топология и дифференциальная геометрия

Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТОПОЛОГИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Ю.Е. Гликлих
Учебное пособие для студентов 2 курса дневного отделения
математического факультета
Четвертое издание
Воронеж — 2007
Утверждено научно-методическим советом математического факультета 31
мая 2007 г., протокол № 9.
Рецензент доц. Б.Д.Гельман.
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре алгебры и топологических методов анализа.
Рекомендовано для студентов 2 курса математического факультета для специальности 010101 – математика.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
5
1 Топологические пространства
1.1 Предварительные соображения . . . . . . . . .
1.2 Определение топологического пространства . .
1.3 Операции над множествами . . . . . . . . . . .
1.4 Непрерывные отображения и задачи топологии
1.5 Аксиомы отделимости . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Аксиомы счетности . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
7
10
11
13
16
17
19
.
.
.
.
20
20
22
24
27
3 НАЧАЛА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
3.1 Три классических способа задания поверхности . . . . . . . . . . .
3.1.1 Неявное задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Явное задание (в виде графика) . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Параметрическое задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Гладкие и регулярные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Понятия касания и соприкосновения. Касательная плоскость . . .
3.4 Два специальных типа поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Линейчатые поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Поверхности вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
28
28
29
29
30
34
35
35
36
4 МЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
4.1 Длина кривой. Натуральный параметр . . . . . . . . .
4.2 Первая фундаментальная форма поверхности . . . . .
4.3 Длина кривой и угол между кривыми на поверхности
4.4 Площадь участка поверхности . . . . . . . . . . . . . .
37
37
38
40
41
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Многообразия
2.1 Определение поверхности . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Многообразия. Внутренняя и внешняя геометрия
2.3 Примеры многообразий . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Дифференцируемые функции на многообразии . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 КРИВИЗНЫ
5.1 Кривизна кривой. Репер Френе . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Формулы Френе. Кручение кривой . . . . . . . . . . . .
5.3 Ориентируемые поверхности . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Нормальная и геодезическая кривизны на поверхности .
5.5 Вторая квадратичная форма . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Индикатриса Дюпена. Главные кривизны . . . . . . . .
5.7 Соприкасающийся параболоид . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Вычисление кривизн поверхности . . . . . . . . . . . . .
5.9 Деривационные формулы Гаусса . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
43
43
44
47
48
50
52
53
55
55
6 ГЕОМЕТРИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
6.1 Ковариантная производная и ее свойства . . . .
6.2 Параллельный перенос . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Геодезические . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Пример: Геометрия двумерной сферы . . . . . .
6.5 Вариационные свойства геодезических . . . . .
6.6 Возможные обобщения на многообразия . . . .
6.7 Пример: Элементы планиметрии Лобачевского
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
59
61
63
65
68
71
72
ЛИТЕРАТУРА
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
76
4
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие содержит материал, излагаемый в лекционном курсе с тем
же названием. Оно включает в себя основные понятия топологии, традиционные разделы дифференциальной геометрии (кривые, поверхности, их кривизны
и т.д.) и разделы, недавно вошедшие в программу (многообразия, ковариантная
производная и др.). Особенностью изложения дифференциальной геометрии
является то, что в центре внимания находится двумерная поверхность в трехмерном пространстве, и с ней так или иначе связано описание других основных
объектов: конструкция кривой рассматривается как частный случай конструкции поверхности; гладкое многообразие интерпретируется как "поверхность, которая никуда не вложена"; поверхности произвольной конечной размерности n
в пространстве "большой"размерности N вводятся по аналогии с двумерными
поверхностями в R3 и т.д.
5
Глава 1
Топологические пространства
Любой человек, изучавший начала математического анализа, понимает важность понятия непрерывности функции. Функция есть частный случай более
общего понятия отображения, которое определяется уже не для чисел, а для
элементов произвольных множеств. Возникает вопрос, можно ли определить
понятие непрерывности отображений на множествах. Оказывается, для того,
чтобы корректно ввести это понятие, необходимо задать на множествах дополнительную структуру, так называемую топологию, и множество с указанной
структурой называется топологическим пространством.
1.1
Предварительные соображения
Напомним классическое определение непрерывности числовой функции f в точке x, восходящее к Коши.
Определение 1.1 Функция f называется непрерывной в точке x, если для
любого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что из того, что |x − x0 | < δ,
следует, что |f (x) − f (x0 )| < ε.
Введенное выше определение допускает модификацию, удобную для дальнейшего изложения.
Определение 1.2 Функция f называется непрерывной в точке x, если для
любой окрестности U точки f (x) существует окрестность V точки x такая,
что из того, что точка x0 принадлежит V следует, что f (x0 ) принадлежит
U.
Нетрудно видеть, что для числовых функций Определение 1.1 и Определение 1.2 эквивалентны, поскольку, с одной стороны, множество точек {x0 }, таких,
что |x − x0 | < δ, является окрестностью точки x, называемой δ-окрестностью
x (соответственно, множество точек {y}, таких, что |f (x) − y| < ε, является
окрестностью точки f (x), называемой ε-окрестностью f (x), а с другой стороны,
внутри любой окрестности U точки f (x) содержится ε-окрестность для достаточно малого ε (соответственно, в любой окрестности V точки x содержится
δ-окрестность для достаточно малого δ.
6
Рассмотрим два множества X и Y . Говорят, что задано отображение F :
X → Y , если задано правило (закон), по которому каждому элементу x ∈ X
поставлен в соответствие элемент y = F (x) ∈ Y . Числовая функция является
наиболее известным примером отображения. В этом случае обычно X = Y = R
– множество вещественных чисел (числовая прямая), а закон F задается формулой: например, вещественному числу x ставится в соответствие вещественное
число sin x (в этом случае F есть функция синус).
Понятие отображения определено для любой пары произвольных множеств.
Однако можно ли в произвольном случае дать определение непрерывности F
по аналогии с Определением 1.1 или Определением 1.2? Нетрудно видеть, что
этого сделать нельзя, поскольку на произвольных множествах нет ни понятия окрестности (используемого в Определении 1.2), ни понятия ε-окрестности
(δ-окрестности), используемого в Определении 1.1. Так что для введения корректного определения понятия непрерывности F мы должны либо ввести предварительно понятие окрестности вообще, либо понятие ε-окрестности. На примере числовых функций видно, что ε-окрестности являются частным случаем
окрестностей вообще, и если мы хотим дать наиболее общее определение непрерывности, мы должны сосредоточить свое внимание на корректном введении
понятия просто окрестности точки в произвольном множестве.
Множество, на котором "правильно"введено понятие окрестности, называется топологическим пространством1 . Подчеркнем: требование, чтобы множество
было топологическим пространством, является минимальным для того, чтобы
было корректно определено понятие непрерывного отображения.
1.2
Определение топологического пространства
В математическом анализе широко используется понятие открытого множества
(например) на числовой прямой: множество называется открытым, если для
любой его точки достаточно малый интервал с центром в этой точке (т.е. εокрестность для достаточно малого ε) целиком входит в это множество. Для
открытых множеств выполняются два важных свойства: объединение любого
(даже бесконечного) набора открытых множеств есть открытое множество, и
пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.
Оказывается, если некоторый набор множеств обладает этими свойствами,
то с множествами из указанного набора можно работать во многом так же, как
с обычными открытыми множествами. Дадим точные определения.
Рассмотрим произвольное множество X.
Определение 1.3 Набор τ подмножеств множества X называется топологией, если он обладает следующими свойствами:
(i) X и пустое множество входят в τ ;
(ii) объединение любого числа множеств из τ принадлежит τ ;
1
Отметим для полноты, что множество, на котором корректно введено понятие εокрестности, называется метрическим пространством, и метрическое пространство является
частным случаем топологического. Здесь мы не будем рассматривать метрические пространства.
7
(iii) пересечение конечного числа множеств из τ принадлежит τ .
Если набор τ задан, (X, τ ) называется топологическим пространством, а
входящие в τ множества называются открытыми.
Примером топологического пространства является числовая прямая с множествами, открытыми в обычном смысле. Действительно, вся числовая прямая
очевидным образом открыта, пустое множество включают в число открытых по
определению (это непротиворечиво: поскольку в пустом множестве нет точек,
то можно считать, что каждая из них (!) входит в пустое множество с некоторой
ε-окрестностью). Как уже сказано выше, (ii) и (iii) выполнены. Топологию, состоящую из обычных открытых множеств на числовой прямой, будем называть
обычной топологией.
Приведем еще два примера. На любом X рассмотрим топологию, в которой
всего два множества: все X и пустое. Такая топология называется тривиальной.
Противоположная ситуация: на любом X включим в топологию вообще все
подмножества X (в частности, все его точки), само X и пустое подмножество.
Эта топология называется дискретной.
Обратите внимание, что тривиальную и дискретную топологию мы задали,
описав все входящие в них множества. С обычной топологией мы не смогли это
сделать и нам пришлось описывать ее с помощью свойства, которому удовлетворяют ее множества. Чтобы избежать этого неудобства, было введено понятие
базы топологии.
Определение 1.4 Набор открытых множеств S называется базой топологии τ , если любое непустое множество из τ есть (возможно бесконечное)
объединение множеств из S.
Базой обычной топологии на прямой являются ε-окрестности. Действительно, обычное открытое множество характеризуется тем, что каждая его точка
имеет некоторую ε-окрестность, входящую в это множество. Так что очевидно,
что само множество есть объединение указанных ε-окрестностей всех его точек.
Теорема 1.5 Набор S открытых множеств топологического пространства
(X, τ ) является базой топологии τ тогда и только тогда, когда для всякого
U ∈ τ и любого x ∈ U найдется V ∈ S такое, что x ∈ V ⊂ U .
Доказательство. Пусть S – база. Тогда любое U ∈ τ представимо в виде
объединения множеств Uα ∈ S, т.е. каждое x ∈ U содержится в некотором Uα и
Uα ⊂ U . Обратно, пусть U – открытое множество
и для любого x ∈ U найдется
S
Ux ∈ S такое, что x ∈ Ux ⊂ U . Значит U = Ux , т.е. S – база. 2
x
Приведем еще два примера топологий. Первый из них, топология Зарисского
на числовой прямой, интересен (кроме всего прочего) тем, что возник в реальной математической задаче, а не как экзотический пример для учебника. В эту
топологию включены вся прямая и пустое множество, а также все множества
на прямой, дополнения до которых состоят из конечного числа точек.
Следующая топология на числовой прямой состоит из всей прямой и пустого
множества, а также всех открытых интервалов вида (a, +∞), где a – точка
8
прямой. Эта топология называется правой. Отметим, что аналогично можно
задать и левую топологию.
Топология может наследоваться. Пусть (X, τ ) – топологическое пространство и Y – подмножество в X. Зададим в Y набор множеств τ1 , включив в него
все Y , пустое множество и все такие подмножества из Y , которые представляют
из себя пересечение Y с каким-либо открытым множеством из X.
Утверждение 1.6 Набор множеств τ1 удовлетворяет Определению 1.3 и,
следовательно, является топологией на Y .
Доказательство Утверждения 1.6 сразу следует из того факта, что топология
τ на X удовлетворяет Определению 1.3.
Определение 1.7 Топология τ1 на Y называется индуцированной, а (Y, τ1 )
называется подпространством топологического пространства (X, τ ).
Например, в плоскости имеется топология, состоящая из обычных открытых
множеств (аналогично случаю числовой прямой). Тогда на лежащей в плоскости прямой возникает топология, в которой открытыми множествами являются
пересечения с этой прямой множеств, открытых в плоскости. В рассматриваемом примере индуцированная топология – это обычная топология на прямой.
Отметим, что любая двумерная поверхность наследует топологию из R3 .
В некоторых случаях различные топологии на одном и том же множестве
можно сравнивать между собой.
Определение 1.8 Говорят, что топология τ на X сильнее топологии σ на
том же множестве, если все множества, входящие в σ, входят также и в
τ.
Очевидно, что любая топология сильнее, чем тривиальная, а дискретная –
сильнее любой топологии. Также понятно, что обычная топология на числовой прямой сильнее, чем топология Зарисского и чем правая топология, и в то
же время топологию Зарисского и правую топологию сравнить между собой
нельзя: ни одна из них не является более сильной, чем другая (более того, докажите, что если некоторое множество числовой прямой входит сразу в обе эти
топологии, то это либо вся числовая прямая, либо пустое множество).
Определение 1.9 Множество B топологического пространства (X, τ ) называется замкнутым, если его дополнение X\B открыто.
Используя Определение 1.3 и свойства дополнений, нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема 1.10 (i) X и пустое множество замкнуты;
(ii) пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто;
(iii) объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
Отметим, что можно дать определение топологического пространства, выделив класс "замкнутых"множеств, удовлетворяющий (i) – (iii) Теоремы 1.10,
и определив открытые множества как множества, дополнения до которых замкнуты. Понятно, что введенный так класс открытых множеств будет удовлетворять Определению 1.3, то есть будет топологией.
9
1.3
Операции над множествами
Определение 1.11 . Открытой окрестностью2 точки в топологическом
пространстве называется любое открытое множество, содержащее указанную точку.
Очевидно, что в обычной топологии на числовой прямой понятие окрестности удовлетворяет данному определению.
Используя введенное определение окрестности, нетрудно доказать следующее свойство открытых множеств любого топологического пространства:
Теорема 1.12 Множество A открыто тогда и только тогда, когда каждая
точка x из A имеет окрестность, целиком входящую в A.
Доказательство. Пусть множество открыто. Тогда оно является окрестностью каждой своей точки, т.е. каждая точка множества A входит в A вместе со
своей окрестность A.
S Пусть каждая точка x ∈ A входит в A вместе с окрестностью Ux . Тогда
Ux ⊂ A. С другой стороны, A есть объединение всех своих точек, и, так как
x∈A
S
S
S
каждое x ∈ Ux , мы получаем, что A =
x⊂
Ux . Следовательно, A =
Ux
x∈A
x∈A
x∈A
и A открыто, как объединение открытых множеств Ux . 2
Обратите внимание, что характеристическое свойство обычных открытых
множеств на числовой прямой является частным случаем этого утверждения.
Определение 1.13 Точка x множества A из топологического пространства
(X, τ ) называется внутренней, если она входит в A вместе с некоторой своей
окрестностью. Множество всех внутренних точек множества A называется внутренностью A и обозначается Int A.
Таким образом, если A открыто, то Int A = A. Для замкнутого и открытого
единичных кругов в плоскости с обычной топологией их внутренности совпадают и равны открытому единичному кругу.
Определение 1.14 Точка x0 топологического пространства (X, τ ) называется предельной точкой множества A ⊂ X, если в любой ее окрестности содержится точка из A, не равная x0 .
Теорема 1.15 Множество B в топологическом пространстве (X, τ ) замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.
Доказательство. Пусть B замкнуто, т.е. X\B открыто. Тогда любая точка
x∈
/ B по Теореме 1.12 входит в X\B вместе с некоторой своей окрестностью
и поэтому не может быть предельной для B – в указанной окрестности нет ни
одной точки из B.
2
Поскольку других типов окрестностей мы не будем использовать, в дальнейшем мы будем
называть открытые окрестности просто окрестностями
10
Пусть B содержит все свои предельные точки. Тогда любая точка x из X\B
не является предельной, т.е. имеет окрестность, в которой нет ни одной точки из B. Значит, каждая точка x ∈ X\B входит в X\B вместе с некоторой
окрестностью и по теореме 1.12 X\B открыто и, следовательно, B замкнуто. 2
Напомним, что в математическом анализе обычно определяют замкнутое
множество как множество, содержащее все свои предельные точки.
Определение 1.16 . Множество всех предельных точек множества ASназывается первым производным множеством и обозначается A0 . Ā = A A0
называется замыканием множества A.
Таким образом, если B – замкнутое множество, то B̄ = B. Для замкнутого и
открытого единичных кругов в плоскости с обычной топологией их замыкания
совпадают и равны замкнутому единичному кругу.
Определение 1.17 . Точка x0 множества A в топологическом пространстве
(X, τ ) называется изолированной, если она имеет окрестность, не содержащую других точек из A.
Понятно, что понятие изолированной точки в определенном смысле противоположно понятию предельной точки.
Определение 1.18 . Точка x называется граничной для множества A ⊂ X
из топологического пространства (X, τ ), если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка из A и хотя бы одна точка из X\A. Множество
всех граничных точек множества A называется границей этого множества
и обозначается ∂A.
Для замкнутого и открытого единичных кругов в плоскости с обычной топологией их границы совпадают и равны единичной окружности.
1.4
Непрерывные отображения и задачи топологии
Пусть задано отображение F : X → Y , где X и Y – топологические пространства с топологиями, соответственно, τ и σ. Поскольку мы ввели определение
окрестности точки в топологическом пространстве, мы можем дать определение непрерывности F в точке полностью Определению 1.2.
Определение 1.19 . Отображение F называется непрерывным в точке x ∈
X, если для любой окрестности U ∈ σ точки f (x) в Y существует окрестность V ∈ τ точки x в X такая, что из того, что точка x0 принадлежит V
следует, что f (x0 ) принадлежит U .
Определение 1.20 . Отображение, непрерывное в каждой точке x ∈ X, называется непрерывным на X.
11
В случае, когда топологическое пространство (X, τ ) зафиксировано, мы будем называть отображения просто непрерывными, не указывая X.
Непрерывные отображения характеризуются следующим свойством.
Теорема 1.21 . Отображение F : X → Y непрерывно тогда и только тогда,
когда для любого открытого множества U ∈ σ пространства Y его прообраз
V = F −1 (U ) принадлежит τ , т.е. является открытым множеством топологического пространства X.
Доказательство. Пусть F непрерывно, т.е. удовлетворяет Определению
1.20. Выберем открытое множество U в Y . Поскольку U – окрестность каждой
своей точки y = F (x), x ∈ V = F −1 (U ), то по Определению 1.19 каждое x имеет
окрестность Vx , такую, что F (Vx ) ⊂ U . Из последнего включения, в частности,
следует, что Vx ⊂ V , так как по определению V есть множество всех точек x из
X, таких, что F (x) ∈ U . Тогда V = ∪x∈V Vx . Действительно, так как каждое x
принадлежит своему Vx , V = ∪x∈V Vx содержит все x, т.е. включает в себя V . С
другой стороны, так как все Vx содержатся в V , то и их объединение содержится
в V . Из двух включений V ⊂ ∪x∈V Vx и ∪x∈V Vx ⊂ V следует равенство V =
∪x∈V Vx . Таким образом, V есть объединение открытых множеств Vx , то есть
оно само открыто по свойству (ii) топологии.
Теперь пусть для любого открытого множества U топологического пространства Y (т.е. U ∈ σ множество V = F −1 (U ) открыто в X (т.е. принадлежит τ ).
Покажем, что выполнено Определение 1.19 в каждой точке x ∈ X. Выберем
произвольную окрестность UF (x) точки F (x) в Y . Это открытое множество и
поэтому Vx = F −1 (UF (x) ) открыто в X и при этом по построению F (Vx ) = UF (x) .
Итак, для любой окрестности UF (x) точки F (x) существует окрестность Vx точки
x такая, что F (Vx ) содержится в UF (x) , т.е. выполнено Определение 1.19. 2
Теорема 1.21 дает простой критерий непрерывности отображений топологических пространств. Он очень полезен даже для случая числовых функций,
хотя и не входит в традиционный стандартный курс математического анализа.
Теорема 1.21 также позволяет строить новые топологии следующим образом.
Пусть задан некоторый класс отображений {F } из множества X в числовую
прямую R с обычной топологией (или в любое другое топологическое пространство – в этом случае конструкция аналогична). Зададим набор τ подмножеств
в X, включив туда множества вида F −1 (U ) для всех открытых множеств U в R
и для всех отображений F из {F }, все их объединения и конечные пересечения,
а также все X и пустое множество. Полученный набор τ будет топологией. При
этом по Теореме 1.21 из построения следует, что все отображения из {F } будут
непрерывными! Подобные топологии часто используются и оказываются весьма
полезными.
Определение 1.22 . Отображение F из топологического пространства X в
топологическое пространство Y называется гомеоморфизмом, если выполнены следующие три условия:
(i) F непрерывно;
12
(ii) F взаимно однозначно (т.е. для любого y ∈ Y существует x ∈ X такое,
что F (x) = y, и указанное x единственно; в частности существует обратное
отображение F −1 : Y → X);
(iii) отображение F −1 непрерывно.
Если существует гомеоморфизм F : X → Y , то говорят, что X и Y
гомеоморфны друг другу. В этом случае мы можем наложить X на Y без самопересечений и разрывов, приклеивая x ∈ X к F (x) ∈ Y . Так что получается,
что X и Y устроены одинаково.
Понятия гомеоморфизма и гомеоморфности являются центральными для
многих разделов топологии, в которых изучаются характеристики, описывающие гомеоморфные пространства. Гомеоморфные пространства устроены одинаково, поэтому принято их не различать, т.е. считать разными экземплярами
одного и того же объекта. Существует крылатая фраза, что тополог (математик, занимающийся топологией) – это человек, не отличающий бублик от
чайной чашки (задача: постройте гомеоморфизм между бубликом и чашкой с
одной ручкой!). Это означает, что наиболее общие (топологические) свойства
бублика и чашки одинаковы (они телесны и имеют одну дырку).
Другие разделы топологии изучают характеристики непрерывных отображений и некоторые другие. При этом часто получаются результаты, важные для
приложений. Например, удается вычислить некоторые характеристики непрерывных отображений, входящих в определенные уравнения, которые показывают имеет ли это уравнение решение. Это очень важно в случаях, когда явно
решить уравнение невозможно (не удается найти формулу для решения).
1.5
Аксиомы отделимости
Итак, в произвольном топологическом пространстве мы можем (в определенных пределах) работать так же успешно, как на числовой прямой и этим топологические пространства похожи друг на друга. Однако каждое топологическое
пространство обладает специфическими свойствами, которые иногда резко отличаются от свойств числовой прямой.
Выделяют 5 так называемых аксиом отделимости. Отметим, что числовая
прямая с обычной топологией удовлетворяет всем 5 аксиомам. Пространства,
удовлетворяющие только некоторым из них, естественно, отличаются от нее
своими свойствами. Итак,
Аксиома T0 . Для любых двух не совпадающих точек хотя бы одна из них
имеет окрестность, не содержащую другую точку.
Аксиома T0 называется Аксиомой Колмогорова.
Очевидно, что для тривиальной топологии Аксиома T0 не выполняется: в
этой топологии есть ровно одно непустое открытое множество – все X, поэтому
все X будет единственной возможной окрестностью для любой точки, и для
произвольной пары точек их "любые"окрестности просто совпадают.
Все остальные пространства, описанные выше, этим свойством обладают
(докажите!). Например, рассмотрим R с правой топологией. Выберем две точки
x 6= y в R. Одно из этих чисел больше другого, пусть для определенности x < y.
13
Значит существует a такое, что x < a < y. Тогда окрестность (a, ∞) точки y в
правой топологии не содержит точку x.
Аксиома T1 . Для любых двух не совпадающих точек каждая из них имеет
окрестность, не содержащую другую точку.
Нетрудно видеть, что пространство, удовлетворяющее T1 , удовлетворяет и
T0 , а не удовлетворяющее T0 , не удовлетворяет и T1 . Так что пространство с
тривиальной топологией не удовлетворяет T1 . Числовая прямая с правой топологией тоже не удовлетворяет T1 . Действительно, пусть x < y. Тогда, взяв
x < a < y, мы получим, что (a, +∞) содержит y (т.е. является его окрестностью)
и не содержит x (отсюда следует выполнение T0 ). Однако для любого b < x интервал (b, +∞) содержит и x, и y, т.е. любая окрестность точки x содержит и
y.
Отметим, что числовая прямая с топологией Зарисского удовлетворяет T1 .
Действительно, для x 6= y окрестностью точки x, не содержащей y, является
дополнение R\y, а окрестностью точки y, не содержащей x, является R\x.
Легко видеть, что прямая с обычной топологией удовлетворяет T1 .
Теорема 1.23 Если топологическое пространство (X, τ ) удовлетворяет аксиоме T1 , то любая его точка является замкнутым множеством.
Доказательство. Выберем точку x ∈ X. Тогда по аксиоме T1 любая точка
y ∈ X, y 6= x имеет окрестность
Uy такую, что x ∈
/ Uy . Иными словами, ∀Uy ⊂
S
X\x и поэтому X\x ⊃
Uy . С другой стороны, X\x есть объединение своих
y∈(X\x)
точек y, каждая
из которых содержится в своей окрестности Uy . Следовательно,
S
S
X\x ⊂
Uy . Из указанных дввключений следует, что X\x =
Uy , то
y∈(X\x)
y∈(X\x)
есть является открытым множеством как объединение открытых множеств Uy .
Значит x – замкнутое множество, так как дополнение до него открыто. 2
Приведем пример, показывающий, что в пространстве, не удовлетворяющем
аксиоме T1 , точка может быть незамкнутым множеством.
Утверждение 1.24 . В правой топологии на прямой замыкание одноточечного мжества {a} равно (−∞, a].
Доказательство. Пусть b < a. Тогда любая окрестность точки b в правой
топологии есть множество вида (c, +∞), где c < b. Поскольку b < a, (c, +∞)
содержит a, то есть любая окрестность точки b содержит точку a из множества
{a}. Таким образом, b – предельная точка множества {a}. Если d > a, то найдется точка u такая, что a < u < d. Значит окрестность (u, ∞) точки d не содержит
точку a, то есть d не является предельной точкой множества {a}. Таким образом, {a}0 = (−∞, a) и замыкание множества {a} равно (−∞, a) ∪ a = (−∞, a].
2
Аксиома T2 . Для любых двух не совпадающих точек у каждой из них
можно выбрать по окрестности так, чтобы эти окрестности не пересекались.
Аксиома T2 называется аксиомой Хаусдорфа, а пространства, для которых
она выполняется, называются хаусдорфовыми.
14
Понятно, что из выполнения T2 следует выполнение T1 , а если не выполняется T1 , то не выполняется и T2 .
Числовая прямая с топологией Зарисского не удовлетворяет T2 . Действительно, поскольку в этой топологии открытое множество определяется как множество, дополнение до которого состоит из конечного числа точек, а на прямой
число точек бесконечно, то любые два открытых множества (в том числе, любые
две окрестности) пересекаются по бесконечному числу точек.
Очевидно (покажите!), что прямая с обычной и с дискретной топологиями
удовлетворяют T2 .
Для топологического пространства, удовлетворяющего аксиоме T2 , корректно определено понятие предела последовательности.
Определение 1.25 Точка x0 топологического пространства (X, τ ) называется пределом последовательности xn , если для любой окрестности U точки x0
существует номер N такой, что для любого n > N точка xn принадлежит
окрестности U .
Корректность понятия предела в пространстве, удовлетворяющем асиоме
T2 , вытекает из следующего утверждения.
Теорема 1.26 Пусть пространство (X, τ ) удовлетворяет аксиоме T2 и последовательность его точек xn имеет предел. Тогда этот предел единственный.
Доказательство. Предположим противное. Пусть две точки x0 6= y0 являются пределами последовательности xn . Тогда по аксиоме T2 существуют
непересекающиеся окрестности Ux0 точки x0 и Uy0 точки y0 . По определению
предела для окрестности Ux0 существует номер N такой, что при n > M все
xn принадлежат Ux0 . Поскольку Ux0 и Uy0 не пересекаются, отсюда следует, что
при n > N ни одна точка xn не принадлежит Uy0 . Полученное противоречие
доказывает теорему. 2
Приведем пример, показывающий, что для пространства, не удовлетворяющего аксиоме T2 , у последовательности может быть несколько предельных
точек, удовлетворяющих определению предела. Как отмечено выше, числовая
прямая с топологией Зарисского не удовлетворяет аксиоме T2 .
Утверждение 1.27 . В топологии Зарисского для любой окрестности любой
точки x ∈ R существует число N такое, что любой член натурального ряда,
больший N , принадлежит этой окрестности.
Доказательство. Зафиксируем произвольную окрестность U произвольной
точки x. По определению топологии Зарисского, дополнение U до R состоит
из конечного числа точек. Поскольку в натуральном ряду бесконечное число
точек, отсюда следует, что в U содержится бесконечное число его точек, то есть,
начиная с некоторого конечного номера N , все натуральные числа, большие N ,
принадлежат U . 2
Аксиома T3 . Для любого замкнутого множества и любой точки, не принадлежащей этому множеству, у множества и точки можно выбрать по
окрестности так, чтобы эти окрестности не пересекались.
15
Окрестностью множества A мы называем любое открытое множество, в котором содержится A. Отметим, что из выполнения T3 Аксиома T2 следует только
в том случае, если точка оказалась замкнутым множеством, т.е. в общем случае
из T3 не следуют предыдущие аксиомы. Поэтому вводится новое определение.
Определение 1.28 . Топологическое пространство (X, τ ), удовлетворяющее
аксиомам T1 и T3 , называется регулярным.
Напомним, что если выполняется T1 , то любая точка является замкнутым
множеством. Поэтому из регулярности пространства вытекает выполнение аксиомы T2 .
Аксиома T4 . Для любых двух непересекающихся замкнутых множеств у
каждого из них можно выбрать по окрестности так, чтобы эти окрестности не пересекались.
Из выполнения T4 также не следует выполнение предыдущих аксиом – по
той же причине.
Определение 1.29 . Если топологическое пространство (X, τ ), удовлетворяет аксиомам T1 и T4 , оно называется нормальным.
Поскольку из выполнения T1 следует, что любая точка является замкнутым
множеством, нормальное пространство является регулярным.
Обычная и дискретная топологии удовлетворяют аксиомам T0 – T4 , и в них
не существует столь экзотических примеров. Однако не следует думать, что
дискретная топология очень похожа на обычную. Напомним, что в дискретной
топологии открытым является любое множество, т.е., в частности, любая точка
x является сама своей окрестностью, в которой нет никаких других точек, кроме нее самой. Поэтому в дискретной топологии вообще не бывает предельных
точек.
1.6
Аксиомы счетности
Имеется еще одна важная система аксиом, относительно которых, кстати, различаются обычная и дискретная топологии на числовой прямой.
