåíñàòîð áóäåò ìàêñèìàëüíî çàðÿæåí,
çíà÷èò,
L1I1max = L1 + L2 I3 ,
îòêóäà
L1I1max
.
L1 + L2
 ïîñëåäóþùóþ ÷åòâåðòü ïåðèîäà òîê ÷åðåç âòîðóþ êàòóøêó
áóäåò ïðîäîëæàòü óâåëè÷èâàòüñÿ äî ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî
çíà÷åíèÿ, ðàâíîãî
2 L1C
I2 max = 2I3 =
U0 .
L1 + L2
I3 =
Çàäà÷à 6.  ìîìåíò, êîãäà òîê â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòüþ L1 (ðèñ.2) áûë I1 , êëþ÷ K çàìêíóëè. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ â ðåçèñòîðå R
ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à? Èíäóêòèâíîñòü L2
âòîðîé êàòóøêè ñ÷èòàòü èçâåñòíîé.
Ðåøåíèå. Òîê ÷åðåç
ðåçèñòîð áóäåò ïðîõîäèòü äî âûðàâíèâàíèÿ
Ðèñ. 2
òîêîâ â êàòóøêàõ (ïî
ïåðâîìó ïðàâèëó Êèðõãîôà). Ýòîìó ìîìåíòó ñîîòâåòñòâóåò
íóëåâîå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà ðåçèñòîðå, à çíà÷èò, è
íóëåâàÿ ÝÄÑ èíäóêöèè. Äàëüøå òîêè â êàòóøêàõ îñòàíóòñÿ
íåèçìåííûìè. Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ïîòîêà ìàãíèòíîé
èíäóêöèè,
L1 + L2 I2
îòêóäà
= L1I1 ,
L1
I1 .
L1 + L2
Òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ, âûäåëèâøàÿñÿ â ðåçèñòîðå, îïðåäåëÿåòñÿ
óáûëüþ ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðè ïåðåõîäå èç íà÷àëüíî-
#!
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
ãî ñîñòîÿíèÿ â ñîñòîÿíèå ñ îäèíàêîâûìè òîêàìè â êàòóøêàõ:
L1I12 L1 + L2 2
I2 = Q .
2
2
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå äëÿ I2 , ïîëó÷èì
Q=
Çàäà÷à 7.  ñõåìå íà ðèñóíêå 3 âåëè÷èíû - , L1 , L2 è R
çàäàíû. Ñíà÷àëà çàìûêàþò êëþ÷ K1 , à ÷åðåç íåêîòîðîå
âðåìÿ, êîãäà òîê ÷åðåç ðåçèñòîð äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ I0 ,
çàìûêàþò êëþ÷ K2 . Îïðåäåëèòå óñòàíîâèâøèåñÿ çíà÷åíèÿ òîêîâ ÷åðåç
êàòóøêè. Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà
ïðåíåáðåæèìî ìàëî.
Ðåøåíèå. Òîê ÷åðåç ðåçèñòîð áóäåò íàðàñòàòü äî
.  ñîîòçíà÷åíèÿ I =
R
Ðèñ. 3
âåòñòâèè ñ ïåðâûì ïðàâèëîì Êèðõãîôà, îí áóäåò ñêëàäûâàòüñÿ èç òîêîâ, ïðîõîäÿùèõ
÷åðåç êàòóøêè:
= I1 + I2 .
R
Èç îäèíàêîâîñòè ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé ÝÄÑ èíäóêöèè íà
ïàðàëëåëüíûõ êàòóøêàõ ñëåäóåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà:
L1I1 - L2 I2 = L1I0 .
Ðåøàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàéäåì èñêîìûå
òîêè:
L I + L2 - R
L1 æ ö
I1 = 1 0
, I2 = L + L èç R - I0 ø÷ .
L1 + L2
1
2
Óïðàæíåíèÿ
1*. Ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîå êîëüöî ðàäèóñîì R ñ ëèíåéíîé
ïëîòíîñòüþ çàðÿäà ρ äâèæåòñÿ ñîîñíî àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íîìó ìàãíèòíîìó ïîëþ ñî ñêîðîñòüþ v. Ðàäèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ
èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ðàññòîÿíèè r îò îñè ðàâíà Br .
Îïðåäåëèòå ìîìåíò ñèë, äåéñòâóþùèõ íà êîëüöî. Äîêàæèòå, ÷òî
ïðèðàùåíèå ìîìåíòà èìïóëüñà êîëüöà ïðîïîðöèîíàëüíî ïðèðàùåíèþ ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç íåãî.
2. Ñâåðõïðîâîäÿùèé âèòîê ðàäèóñîì R = 3 ñì âíîñÿò â
íåîäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñîëåíîèäà. Ïðè ýòîì â íåêîòîðîé
òî÷êå À ñèëà òîêà â âèòêå îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé IA = 10À. Ïðè
ñìåùåíèè âèòêà íà ðàññòîÿíèå l = 1 ñì òîê â íåì óìåíüøàåòñÿ íà
1%. Ñ êàêîé ñèëîé äåéñòâîâàëî íà âèòîê ìàãíèòíîå ïîëå
ñîëåíîèäà â òî÷êå À? Èíäóêòèâíîñòü âèòêà ìîæíî
âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
L = µ0 πR 2 , ãäå µ0 – ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
3. Ïðè çàìêíóòîì êëþ÷å K (ðèñ.4) òîê â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòüþ L1
Ðèñ. 4
ðàâåí I1 , à òîê â êàòóøêå
èíäóêòèâíîñòüþ L2 ðàâåí I2 . Îïðåäåëèòå, â êàêèõ ïðåäåëàõ
áóäóò ìåíÿòüñÿ òîêè â êàòóøêàõ ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à.
I2 =
37-53.p65
53
L1L2 I12
.
2 L1 + L2 29.05.09, 14:35