Определение 1.30 Совокупность окрестностей точки x топологического
пространства называется базой системы всех окрестностей точки x, если в
каждой окрестности точки x содержится некоторая окрестность из этой
совокупности.
Определение 1.31 Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, если система всех окрестностей каждой
точки обладает счетной базой, т.е. базой, состоящей из счетного числа множеств.
Числовая прямая с обычной топологией удовлетворяет первой аксиоме счетности. Для точки x счетная база ее системы всех окрестностей есть набор множеств {(x − ε, x + ε)}, где ε – рациональные числа.
16
Определение 1.32 . Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, если топология этого пространства имеет
счетную базу, т.е. базу, состоящую из счетного числа множеств.
Обычная топология на прямой имеет счетную базу: это ε-окрестности с рациональным ε, центрами которых являются рациональные точки (как известно,
множество рациональных чисел счетно). Дискретная топология на прямой не
имеет счетной базы: в любую базу этой топологии должны входить все точки
прямой, а, как известно, это множество более, чем счетно.
Определение 1.33 Множество A топологического пространства (X, τ ) называется всюду плотным, если замыкание множества A совпадает со всем
X.
Определение 1.34 Топологическое пространство (X, τ ) называется сапарабельным, если в X содержится не более, чем счетное всюду плотное множество.
Числовая прямая с обычной топологией сепарабельна. Счетное всюду плотное множество в нем – это множество Q всех рациональных чисел.
Теорема 1.35 Топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, сепарабельно.
Доказательство. Пусть {Sα } – не более, чем счетная база топологического
пространства (X, τ ), удовлетворяющего второй аксиоме счетности. Выберем в
каждом Sα произвольную точку xα ∈ Sα . По построению множество {xα } этих
точек не более, чем счетно. Покажем, что замыкание этого множества совпадает
с X. Выберем произвольную точку x ∈ X. Если x ∈ {xα }, то x по определению
принадлежит замыканию этого множества. Покажем, что если x ∈
/ {xα }, то x –
предельная точка этого множества. Выберем произвольную окрестность U этой
точки. По теореме 1.5 существует некоторое Sα из базы такое, что x ∈ Sα ⊂ U .
Тогда по построению в U содержится точка xα из {xα }, не равная x. 2
1.7
Связность
Понятие связности пространства формализует наглядное свойство множества
"состоять из одного куска".
Определение 1.36 . Топологическое пространство называется несвязным,
если его можно представить в виде объединения двух непустых открытых
непересекающихся множеств, и связным в противном случае.
Понятие связности распространяется также на подмножества топологического пространства. Подмножество является связным (несвязным), если оно
связно (соответственно, несвязно) как топологическое подпространство с индуцированной топологией. В частности, это означает, что подмножество несвязно, если его можно покрыть двумя непустыми непересекающимися открытыми
17
множествами объемлющего топологического пространства, и связно, если этого
сделать нельзя.
Несвязное множество распадается в объединение свои максимальных связных подмножеств, то есть таких, что каждое из них связно и не содержится ни
в каком другом связном подмножестве. Указанные максимальные связные подмножества называются компонентами связности или связными компонентами.
Теорема 1.37 Пусть (X, τ ) – связное топологическое пространство и F :
X → Y – непрерывное отображение в топологическое пространство (Y, σ).
Тогда образ F (X) ⊂ Y связен.
Доказательство. Предположим противное, пусть F (X) несвязно. Значит
это подпространство топологического пространства (Y, σ) с индуцированной топологией можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых в индуцированной топологии множеств U1 и U2 . Тогда по Теореме 1.21 их прообразы F −1 (U1 ) и F −1 (U2 ) являются открытыми множествами.
При этом, поскольку U1 и U2 не пусты и не пересекаются, F −1 (U1 ) и F −1 (U2 )
также не пусты и не пересекаются. По построению X = F −1 (U1 ) ∪ F −1 (U2 ), то
есть X несвязно. Полученное противоречие завершает доказательство. 2
Среди связных пространств выделяют подкласс пространств, более удобный
в приложениях. Это так называемые линейно связные пространства. Дадим
необходимые определения.
Определение 1.38 Непрерывным путем, соединяющим точки x0 и x1 топологического пространства (X, τ ), называется непрерывное отображение f отрезка [0, 1] числовой прямой с обычной топологией в (X, τ ) такое, что f (0) =
x0 и f (1) = x1 .
Определение 1.39 Топологическое пространство (X, τ ) называется линейно связным, если любые его две точки можно соединить непрерывным путем.
Теорема 1.40 Линейно связное пространство связно.
Доказательство. Предположим противное. Пусть пространство X линейно
связно, но не связно, то есть представимо в виде объединения двух непустых
непересекающихся открытых множеств U0 и U1 . Выберем x0 из U0 и x1 из U1 .
Пусть f – непрерывный путь, соединяющий x0 с x1 , который существует по
условию. Тогда [0, 1] = f −1 (U0 ) ∪ f −1 (U1 ), где f −1 (U0 ) и f −1 (U1 ) непересекающиеся непустые открытые множества, то есть отрезок [0, 1] несвязен. Полученное
противоречие завершает доказательство. 2
Покажем, что связные пространства не обязательно линейно связны.
В R2 рассмотрим множество, являющееся объединением отрезка [−1, 1] на
оси ординат и графика функции y = sin x1 . На этом множестве рассматривается топология, индуцированная из обычной топологии в R2 . Очевидно, что это
множество связно. Однако точку на отрезке и точку на графике невозможно
соединить непрерывным путем.
18
Теорема 1.41 Пусть (X, τ ) – линейно связное топологическое пространство
и F : X → Y – непрерывное отображение в топологическое пространство
(Y, σ). Тогда образ F (X) ⊂ Y линейно связен.
Действительно, если f – непрерывный путь, соединяющий точки x0 и x1 в
X, то F ◦ f – непрерывный путь, соединяющий F (x0 ) и F (x1 ) в F (X).
1.8
Компактность
Важным свойством является компактность топологического пространства.
Определение 1.42 Набор множеств
S {Uα } называется покрытием топологического пространства (X, τ ), если Uα = X.
α
Если все множества, входящие в покрытие, являются открытыми, то
этот набор называется открытым покрытием.
Подпокрытием покрытия {Uα } называется набор множеств {Uβ } такой,
что каждое Uβ входит в покрытие {Uα }, и при этом набор {Uβ } тоже является покрытием.
Определение 1.43 Топологическое пространство называется компактным,
если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.
Понятие компактности распространяется на подмножества топологического пространства – в этом случае указанное подмножество рассматривается как
подпространство с индуцированной топологией. Тогда, учитывая определение
индуцированной топологии, под открытым покрытием подмножества A в топологическом пространстве
S (X, τ ) можно понимать набор {Uα } открытых множеств в (X, τ ) такой, что Uα ⊃ A. Понятие подпокрытия вводится аналогично.
α
Наиболее известный пример компактного пространства – замкнутый промежуток числовой прямой. Его компактность доказана в известной лемме ГейнеБореля.
Теорема 1.44 Пусть (X, τ ) – компактное топологическое пространство и
F : X → Y – непрерывное отображение в топологическое пространство (Y, σ).
Тогда образ F (X) ⊂ Y компактен.
Доказательство. Пусть {Uα } – открытое покрытие множества F (X). Тогда,
в силу непрерывности F и определения прообраза, набор {F −1 (Uα )} является
открытым покрытием пространства X. Так как X компактно, из указанного
покрытия можно выделить конечное подпокрытие {F −1 (Ui )}, i = 1, . . . , k. Очевидно, что {Ui } – подпокрытие открытого покрытия {Uα }, которое конечно по
построению. 2
19
Глава 2
Многообразия
2.1
Определение поверхности
Чтобы задать поверхность M в трехмерном пространстве, надо прежде всего задать множество в R3 , называемое носителем, для которого выполняются
дополнительные свойства. Зафиксируем это обстоятельство.
Шаг (1П). В трехмерном пространстве выбрано множество M , называемое носителем поверхности.
Теперь перейдем к описанию условий, которым должен удовлетворять носитель. Напомним, что гомеоморфизм – это отображение, для которого выполнены 3 свойства: а) оно взаимно однозначно; б) оно непрерывно; в) обратное к
нему отображение также непрерывно (отметим, что существование обратного
отображения следует из взаимной однозначности).
Условие (2П). Для каждой точки x из M существует ее окрестность U
в M и гомеоморфизм r(u, v) некоторого открытого круга V на U , где u и v
– координаты на V . Пара (V, r) называется картой. Набор карт, такой, что
каждая точка из M попадает хотя бы в одну карту, называется атласом.
Поясним все это на примере поверхности земного шара. Для некоторой точки земной поверхности выберем достаточно малую ее окрестность U такую,
что ее целиком можно сфотографировать с самолета или в крайнем случае
со спутника. Понятно, что подобная окрестность существует. Фотография V
окрестности U вместе с проекцией V на U (обратная операция по отношению
к фотографированию, это и есть r(u, v) ) и является картой. Действительно,
каждой точке в U соответствует единственная точка из V и наоборот, и соответствие точек из U точкам из V непрерывно так же, как и обратное соответствие.
При этом карта зависит не только от выбора области U , но и от выбора метода фотографирования, т.е. включение r(u, v) в понятие карты необходимо. В
точном соответствии с географическими терминами набор карт, описывающих
всю земную поверхность, называется атласом земного шара. U и V можно не
различать, полагая, что мы растянули V и наложили на U . Отметим, что прямые координатные линии в V при переходе в U искривятся, но не перестанут
исполнять роль координат. Их называют криволинейными координатами.
Для того, чтобы описать оставшееся (последнее) условие, нам понадобится
понятие диффеоморфизма. Рассмотрим некоторое отображение F , действую20
щее из области W n-мерного пространства E в N -мерное пространство G. Это
означает, что каждый вектор X из W имеет n координат: X = (x1 , x2 , ..., xn ), а
F (X), принадлежащий G, имеет N координат: F (X) = (y 1 , y 2 , ..., y N ), и при
этом каждое y i является функцией от x1 , x2 , ..., xn . Отображение F называется c∞ -гладким (или просто гладким), если для каждого y i существуют и
непрерывны все его частные производные любого порядка (часто вместо слова гладкое говорят бесконечно дифференцируемое). Отображение называется
C ∞ -диффеоморфизмом, если оно – гомеоморфизм, и к тому же оно гладко и
обратное к нему гладко.
Условие (3П). Гомеоморфизм r(u, v) является C ∞ -диффеоморфизмом.
Здесь необходимы некоторые пояснения. Отображение r(u, v) действует из
области V двумерного пространства в трехмерное пространство, и таким образом для него применимо данное выше определение гладкости. С обратным
отображением r−1 ситуация сложнее. Оно определено только на U , которое не
является областью в трехмерном пространстве (напомним, что U выбрано как
окрестность точки на M ). Поэтому для r−1 мы требуем существование и непрерывность всех частных производных только по направлениям вдоль M (остальные просто не определены).
Задание гладкой поверхности завершено. Однако для дальнейшего (да и
для лучшего понимания построения) нужно ввести еще одно понятие. Рассмотрим некоторый атлас поверхности M . Так как его карты покрывают все M , то
некоторые его карты пересекаются, т.е. некоторые точки из M попадают сразу
в несколько карт. Например, в атласе земного шара карта европейской части
России обязательно включает кусочек Украины и наоборот, то есть территории
по обе стороны границы Украины с Россией входят как минимум в две карты
атласа. Формально эта ситуация описывается следующим образом. Пусть имеются с одной стороны, U1 и V1 , связанные посредством r1 (u1 , v1 ), и, с другой
стороны, U2 и V2 , связанные посредством r2 (u2 , v2 ), и при этом U1 и U2 имеют
непустое пересечение – область Ω в M . Обозначим область r1−1 (Ω) в V1 через
Ω1 и, соответственно, r2−1 (Ω) в V2 через Ω2 . Рассмотрим сложное (составное)
отображение r2−1 (r1 ), переводящее Ω1 на Ω2 , т.е. сначала r1 переводит Ω1 на Ω
, а затем r2−1 – Ω на Ω2 . Отображение r2−1 (r1 ) называется заменой координат.
Действительно, для точек из Ω оно преобразует их координаты (u1 , v1 ), заданные посредством r1 в V , в их же координаты (u2 , v2 ), заданные посредством r2
вV .
Свойство (3’П). Для любых пар пересекающихся карт соответствующие
замены координат являются гладкими отображениями.
Утверждение (3’П) следует из того, что и r1 , и r2−1 по (3П) являются гладкими, то есть сложное отображение r2−1 (r1 ) также гладко.
Подведем итог. Чтобы задать гладкую двумерную поверхность в трехмерном
пространстве, надо осуществить шаг (1П) – задать множество, для которого
бы выполнялись условия (2П) и (3П), и тогда, в частности, будет выполнено
свойство (3’П).
21
2.2
Многообразия. Внутренняя и внешняя геометрия
Многие задачи физики, механики и других наук, а также некоторых разделов
математики формулируются как задачи на поверхности некоторой размерности
n в пространстве "большой"размерности N . При этом оказывается, что наличие
пространства, в котором лежит поверхность, не помогает, а наоборот мешает
исследователям. Например, задача о движении твердого тела с закрепленной
точкой может быть сведена к задаче на 3-мерной поверхности в 9-мерном пространстве. Мало того, что поверхности в 9-мерном пространстве трудно представить себе наглядно, но к тому же в этом случае движение надо будет описывать 9 уравнениями (по числу координат в пространстве), тогда как если бы
мы научились работать на поверхности самой по себе, уравнений было бы всего
три (по числу координат на поверхности).
В связи с этим (и по многим другим внутриматематическим причинам) было
создано понятие гладкого многообразия, которое можно представлять себе как
"поверхность, которая никуда не вложена "вынута из пространства". Несмотря
на кажущуюся парадоксальность этой фразы, она имеет строгий математический смысл (см., например, Теорему 2.1 Уитни ниже). Этот параграф посвящен
описанию конструкции многообразия и его простейших свойств.
Модифицируем конструкцию поверхности так, чтобы обойтись без использования объемлющего пространства. Как в (1П), рассмотрим некоторое множество M . Необходимо сразу потребовать, чтобы это множество удовлетворяло
некоторым дополнительным свойствам, поскольку нужно, чтобы для множества M было осмысленным условие типа (2П). Для этого надо хотя бы, чтобы
было корректно определено понятие непрерывного отображения со значениями
в M , понятие окрестности точки в M и т. д.
Современной математике известно, что минимальное условие на множество,
при выполнении которого указанные понятия корректно определены, состоит в
том, что множество должно быть топологическим пространством. В частности,
если M – топологическое пространство, то мы можем иметь дело с окрестностями точек и определено понятие гомеоморфизма и т.д. Во всяком случае,
множество, лежащее в трехмерном пространстве, наследует топологию, то есть
является топологическим подпространством в R3 , причем обладающим многими дополнительными свойствами (напомним, например, что R3 удовлетворяет
всем аксиомам отделимости, т.е., в частности, нормально и имеет счетную базу
– все эти свойства наследуются). Часть из указанных свойств нам необходима. Потребуем, чтобы для M выполнялась Аксиома T2 (т.е., чтобы M было
хаусдорфовым топологическим пространством) и чтобы M имело счетную базу. Без выполнения этих свойств дальнейшая конструкция будет корректной,
однако вместо поверхности, которая "никуда не вложена может получиться совершенно чудовищный сложно устроенный объект.
Итак, шаг (1П) заменяется на
Шаг (1М). Задано хаусдорфово топологическое пространство M .
После сказанного понятно, что второй шаг изменяется лишь немного. На-
22
помним, что мы хотим определить понятие многообразия произвольной размерности n (не только 2, как выше). Так что аналог условия (2П) имеет вид:
Условие (2М). Для каждой точки x из M существует ее окрестность U
в M , открытый шар V в линейном пространстве размерности n и гомеоморфизм ϕ шара V на U . Пара (V, ϕ) называется картой. Набор карт такой, что
каждая точка из M попадает хотя бы в одну карту, называется атласом.
Наконец, мы добрались до завершающего шага и обнаруживаем, что никакого аналога условия (3П) в рассматриваемой нами ситуации в принципе не
может быть. Действительно, понятие дифференцируемости (гладкости) и производной вообще определено только для отображений областей линейных пространств (например, для отображений из области двумерного пространства в
трехмерное пространство, как выше), в то время как сейчас мы имеем дело
с отображением из области V n-мерного пространства в топологическое (но
не линейное!) пространство M . Поэтому мы не можем наложить на ϕ условие
гладкости, т.е. потребовать, чтобы ϕ было диффеоморфизмом.
Однако аналог утверждения (3’П) может иметь место. Рассмотрим U и V ,
связанные посредством ϕ , и U 0 и V 0 , связанные посредством ψ , и, как и выше,
для Ω = U ∩U 0 обозначим ϕ−1 (Ω) в V через Ω1 и, соответственно, ψ −1 (Ω) в V 0 через Ω2 . Замена координат ϕ−1 (ψ) действует из Ω2 в Ω1 , то есть из одной области
n-мерного пространства в другую, и поэтому это сложное отображение может
быть дифференцируемо несмотря на то, что по отдельности для составляющих
его отображений понятие дифференцируемости не определено. Оказывается,
гладкости замен координат нам достаточно. Сформулируем последнее условие.
Условие (3М). Все замены координат являются гладкими отображениями.
Итак, чтобы задать гладкое многообразие размерности n, надо задать топологическое пространство, обладающее свойством отделимости (шаг (1М)), такое, что выполняются условия (2М) и (3М).
Теорема 2.1 (Уитни). Любое гладкое многообразие размерности n может
быть вложено как гладкая поверхность в линейное пространство размерности 2n + 1.
Отметим, что теорема Уитни не запрещает, чтобы некоторые многообразия
можно было вложить в пространство меньшей размерности. Например, обычная двумерная сфера вложена в трехмерное пространство, тогда как при n = 2
получаем 2n + 1 = 5. Теорема Уитни утверждает, что, каково бы ни было двумерное многообразие, в пятимерное пространство его всегда можно вложить.
Замечание 2.2 . Ниже мы обнаружим, что часть свойств поверхности,
геометрических объектов на поверхности и т.д. можно определить и изучать без использования объемлющего пространства, т.е. они корректно определены и для случая многообразия ("вынимаются из пространства"вместе с
поверхностью). Будем говорить, что все явления такого сорта принадлежат
внутренней геометрии поверхности.
Часть свойств, объектов и т.д. не удается задать без использования объемлющего пространства: они определяются на основе каких-либо объектов,
23
которые имеются на поверхности в пространстве и теряют смысл, если объемлющее пространство отсутствует. Такие понятия относятся к внешней
геометрии поверхности.
В дальнейшем при введении и исследовании нового объекта или свойства
мы будем уделять специальное внимание тому, к внутренней или внешней
геометрии поверхности он относится.
2.3
Примеры многообразий
Приведем несколько примеров двумерных многообразий, некоторые из которых
нельзя вложить в трехмерное пространство.
Двумерная сфера. Рассмотрим в R3 двумерную единичную сферу S 2 .
Впишем ее в куб со стороной длины 2 и спроектируем на каждую грань куба
ближайшую к ней открытую полусферу. Образ проекции на грань представляет из себя открытый круг, который вместе с отображением проекции является
картой. Мы получили 6 карт, которые очевидным образом образуют атлас. Замены координат между картами этого атласа выражаются через тригонометрические функции и поэтому являются гладкими. Таким образом, мы задали на
S 2 структуру гладкого многообразия.
Для полноты изложения опишем еще один атлас на S 2 , который состоит из 2
карт. Поставим S 2 на плоскость южным полюсом. Через точку x на сфере проведем луч, начинающийся в северном полюсе, до пересечения с плоскостью, на
которой стоит сфера. Точку пересечения обозначим ϕ(x). Очевидно, что построенное таким образом отображение ϕ взаимно-однозначно отображает сферу без
северного полюса на всю плоскость. Действительно, обратное отображение ϕ−1
строится следующим образом. Соединим точку y в плоскости отрезком прямой
с северным полюсом сферы. Этот отрезок пересечет сферу ровно в одной точке
x и при этом очевидно, что y = ϕ(x).
Построенное отображение ϕ называется стереографической проекцией. Оно
играет большую роль в теории функций комплексного переменного, где также
часто называется конформным отображением. Вообще, конформным называются отображения, которые сохраняют углы между касательными векторами,
и стереографическая проекция действительно обладает этим свойством.
Напомним, что плоскость гомеоморфна открытому шару, поэтому плоскость
со стереографической проекцией является картой на сфере. Построим вторую
карту аналогичным образом, заменив в описанной выше конструкции южный
полюс на северный и северный на южный. Очевидно, что эти две карты образуют атлас. Методами теории функций комплексного переменного доказывается,
что замены координат между картами этого атласа являются гладкими.
Цилиндр и лист Мёбиуса Рассмотрим на плоскости единичный квадрат
с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (1, 0) и (1, 1). Приклеим сторону между (0, 0)
и (0, 1) к стороне между (1, 0) и (1, 1) так, чтобы точка (0, x) совпала с (1, x)
Получится цилиндр. Теперь приклеим эти же стороны друг к другу так, чтобы
(0, x) совпало с (1, 1 − x) (напомним, что точки x и 1 − x отрезка [0, 1] симметричны друг другу относительно центра отрезка – точки 21 ). То, что получится,
24
называется лентой Мёбиуса.
Рассмотрим бесконечную полосу, заключенную между бесконечными в обе
стороны продолжениями сторон между (0, 0) и (0, 1) и между (1, 0) и (1, 1) и
попробуем произвести аналогичные склейки с полосой. В первом случае получится бесконечный цилиндр, а во втором – бесконечное продолжение ленты
Мёбиуса, известное как лист Мёбиуса. Наглядно видно, что лист Мёбиуса не
вкладывается в трехмерное пространство как поверхность – при продолжении
ленты Мёбиуса возникает самопересечение.
Выбросим из указанного выше квадрата верхнее и нижнее ребро. Полученные из него цилиндр и ленту Мёбиуса назовем открытыми. Внутренность квадрата является картой для открытого цилиндра и открытой ленты Мёбиуса.
Соответствующая этой карте область U не покрывает только линию склейки.
Построим еще одну карту следующим образом. Рассмотрим на плоскости
прямоугольник с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (1 12 , 0) и (1 21 , 1). Как и выше, приклеим отрезок между (0, 0) и (0, 1) к отрезку между (1, 0) и (1, 1) так,
чтобы получился цилиндр. Затем каждую точку с координатами (x, y) из ”не
приклеенного” прямоугольника с вершинами (1, 0), (1 12 , 0), (1, 1) и (1 21 , 1) наложим на точку на цилиндре, полученную из точки (x − 1, y). Тогда внутренность
квадрата с вершинами ( 21 , 0), ( 21 , 1), (1 12 , 0) и (1 21 , 1) тоже является картой для
открытого цилиндра, причем эта карта вместе с предыдущей образуют атлас.
По построению замена координат между указанными двумя картами является
тождественным отображением, которое бесконечно дифференцируемо.
С помощью небольшой модификации приведенной выше конструкции удается задать структуру гладкого многообразия и на открытой ленте Мёбиуса.
Тор, бутылка Клейна и проективная плоскость. Рассмотрим ”замкнутый” цилиндр, построенный выше из квадрата с вершинами в точках (0, 0),
(0, 1), (1, 0) и (1, 1). Склеим верхнее и нижнее основания этого цилиндра, приклеивая друг к другу соответствующие точки верхнего и нижнего основания,
(т.е., точка нижнего основания, получившаяся из точки (x, 0) нижнего ребра,
приклеивается к точке верхнего основания, получившейся из точки (x, 1) верхнего ребра квадрата). Получится поверхность, называемая двумерным тором
(поверхность бублика). Двумерный тор обычно обозначается T 2 .
Построим атлас для тора. Как и для цилиндра, внутренность квадрата с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (1, 0) и (1, 1) является картой на торе. Область
U на торе, соответствующая этой карте, также не покрывает линию склейки,
однако в данном случае эта линия представляет из себя две пересекающиеся
окружности – так сказать, меридиан и параллель на торе. Воспользуемся картой – внутренностью квадрата с вершинами ( 21 , 0), ( 21 , 1), (1 21 , 0) и (1 12 , 1) – которую мы использовали на открытом цилиндре. После сворачивания цилиндра в
тор она превращается в карту на торе, у которой соответствующая область U
покрывает ”параллель” без точки пересечения с ”меридианом” в линии склейки.
Карта, для которой область U покрывает ”меридиан” без точки пересечения с ”параллелью”, – это открытый квадрат с вершинами (0, 12 ), (1, 21 ), (0, 1 12 ) и
1, 1 21 ). При сворачивании в тор точка (x, y) из ”дополнительного” прямоугольника с вершинами (0, 1), (1, 1), (0, 1 12 ) и (1, 1 12 ) приклеивается туда же, куда точка
(x, y − 1) первоначального квадрата.
25
Карта, для которой область U покрывает оставшуюся точку линии склейки,
– это квадрат с вершинами ( 12 , 12 ), (1 12 , 12 ), ( 12 , 1 12 ) и 1 21 , 1 21 ). Точка (x, y) из ранее не
задействованного дополнительного квадрата с вершинами (1, 1), (1 12 , 1), (1, 1 12 )
и (1 21 , 1 12 ) приклеивается туда же, куда точка (x − 1, y − 1) первоначального
квадрата.
Таким образом, мы построили для тора 4 карты, образующие атлас. По построению замены координат между этими картами являются тождественными
отображениями. Так что мы задали на торе структуру гладкого многообразия.
Теперь склеим верхнее и нижнее основания цилиндра, приклеивая друг к
другу точки, получившиеся из точек (x, 0) и (1 − x, 1) нижнего и верхнего ребра
квадрата, соответственно. То что мы получим, называется бутылкой Клейна.
Бутылка Клейна не может быть вложена в R3 без самопересечения. Конструкция атласа на бутылке Клейна осуществляется с помощью простой модификации конструкции атласа на торе.
Наконец, склеим ребра квадрата следующим образом: точку (0, x) на левом
ребре с точкой (1, 1 − x) на правом ребре, а точку (x, 0) на нижнем ребре с
точкой (1 − x, 1) на правом ребре. То, что получится, называется проективной
плоскостью и обозначается RP (2). Структура гладкого многообразия на RP (2)
строится как небольшая модификация структуры гладкого многообразия на
торе. Как и бутылка Клейна, проективная плоскость не вкладывается в R3 без
самопересечений.
Нетрудно видеть, что замкнутый квадрат гомеоморфен замкнутой полусфере. Описанная выше склейка границы квадрата, приводящая к RP (2), для полусферы означает, что каждая точка окружности, ограничивающей полусферу,
склеивается с диаметрально противоположной точкой этой окружности. Как
известно, открытая полусфера гомеоморфна плоскости. Поэтому указанная открытая полусфера в RP (2) называется аффинной картой (в данном случае плоскость рассматривается не как линейное, а как аффинной пространство). Линия
склейки называется бесконечно удаленной прямой. Имеется вариант геометрии
на RP (2), в котором замыкание любой прямой в аффинной карте пересекает бесконечно удаленную прямую в одной точке, т.е. замыкания прямых на плоскости
при вложении ее в RP (2) превращаются в окружности. При этом замыкания
всех параллельных друг другу прямых проходят через одну точку на бесконечно удаленной прямой, а не параллельных – через разные. Замыкание гиперболы
в плоскости при вложении в RP (2) превращается в замкнутую кривую – овал,
как эллипс в плоскости. Использование RP (2) вместо обычной плоскости в различных разделах геометрии (например, в алгебраической геометрии) упрощает
рассмотрение многих задач.
Для полноты изложения укажем, что RP (2) может быть описана еще двумя
способами: как сфера S 2 , у которой склеены диаметрально противоположные
точки и как множество прямых а R3 , проходящих через начало координат. Покажите это.
26
2.4
Дифференцируемые функции на многообразии
Теперь покажем, как можно работать с многообразием вместо поверхности. Для
примера рассмотрим определение дифференцируемости числовой функции в
точке.
Пусть на многообразии M задана числовая функция f , т.е. каждой точке x
из M поставлено в соответствие вещественное число f (x). Предполагается, что
f непрерывна (в §1.4 дано точное определение). Пусть (V, ϕ) – карта. Для точки
x из U рассмотрим точку xV = ϕ−1 x в V (выражение для x в карте). Рассмотрим
числовую функцию f (ϕ) на V . Точке xV она ставит в соответствие число f (x).
Поскольку функция f (ϕ) определена на области V линейного пространства,
для нее (в отличие от f ) применимо понятие производных.
Определение 2.3 . Функция f дифференцируема в точке x, если найдется
карта (V, ϕ) такая, что x лежит в U и функция f (ϕ) дифференцируема в
точке xV .
Покажем, что это определение корректно, то есть не зависит от случайного
выбора карты (V, ϕ). Пусть имеется другая карта (V 0 , ψ), для которой x лежит в
U 0 . Обозначим ψ −1 x через xV 0 . Тогда нетрудно видеть, что в окрестности точки
xV 0 имеет место представление: f (ψ) = f (ϕ(ϕ−1 (ψ))), то есть f (ψ) есть сложная
функция, составленная из f (ϕ) и ϕ−1 (ψ). Поскольку замена координат ϕ−1 (ψ)
– гладкая по определению, а f (ϕ) дифференцируемо в x по условию, то f (ψ) –
дифференцируемо в xV 0 .
27
Глава 3
НАЧАЛА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
3.1
Три классических способа задания поверхности
Во многих учебниках в качестве основных приводятся три способа задания поверхности: неявный, явный (виде графика) и параметрический. В этом разделе
мы опишем эти способы и сравним их с методом, которым мы ввели понятие
поверхности в §2.1.
3.1.1
Неявное задание
Пусть задана числовая функция F : R3 → R. Неявный способ задания поверхности в R3 – это описание ее как множества точек, удовлетворяющих уравнению
F (X) = 0,
(3.1)
или, используя координатное представление X = (x, y, z),
F (x, y, z) = 0.
(3.2)
Например, при F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1 (3.2) задает единичную сферу, при
F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 – одну точку начала координат, а при F (x, y, z) =
x2 +y 2 +z 2 +1 – пустое множество. Иногда может получиться некоторое сложное
множество с самопересечениями.
В R2 уравнение (3.1) в координатах имеет вид
F (x, y) = 0.
Оно может определять кривую (например, единичную окружность, если
F (x, y) = x2 + y 2 − 1,
иногда – весьма сложную кривую с самопересечениями), или точку, или пустое
множество.
28
3.1.2
Явное задание (в виде графика)
Для числовой функции f : D2 :→ R, где D2 – некоторая область в плоскости
xOy, рассмотрим в R3 график функции
z = f (x, y), (x, y) ∈ D2 .
(3.3)
Этот график очевидным образом описывает участок двумерной поверхности в
R3 , расположенный над областью D2 . Поскольку в данном случае зависимость
z от x и y выражена явной функцией f , этот способ задания называется явным.
Другое (эквивалентное) название – задание в виде графика.
Отметим, что в этом случае мы всегда получаем поверхность (а не точку
или пустое множество, как в (А)), но не можем получить, например, целиком
сферу – над точками из D2 в графике лежит ровно одна точка, тогда как в
случае сферы целиком должно лежать две.
Если f : D1 → R, где D1 – область в R, то можно рассмотреть график
функции
y = f (x), x ∈ D1 ,
который описывает кривую в R2 , лежащую над участком D1 оси y.
3.1.3
Параметрическое задание
Здесь мы опишем параметрическое задание 2-мерной поверхности в R3 . На этом
примере нетрудно понять, как этот метод применяется в общей ситуации kмерной поверхности в Rn . Частный случай поверхностей размерности 1, т.е.
кривых, будет рассмотрен в Замечании 3.15 ниже.
Пусть на области Ω в R2 задано отображение r̄ : Ω → R3 . В этом случае
поверхность – это все точки вида


x(u, v)
r̄(u, v) =  y(u, v)  , (u, v) ∈ Ω.
(3.4)
z(u, v)
Координаты (u, v) в Ω "параметризуют"нашу поверхность – отсюда название
способа. Этот способ по форме наиболее близок к методу задания поверхности §2.1. Пара (Ω, r̄) – это почти карта, хотя мы (пока) не потребовали, чтобы
r̄ было гомеоморфизмом. Это снижает эффективность способа при изучении
поверхностей, но повышает его применимость непосредственно для задания
поверхностей. Например, единичная сфера в параметрическом виде задается
вектор-функцией r̄ вида


cos u cos v
r̄(u, v) =  cos u sin v 
sin u
при u ∈ [− π2 , π2 ], v ∈ [0, 2π]. Понятно, что отображение r̄ не является взаимнооднозначным при u = − π2 (при всех v получается южный полюс сферы), при
u = π2 (соответственно, северный полюс) и при v = 0, v = 2π. Однако вся сфера
задана одним выражением, а не несколькими картами и т.д.
29
Утверждение 3.1 Явный способ задания поверхности является, с одной стороны, частным случаем неявного способа, а с другой стороны, – частным случаем параметрического способа.
Действительно, если z = f (x, y), положим
F (x, y, z) = z − f (x, y)
(3.5)
и автоматически получим, что для этого F выполняется (3.2). В двумерном
случае все аналогично.
Параметрический способ задания мы получим следующим образом. Переобозначим координаты в D2 : x через u, y через v, сохранив обозначения x, y, z
для координат в R3 . Зададим r̄(u, v), r̄ : D2 → R3 формулой

 

u
x(u, v)
.
v
(3.6)
r̄(u, v) =  y(u, v)  = 
f (u, v)
z(u, v)
Понятно, что в данном случае роль Ω исполняет D2 . В двумерном случае все
аналогично.
3.2
Гладкие и регулярные поверхности
Для поверхностей, заданных тремя классическими способами, вводятся понятия гладкости и регулярности.
Определение 3.2 labelгладкая При неявном (соответственно, явном или параметрическом) способе задания поверхности говорят, что поверхность гладкая, если F (соответственно, f или r̄) является гладким отображением.
В дальнейшем, если не сказано противоположного, мы всегда будем рассматривать только гладкие поверхности.
Итак, поскольку все поверхности гладкие, мы можем рассмотреть матрицы
Якоби соответствующих отображений F , или f , или r̄. Напомним, что матрица
Якоби – это матрица, составленная из всех частных производных всех координат заданного отображения по всем переменным (аргументам).
Функция F из неявного способа задания принимает значения в числовой
прямой (т.е. в одномерном пространстве) и зависит от 3 (или 2) аргументов.
Поэтому для нее матрица Якоби представляет из себя 1 строку вида
(
∂F ∂F ∂F
)
∂x ∂y ∂z
(3.7)
∂F
или, в двумерном случае, ( ∂F
).
∂x ∂y
Для отображения r̄ матрица Якоби имеет 2 столбца и 3 строки:
 ∂x ∂x 


∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
30

.
(3.8)
Для дальнейшего нам понадобятся следующие векторы, составленные из
частных производных отображения r̄:
 ∂x 
 ∂x 

r̄u = 
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u

,

r̄v = 
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v

.
(3.9)
Очевидно, что векторы (3.9) входят как столбцы в матрицу (3.8).
Определение 3.3 Говорят, что поверхность M , заданная

неявно (соответx0
ственно, параметрически), регулярна в точке m =  y0  ∈ R3 (соответz0
ственно, в точке m = r̄(u0 , v0 )), если в этой точке
матрица
Якоби (3.7)
µ
¶
u0
(соответственно, матрица Якоби (3.8) в точке
∈ Ω) имеет макv0
симальный возможный ранг. Поверхность называется регулярной, если она
регулярна в каждой своей точке.
Отметим, что для (3.7) максимально возможный ранг равен 1 (как для 3мерного, так и для 2-мерного случая), а для (3.8) – для рассматриваемого случая
двумерной поверхности в R3 – равен 2. Поэтому непосредственно из Определения вытекают следующие утверждения:
Утверждение 3.4 labelне0 Гладкая заданная неявно поверхность регулярна
тогда и только тогда, когда хотя бы одно из трех чисел ∂F
, ∂F
, ∂F
отлично
∂x
∂y
∂z
от нуля.
Утверждение 3.5 Гладкая заданная параметрически двумерная поверхность
в R3 регулярна тогда и только тогда, когда векторы r̄u и r̄v (см. (3.9)) линейно
независимы.
Обратимся к поверхностям, заданным явно. Для них не было дано специального определения регулярности, поскольку по Утверждению 3.1 их можно
считать заданными неявно или параметрически. Имеет место также следующее
утверждение.
Утверждение 3.6 Любая поверхность, заданная явно, является регулярной
как в смысле неявного, так и в смысле параметрического способов задания.
Доказательство. Поверхность, заданная в виде графика z = f (x, y) (т.е.
явно), задается неявно посредством функции F вида (3.5), для которой матрица
, ∂f , 1), т.е. ∂F
= 1 6= 0. Первая часть утверждения
Якоби (3.7) имеет вид ( ∂f
∂x ∂y
∂z
доказана.
Та же поверхность задается параметрически формулой (3.6), и для нее матрица Якоби (3.8) очевидным образом приобретает вид


1 0
 0 1 ,
∂f ∂f
∂u ∂v
т.е. имеет ранг 2. 2
31
Лемма 3.7 Пусть поверхность M регулярна в точке m0 ∈ M . Тогда существует окрестность U точки m0 в M такая, что M регулярна в каждой
точке этой окрестности.
Доказательство. Это утверждение нуждается в доказательстве только для
неявного и параметрического способов задания. В обоих этих случаях по определению гладкой поверхности матрица Якоби (3.7) непрерывно зависит от точки m ∈ R3 , в которой она вычислена, и также векторы (3.9) непрерывно зависят
от точки (u, v) ∈ Ω, в которой они вычислены.
Для определенности положим, что в m0 ∈ M ⊂ R3 не равно нулю ∂F
. То∂z
гда по непрерывности та же частная производная не равна нулю в некоторой
окрестности точки m0 в M , которую мы и обозначим через U .
В случае параметрического задания, так как векторы (3.9) линейно независимы в точке m0 = r̄(u0 , v0 ), то по непрерывности они будут линейно независимы и в некоторой окрестности Ω0 точки (u0 , v0 ) в Ω. В этом случае, U = r̄(Ω0 ).
2
Определение 3.8 Окрестность U , введенную в Лемме, будем называть регулярной окрестностью точки m0 в M .
Пусть поверхность M задана параметрически и U = r̄(Ω0 ) – регулярная
окрестность некоторой точки. Без ограничения общности можно считать, что Ω0
является открытым кругом в плоскости переменных (u, v) – так как Ω0 является
окрестностью точки u0 , v0 , то при достаточно малом ε > 0 в Ω0 лежит круг
радиуса ε с центром в (u0 , v0 ). Выберем последний круг в качестве нового Ω0 ,
если старое не является кругом.
Лемма 3.9 На Ω0 отображение r̄ взаимно однозначно.
Доказательство. Предположим противное, пусть имеются две различные
точки (u1 , v1 ) и (u2 , v2 ) в Ω0 для которых r̄(u1 , v1 ) = r̄(u2 , v2 ). Без ограничения
общности можно считать, что v1 = v2 = 0, то есть (u1 , v1 ) и (u2 , v2 ) лежат на
координатной оси u (если это не так, зададим координаты по-другому). Тогда
по теореме Лагранжа 0 = r̄(u1 , 0) − r̄(u2 , 0) = r̄u (u∗ , 0)(u2 − u1 ), где u∗ ∈ (u1 , u2 ).
Так как u1 6= u2 , отсюда следует, что r̄u (u∗ , 0) = 0, т.е. векторы (3.9) не являются
линейно независимыми в точке (u∗ , 0). 2
Следствие 3.10 В условиях Леммы 3.9 пара (Ω0 , r̄) является картой в смысле метода построения поверхности, введенного в §2.1.
Действительно, так как r̄ – гладкое отображение, то из Леммы 3.9 вытекает,
что пара (Ω0 , r̄) является картой.
Итак, на Ω0 матрица (3.8) имеет максимальный ранг, т.е. некоторый ее минор
второго порядка не равен нулю. Пусть для определенности в точке m0 не равен
нулю минор
!
Ã
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
.
(3.10)
Рассмотрим отображение 2 r̄ : Ω0 → xOy, переводящее пару (u, v) ∈ Ω0 в первые
две координаты вектора r̄(u, v). Имеет место следующая
32
Лемма 3.11 При сделанных предположениях отображение 2 r̄ взаимно однозначно.
Доказательство Леммы 3.11 в точности аналогично доказательству Леммы
3.9. Единственная модификация состоит в том, что надо иметь дело не с трехмерным вектором r̄(u, v), а с двумерным 2 r̄(u, v).
Следствие 3.12 В условиях Леммы 3.11 в U из параметрического задания
поверхности можно построить явное задание.
Доказательство. Напомним, что все координаты точек M и, в частности,
z являются функциями u и v: z = z(u, v). Так как 2 r̄ взаимно однозначно на U ,
то u и v являются функциями от x и y и, следовательно, z = z(u(x, y), v(x, y)) =
f (x, y) для некоторой функции f . 2
Лемма 3.13 В достаточно малой регулярной окрестности поверхность, заданную неявно, можно задать в виде графика (т.е. явно).
Доказательство. Здесь мы воспользуемся теоремой о неявной функции,
которая является одним из самых значимых фактов 
математического
анализа.

x0
.
Пусть для определенности в регулярной точке m0 =  y0  не равно нулю ∂F
∂z
z0
Тогда теорема о неявной функции утверждает, что в некоторой достаточно малой окрестности точки (x0 , y0 ) в плоскости xOy можно задать функцию f (x, y)
так, что z0 = f (x0 , y0 ) и F (x, y, f (x, y)) = 0, то есть координата z каждой точки
поверхности из этой окрестности задана как явная функция координат x и y
этой точки. 2
Теорема 3.14 В случае регулярной поверхности все три классические способа
задания локально эквивалентны, т.е. в достаточно малой окрестности каждой точки (i) неявно заданную поверхность можно задать явно и, следовательно, параметрически; (ii) параметрически заданную поверхность можно
представить в явном задании и, следовательно, как заданную в неявном виде.
При этом в окрестности каждой точки корректно определена карта в смысле
задания поверхности §2.1.
Теорема 3.14 вытекает из Леммы 3.13, Следствия 3.12 и Следствия 3.10.
Замечание 3.15 . Кривая как частный случай поверхности. Кривую мы
будем рассматривать как поверхность размерности 1. С помощью явного и
неявного способов задания кривые можно задать только в R2 . Параметрический способ более универсален и с его помощью можно задать кривые и в R2 ,
и в R3 .
Пусть на области Ω в R1 задано отображение r̄ : Ω → R3 . В этом случае
поверхность представляет из себя кривую – это все точки вида


x(t)
r̄(t) =  y(t)  , t ∈ Ω.
(3.11)
z(t)
33
Кривая называется гладкой, если r̄ – гладкое отображение.
Матрица Якоби отображения r̄ в этом случае является столбцом
 0

x (t)
r̄0 (t) =  y 0 (t)  .
(3.12)
0
z (t)
В соответствии с общим понятием регулярной поверхности (см. Определение
3.3), кривая является регулярной, если матрица (3.12) имеет максимальный
возможный ранг, который в данном случае равен 1. Это значит, что хотя
бы одно из чисел x0 (t), y 0 (t) и z 0 (t) не равно нулю, т.е. вектор r0 (t) – ненулевой.
Начиная с этого момента, мы рассматриваем все поверхности и кривые,
заданные параметрическим способом. Если не сказано противное, то все они
считаются гладкими и регулярными. Напомним, это означает, что в области
определения отображения r̄(u, v) задана карта в смысле §2.1.
3.3
Понятия касания и соприкосновения. Касательная плоскость
Для поверхности r̄(u, v) обозначим ее первую производную в точке (u, v) через
r̄0 (u, v), а через r̄00 (u, v) – вторую производную.
Рассмотрим две поверхности r̄0 (u, v) и r̄1 (u, v) и предположим, что r̄0 (0, 0) =
r̄1 (0, 0).
Определение 3.16 Говорят, что r̄0 (u, v) и r̄1 (u, v) касаются, если r̄00 (0, 0) =
r̄10 (0, 0). Если дополнительно r̄000 (0, 0) = r̄100 (0, 0), то говорят, что эти поверхности соприкасаются.
Случай соприкосновения мы изучим более подробно позднее. В этом разделе мы уделим основное внимание касанию. Оказывается, в каждой точке гладкой поверхности можно построить другую (причем стандартную) поверхность,
касающуюся данной. Это касательная плоскость, к описанию которой мы приступаем. Она состоит из векторов, касающихся поверхности в заданной точке,
и каждому нетрудно наглядно ее себе представить. Однако для того, чтобы
работать с этой плоскостью, нужно дать строгие определения.
Определение 3.17 Вектором, касательным к поверхности M в точке m0 ,
будем называть производную X = m0 (t)t=0 любой гладкой кривой m(t) на M ,
такой, что m(0) = m0 ∈ M .
Теорема 3.18 Множество всех векторов, касательных к поверхности M
в точке m0 , является линейным пространством размерности 2.
Доказательство. Для любой кривой m(t) такой, что m(0) = m0 , имеется
ее представление в виде m(t) = r̄(u(t), v(t)). Тогда X = m0 (t)t=0 = r̄u · u0 + r̄v · v 0 ,
34
где r̄u и r̄v введены в (3.9). Таким образом, каждый вектор производной есть
линейная комбинация линейно независимых векторов r̄u и r̄v , т.е. множество
всех таких векторов есть двумерное пространство – плоскость, являющаяся линейной оболочкой r̄u и r̄v . 2
Определение 3.19 Указанное выше линейное пространство, состоящее из
касательных векторов в точке m ∈ M , называется касательным пространством в этой точке и обозначается Tm M .
В случае кривой r̄(t) касательное пространство является прямой, натянутой
на вектор r̄0 (t) в точке r̄(t). Напомним, что условием регулярности кривой является неравенство нулю вектора r̄0 (t). Непосредственно из определения видно,
что эта прямая описывается формулой
ρ̄(λ) = r̄(t) + λr̄0 (t).
3.4
3.4.1
Два специальных типа поверхностей
Линейчатые поверхности
Определение 3.20 Пусть для вещественного параметра u заданы: векторфункция ā(u) в R3 , называемая направляющей, и вектор-функция b̄(u) 6= 0 в
R3 , называемая образующей. Линейчатой поверхностью с направляющей ā(u)
и образующей b̄(u) называется поверхность, заданная выражением:
r̄(u, v) = ā(u) + v b̄(u),
где v ∈ R.
Наглядное описание линейчатой поверхности состоит в следующем: поверхность заполнена прямыми, натянутыми на векторы b̄(u), которые приложены в
точках кривой ā(u).
Если образующая постоянна, т.е. b̄(u) = const, то линейчатая поверхность
называется цилиндром. Прямой круговой цилиндр описывается дополнительными условиями: направляющая является окружностью некоторого радиуса R,
лежащей в некоторой плоскости, а направляющая – постоянный вектор b, перпендикулярный этой плоскости. Без ограничения общности можно считать, что
указанная плоскость – это xOy, а b̄ – единичный вектор, направленный по оси
Oz. Тогда ā(u) = (R cos u, R sin u, 0), b̄ = (0, 0, 1), и цилиндр описывается формулой r̄(u, v) = (R cos u, R sin u, v).
Если направляющая постоянна, т.е. ā(u) = const, то линейчатая поверхность
называется конусом. Прямой круговой конус описывается дополнительными
условиями: образующая является окружностью некоторого радиуса R, лежащей в плоскости, перпендикулярной прямой, натянутой на вектор ā и такой,
что ее центр лежит на пересечении указанной плоскости и указанной прямой.
Отдельно надо рассмотреть случай ā = O. Здесь требуется, чтобы окружность
35
b̄(u) лежала в плоскости, перпендикулярной некоторой прямой, проходящей через точку O, но не содержала точку O, и при этом центр окружности совпадал
с пересечением указанной прямой и указанной плоскости. Тогда без ограничения общности можно считать, что указанная прямая натянута на ось Oz, а
окружность имеет единичный радиус и лежит в плоскости, параллельной плоскости xOy и пересекающей ось Oz в точке (0, 0, k). В этом случае окружность
описывается формулой b̄(u) = (cos u, sin u, k), а конус – (v cos u, v sin u, kv).
3.4.2
Поверхности вращения
В R3 рассмотрим координатную плоскость xOz. Пусть в этой плоскости при u,
принадлежащем некоторому отрезку [a, b], задана кривая
µ
¶
x(u)
2
r̄(u) =
,
z(u)
называемая профилем поверхности. Сама поверхность вращения получается
вращением профиля вокруг оси Oz. Нетрудно получить, что поверхность описывается формулой


x(u) cos v
r̄(u, v) =  x(u) sin v  ,
(3.13)
z(u)
где v ∈ [0, 2π].
Случаи вращения вокруг других осей совершенно аналогичны (понятно, что
профили должны лежать в соответствующих координатных плоскостях).
Нетрудно видеть, что в точках пересечения профиля с осью Oz может нарушаться гладкость поверхности. Кроме того, в тех же точках заведомо нарушается регулярность, а при v = 0, v = 2π отсутствует взаимная однозначность
отображения r̄.
Из других свойств поверхностей вращения нам потребуется следующее
Утверждение 3.21 В регулярных точках поверхности вращения векторы r̄u
и r̄v перпендикулярны друг другу.
Доказательство. По (3.13) имеем
 0



x (u) cos v
−x(u) sin v
r̄u =  x0 (u) sin v  , r̄v =  x(u) cos v  .
z 0 (u)
0
Так что (r̄u , r̄v ) = −x(u)x0 (u) cos v sin v + x(u)x0 (u) sin v cos v = 0. 2
36
Глава 4
МЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
4.1
Длина кривой. Натуральный параметр
Как и ранее, мы будем иметь дело преимущественно с гладкими регулярными
кривыми в R3 . Пусть r̄(t) – такая кривая в R3 . Напомним, это, в частности,
означает, что вектор скорости (т.е. производная) r̄0 (t) 6= 0. Пусть t ∈ [a, b].
Для нахождения длины кривой r̄(t), t ∈ [a, b], мы воспользуемся следующими элементарными физическими соображениями: в случае, когда значение
скорости постоянно, пройденный путь равен значению скорости, умноженному
на прошедшее время. Если же значение скорости переменно, то пройденный
путь равен интегралу от (зависящего от времени) значения скорости по времени.
Под словами
"значение скорости"понимается норма вектора скорости, т.е.
p
kr̄0 (t)k = (r̄0 (t), r̄0 (t)). Таким образом, обозначив длину кривой r̄(t) на [a, b]
через s(r̄(t))|ba , получим выражение
Z b
Z bp
b
0
s(r̄(t))|a =
kr̄ (t)kdt =
(r̄0 (t), r̄0 (t))dt.
(4.1)
a
a
Отметим, что формула (4.1) применима также к кусочно-гладким кривым: в
этом случае длина вычисляется по формуле (4.1) на каждом гладком куске, после чего полученные длины складываются. Если же кривая не гладка, то нужны
дополнительные конструкции. Например, в математическом анализе известно
понятие спрямляемой кривой – непрерывной кривой, для которой длина определена корректно. Но в нашу тему входят только гладкие и кусочно-гладкие
кривые, поэтому на более общей ситуации мы останавливаться не будем.
Подчеркнем следующее важное свойство: длина не зависит от параметризации. Действительно, пройденный путь не зависит от того, с какой скоростью Вы
ехали, на сколько и где останавливались, и т.д. Это "физическое"рассуждение
просто доказывается с помощью замены переменной и соответствующей замены
пределов интегрирования в интеграле (4.1).
На кривой r̄(t) зафиксируем точку (назовем ее "ноль") и направление движения (одно из двух возможных). Введем на этой кривой новый параметр,
откладывая длину дуги кривой от точки "ноль"в положительном направлении
со знаком плюс и отрицательном направлении со знаком минус.
37
Определение 4.1 Построенный параметр называется натуральным и обозначается через s.
Мы также будем употреблять термин "натуральная параметризация"для
обозначения того факта, что на некоторой кривой используется натуральный
параметр.
Обозначение 4.2 Для удобства везде в дальнейшем мы будем обозначать
производную кривой по натуральному параметру s точкой: для кривой r̄(s)
ее производная по s – это r̄˙ , а производные по всем другим параметрам – как
обычно штрихом: r̄0 (t).
Лемма 4.3 Для любой кривой r̄(s) в натуральной параметризации выполняется равенство kr̄˙ (s)k = 1.
Действительно, выбор длины в качестве времени на кривой (а именно в этом
и суть натуральной параметризации) означает, что пройденный путь всегда
равен прошедшему времени. Это и означает kr̄˙ (s)k = 1.
Лемма 4.4 Пусть вектор-функция X(τ ) такова, что норма вектора X(τ )
при всех τ постоянна: kXk = C. Тогда при любом τ вектор производной dτd X(τ )
перпендикулярен вектору X(τ ).
Доказательство. По условию (X(τ ), X(τ )) – скалярный квадрат вектора
X(τ ) – есть величина постоянная, т.е. его производная равна нулю. Тогда,
применяя правила дифференцирования скалярного произведения, получаем:
0 = dτd (X(τ ), X(τ )) = 2( dτd X(τ ), X(τ )). Равенство нулю скалярного произведения векторов и означает, что они перпендикулярны друг другу. 2
Следствие 4.5 Для любой кривой r̄(s) в натуральной параметризации r̄˙ (s)
перпендикулярно ¨r̄(s).
Действительно, по Лемме 4.3 вектор r̄˙ (s) имеет постоянную длину и, следовательно, из Леммы 4.4 вытекает утверждение следствия.
4.2
Первая фундаментальная форма
поверхности
Пусть M – гладкая регулярная поверхность. Рассмотрим касательное пространство Tm M в некоторой точке m ∈ M . Для любых двух векторов X и Y из этого
пространства можно найти их скалярное произведение (X, Y ) в R3 .
Определение 4.6 Сужение скалярного произведения на касательные пространства Tm M , m ∈ M , называется первой фундаментальной формой поверхности M и обозначается I(X, Y ).
38
Поясним Определение 4.6. Оно означает, что в каждом касательном пространстве Tm M введена операция I( , ) скалярного произведения в этом конкретном пространстве, и эта операция определена равенством: I(X, Y ) = (X, Y )
для любой пары векторов X, Y ∈ Tm M , где ( , ) – скалярное произведение в
R3 .
Подчеркнем, что в каждом касательном пространстве задано свое скалярное
произведение: несмотря на то, что все они порождены единым способом из общего скалярного произведения в R3 : их нельзя сравнить между собой, поскольку
нет естественного метода совмещения касательных пространств к поверхности
в разных точках. С помощью I( , ) можно перемножать только векторы, лежащие в одном и том же касательном пространстве, тогда как с помощью ( , )
– любые векторы из R3 . Однако I( , ) может быть записана в терминах внутренних координат поверхности, а ( , ) так записать нельзя. Так что, если мы
"вынем"поверхность из R3 и рассмотрим ее как многообразие, I( , ) "вынется"вместе с поверхностью, в то время как ( , ) останется в R3 (в котором она
только и задана).
Таким образом, I( , ) является объектом из внутренней геометрии поверхности, а ( , ) – из внешней.
I( , ) – симметрическая положительно определенная билинейная форма в
пространстве Tm M , поскольку ( , ) обладает всеми этими свойствами по определению. Поэтому для полного описания действия I( , ) на векторах можно использовать матрицу этой формы. Коэффициенты этой матрицы вводятся обычным для линейной алгебры методом – как скалярные произведения базисных
векторов:
E = I(r̄u , r̄u ) = (r̄u , r̄u ), F = I(r̄u , r̄v ) = (r̄u , r̄v ), G = I(r̄v , r̄v ) = (r̄v , r̄v ).
(4.2)
Для указанных коэффициентов вводятся также универсальные обозначения,
удобные в пространствах произвольной размерности, когда удобнее нумеровать
координаты и базисные векторы. Пусть последние обозначены символами r̄i . Тогда коэффициенты обозначаются I(r̄i , r̄j ) = gij . Таким образом, в нашем случае
E = g11 , F = g12 = g21 , G = g22 .
(4.3)
В матрице коэффициенты расставлены в соответствии с их номерами. Стандартное универсальное обозначение матрицы – (gij ). В нашем случае
µ
¶
EF
(gij ) =
.
(4.4)
FG
Зная коэффициенты (4.2), нетрудно получить выражение для значения I(X, Y )
через координаты векторов X и Y . Пусть X = X 1 r̄u + X 2 r̄v и Y = Y 1 r̄u + Y 2 r̄v .
Тогда, используя линейность формы и формулы (4.2), получаем
I(X, Y ) = X 1 Y 1 (r̄u , r̄u ) + X 1 Y 2 (r̄u , r̄v ) + X 2 Y 1 (r̄v , r̄u ) + X 2 Y 2 (r̄v , r̄v ) =
EX 1 Y 1 + F (X 1 Y 2 + X 2 Y 1 ) + GX 2 Y 2 .
39
(4.5)
Определение 4.7 Квадратичная форма I(X) = I(X, X) называется первой
квадратичной формой поверхности M .
Подчеркнем, что первая квадратичная форма получается при подстановке
в первую фундаментальную форму двух одинаковых векторов, т.е. I(X) равно скалярному квадрату вектора X. Коэффициенты (4.2) называются также
коэффициентами первой квадратичной формы.
Из (4.5) получаем следующее выражение для значения первой квадратичной
формы на векторе X:
2
2
I(X) = E(X 1 ) + 2F X 1 X 2 + G(X 2 ) .
(4.6)
Отметим, что наряду с I для обозначения первой квадратичной формы используются также обозначения ds2 и dr̄2 . Эти различия в обозначениях отражают
различия в подходах, которыми можно прийти к конструкции первой квадратичной формы. Мы будем использовать все три указанные обозначения и в
дальнейшем попытаемся объяснить происхождение последних двух и показать
их естественность.
Введем два оператора du и dv, действующие на векторы по формуле
du(X) = X 1 ,
dv(X) = X 2 .
(4.7)
Используя их, получим операторный вариант формулы (4.6):
dr̄2 = ds2 = I = E du2 + 2F du dv + G dv 2 .
(4.8)
Подставив в (4.8) вектор X, получим (4.6).
Теперь мы можем пояснить происхождение обозначения dr̄2 для первой
квадратичной формы. Cимволом dr принято обозначать абстрактный вектор
с координатами du, dv в разложении по базису r̄u , r̄v . Тогда выражение dr̄2 =
E du2 + 2F du dv + G dv 2 (см. (4.8)) есть формально вычисленный скалярный
квадрат вектора dr̄ (можно также использовать обозначения dr̄2 = I(dr̄)).
Для длины (нормы) kXk вектора X имеет место следующее выражение через первую квадратичную форму как эквивалент скалярного квадрата (см. выше):
p
kXk = I(X)
(4.9)
4.3
Длина кривой и угол между кривыми на поверхности
Попытаемся переписать формулу (4.1) во внутренних терминах поверхности,
т.е. заменив скалярное произведение и норму из R3 , соответственно, первой фундаментальной и первой квадратичной формами. Пусть кривая m(t) на поверхности M имеет представление m(t) = r̄(u(t), v(t)), т.е. m0 (t) = r̄u u0 (t) + r̄v v 0 (t).
Тогда, учитывая приведенное выше выражение (4.9) для нормы вектора, (4.1)
приобретает вид
Z bp
b
I(m0 (t))dt =
s(m(t))|a =
a
40
Z bp
E(m(t)) u0 (t)2 + 2F (m(t)) u0 (t) v 0 (t) + G(m(t)) v 0 (t)2 dt.
(4.10)
a
Формула (4.10) может применяться для вычисления длины кривой на поверхности. Напомним, что коэффициенты первой квадратичной формы зависят
от точки, в которой они вычислены. Поэтому вдоль кривой m(t) они являются
функциями от t (см. (4.10)), что должно учитываться при интегрировании.
Используя систему обозначений математического анализа, получим из (4.10)
p
ds = E(m(t)) u0 (t)2 + 2F (m(t)) u0 (t) v 0 (t) + G(m(t)) v 0 (t)2 dt
или
ds2 = (E(m(t)) u0 (t)2 + 2F (m(t)) u0 (t) v 0 (t) + G(m(t)) v 0 (t)2 ) (dt)2 =
E(m(t)) du(t)2 + 2F (m(t)) du(t) dv(t) + G(m(t)) dv(t)2 .
Последнее равенство проясняет использование символа ds2 для обозначения
первой квадратичной формы (см. (4.8)).
Пусть две гладкие регулярные кривые m1 (t) и m2 (t) пересекаются в точке
t = 0, т.е. m1 (0) = m2 (0) = m0 .
Определение 4.8 Углом между m1 (t) и m2 (t) в точке m0 называется угол
между касательными векторами m01 (0) и m02 (0) в этой точке.
Напомним, что скалярное произведение двух векторов X и Y выражается
формулой (X, Y ) = kXk kY k cos α, где α – угол между векторами X и Y . Учитывая выражение для скалярного произведения и нормы векторов в терминах
первой фундаментальной и первой квадратичной форм (см. выше), нетрудно
получить следующую формулу для косинуса угла α между векторами m01 (0) и
m02 (0):
I(m01 (0), m02 (0))
p
.
cos α = p
I(m01 (0)) I(m02 (0))
4.4
Площадь участка поверхности
Пусть в Ω (области определения отображения r̄) выделена область Ω0 . Введем
обозначение для ее образа: r̄(Ω0 ) = U 0 . Для того чтобы вычислить площадь
участка U 0 на поверхности M , мы используем следующую последовательность
действий.
Прежде всего разобьем Ω0 на маленькие участки линиями, параллельными
координатным осям u и v, с шагом ∆u и ∆v, соответственно. Это даст нам
разбиение участка U 0 на маленькие криволинейные участки. Рассмотрим один
такой участок с вершиной в точке m∗ = r̄(u∗ , v ∗ ), то есть остальные три вершины
имеют представление вида r̄(u∗ + ∆u, v ∗ ), r̄(u∗ , v ∗ + ∆v) и r̄(u∗ + ∆u, v ∗ + ∆v).
Исходя из основных идей и формул дифференциального исчисления, нетрудно видеть, что указанный криволинейный четырехугольник при малых ∆u и ∆v
41
хорошо приближается "прямолинейным"параллелограммом в касательном пространстве Tm∗ M со сторонами r̄u ∆u и r̄v ∆v. По известной формуле элементарной математики площадь последнего параллелограмма равна норме векторного
произведения его сторон: dS = k[r̄u ∆u, r̄v ∆v]k = k[r̄u , r̄v ]k∆u ∆v. Сложим площади всех таких параллелограммов и перейдем к пределу по измельчающимся
разбиениям. Полученный предел (если он существует), с одной стороны, равен
искомой площади S(U 0 ), а с другой стороны, как известно из курса математического анализа, представляет из себя так называемый двойной интеграл:
Z Z
0
k[r̄u , r̄v ]k du dv.
(4.11)
S(U ) =
Ω0
Для преобразования формулы (4.11) к нужному для нас виду нам потребуется следующее техническое утверждение:
√
Лемма 4.9 k[r̄u , r̄v ]k = EG − F 2 , где E G − F 2 – определитель матрицы
(4.4).
Доказательство. По определению векторного произведения имеем
k[r̄u , r̄v ]k = kr̄u k kr̄v k sin α,
где α – угол между векторами r̄u и r̄v . Тогда по формулам элементарной математики, используя нормы и скалярное произведение, получаем
p
p
p
√
k[r̄u , r̄v ]k = kr̄u k2 kr̄v k2 1 − cos2 α = kr̄u k2 kr̄v k2 − kr̄u k2 kr̄v k2 cos2 α
p
√
= (r̄u , r̄u )(r̄v , r̄v ) − (r̄u , r̄v )2 = E G − F 2 .
2
Теорема 4.10 Площадь участка U 0 находится по формуле
Z Z √
0
S(U ) =
E G − F 2 du dv.
Ω0
Теорема 4.10 является следствием формулы (4.11) и Леммы 4.9. Отметим
также, что формула из Теоремы 4.10 отличается от (4.9) тем, что она сформулирована в терминах внутренней геометрии поверхности, т.е. сохраняется и на
многообразиях вне пространства, когда векторное произведение не определено.
42
Глава 5
КРИВИЗНЫ
5.1
Кривизна кривой. Репер Френе
Рассмотрим некоторую кривую r̄(s) в натуральной параметризации. Обозначим
вектор r̄˙ (s) через τ̄ (s). По Лемме 4.3 kτ̄ (s)k = 1, поэтому этот вектор называется
единичным вектором касательной.
Вектор ¨r̄(s) = τ̄˙ (s) по Следствию 4.5 перпендикулярен вектору τ (s), т.е.
лежит в плоскости, нормальной к кривой. Зададим функцию k(s) равенством
k(s) = kτ̄˙ (s)k
(5.1)
(т.е. мы обозначили через k(s) норму вектора τ̄˙ (s)). Если k(s) не равно нулю,
то корректно определен вектор
n̄(s) =
τ̄˙ (s)
.
k(s)
(5.2)
Этот вектор также нормален к кривой, имеет по построению единичную норму и
направлен вдоль вектора ¨r̄(s) = τ̄˙ (s). Последнее обстоятельство в определенном
смысле выделяет это направление из всего множества нормалей к кривой и
поэтому вектор n̄(s) называют единичным вектором главной нормали.
Определение 5.1 Кривая, у которой kτ̄˙ (s)k = k(s) 6= 0 во всех ее точках,
называется кривой общего положения.
В дальнейшем в этой главе, если не сказано противного, мы рассматриваем
только кривые общего положения.
Векторы n̄(s) и τ̄ (s) перпендикулярны друг другу и поэтому, если n̄(s) не
равен нулю, они линейно независимы. В этом случае их можно дополнить до
правой тройки (т.е. положительно ориентированного базиса) в R3 , добавив вектор
b̄(s) = [τ̄ (s), n̄(s)].
(5.3)
Вектор b̄(s) по построению имеет единичную норму, он перпендикулярен обоим
векторам τ̄ (s) и n̄(s), т.е. является нормалью к кривой. Он называется единичным вектором бинормали.
Определение 5.2 Ориентированный базис в R3 , состоящий из векторов τ̄ (s),
n̄(s) и b̄(s), называется репером Френе кривой r̄(s).
43
Репер Френе также называется сопровождающим репером кривой.
Определение 5.3 Функция k(s), заданная формулой (5.1), называется кривизной кривой r̄(s).
Кривизна измеряет, насколько отличается от прямой линии данная кривая.
Действительно, покажем, что у прямой кривизна во всех точках равна нулю.
Поскольку, по Лемме 4.3, у любой кривой в натуральной параметризации норма вектора скорости равна единице, то из физических соображений очевидно,
что для прямой вектор скорости должен иметь не только постоянную норму,
но и постоянное направление, т.е. прямая удовлетворяет уравнению r̄˙ (s) = C̄,
где C̄ – постоянный вектор, у которого kC̄k = 1. Отсюда сразу следует, что
r̄(s) = C̄0 + C̄s, то есть k(s) = ¨r̄(s) = 0. Обратное утверждение также очевидно:
из того, что при всех s выполняется равенство k(s) = ¨r̄(s) = 0, из теории обыкновенных дифференциальных уравнений сразу получаем, что r̄(s) = C̄0 + C̄s.
Таким образом, доказано следующее
Утверждение 5.4 Кривизна равна нулю во всех точках кривой тогда и только тогда, когда кривая является прямой линией.
Таким образом, если кривизна не ноль, то и кривая – не прямая, и, образно
говоря, кривизна измеряет, насколько эта кривая – кривая (не прямая).
5.2
Формулы Френе. Кручение кривой
Поскольку репер Френе, введенный в Определении 5.2,– базис в R3 , то любой
вектор можно разложить в координаты относительно этого базиса. Разложим
˙
˙
таким образом векторы производных τ̄˙ (s), n̄(s)
и b̄(s).
Полученные разложения
называются формулами Френе. Приступим к их выводу. Будем искать их в
форме
τ̄˙ (s) = a1 τ̄ (s) + b1 n̄(s) + c1 b̄(s)
˙
n̄(s)
= a2 τ̄ (s) + b2 n̄(s) + c2 b̄(s)
˙
b̄(s)
= a3 τ̄ (s) + b3 n̄(s) + c3 b̄(s),
(5.4)
где нам надлежит найти коэффициенты ai , bi и ci , (i = 1, 2, 3). Из формулы
(5.1) получаем
τ̄˙ (s) = k(s)n̄(s).
(5.5)
Это и есть первое уравнение системы (5.4), т.е. b1 = k(s) и a1 = c1 = 0.
Умножим второе уравнение системы (5.4) скалярно на τ̄ (s). Так как τ̄ (s)
˙
перпендикулярно и n̄(s), и b̄(s), и так как kτ̄ (s)k = 1, получим, что (n̄(s),
τ̄ (s)) =
a2 . Воспользуемся вспомогательным вычислением: так как (τ̄ (s), n̄(s)) = 0, то и
d
d
˙
(τ̄ (s), n̄(s)) = 0. Однако ds
(τ̄ (s), n̄(s)) = (τ̄˙ (s), n̄(s)) + (τ̄ (s), n̄(s)).
Отсюда и из
ds
(5.5) получаем, что a2 = −(τ̄˙ (s), n̄(s)) = −k(s).
Умножим второе уравнение системы (5.4) скалярно на n̄(s). Так как kn̄(s)k =
˙
1, из Леммы 4.4 получаем, что b2 = (n̄(s),
n̄(s)) = 0.
44
Теперь умножим второе уравнение системы (5.4) скалярно на b̄(s). Из ана˙
логичных соображений получим c2 = (n̄(s),
b̄(s)). Введем обозначение
˙
(n̄(s),
b̄(s)) = κ(s).
Определение 5.5 Величина κ(s) называется кручением кривой r̄(s).
Таким образом, вторая формула Френе приобретает вид
˙
n̄(s)
= −k(s)τ̄ (s) + κ(s)b̄(s).
(5.6)
Перейдем к третьему уравнению системы (5.4). Умножим его скалярно на
˙
b̄(s). Получим c3 = (b̄(s),
b̄(s)). Как и ранее, поскольку kb̄(s)k = 1, по Лемме 4.4
˙b̄(s) перпендикулярно b̄(s), т.е. c = 0.
3
˙
Умножив скалярно это уравнение на τ̄ (s), найдем a3 = (b̄(s),
τ̄ (s)). Для вычисления этого выражения продифференцируем (τ̄ (s), b̄(s)), равное нулю, и, как
˙
раньше, получим (b̄(s),
τ̄ (s)) = −(τ̄˙ (s), b̄(s)), что равно нулю в силу (5.5).
В точности аналогично, после умножения на n̄(s) получим
˙
˙
b3 = (b̄(s),
n̄(s)) = −(n̄(s),
b̄(s)) = −κ
в силу (5.6). Таким образом,
˙
b̄(s)
= −κ(s)n̄(s),
(5.7)
и вся система формул Френе приобретает вид
τ̄˙ (s) = k(s)n̄(s).
˙
n̄(s)
= −k(s)τ̄ (s) + κ(s)b̄(s).
˙
b̄(s)
= −κ(s)n̄(s)
(5.8)
Отметим, что в отличие от кривизны, которая положительна по построению
как норма вектора ¨r̄(s), кручение может быть произвольного знака.
Кривая называется плоской, если она целиком лежит в некоторой плоскости. Кручение измеряет, насколько кривая не плоская. Для того, чтобы в этом
убедиться, докажем следующее
Утверждение 5.6 Если кривая r̄(s) плоская, то ее кручение равно нулю.
Доказательство. Выберем систему координат в R3 так, чтобы плоскость,
в которой лежит кривая, оказалась плоскостью xOy, а ось Oz была ей перпендикулярна. Тогда






x(s)
ẋ(s)
ẍ(s)
r̄(s) =  y(s)  ; r̄˙ (s) =  ẏ(s)  ; ¨r̄(s) =  ÿ(s)  .
0
0
0
45
¨
r̄(s)
Отсюда сразу видно, что τ̄ (s) = r̄˙ (s) и n̄(s) = k(s)
лежат в плоскости xOy.
Следовательно, b̄(s) = [τ̄ (s), n̄(s)] перпендикулярен плоскости xOy и, так как
он по построению
имеет постоянную длину 1, является постоянным вектором
 
0
˙
b̄(s) =  0 . Следовательно, b̄(s)
= 0. Так как n̄(s) 6= 0, из (5.7) следует
1
κ(s) = 0. 2
Знак кручения соответствует "направлению закрученности"кривой (по или
против часовой стрелки, из-за этой "закрученности"кривая "вылезает"из плоскости).
Замечание 5.7 Формулы Френе для кривой в n-мерном пространстве.
Интересно привести обобщение формул (5.8) на случай кривой r̄(s) в n-мерном
пространстве:
τ̄˙ 1 (s) = k1 (s)τ̄2 (s)
τ̄˙ 2 (s) = −k1 (s)τ̄1 (s) + k2 (s)τ̄3 (s)
.....................
τ̄˙ n−1 (s) = −kn−2 (s)τ̄n−2 (s) + kn−1 (s)τ̄n (s)
τ̄˙ n (s) = kn−1 (s)τ̄n−1 (s).
Векторы τ1 , . . . , τn−1 получены применением процесса ортогонализации Грамма-Шмидта к набору векторов r̄˙ (s), ¨r̄(s) и так далее до n − 1-й производной
кривой r̄(s) при условии, что все указанные производные линейно независимы
(кривая r̄(s), для которой это так, называется кривой общего положения). Из
этих векторов первый – единичный вектор касательной, а остальные – нормали к кривой. Вектор τ̄n дополняет векторы τ1 , . . . , τn−1 до положительно
ориентированного базиса (аналог бинормали). Функции k1 (s), k2 (s), . . . , kn−1 (s)
называются кривизнами кривой. При этом k1 (s), k2 (s), . . . , kn−2 (s) положительны, а kn−1 (s) может иметь произвольный знак (аналог кручения). Еще
раз подчеркнем, что все это верно только для кривых общего положения (для
R3 см. Определение 5.1).
Замечание 5.8 Уравнение кривой в сопровождающем репере. Репер
Френе является базисом в R3 . Используем этот базис в точке r̄(s) кривой
общего положения для описания координат этой же кривой в окрестности
точки s. Оказывается, в этом случае все кривые приближенно описываются
одинаковыми (с точностью до числовых коэффициентов) уравнениями.
Без ограничения общности мы можем положить s = 0. Выберем начало
координат в R3 в точке r̄(0). Тогда
...
r̄(0) = 0, r̄˙ (0) = τ̄ (0), ¨r̄(0) = k(0)n̄(0), r̄ (0) =
˙
= k̇(0)n̄(0) + k(0)n̄(0)
= −k 2 (0)τ̄ (0) + k̇(0)n̄(0) + k(0)κ(0)b̄(0).
Разложим r̄(s) по формуле Тейлора в окрестности нуля. Получим
r̄(s) = r̄(0) + sr̄˙ (0) +
s2
s3 ...
¨r̄(0) +
r̄ (0) + . . . =
2
6
46

s + ...

 1
1
3
2
=
 2 k(0)s + 6 k̇(0)s + . . .

1
k(0)κ(0)s3 + . . .
6



.


Понятно, что при малых s число s существенно больше, чем s2 , которое в
свою очередь существенно больше, чем s3 . Оставляя наибольшие слагаемые,
мы видим, что проекция кривой r̄(s) на плоскость xOy с большой точностью описывается параболой y = 21 k(0)x2 , на плоскость xOz – кубической
x3 и на плоскость yOz – полукубической параболой z =
параболой z = k(0)κ(0)
2
√ √
8 k(0)κ(0) 3/2
y .
6
5.3
Ориентируемые поверхности
Рассмотрим карту U на регулярной поверхности M. Напомним, что векторы r̄u
и r̄v в каждой точке m ∈ U линейно независимы, и, следовательно, их векторное
произведение [r̄u , r̄v ] является ненулевым вектором, ортогональным касательной
плоскости Tm M в этой точке (напомним, что r̄u и r̄v образуют базис в Tm M, то
есть из того, что [r̄u , r̄v ] ортогонально r̄u и r̄v следует, что [r̄u , r̄v ] ортогонально
Tm M). Этот вектор назовем нормалью к M в точке m. Если мы рассмотрим
векторное произведение [r̄v , r̄u ], то последний вектор тоже ортогонален Tm M
(то есть тоже является нормалью к M в m), но направлен противоположно
[r̄u , r̄v ].
Определение 5.9 Выбор направления нормали в точке m ∈ U , т.е. выбор
вектора [r̄u , r̄v ] или [r̄v , r̄u ], называется выбором ориентации поверхности в
этой точке.
Выбрав ориентацию в одной точке карты U , мы можем выбрать ту же ориентацию во всех других точках этой карты: если мы выбрали [r̄u , r̄v ] в m, выберем [r̄u , r̄v ] во всех точках U и наоборот. Рассмотрим другую карту V , имеющую
непустое пересечение U ∩ V с U . В точках U ∩ V ориентация уже выбрана в U .
Выберем ту же ориентацию в оставшихся точках V (отметим, что в V может
оказаться, что та же ориентация задается вектором [r̄v , r̄u ], а не [r̄u , r̄v ] как в
U – какую координату обозначить u, а какую – u, мы выбираем в U и в V независимо, и может оказаться, что [r̄u , r̄v ] в U направлен противоположно вектору
[r̄u , r̄v ] в V ). Теперь та же ориентация зафиксирована в двух картах. Распространим ее в третью и т.д. В какой-то момент может оказаться, что некоторая
карта W имеет непустое пересечение с двумя или более картами, в которых ориентация выбрана на предыдущих шагах. Для простоты предположим, что это
карты U и V . Тогда возможны две ситуации: в W ориентация, полученная из
U , та же, что и полученная из V , или противоположная. В последнем случае
наша конструкция распространения ориентации из карты в карту противоречива. Если же ни на каком шаге подобного противоречия не возникает, то в конце
концов мы распространим ориентацию на все M.
47
Определение 5.10 Если указанная выше конструкция позволяет распространить ориентацию на все M, то M называется ориентируемой, и в этом
случае мы можем выбрать на всем M одну из двух ориентаций, соответствующих выбору нормали [r̄u , r̄v ] (или [r̄v , r̄u ]) в какой-либо точке одной из
карт. Если ориентация выбрана, то поверхность называется ориентированной.
Если указанная выше конструкция распространения ориентации из карты
в карту приводит к противоречию и не позволяет распространить ориентацию на все M, то M называется неориентируемой.
Примером ориентируемой поверхности является сфера. В этом случае ориентации соответствуют выбору направления нормали наружу или внутрь.
Примером неориентируемой поверхности является лист Мёбиуса. Чтобы его
построить, возьмите полоску бумаги и склейте ее края, повернув один из них
на 180 градусов относительно другого. Если на листе Мёбиуса мы выберем в
одной из точек какое-либо направление нормали, то, сохраняя это направление
и обойдя вокруг листа, мы придем в ту же точку с противоположным направлением нормали.
5.4
Нормальная и геодезическая кривизны на
поверхности
Рассмотрим некоторую карту поверхности r̄(u, v) и гладкую регулярную кривую r̄(s) = r̄(u(s), v(s)) на ней, заданную в натуральной параметризации. Выберем ориентацию в этой карте, задав нормаль [r̄u , r̄v ]. Напомним, что ориентация
в одной карте всегда существует. Введем единичный вектор нормали
n̄ =
[r̄u , r̄v ]
.
k[r̄u , r̄v ]k
(5.9)
Вектор τ̄ (s) = r̄˙ (s) является касательным к поверхности, однако вектор
˙τ̄ (s) = ¨r̄(s) может уже не быть к ней касательным. Разложим его на нормальную и касательную компоненты
¨r̄(s) = ¨r̄(s)n + ¨r̄(s)g ,
(5.10)
где ¨r̄(s)g ∈ Tr̄(s) M и ¨r̄(s)n направлен по нормали.
Определение 5.11 Норма kg = k¨r̄(s)g k называется геодезической кривизной
кривой r̄(s).
Определение 5.12 Скалярное произведение kn = (¨r̄(s), n̄) называется нормальной кривизной кривой r̄(s).
Геодезическая кривизна принадлежит внутренней геометрии поверхности, в
то время как нормальная кривизна – внешней.
48
Утверждение 5.13 С точностью до знака kn равно k¨r̄(s)n k.
Действительно, (¨r̄(s), n̄) = k¨r̄(s)kkn̄k cos α, где α – угол между ¨r̄(s) и n̄, так
что Утверждение 5.13 следует из того, что kn̄k = 1, а k¨r̄(s)k cos α = ±k¨r̄(s)n k, где
знак зависит от того, совпадает направление вектора n̄ с направлением вектора
¨r̄(s)n или они направлены противоположно друг другу (иными словами, от того,
удачно или нет мы задали ориентацию).
На первый взгляд кажется более естественным определить нормальную кривизну как норму вектора ¨r̄(s)n , но как будет видно из дальнейшего, использование здесь скалярного произведения более удобно.
Непосредственно из Утверждения 5.13 по теореме Пифагора мы получаем
Утверждение 5.14 k 2 = kg2 + kn2 .
Действительно, k = k¨r̄(s)k, kg = k¨r̄(s)g k, kn = ±k¨r̄(s)n k и при этом ¨r̄(s) –
гипотенуза, а ¨r̄(s)g и ¨r̄(s)n – катеты прямоугольного треугольника.
Теорема 5.15 На поверхности r̄(u, v) нормальная кривизна kn (s) кривой r̄(s)
зависит только от касательного вектора τ̄ (s) = r̄˙ (s) и не зависит от ¨r̄(s).
Доказательство. Для r̄(s) = r̄(u(s), v(s)) найдем r̄˙ (s) = r̄u u̇ + r̄v v̇ и ¨r̄(s) =
r̄uu u̇2 + r̄uv u̇v̇ + r̄u ü + r̄uv v̇ u̇ + r̄vv v̇ 2 + r̄v v̈. Поскольку n̄ ортогонален векторам r̄u
и r̄v , (r̄u ü, n̄) = 0 и (r̄v v̈, n̄) = 0, то есть
kn = (¨r̄(s), n̄) = (r̄uu , n̄)u̇2 + 2(r̄uv , n̄)u̇v̇ + (r̄vv , n̄)v̇ 2 ,
(5.11)
откуда и следует утверждение теоремы. 2
Зафиксируем некоторый вектор ē единичной длины (т.е. kēk = 1), касательный к поверхности r̄(u, v) в некоторой точке. Из Теоремы 5.15 вытекает, что для
всех кривых r̄(s) на поверхности, для которых r̄˙ (s) = ē, нормальная кривизна
kn принимает одно и то же значение.
Определение 5.16 Указанное значение нормальной кривизны назовем нормальной кривизной в направлении единичного вектора ē и обозначим через
kn (ē).
Среди кривых, для которых r̄˙ (s) = ē, можно выбрать одну, в определенном
смысле самую простую. Она называется нормальным сечением. Дадим точные
определения.
Зададим единичный вектор нормали n̄ в той же точке поверхности r̄(u, v),
что и ē. Натянем на векторы ē и n̄ плоскость, которую обозначим через Π.
Определение 5.17 Кривая, полученная пересечением плоскости Π с поверхностью r̄(u, v), называется нормальным сечением в направлении вектора ē.
Теорема 5.18 Для нормального сечения нормальная кривизна kn с точностью до знака совпадает с обычной кривизной k.
49
Доказательство. Обозначим нормальное сечение через r̄(s), где s – натуральный параметр. Так как r̄(s) лежит в Π, в этой же плоскости лежат и
r̄˙ (s) = ē, и ¨r̄(s). По Следствию 4.5 вектор ¨r̄(s) ортогонален вектору r̄˙ (s) = ē,
и, следовательно, он либо совпадает по направлению с n̄, либо направлен противоположно ему. Отсюда по определению скалярного произведения получаем,
что kn = (¨r̄(s), n̄) = k¨r̄(s)kkn̄k cos α = ±k¨r̄(s)k = ±k, поскольку угол α между
¨r̄(s) и n̄ равен 0o или 180o . 2
Таким образом, kn (e) с точностью до знака совпадает с кривизной нормального сечения в направлении вектора ē.
5.5
Вторая квадратичная форма
Введем обозначения:
(r̄uu , n̄) = L, (r̄uv , n̄) = M, (r̄vv , n̄) = N
(5.12)
и рассмотрим в касательном пространстве Tr̄(s) M квадратичную форму II, которая на векторе dr̄ = r̄u du + r̄v dv определена равенством
II(dr̄) = L du2 + 2M du dv + N dv 2
(5.13)
Определение 5.19 Форма (5.13) называется второй квадратичной формой
поверхности в указанной точке.
Из Теоремы 5.15 (см. формулу (5.11)) и Определения 5.16, учитывая данное
выше определение коэффициентов L, M и N , мы получаем, что для вектора dr̄
единичной длины II(dr̄) = kn (dr̄).
Если подставить в II вектор не единичной длины, то значение формы на
нем уже не равно нормальной кривизне. Однако после небольшой модификации по этому значению можно вычислить нормальную кривизну в направлении
соответствующего единичного вектора.
Определение 5.20 Нормальной кривизной kn (dr̄) в направлении вектора dr̄
dr̄
не единичной длины называется нормальная кривизна kn ( kdr̄k
) в направлении
dr̄
вектора единичной длины kdr̄k .
Выведем формулу для вычисления нормальной кривизны в направлении
dr̄
вектора не единичной длины. Пусть dr̄ – вектор не единичной длины. Тогда kdr̄k
– вектор единичной длины, коллинеарный dr̄ и направленный в ту же сторону,
так что
kn (
dr̄
du2
du dv
dv 2
dr̄
) = II(
)=L
+
2M
+
N
=
kdr̄k
kdr̄k
kdr̄k2
kdr̄kkdr̄k
kdr̄k2
=
1
II(dr̄)
2
(L
du
+
2M
du
dv
+
N
dv)
=
.
kdr̄k2
kdr̄k2
dr̄
Напомним, что kdr̄k2 = I(dr̄). Таким образом, II( kdr̄k
)=
следующее
50
II(dr̄)
,
I(dr̄)
и мы доказали
Утверждение 5.21 Для вектора dr̄ не единичной длины kn (dr̄) =
II(dr̄)
.
I(dr̄)
Как известно, квадратичная форма может быть получена из нескольких билинейных форм (как, например, первая квадратичная форма была построена из
первой фундаментальной формы, см. Часть 1), однако среди всех билинейных
форм, приводящих к заданной квадратичной, имеется ровно одна симметрическая.
Определение 5.22 Симметрическая билинейная форма, порождающая вторую квадратичную форму, называется второй фундаментальной формой поверхности.
Вторую фундаментальную форму обозначим символом II(X, Y ). Ее действие на векторах X = X 1 r̄u + X 2 r̄v и Y = Y 1 r̄u + Y 2 r̄v описывается формулой
II(X, Y ) = LX 1 Y 1 + M (X 1 Y 2 + X 2 Y 1 ) + N X 2 Y 2 ,
где L, M и N – коэффициенты второй квадратичной формы.
Выведем формулы для вычисления L, M и N . Прежде всего, поскольку
(r̄u , n̄) = (r̄v , n̄) = 0, продифференцировав эти равенства по u и по v, получим
(r̄uu , n̄) + (r̄u , n̄u ) = 0, (r̄uv , n̄) + (r̄u , n̄v ) = 0,
(r̄uv , n̄) + (r̄v , n̄u ) = 0, (r̄vv , n̄) + (r̄v , n̄v ) = 0,
откуда, учитывая (5.12),
L = −(r̄u , n̄u ), M = −(r̄u , n̄v ) = −(r̄v , n̄u ), N = −(r̄v , n̄v ).
Вычислять L, M и N можно, используя последние формулы или (5.12). В
частности, (5.12) могут быть преобразованы
к очень удобному виду. Напомним,
√
[r̄u ,r̄v ]
2
что n̄ = k[r̄u ,r̄v ]k и что k[r̄u , r̄v ]k = EG − F – см. Лемму 4.9. Тогда из (5.12)
следуют формулы
L = (r̄uu , √
[r̄u , r̄v ]
(r̄uu , r̄u , r̄v )
)= √
,
2
EG − F
EG − F 2
M = (r̄uv , √
N = (r̄vv , √
(r̄uv , r̄u , r̄v )
[r̄u , r̄v ]
)= √
,
EG − F 2
EG − F 2
[r̄u , r̄v ]
(r̄vv , r̄u , r̄v )
)= √
,
EG − F 2
EG − F 2
где (X, Y, Z) = (X, [Y, Z]) – смешанное произведение векторов X, Y и Z.
51
5.6
Индикатриса Дюпена. Главные кривизны
Зафиксируем некоторую точку m поверхности M = r̄(u, v) и в касательном
пространстве Tm M натянем на базисные вектора r̄u и r̄v координатные оси Ox
и Oy, соответственно. Для каждого вектора X = r̄u x + r̄v y ∈ Tm M, используя Утверждение 5.21, может быть найдена kn (X) – нормальная кривизна в его
направлении. Французский математик Дюпен ввел очень полезную кривую, называемую индикатрисой, которая строится путем откладывания в направлении
вектора X отрезка длины √ 1
. По определению, для векторов X ∈ Tm M, ле|kn (X)|
жащих на индикатрисе Дюпена, выполняется равенство kXk = √ 1
, откуда,
|kn (X)|
p
, мы получаем
поскольку kXk = I(X) и по Утверждению 5.21 kn (X) = II(X)
I(X)
q
p
I(X)
I(X) = |II(X)|
(напомним, что всегда I(X) ≥ 0, и поэтому мы оставили знак
модуля только у II(X)). Таким образом, уравнение индикатрисы Дюпена имеет
вид |II(X)| = 1, и во введенных нами координатах в Tm M оно принимает вид
|Lx2 + 2M xy + N y 2 | = 1.
(5.14)
Из курса аналитической геометрии известно, что при LN −M 2 > 0 (заметим,
что LN − M 2 – это определитель матрицы второй квадратичной формы) уравнение (5.14) описывает эллипс Lx2 + 2M xy + N y 2 = ±1 (в правой части знак +,
если L > 0, и −, если L < 0). При LN − M 2 < 0 (5.14) описывает две гиперболы
с общими асимптотами (Lx2 + 2M xy + N y 2 )2 = 1 (т.е. Lx2 + 2M xy + N y 2 = 1
и Lx2 + 2M xy + N y 2 = −1), а при LN − M 2 = 0 (если
бы одно из чисел
p хотя p
L
не равно 0) p
– две параллельные
прямые ( |L|x + |N |y)2 = 1 (т.е.
p
p или N p
|L|x + |N |y = 1 и |L|x + |N |y = −1).
Определение 5.23 Точка m ∈ M называется: эллиптической, если в ней
LN − M 2 > 0; гиперболической, если в ней LN − M 2 < 0; параболической, если
в ней LN − M 2 = 0.
В эллиптической точке расстояние от нуля в Tm M до индикатрисы (т.е. по
построению, величина √1 ) достигает наибольшего и наименьшего значения
|kn |
на полуосях эллипса. Значит, нормальная кривизна в этих точках достигает,
соответственно, наименьшего и наибольшего значения, и эти значения положительны, если L > 0 и отрицательны, если L < 0.
В точности аналогично, в гиперболической точке kn достигает наибольшего и
наименьшего значения, которые имеют разные знаки (действительно, на одной
из гипербол значения II, а значит и kn , положительны, а на другой – отрицательны), а в параболической точке – достигает наибольшего и наименьшего
значения, одно из которых равно 0, поскольку в направлении параллельных
прямых √1 не определено (бесконечно).
|kn |
Определение 5.24 Наибольшее и наименьшее значение нормальной кривизны в точке m ∈ M называются главными кривизнами в этой точке и обозначаются k1 и k2 ; направления в Tm M, на которых эти значения достигаются,
52
называются главными направлениями; K = k1 k2 называется полной кривизной; H = 12 (k1 + k2 ) называется средней кривизной.
Из сказанного выше следует, что знаки k1 и k2 зависят от знака L, т.е. от
выбора ориентации (направления нормали к M в m), в то время как K от
выбора ориентации не зависит: в эллиптической точке K > 0 (k1 и k2 имеют
один и тот же знак), в гиперболической K < 0 (k1 и k2 имеют разные знаки) и
в параболической K = 0 (либо k1 , либо k2 равны нулю).
Определение 5.25 Параболическая точка, в которой обе главные кривизны
равны нулю (и следовательно, индикатриса Дюпена не определена), называется точкой уплощения.
Имеется важное утверждение, которое мы не будем доказывать: K принадлежит внутренней геометрии поверхности, несмотря на то, что k1 и k2 (как и
вообще нормальные кривизны) принадлежат внешней геометрии поверхности.
5.7
Соприкасающийся параболоид
В этом параграфе мы вернемся к понятию соприкосновения, введенного в §3.3, и
в точке заранее заданной поверхности опишем стандартную соприкасающуюся с
ней поверхность. Это – параболоид (напомним, что стандартная касающаяся поверхность – это касательная плоскость), и тип указанного параболоида зависит
от знака полной кривизны в точке соприкосновения. Поскольку соприкасающиеся поверхности очень близки друг другу в окрестности точки соприкосновения, т.е. первоначальная поверхность похожа на соприкасающийся параболоид,
мы сможем приблизительно описать внешний вид поверхности в окрестности
эллиптической или гиперболической точки. Случай параболической точки существенно сложнее, и мы обсудим его с меньшими подробностями.
Рассмотрим регулярную поверхность M = r̄(u, v). Без ограничения общности мы можем предположить, что в точке m ∈ M выполнены условия Леммы
3.11. Изменим систему координат в R3 так, чтобы начало координат совпало с
точкой m, касательная плоскость Tm M совпала с плоскостью xOy, ось Ox была
направлена по вектору r̄u , а ось Oy – по вектору r̄v . По Следствию 3.12 в окрестности точки m поверхность задана явно z = z(x, y), и мы можем представить
ее в параметрическом виде по-новому:


x

y
r̄(x, y) = 
(5.15)
z(x, y)
Найдем










1
0
0
0
0
r̄x =  0  ; r̄y =  1  ; r̄xx =  0  ; r̄xy =  0  ; r̄yy =  0  .
zx
zy
zxx
zxy
zyy
53


0
Поскольку в нашей системе координат n̄ =  0  и ось Oz перпендикулярна
1
осям Ox и Oy, из этих формул по определению L, M и N получаем
L = zxx ,
M = zxy ,
N = zyy .
(5.16)
Разложим функцию z(x, y) по формуле Тейлора в окрестности начала координат. Получим
1
1
z(x, y) = z(0, 0) + zx x + zy y + zxx x2 + zxy xy + zyy y 2 + . . .
2
2
(5.17)
Отметим, что по построению z(0, 0) есть начало координат, и поскольку Tm M
совпадает с xOy, в этой точке z(x, y) имеет экстремум, т.е. zx = zy = 0. Таким
образом, (5.17) превращается в
1
1
z(x, y) = zxx x2 + zxy xy + zyy y 2 + . . .
2
2
.
(5.18)
Так что, из (5.16) и (5.18) следует, что
1
z(x, y) = (Lx2 + 2M xy + N y 2 ) + . . . ,
2
(5.19)
где многоточие обозначает члены, чей порядок выше двух (в частности, среди них остаточный член). Отбросим указанные члены, в результате оставшиеся слагаемые опишут нам новую поверхность P, выражаемую эквивалентными
уравнениями, полученными из (5.18) и (5.19):
1
1
z(x, y) = zxx x2 + zxy xy + zyy y 2 ,
2
2
(5.20)
1
(5.21)
z(x, y) = (Lx2 + 2M xy + N y 2 ).
2
Из курса аналитической геометрии известно, что P – параболоид. При этом,
используя (5.20), таким же путем, как для M, нетрудно вычислить производные для P и показать, что до второго порядка включительно они совпадают с
соответствующими производными M, т.е. P и M соприкасаются в точке m. В
частности, у этих двух поверхностей одинаковы вторые квадратичные формы.
Определение 5.26 P называется соприкасающимся параболоидом поверхности M в точке m.
Теперь рассмотрим уравнение параболоида P в форме (5.21). Известно, что
если коэффициенты этого уравнения удовлетворяют соотношению LN −M 2 > 0
(т.е. полная кривизна в точке m положительна, точка m эллиптическая), то P
– эллиптический параболоид. Это означает, что поверхность M в окрестности
точки m выглядит как эллиптический параболоид (тюбетейка).
54
Если LN − M 2 < 0 (т.е. полная кривизна в m отрицательна, точка m гиперболическая), то P – гиперболический параболоид, и в окрестности точки m
поверхность M выглядит так же (седло).
В случае параболической точки m имеется много различных случаев поведения P (и следовательно, M) в ее окрестности. Поэтому мы ограничимся
только двумя примерами. На цилиндре все точки параболические, а известное
"обезьянье седло"является точкой уплощения.
5.8
Вычисление кривизн поверхности
Поскольку k1 и k2 – наибольшее и наименьшее значение нормальной кривизны
в Tm M, то, положив для определенности k1 ≥ k2 , мы можем написать неравенство k1 ≥ kn (X) ≥ k2 для любого вектора X ∈ Tm M. С использованием
Утверждения 5.21 отсюда следуют неравенства
k2 (X)I(X) ≤ II(X),
k1 (X)I(X) ≥ II(X),
каждое из которых при определенном X превращается в равенство. Иными словами, при некоторых числах k и ненулевых векторах X выполняется равенство
II(X) − kI(X) = 0. Это возможно только в случае, когда матрица II − kI
вырождена, т.е. k1 и k2 являются решениями уравнения
det(II − kI) = 0.
(5.22)
Вычислим: det(II − kI) =
µ
¶
L − kE M − kF
det
= (L − kE)(N − kG) − (M − kF )2 .
M − kF N − kG
Раскрыв скобки, получим, что (5.22) принимает вид
k 2 (EG − F 2 ) + k(−LG − N E + 2M F ) + (LN − M 2 ) = 0.
(5.23)
Решения (5.23) и являются искомыми k1 и k2 .
Отметим, что полную кривизну K и среднюю кривизну H можно найти не
решая (5.23). Действительно, по теореме Виета
LN − M 2
K = k1 k2 =
,
EG − F 2
5.9
1
1 LG + N E − 2M F
H = (k1 + k2 ) =
.
2
2
EG − F 2
Деривационные формулы Гаусса
В этом параграфе для случая поверхности мы выведем формулы, аналогичные
формулам Френе (см. §5.2). Мы разложим производные векторов базиса r̄u ,
r̄v в R3 в координаты относительно базиса r̄u , r̄v , n̄ (в формулах Френе эта
процедура была проделана с векторами репера Френе). Полученные формулы
называются деривационными формулами Гаусса. Отметим, что полный набор
55
таких формул (т.е. и для производных вектора n̄) называется деривационными
формулами Вейнгартена.
Введем новые обозначения: индексы, соответствующие координате u, будем
обозначать цифрой 1, а координате v – цифрой 2. Например, r̄u мы часто будем
обозначать r̄1 , а r̄v – r̄2 . Соответственно, индексы, относящиеся к базисному
вектору n̄, мы будем обозначать цифрой 3. Дифференцирование по u обозначим
через ∂1 , а по v – ∂2 . Тогда r̄uu = ∂1 r̄1 , r̄uv = ∂2 r̄1 и т.д.
В указанных обозначениях деривационные формулы Гаусса запишем в виде
r̄uu = ∂1 r̄1 = Γ111 r̄u + Γ211 r̄v + G311 n̄,
r̄uv = ∂2 r̄1 = Γ112 r̄u + Γ212 r̄v + G312 n̄,
r̄vv = ∂2 r̄2 = Γ122 r̄u + Γ222 r̄v + G322 n̄,
(5.24)
где коэффициенты Γkij и G3ij надо вычислить. Нижние индексы соответствуют:
первый – тому вектору, который дифференцируется (если r̄u , то 1, r̄v – 2), второй
– той переменной, по которой производится дифференцирование (если по u, то
1, по v – 2). Верхний индекс соответствует тому вектору, при котором стоит
коэффициент. Отметим, что поскольку r̄uv = r̄vu , то существуют не вошедшие
в (5.24) коэффициенты с индексами 21, которые определяются равенствами
Γ121 = Γ112 , Γ221 = Γ212 , G321 = G312 .
Утверждение 5.27 G311 = L, G312 = G321 = M , G322 = N .
Действительно, умножив каждое уравнение системы (5.24) скалярно на n̄,
мы получим (поскольку n̄ ортогонально векторам r̄u и r̄v и kn̄k = 1), соответственно, (r̄uu , n̄) = G311 , (r̄uv , n̄) = G312 , (r̄vv , n̄) = G322 , так что Утверждение
следует из формул (5.12).
Определение 5.28 Коэффициенты, стоящие при r̄u и r̄v в формулах (5.24)
называются символами Кристоффеля второго рода.
Для вычисления символов Кристоффеля второго рода Γkij нам потребуются
вспомогательные объекты, называемые символами Кристоффеля первого рода.
Определение 5.29 Выражения Γij,k = (∂j r̄i , r̄k ) называются символами Кристоффеля первого рода.
Утверждение 5.30 Символы Кристоффеля первого рода принадлежат внутренней геометрии поверхности.
Доказательство. В определение Γij,k = (∂j r̄i , r̄k ) входят векторы r̄i , дифференцирования ∂j , принадлежащие внутренней геометрии поверхности, а также
производные и скалярное произведение в R3 . Представим вектор ∂j r̄i в виде
∂j r̄i = ∂j r̄ig + ∂j r̄in где ∂j r̄ig – касательная, а ∂j r̄in – нормальная составляющая.
Тогда, поскольку ∂j r̄in ортогонален r̄k и скалярное произведение в касательном
пространстве можно заменить первой фундаментальной формой, принадлежащей внутренней геометрии, то (∂j r̄i , r̄k ) = (∂j r̄ig , r̄k ) = I(∂j r̄ig , r̄k ). Таким образом, в конструкции Γij,k задействованы объекты и операции только из внутренней геометрии поверхности. 2
56
Лемма 5.31 Γij,k = 12 (∂i gjk + ∂j gik − ∂k gij ), где gij – коэффициенты матрицы
первой фундаментальной формы (см. §4.2).
Доказательство. По определению gij имеем gij = (r̄i , r̄j ). Тогда ∂k gij =
(∂k r̄i , r̄j ) + (r̄i , ∂k r̄j ) = Γki,j + Γjk,i . Меняя местами i, j и k и учитывая, что
Γij,k = Γji,k , получим систему из трех алгебраических линейных уравнений с
тремя неизвестными:
∂k gij = Γki,j + Γjk,i ,
∂i gkj = Γik,j + Γji,k ,
∂j gik = Γji,k + Γkj,i .
Сложим второе и третье уравнения и вычтем из суммы первое. Получим
1
Γij,k = (∂i gjk + ∂j gik − ∂k gij ).
(5.25)
2
Выражения для Γik,j и Γjk,i получаются аналогично. Нетрудно подсчитать, что
определитель матрицы этой системы не равен нулю, и поэтому указанное решение единственно. 2
Уравнение системы (5.24) можно записать в общем виде следующим образом:
∂i r̄j = Γ1ij r̄1 + Γ2ij r̄2 + Γ3ij n̄.
Умножим его скалярно на r̄l , l = 1, 2. Поскольку r̄l ортогонально n̄, получим
1
(∂i r̄j , r̄l ) = (Γij
r̄1 , r̄l ) + (Γ2ij r̄2 , r̄l ).
Учитывая определение символов Кристоффеля первого рода и коэффициентов
gij первой фундаментальной формы, а также возможность выносить скалярные
множители за знак скалярного произведения, преобразуем его к виду:
Γij,l = Γ1ij g1l + Γ2ij g2l .
Нетрудно видеть, что последнее равенство представляет из себя l-тую строку
матричного выражения
µ
¶
µ 1 ¶
Γij
Γij,1
= (gkl )
,
(5.26)
Γij,2
Γ2ij
Поскольку матрица (gkl ) невырождена, у нее есть обратная, которую мы обозначим (g kl ). Умножим обе части (5.26) на матрицу (g kl ). Получим
¶ µ 1 ¶
µ
Γij
Γij,1
kl
.
=
(g )
Γ2ij
Γij,2
k-тая строка последнего матричного равенства имеет вид
X
Γkij = g k1 Γij,1 + g k2 Γij,2 =
g kl Γij,l .
(5.27)
l
Равенство (5.27) представляет из себя формулу для вычисления символов Кристоффеля второго рода, исходя из символов первого рода, найденных по формуле (5.25). Этим завершается вычисление коэффициентов в деривационных
формулах Гаусса (5.24).
57
Утверждение 5.32 Символы Кристоффеля второго рода принадлежат внутренней геометрии поверхности.
Действительно, по (5.27) они выражаются через g ij и Γij,k , которые принадлежат внутренней геометрии поверхности.
58
Глава 6
ГЕОМЕТРИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
6.1
Ковариантная производная и ее свойства
Рассмотрим на поверхности M = r̄(u, v) кривую r̄(t) = r̄(u(t), v(t)) и вдоль нее
векторное поле X(t): это означает, что в каждой точке r̄(t) задан касательный
к M вектор X(t) ∈ Tr̄(t) M. Пусть r̄(t) и X(t) гладко зависят от t.
Так же, как при дифференцировании векторного поля r̄˙ (s) в §5.4, здесь, в
случае произвольного векторного поля X(t), векторы производной dtd X(t) могут не быть касательными к M. Обозначим через P оператор ортогонального
проектирования на касательное пространство и с его помощью спроектируем
d
X(t) на Tr̄(t) M.
dt
D
Определение 6.1 dt
X(t) = P dtd X(t) называется ковариантной производной
векторного поля X(t) вдоль кривой r̄(t).
Для вывода формулы ковариантной производной представим поле X(t) в
виде X(t) = X 1 r̄1 + X 2 r̄2 (мы пользуемся обозначениями, введенными в §5.9).
Тогда
D
d
X(t) = P X(t) =
dt
dt
01
1
0
1
0
P(X r̄1 + X ∂1 r̄1 u + X ∂2 r̄1 v + X 02 r̄2 + X 2 ∂1 r̄2 u0 + X 2 ∂2 r̄2 v 0 ).
Заметим, что X 01 r̄1 +X 02 r̄2 является касательным к M вектором (поскольку r̄1 и
r̄2 – касательные к M) и поэтому P(X 01 r̄1 +X 02 r̄2 ) = X 01 r̄1 +X 02 r̄2 . Для описания
векторов ∂i r̄j (i, j = 1, 2) воспользуемся формулами (5.24). Отметим при этом,
что по построению Pn̄ = 0. Так что, переобозначив для удобства u = q 1 , v = q 2 ,
придем к выражению
d
D
X(t) = P X(t) =
dt
dt
X
X
1
i 0j
01
Γ2ij X i q 0j )r̄2 ,
Γij X q )r̄1 + (X 02 +
(X +
ij
ij
которое мы запишем в общем виде как выражение для k-ой координаты (i, j, k =
D
X(t):
1, 2) вектора dt
X
D
(6.1)
X(t)k = X 0k +
Γkij X i q 0j .
dt
ij
59
Утверждение 6.2 Ковариантная производная принадлежит внутренней
геометрии поверхности.
Действительно, в формулу (6.1) входят только объекты внутренней геометрии поверхности.
Лемма 6.3 Ковариантная производная обладает следующими свойствами:
D
D
D
(i) dt
(X(t) + Y (t)) = dt
X(t) + dt
Y (t) для векторных полей X(t) и Y (t) вдоль
r̄(t);
D
D
(λX(t)) = λ dt
X(t) для векторного поля X(t) вдоль r̄(t) и веществен(ii) dt
ного числа λ;
D
D
(iii) dt
f (t)X(t) = f 0 (t)X(t) + f (t) dt
X(t), где f (t) – числовая функция, а X(t)
– векторное поле вдоль r̄(t).
Доказательство. Докажем сначала (iii). Напомним, что так как P – оператор проектирования на касательные пространства, X(t) – касательный вектор,
то PX(t) = X(t). Тогда по определению ковариантной производной, по правилу
дифференцирования произведения и так как оператор P линейный, мы имеем
D
d
d
f (t)X(t) = P f (t)X(t) = P(f 0 (t)X(t) + f (t) X(t)) =
dt
dt
dt
f 0 (t)PX(t) + f (t)P
D
d
X(t) = f 0 (t)X(t) + f (t) X(t).
dt
dt
Свойство (iii) доказано.
Свойства (i) и (ii) доказываются совершенно аналогично. Они следуют из
того, что обычная производная обладает этими свойствами и что оператор P
линеен. 2
Лемма 6.4 Пусть X(t) и Y (t) – векторные поля вдоль r̄(t). Для числовой
функции от t вида I(X(t), Y (t)) (значение первой фундаментальной формы на
X(t) и Y (t) в точке r̄(t)) выполняется равенство:
d
D
D
I(X(t), Y (t)) = I( X(t), Y (t)) + I(X(t), Y (t)).
dt
dt
dt
Доказательство. Напомним, что в соответствии с Определением 4.6
I(X(t), Y (t)) = (X(t), Y (t)).
Тогда
d
d
d
d
I(X(t), Y (t)) = (X(t), Y (t)) = ( X(t), Y (t)) + (X(t), Y (t)).
dt
dt
dt
dt
Векторы dtd X(t) и dtd Y (t) могут не быть касательными к M, и мы разложим
их на касательную и нормальную составляющие: dtd X(t) = P dtd X(t) + dtd X(t)n ,
d
Y (t) = P dtd Y (t) + dtd Y (t)n . Поскольку векторы X(t) и Y (t) касательны к M, а
dt
60
векторы dtd X(t)n и dtd Y (t)n нормальны, то (X(t), dtd Y (t)n ) = ( dtd X(t)n , Y (t)) = 0.
Так что, продолжая предыдущее равенство, получаем:
d
d
d
I(X(t), Y (t)) = (P X(t), Y (t)) + ( X(t)n , Y (t))
dt
dt
dt
d
d
d
d
Y (t)) + (X(t), Y (t)n ) = (P X(t), Y (t)) + (X(t), P Y (t)) =
dt
dt
dt
dt
d
d
D
D
I(P X(t), Y (t)) + I(X(t), P Y (t)) = I( X(t), Y (t)) + I(X(t), X(t)). 2
dt
dt
dt
dt
Пусть r̄(t, w) – гладкое отображение прямоугольника [a, b] × [c, d] в поверхность M, где t ∈ [a, b], w ∈ [c, d]. Можно понимать это следующим образом:
r̄(t, w) задает на M два семейства кривых – кривые, зависящие от t, которые "занумерованы"параметром w, и кривые, зависящие от w, "занумерованные"параметром t. Через обычные координаты u и v это отображение записывается в виде r̄(t, w) = r̄(u(t, w), v(t, w)). Зафиксировав некоторое значение w,
мы можем дифференцировать r̄(t, w) по t, в результате чего получим частную
∂
производную ∂t
r̄, которую обозначим r̄t . Понятно, что это векторное поле на
образе r̄(t, w). Аналогично определяется частная производная r̄w , которая тоже
является векторным полем на образе r̄(t, w). Оба эти векторные поля можно ковариантно дифференцировать, как вдоль кривых, зависящих от t, так и вдоль
кривых, зависящих от w.
+(X(t), P
Лемма 6.5 Выполняется равенство
D
r̄
dt w
=
D
r̄ .
dw t
Доказательство. Мы воспользуемся известным из математического анализа фактом, что для гладких функций смешанные частные производные не
∂2
∂2
зависят от порядка дифференцирования: ∂t∂w
r̄ = ∂w∂t
r̄. Отметим, что утверждение Леммы является аналогом этого факта. Итак,
D
∂ ∂
∂2
∂2
∂ ∂
D
r̄t = P
r̄ = P
r̄ = P
r̄ = P
r̄ = r̄w .
dw
∂w ∂t
∂w∂t
∂t∂w
∂t ∂w
dt
6.2
2
Параллельный перенос
Начнем с наводящих соображений. Два вектора в R2 одинаковой длины, приложенные в разных точках, называются параллельными, если им соответствует
один и тот же радиус-вектор, т.е. вектор, приложенный в начале координат.
Иными словами, слово "параллельные"просто означает в данном случае одинаковые. По другому это явление можно описать следующим образом. Соединим
точки приложения указанных "параллельных"векторов некоторой гладкой кривой r̄(t) и в каждой точке этой кривой приложим такой же вектор. Полученное
поле X(t) вдоль r̄(t) состоит из параллельных друг другу, т.е. одинаковых векторов, и поэтому dtd X(t) = 0.
На поверхности M понятие "одинаковости"касательных векторов, приложенных в разных точках, не определено – нет никакой корректной конструкции, позволяющей в общем случае сравнивать между собой касательные векторы из разных касательных пространств. Однако конструкция векторного поля
61
вдоль кривой, состоящего из параллельных друг другу векторов, может быть
осуществлена полностью аналогично рассмотренному выше случаю плоскости
– надо только заменить обычную производную ковариантной. Дадим точное
определение.
Определение 6.6 Касательное векторное поле X(t) вдоль кривой r̄(t) на поD
верхности M называется параллельным, если dt
X(t) = 0.
Поскольку понятия просто параллельности нет, а есть только понятие параллельности вдоль кривой, то можно ожидать, что векторы "параллельные"вдоль
одной кривой окажутся не параллельными вдоль другой. Действительно, ниже
мы приведем пример параллельного векторного поля вдоль замкнутой кривой
на двумерной сфере такой, что начальный и конечный векторы не совпадают
друг с другом. При этом указанное векторное поле оказывается параллельным
не только по формальному определению, но и просто по здравому смыслу (хотя,
если вдуматься, формальное определение и должно соответствовать здравому
смыслу). Этому не следует удивляться, это – свойство, присущее природе геометрии на искривленных поверхностях.
D
Учитывая формулу (6.1), равенство dt
X(t) = 0, определяющее понятие параллельности, в координатной форме записывается как следующая система
уравнений (мы приводим общий вид k-го уравнения, k = 1, 2):
X
X 0k +
Γkij X i q 0j = 0.
(6.2)
ij
Теорема 6.7 Пусть гладкая кривая r̄(t) на поверхности M определена при t ∈
[0, t], r̄(0) = m0 . Для любого вектора X0 ∈ Tm0 M существует и единственно
параллельное векторное поле X(t) вдоль r̄(t), определенное при всех t ∈ [0, T ]
такое, что X(0) = X0 .
Утверждение Теоремы 6.7 следует из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение (6.2) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, и для него выполняется указанная теорема
существования и единственности решений.
Определение 6.8 Векторное поле X(t), существование и единственность
которого установлена в Теореме 6.7, называется параллельным переносом вектора X0 вдоль кривой r̄(t).
Теорема 6.9 Пусть X(t), Y (t) – параллельные векторные поля вдоль кривой
r̄(t). Тогда I(X(t), Y (t)) постоянно, т.е. принимает одинаковые значения при
всех t.
Доказательство. По Лемме 6.4
d
D
D
I(X(t), Y (t)) = I( X(t), Y (t)) + I(X(t), Y (t)),
dt
dt
dt
и в последней сумме оба слагаемые равны нулю, поскольку по определению
D
D
параллельного векторного поля dt
X(t) = dt
Y (t) = 0. 2
62
Следствие 6.10 Если X(t) – параллельное векторное поле, то kX(t)k постоянна.
p
p
Действительно, kX(t)k = I(X(t)) = I(X(t), X(t)), и утверждение Следствия вытекает из того, что по Теореме 6.9 I(X(t), X(t)) есть величина постоянная.
Следствие 6.11 Если X(t) и Y (t) – параллельные векторные поля, то угол
между ними есть величина постоянная.
\(t), то, поТак как I(X(t), Y (t)) = (X(t), Y (t)) = kX(t)kkY (t)k cos X(t)Y
скольку по Теореме 6.9 I(X(t), Y (t)) постоянно, а по Следствию 6.10 kX(t)k
\(t) постоянно.
и kY (t)k постоянны, отсюда следует, что cos X(t)Y
Аналоги Теоремы 6.9, а также Следствий 6.10 и 6.11 выполняются и для
больших размерностей. Отметим, что нижеследующее утверждение имеет место
только для двумерных поверхностей и не обобщается на высшие размерности.
Следствие 6.12 Пусть вдоль кривой r̄(t) на двумерной поверхности M заданы два векторных поля X(t) и Y (t), такие, что X(t) параллельно, а Y (t) имеет
\(t) между X(t)
следующие свойства: его норма kY (t)k постоянна и угол X(t)Y
и Y (t) – постоянный. Тогда Y (t) – также параллельно вдоль r̄(t).
Доказательство. Для определенности положим, что t ∈ [0, T ]. Обозначим
через Ỹ (t) параллельный перенос вектора Y (0) вдоль r̄(t). По Следствиям 6.10
\
и 6.11 норма kỸ (t)k и угол X(t),
Ỹ (t) постоянны. Поскольку Ỹ (0) = Y (0), то
\
отсюда и из условия следует, что kỸ (t)k = kY (0)k = kY (t)k и X(t),
Ỹ (t) =
\
\
X(0),
Y (0) = X(t),
Y (t). Так как норма и угол с фиксированным вектором X(t)
однозначно определяют вектор в двумерном пространстве Tr̄(t) M (полярные
координаты), отсюда следует, что Ỹ (t) = Y (t) при всех t. 2
6.3
Геодезические
Опять начнем с наводящих соображений. В евклидовом пространстве существует два эквивалентных определения прямой линии. Первое – прямая есть линия
r̄(t), у которой ускорение r̄00 (t) = dtd r̄0 (t) равно нулю и, следовательно, вектор
скорости r̄0 (t) постоянный, и второе – прямая есть линия, на которой реализуется кратчайшее расстояние между любыми двумя ее точками. При этом в
элементарной геометрии чаще используют второе определение, а в физике –
первое (первый и второй законы Ньютона). При внимательном рассмотрении
очевидна существенная разница между этими определениями: первое дает уравнение прямой dtd r̄0 (t) = 0, а второе, строго говоря, определением не является –
следует сначала доказать, что существует такая кривая, что на ней реализуется кратчайшее расстояние между любыми двумя ее точками. По сути дела это
свойство прямых, введенных первым определением, и, как оказывается, специфическое для плоскости. На поверхности указанные два определения (вернее
их аналоги) следует рассматривать отдельно. Начнем с первого.
63
Как мы объяснили в предыдущем параграфе, понятие постоянного (т.е.
"одинакового") вектора вдоль кривой на поверхности не определено, и его естественным аналогом является понятие параллельности. Так что понятно, что
аналогом первого определения прямой является следующее
Определение 6.13 Геодезической называется кривая r̄(t) на поверхности такая, что ее векторное поле скорости r̄0 (t) является параллельным векторным
полем вдоль этой кривой.
В соответствии с Определением 6.6 это означает, что
D 0
r̄ (t) = 0.
dt
(6.3)
Отметим, что формула (6.3) является прямым аналогом свойства прямой в
плоскости иметь ускорение, равное нулю.
Итак, геодезические на поверхности являются естественными аналогами
прямых в плоскости в смысле первого определения.
Используя уравнение (6.2), мы можем получить выражение для (6.3) в координатах. Для этого в (6.2) надо вместо координат произвольного вектора X
подставить координаты вектора dtd r̄(t) = r̄0 (t), который в данном случае параллелен вдоль r̄(t). Получим
X
q 00k +
Γkij q 0i q 0j = 0.
(6.4)
i,j
Отметим, что в отличие от (6.2), (6.4) является системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, и для нее не выполняется свойство типа Теоремы 6.7. Из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений мы можем получить для (6.4) только следующее утверждение о существовании и единственности решений, которое следует из того факта,
что Γkij являются гладкими функциями.
Теорема 6.14 Для любой точки m0 ∈ M и любого вектора X0 ∈ Tm0 M существует на достаточно малом интервале t ∈ [0, ε] и единственна геодезическая
r̄(t) такая, что r̄(0) = m0 и r̄0 (0) = X0 .
Из Следствия 6.10 и по определению геодезической мы получаем нижеследующее
Утверждение 6.15 Если r̄(t) геодезическая, то kr̄0 (t)k есть величина постоянная.
Опишем еще два свойства геодезических.
Теорема 6.16 Кривая r̄(t) на поверхности M является геодезической тогда
и только тогда, когда ее геодезическая кривизна во всех ее точках равна нулю.
64
Доказательство. Для удобства перейдем к натуральной параметризации.
D˙
Пусть r̄(s) – геодезическая, т.е. ds
r̄(s) = 0 при всех s (напомним, что точкой
мы обозначаем производную по натуральному параметру). Это означает, что
D˙
0 = ds
r̄(s) = P¨r̄(s) = ¨r̄(s)g , поскольку P¨r̄(s) и есть касательная составляющая
вектора ¨r̄(s) (см. (5.10)). Следовательно, k¨r̄(s)g k = kg (s) (см. Определение 5.11)
равно нулю при всех s.
Пусть kg (s) = k¨r̄(s)g k = 0 при всех s, т.е. вектор ¨r̄(s)g = 0 при всех s.
D˙
r̄(s) при всех s, т.е. r̄(s) – геодезическая. 2
Получаем 0 = ¨r̄g (s) = P¨r̄(s) = ds
Теорема 6.16 является для внутренней геометрии поверхности аналогом
Утверждения 5.4, в котором было показано, что равенство нулю обычной кривизны во всех точках кривой в пространстве выполняется только на прямых.
Теорема 6.17 Кривая r̄(t) на поверхности M является геодезической тогда
и только тогда, когда при всех s ее единичный вектор главной нормали с точностью до знака совпадает с единичным вектором нормали к поверхности.
Доказательство. Так же, как в доказательстве Теоремы 6.16, мы без ограничения общности можем перейти к натуральной параметризации. Пусть r̄(s)
D˙
– геодезическая. Тогда ds
r̄(s) = P¨r̄(s) = 0 при всех s. Это означает, что вектор
¨r̄(s) при всех s ортогонален касательной плоскости к поверхности. Напомним,
¨
что вектор главной нормали равен k¨r̄r̄(s)
(см. (5.2); как обычно, мы предпола(s)k
гаем, что k¨r̄(s)k 6= 0), так что этот вектор единичной длины тоже ортогонален
касательной плоскости к поверхности при всех s. Поэтому он равен ±n̄, где
[r̄u ,r̄v ]
– единичный вектор нормали к поверхности (напомним, направ±n̄ = k[r̄
u ,r̄v ]k
ление вектора n̄ зависит от выбора ориентации, поэтому может или совпадать
с направлением главной нормали к r̄(s), или быть ему противоположным).
¨(s)
Пусть k¨r̄r̄(s)k
= ±n̄ при всех s. Это означает, что вектор ¨r̄(s) при всех s орD˙
r̄(s) = 0, и
тогонален касательной плоскости к поверхности. То есть, P¨r̄(s) = ds
r̄(s) – геодезическая. 2
6.4
Пример: Геометрия двумерной сферы
Теперь рассмотрим в качестве примера геодезические на двумерной единичной
сфере S 2 и немного познакомимся с соответствующей геометрией (называемой
сферической), в которой роль прямых играют геодезические.
Определение 6.18 Окружностью большого круга на S 2 называется кривая,
полученная пересечением S 2 с любой плоскостью, проходящей через центр сферы.
На глобусе меридианы являются окружностями большого круга, а из параллелей таковой является только одна – экватор.
Дуги окружностей большого круга мы будем всегда рассматривать в какойнибудь равномерной параметризации (т.е. в которой норма вектора скорости
постоянна, но не равна нулю), например, в натуральной.
65
Теорема 6.19 Дуги окружностей большого круга и только они являются геодезическими на S 2 .
Доказательство. Пусть r̄(t) – дуга окружности большого круга, полученной пересечением S 2 с некоторой плоскостью Π, проходящей через центр сферы.
Для простоты перейдем к натуральному параметру. Поскольку кривая r̄(s) лежит в Π, в этой же плоскости лежат и векторы r̄˙ (s) и ¨r̄(s), причем последний (по
общей теореме) перпендикулярен первому и (нетрудно подсчитать) направлен
к центру окружности r̄(s) в Π. Однако центр этой окружности по построению
совпадает в центром S 2 , т.е. вектор ¨r̄(s) ортогонален касательной плоскости к
¨(s)
сфере. Значит, единичный вектор главной нормали k¨r̄r̄(s)k
с точностью до знака
2
совпадает с единичным вектором n̄ нормали к S . Так как это выполняется при
всех s, по Теореме 6.17 r̄(s) – геодезическая.
Отметим, что если в любой точке окружности большого круга r̄(t) провести
плоскость через вектор n̄ и вектор скорости r̄0 (t), то, поскольку n̄ лежит на радиусе сферы, полученная плоскость содержит центр сферы, т.е. совпадает с Π. Это
означает, что, задав в некоторой точке m0 сферы некоторый касательный вектор
X0 , мы построим плоскость Π (проходящую через центр) такую, что для соответствующей окружности большого круга r̄(s) в натуральной параметризации
выполняются свойства r̄(0) = m0 и r̄˙ (0) совпадает по направлению с вектором
X0 . Введем новый параметр t = kX0 ks. Получим kr̄0 (0)k = kr̄˙ (0)kt0s = kX0 k. Так
что для дуги окружности большого круга r̄(t) мы имеем r̄(0) = m0 и r̄0 (0) = X0 .
Иными словами, мы построили геодезическую – дугу окружности большого
круга – по заданным начальным условиям m0 и X0 . По Теореме 6.14 такая
геодезическая единственна. Следовательно, никаких геодезических, кроме дуг
окружностей большого круга, не существует. 2
Отметим очевидное свойство: любые два больших круга пересекаются в двух
диаметрально противоположных точках. Эти точки лежат на прямой (проходящей через центр сферы), по которой пересекаются плоскости, соответствующие
большим кругам. Отсюда следует неожиданный вывод: если мы определим по
аналогии со случаем плоскости понятие "параллельных прямых"на сфере S 2
как геодезических, которые не пересекаются, то окажется, что "параллельных
прямых"в сферической геометрии не существует. Мы зафиксируем это наблюдение в форме, похожей на пятый постулат Евклида о параллельных:
Утверждение 6.20 В сферической геометрии через любую точку, лежащую
вне прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной.
Напомним, что по пятому постулату Евклида в плоскости через точку вне
прямой можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.
Другим заметным отличием сферической геометрии от плоской является тот
факт, что сумма углов треугольника больше 180o . Мы проиллюстрируем это на
примере одного специального треугольника на земной поверхности, который используем для описания смысла и свойств параллельного переноса, следуя книге
[2].
66
Встанем на северном полюсе земного шара и выберем меридиан, идущий к
столице Эквадора городу Кито, который расположен в Южной Америке практически на самом экваторе. Почти на 90o восточнее (для простоты мы будем
считать, что ровно на 90o ), в Африке, тоже практически на экваторе, расположена столица Габона город Либревиль. Отметим, что стороны треугольника,
составленного из следующих дуг: меридиана от северного полюса до Кито, экватора от Кито до Либревиля и меридиана от Либревиля до северного полюса,
являются геодезическими (т.е. это аналог обычного треугольника в плоскости с
отрезками прямых в качестве сторон). Однако по построению этот треугольник
одновременно равносторонний и прямоугольный с суммой внутренних углов
270o .
Выйдем из северного полюса по меридиану в Кито, держа в руках вектор
(это может быть, например, заточенный карандаш), направленный на юг (т.е.
обращенный острием в сторону Кито, касательно к меридиану). Без ограничения общности можно считать, что это вектор нашей скорости, и, поскольку
меридиан – геодезическая, это будет параллельное векторное поле вдоль него в
соответствии с формальным определением геодезической. Обратите внимание,
что во время путешествия мы будем считать, что идем по прямой (так как никуда не сворачиваем), и воспринимать направление карандаша как постоянное,
т.е. будем нести карандаш (вектор) параллельно самому себе в том смысле, как
мы понимаем параллельность в обычной жизни.
Дойдя до Кито, повернем перпендикулярно влево и пойдем по экватору в
сторону Либревиля. Вектор будем по-прежнему держать направленным на юг,
т.е. под постоянным углом 90o к направлению нашего движения. При этом вектор опишет параллельное векторное поле: так как экватор – геодезическая, то
его касательное векторное поле параллельно; наш вектор имеет постоянную
норму и постоянный угол с параллельным векторным полем (касательным к
экватору), поэтому по Следствию 6.12 поле параллельно. Подчеркнем, что, как
и ранее, мы несем наш вектор параллельно в обыденном смысле, так как направление, перпендикулярное нашему движению, воспринимается как постоянное.
Дойдя до Либревиля, повернем перпендикулярно влево и пойдем по меридиану к северному полюсу. Вектор будем держать направленным на юг. Теперь
он будет равен нашей скорости со знаком минус. Как и по пути от северного
полюса к Кито, он образует параллельное векторное поле в обоих смыслах.
Итак, мы перенесли параллельно вектор по замкнутому пути по маршруту
северный полюс – Кито – Либревиль – северный полюс и в конечной точке пути
он оказался повернутым на 90o по сравнению с первоначальным положением.
Это показывает, что параллельный перенос зависит от кривой, вдоль которой
он осуществляется, и что это свойство естественно для сферической геометрии:
ведь мы переносили вектор параллельно самому себе не только по формальному
определению, но и по здравому смыслу!
67
6.5
Вариационные свойства геодезических
В этом параграфе мы обратимся к аналогу свойства прямой на плоскости реализовывать кратчайшее расстояние между любыми двумя своими точками.
Этот аналог состоит в следующем. Мы покажем, что на геодезической достигается не глобальный минимум длины (т.е. она не обязательно кратчайшая), а
экстремальное значение (локальный минимум на некотором множестве).
Из математического анализа известно, что задачи на экстремальные значения связаны с нахождением точек, в которых производная равна нулю. Отметим, что в нашем случае мы имеем дело с функциями, заданными на кривых
(длина кривой, понятно, есть функция самой кривой), т.е. аппарат дифференциального исчисления нужно обобщить, чтобы включить в него рассматриваемый
случай. Такое обобщение было проделано еще Л. Эйлером и получило название
вариационного исчисления. В настоящем параграфе мы изложим простейший
его вариант, оставив строгое изложение для специального предмета, читаемого
на старших курсах.
В вариационном исчислении введены новые названия для аналогов известных объектов. Так, функция, аргументом которой является кривая (для определенности положим, что все кривые заданы на отрезке t ∈ [0, T ]), а не точка,
называется функционалом.
p будем рассматривать два функционала: функR T Мы
I(r̄0 (t))dt (см. формулу 4.10) и так называемый
ционал длины s(r̄(t)) = 0
RT
функционал действия A(r̄(t)) = 0 I(r̄0 (t))dt.
Приращение аргумента заменяется понятием вариации кривой, которое описывается следующим образом. Для кривой r̄(t) ее вариация r̄(t, w) это гладкое
отображение прямоугольника [0, T ] × (−ε, ε) такое, что r̄(t, 0) = r̄(t). Термин
вариация означает, что, изменяя w, мы можем варьировать кривую r̄(t), т.е.
получать кривые вблизи нее. Так же, как в §6.1 (см. Лемму 6.5), мы будем
рассматривать векторные поля r̄t и r̄w на образе вариации (частные производные вариации r̄(t, w) по t и по w). В частности, векторы поля r̄w вдоль кривой
r̄(t) = r̄(t, 0) обозначим W (t) и назовем полем вариации.
Определение 6.21 Вариация r̄(t, w) называется вариацией с закрепленными
концами, если r̄(0, w) и r̄(T, w) принимают при всех w одни и те же постоянные значения.
Действительно, для вариаций кривой с закрепленными концами ее концы
не двигаются при изменении w (закреплены). В частности, r̄w (0, w) = 0 и
r̄w (T, w) = 0.
Замечание 6.22 Вообще говоря, функционалы длины и действия определены
на кусочно-гладких по t кривых (т.е. непрерывных на всем отрезке [0, T ] и
гладких везде, кроме конечного числа точек): значения функционалов на таких кривых находятся отдельно на каждом куске гладкости, и сумма найденных значений рассматривается как значение функционала на всей кривой. Поэтому, если рассуждать строго, то надо считать вариации также
кусочно-гладкими по t. Для упрощения изложения мы рассматриваем гладкие
вариации. Подчеркнем, что несмотря на это все полученные утверждения
68
оказываются верными и при рассмотрении кусочно-гладких вариаций кривых,
хотя из доказательств это не следует.
Производная заменяется понятием вариации функционала по вариации кривой. Для того, чтобы ее найти, надо в функционал подставить вместо кривой
данную ее вариацию и полученное выражение продифференцировать по w в
точке w = 0. Понятно, что вариация функционала действительно зависит от
выбора вариации кривой. В обычном одномерном анализе этому соответствуют производные слева и справа, поскольку приращение аргумента одномерно
(в положительную или отрицательную сторону). Здесь же множество вариаций
кривой существенно мощнее.
Вместо слова экстремум употребляют слово экстремаль: это кривая, на которой вариация функционала равна нулю для любой вариации кривой. Нам
потребуется специальный тип экстремалей, дадим его определение.
Определение 6.23 Экстремалью функционала с закрепленными концами называется кривая, на которой вариация функционала равна нулю при любой
вариации кривой с закрепленными концами.
Лемма 6.24 Вариация функционала действия на кривой r̄(t), найденная по
вариации r̄(t, w) с закрепленными концами, равна
Z
T
−2
I(
0
D 0
r̄ (t), W (t))dt,
dt
(6.5)
где W (t) – соответствующее r̄(t, w) поле вариации.
Доказательство. При выводе указанной формулы мы будем использовать
Леммы 6.4 и 6.5, а также вариант интегрирования по частям, основанный на
∂
D
D
D
формуле ∂t
I(r̄w , r̄t ) = I( dt
r̄w , r̄t ) + I(r̄w , dt
r̄t ), из которой следует I( dt
r̄w , r̄t ) =
∂
D
I(r̄
,
r̄
)
−
I(r̄
,
r̄
).
Напомним
также,
что
первая
квадратичная
форма
свяw t
w dt t
∂t
зана с первой фундаментальной формой по формуле I(r̄t ) = I(r̄t , r̄t ).
Итак,
Z T
Z T
Z T
∂
∂
∂
I(r̄t )dt|w=0 =
I(r̄t , r̄t )dt|w=0 =
I(r̄t , r̄t )dt|w=0 =
∂w 0
∂w 0
0 ∂w
Z T
Z T
D
D
D
r̄t )]dt|w=0 = 2
I( r̄t , r̄t )dt|w=0 =
[I( r̄t , r̄t ) + I(r̄t ,
dw
dw
dw
0
0
Z T
Z T
Z T
∂
D
D
I(r̄w , r̄t )dt|w=0 − 2
I(r̄w , r̄t )|w=0 .
2
I( r̄w , r̄t )dt|w=0 = 2
dt
dt
0 ∂t
0
0
RT ∂
Далее, 2 0 ∂t I(r̄w , r̄t )dt|w=0 = I(r̄w , r̄t )dt|w=0 |T0 = 0, так как r̄w (0, w) = 0 и
r̄w (T, w) = 0 по свойству вариации с закрепленными концами (см. выше). НаRT
RT
D
D 0
конец, −2 0 I(r̄w , dt
r̄t )|w=0 = −2 0 I(W (t), dt
r̄ (t)), поскольку по определению
0
r̄t (t, 0) = r̄ (t) и r̄w (t, 0) = W (t). 2
69
Теорема 6.25 Геодезические и только они являются экстремалями функционала действия с закрепленными концами.
D 0
r̄ (t) = 0. Тогда выражеДоказательство. Пусть r̄(t) – геодезическая, т.е. dt
ние (6.5) при любом W (t) равно нулю, поскольку один из сомножителей в первой
фундаментальной форме тождественно равен нулю. Так что вариация функционала A на r̄(t) равна нулю при любой вариации этой кривой с закрепленными
концами. Это по определению означает, что r̄(t) – экстремаль функционала A
с закрепленными концами.
Пусть r̄(t) – указанная экстремаль, т.е. выражение (6.5) есть ноль при любом
D 0
r̄ (t). Однако при таком
W (t). Значит, в частности, оно равно нулю при W (t) = dt
D 0
W (t) под интегралом в (6.5) стоит скалярный квадрат вектора dt
r̄ (t), который
больше или равен нуля, и интеграл может принимать нулевое значение только
D 0
D 0
r̄ (t))2 тождественно равно нулю. Следовательно, dt
r̄ (t) = 0 при всех t,
если ( dt
т.е. = r̄(t) – геодезическая. 2
Теорема 6.26 Геодезические и только они являются экстремалями функционала длины с закрепленными концами.
Доказательство. Сначала выведем аналог формулы (6.5).
Z Tp
Z Tp
∂
∂
I(r̄t )dt|w=0 =
I(r̄t , r̄t )dt|w=0 =
∂w 0
∂w 0
Z
Z T
∂
I(r̄t , r̄t )
∂ p
1 T ∂w
p
I(r̄t , r̄t )dt|w=0 =
dt|w=0
2 0
I(r̄t , r̄t )
0 ∂w
Напомним, что длина не зависит от параметризации. Поэтому мы можем
измеp
нить параметризацию по t в вариации r̄(t, w), чтобы kr̄t (t, w)k = I(r̄t , r̄t ) не
зависело от t, т.е. равнялась числу C(w). Тогда
Z
Z
Z T
∂
∂
I(r̄t , r̄t )
I(r̄t , r̄t )
1 T ∂w
1
∂
1 T ∂w
p
dt|w=0 =
I(r̄t , r̄t )dt|w=0
dt|w=0 =
2 0
2 0
C(w)
2C(w) 0 ∂w
I(r̄t , r̄t )
и, проведя вычисления до конца, мы получим формулу, отличающуюся от (6.5)
1
только наличием множителя 2C(w)
перед интегралом. Поэтому дальнейшие рассуждения дословно повторяют доказательство Теоремы 6.25. 2
Поясним отличие полученных нами утверждений от свойств прямых в плоскости. Прежде всего, через две различные точки поверхности может проходить
более одной геодезической. Например, через северный и южный полюсы земного
шара проходит бесконечно много меридианов, и все они являются геодезическими. Эти меридианы имеют одинаковую длину, однако города Кито и Либревиль
из примера предыдущего параграфа соединены бесконечным числом дуг экватора разной длины: дуга 90o от Кито до Либревиля; дуга 270o от Либревиля
до Кито; дуга 450o , начинающаяся в Кито, проходящая через Либревиль, затем
опять через Кито и заканчивающаяся в Либревиле и т.д. Все это дуги экватора,
то есть геодезические на сфере. Теорема 6.26 утверждает, что все они – экстремали длины с закрепленными концами. Это означает только, что каждая из
них является локальным минимумом длины, т.е. короче достаточно близких к
ней кривых, начинающихся в Кито и кончающихся в Либревиле. Только одна из
них, а именно дуга в 90o , является кратчайшей, то есть глобальным минимумом.
70
6.6
Возможные обобщения на многообразия
В предыдущих параграфах настоящей главы мы изучили большое число объектов, относящихся к внутренней геометрии поверхностей. Иными словами, их
можно "вынуть"из объемлющего пространства вместе с поверхностью, т.е. корректно определить на многообразии. Покажем, как это делается.
Сначала объясним, чему на многообразии соответствуют векторы r̄u и r̄v ,
играющие ключевую роль в предыдущих конструкциях. Напомним, что в карте (V, ϕ) n-мерного многообразия M задана система координат, которую мы
обозначим (q 1 , q 2 , . . . , q n ) (на двумерной поверхности это были (u, v)). В точке
m ∈ V рассмотрим координатные оси и на каждой из них построим вектор,
направленный касательно к оси в сторону возрастания координаты и имеющий
единичную (в этой карте, как в области соответствующего евклидова пространства) длину. Вектор, построенный по координате q i , обозначим через ∂i . Нетрудно показать, что, во-первых, эти векторы линейно независимы и, во-вторых,
аналогичные векторы в карте поверхности, построенные по u и v, соответствовали векторам r̄u и r̄v на поверхности. Отсюда понятно, что после вложения
многообразия M как поверхности в пространство достаточно большой размерности, векторы ∂1 , . . . , ∂n окажутся базисом в касательном пространстве. Линейная оболочка векторов ∂1 , . . . , ∂n станет при вложении самим касательным
пространством. Так что мы можем считать эту линейную оболочку представлением указанного касательного пространства в карте и обозначать по-прежнему
Tm M.
Напомним, что в точке m поверхности первая фундаментальная форма I( , )
– это скалярное произведение в касательном пространстве Tm M, полученное
сужением на это пространство скалярного произведения из R3 . Поскольку в
случае многообразия объемлющего пространства нет, то нет и скалярного произведения, которое можно сузить на касательные пространства. Поэтому мы
зададим в касательных пространствах скалярное произведение произвольным
образом, потребовав только, чтобы выполнялось условие гладкой зависимости
этого скалярного произведения от точки m, в следующем смысле. Обозначим
введенное скалярное произведение в Tm M символом < , >m и в соответствии
с общей конструкцией построим коэффициенты этого скалярного произведения
gij =< ∂i , ∂j >, которые объединим в матрицу (gij ). Подчеркнем, что числа gij
построены в каждой точке m, то есть образуют функции на карте V . Потребуем, чтобы эти функции были гладкими, что и является упомянутым выше
условием гладкой зависимости скалярного произведения от точки m. Теперь
мы можем сформулировать следующее
Определение 6.27 Набор скалярных произведений в касательных пространствах Tm M к многообразию M, гладко зависящих от точки m, называется
римановой метрикой на M и обозначается < , >. Многообразие, на котором
зафиксирована некоторая риманова метрика, называется римановым многообразием.
Имеется теорема Нэша, которая утверждает, что любое риманово многообразие может быть вложено как поверхность в пространство достаточно боль71
шой размерности так, что риманова метрика окажется первой фундаментальной
формой, т.е. введенное нами скалярное произведение в касательных пространствах будет совпадать с сужением скалярного произведения из объемлющего
пространства.
Теперь построим обратную к (gij ) матрицу (g ij ), введем символы Кристоффеля первого рода Γij,k по формуле (5.25), перейдем к символам Кристоффеля
D
второго рода по формуле (5.27) и определим ковариантную производную dt
X(t)
вдоль некоторой кривой r̄(t) формулой (6.1). Понятно, что во всех указанных
формулах i, j, k, l теперь изменяются от 1 до n. Подчеркнем, что ранее мы вывели указанные формулы, исходя из наглядных определений и конструкций на
поверхности, а теперь используем их в качестве определений.
Векторное поле X(t) вдоль кривой r̄(t) назовем параллельным, если dtd X(t) =
0, кривую r̄(t) назовем геодезической, если векторное поле r̄0 (t) параллельно,
D 0
т.е. dt
r̄ (t) = 0, и т.д. Важно отметить, что утверждения Лемм 6.3, 6.4, 6.5, Теорем 6.7, 6.9, Следствий 6.10 и 6.11, Теоремы 6.14, Утверждения 6.15 и Теорем
6.25 и 6.26 остаются верными. Полученная теория называется уже не внутренней геометрией поверхностей, а геометрией римановых многообразий или
римановой геометрией. Она широко используется в приложениях, например, в
теоретической физике.
Дальнейшее обобщение связано с отказом от римановой метрики. В этом
случае символы Кристоффеля второго рода вводятся не по формулам (5.27), а
из других соображений (можно даже задать произвольно n3 функций на V и
назвать их символами Кристоффеля второго рода; при этом получится непротиворечивая теория). Ковариантная производная по-прежнему вводится формулой (6.1). Затем аналогично предыдущему дается определение параллельного векторного поля и геодезической. Однако в этом случае многие из свойств
изменятся. Важно отметить, что полученные таким образом теории также используются в приложениях.
6.7
Пример: Элементы планиметрии
Лобачевского
Как известно, Н.И. Лобачевский (и почти одновременно с ним К. Гаусс и Я. Бойяи) показал, что столь же непротиворечивой, как геометрия Евклида, является
геометрия, в которой пятый постулат Евклида о параллельных (о котором мы
говорили в §6.4) заменяется на следующий:
Через точку в плоскости, лежащую вне заданной прямой, можно провести
2 прямые, параллельные данной.
При выполнении этого постулата сумма внутренних углов треугольника оказывается меньше 180o .
Отметим, что из существования двух прямых, параллельных данной и проходящих через выбранную точку, сразу следует, что таких прямых бесконечно
много. Любая прямая, расположенная между двумя параллельными, тоже не
может пересекать данную прямую. Принято называть параллельными только
две "крайние"прямые, а лежащие между ними прямые называются просто не
72
пересекающими данную.
Сам Лобачевский считал, что либо его, либо евклидова геометрия является
геометрией реального мира (для выяснения, какая именно, он обдумывал возможные эксперименты). Как выяснилось, это не так, но открытие геометрии
Лобачевского послужило серьезным импульсом для дальнейших исследований.
После работ создателя римановой геометрии Г.Ф.Б. Римана стало понятно, что
геометрии Евклида, Лобачевского и, скажем, сферическая (в которых через
точку вне прямой можно провести ровно одну, не менее двух и, соответственно, нельзя провести ни одной прямой параллельной данной, см. §6.4) являются
частными случаями римановой геометрии при специальных заданиях римановой метрики, а после работ А. Эйнштейна – что геометрия реального мира является лоренцевой (одно из обобщений римановой геометрии), причем метрика
зависит от распределения материи во вселенной. Однако интересно, что геометрия Лобачевского используется при построении лоренцевой метрики, которая
считается стандартной при глобальном описании нашего мира.
Итак, геометрия Лобачевского была реализована как геометрия геодезических на плоскости со специальной римановой метрикой. Однако плоскость с
этой метрикой нельзя вложить в R3 так, чтобы метрика оказалась первой фундаментальной формой (см. предыдущий параграф) – такое вложение возможно
только в пространство более высокой размерности. Поэтому для наглядности
планиметрию Лобачевского изучают на так называемых моделях. Это означает,
что плоскость Лобачевского отображают на какую-нибудь "хорошую"область
обычной плоскости, где для возникшей в результате этого отображения римановой метрики вычисляют геодезические и другие объекты.
Мы очень кратко рассмотрим так называемую модель Пуанкаре и ограничимся показом того, что в ней действительно выполняется постулат о параллельных в форме Лобачевского.
Плоскость Лобачевского в модели Пуанкаре – это верхняя полуплоскость
2
R+ = {(u, v) ∈ R2 |v > 0}, на которой риманова метрика задается формулой
ds2 = v12 (du2 +dv 2 ) (мы записали ее как первую квадратичную форму). Отметим,
что точно такой же вид принимает первая квадратичная форма псевдосферы
после соответствующей замены координат. Это означает, что в карте псевдосферы геометрия такая же, как в области плоскости Лобачевского. Таким образом,
локально мы все же можем наглядно представить геометрию Лобачевского.
2
Ось абсцисс v = 0 называется абсолютом. В R+
эта прямая не входит.
ij
Для указанной метрики матрицы (gij ) и (g ) имеют вид
µ 1
¶
µ 2
¶
0
v
0
2
ij
v
(gij ) =
;
(g ) =
.
1
0
0
v2
v2
Найдем Γij,k по формуле (5.25) и Γkij по формуле (5.27). Получим
Γ111 = Γ122 = Γ212 = Γ221 = 0
1
Γ112 = Γ121 = − ;
v
1
Γ211 = ;
v
73
1
Γ222 = − .
v
По формуле (6.4) с полученными символами Кристоффеля геодезические описываются системой дифференциальных уравнений
½ 00 2 0 0
u − vu v = 0
v 00 + v1 (u0 )2 − v1 (v 0 )2 = 0
Ее решениями являются кривые двух типов: (u − C1 )2 + v 2 = C22 – полуокружности радиуса C2 > 0 с центром в точке (C1 , 0) на абсолюте – и u = const
– вертикальные полупрямые (впрочем, вертикальные полупрямые можно считать полуокружностями бесконечного радиуса с центром в бесконечно удаленной точке абсолюта).
На Рис. 1 через точку O вне прямой (т.е. геодезической) AB проходят две
прямые – CB и AD – параллельные AB. Они характеризуются тем, что имеют
с прямой AB общие точки пересечения с абсолютом. Так что они не пересека2
ются с AB (напомним, абсолют не входит в R+
). Однако малое шевеление этих
кривых в соответствующую сторону приведет к тому, что они будут пересекать
2
. Через точку O можно провести бесконечно много прямых, коAB внутри R+
торые пересекают абсолют между A и C с одной стороны и между B и D с
другой. Это прямые, не пересекающие AB.
Рис.1
На Рис. 2 и Рис. 3 изображены случаи с другим расположением точки O и
с другим типом геодезической AB.
Рис. 2
74
Рис. 3
75
Литература
[1] Введение в топологию. /Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич
Я.А., Фоменко Т.Н.- М.: Наука, 1995.- 416 с.
[2] Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.-М.: Наука, 1981.-344 с.
[3] Гликлих Ю.Е. Что такое гладкое многообразие? // Соросовский образовательный журнал.- 1998.- N 11.-С. 155-159.
[4] Гликлих Ю.Е. О понятиях топологического пространства и непрерывного
отображения.// Соросовский образовательный журнал.- 2000.- Т. 6.- N 11.С. 116-121.
[5] Дифференциальная геометрия /Под ред. А.С. Феденко.-Минск: Изд-во
БГУ, 1982.-256 с.
[6] Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия.-М.: Наука, 1974.-176 с.
[7] Постников М.М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия.-М.:
Наука, 1979.-312 с.
[8] Стинрод Н., Чинн У. Первые понятия топологии.- М.: Мир, 1967.- 224 с.
[9] Топология / Под ред. А.С. Феденко.- Минск: Вышэйш. шк., 1990.- 320 с.
[10] Франсис Дж. Книжка с картинками по топологии.- М.: Мир, 1991.- 240 с.
[11] Фукс Д.Б., Фоменко А.Т. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989.496 с.
76