О. А. Данилов ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА

УДК 517.548
О. А. Данилов
ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА ДЛЯ
ДИСКРЕТНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ∗
Целью настоящей работы является доказательство теорем существования и единственности разложения Тейлора для дискретной аналитической функции, определенной на некоторой
конечной части гауссовой плоскости. В частности, доказано, что каждая дискретная аналитическая функция, определенная на квадрате, совпадает со своим дискретным полиномом Лагранжа.
Ключевые слова: дискретная аналитическая функция, полином Лагранжа, целая функция.
Введение
Понятие дискретной аналитической функции введено Ж. Ферран [2] в 1944 г. Основания теории дискретных аналитических функций заложены в пионерских работах
Р. Айзека [3], Р. Дж. Даффина [4] и других авторов.
Рассмотрим комплекснозначную функцию f , определенную на некотором подмножестве целочисленной гауссовой решетки G = {x + iy : x, y ∈ Z}. Пусть f определена
на квадрате, содержащем точки {z, z + 1, z + 1 + i, z + i}, тогда f называется дискретной
аналитической функцией на этом квадрате, если справедливо соотношение:
или иначе
f (z + 1 + i) − f (z)
f (z + i) − f (z + 1)
=
,
i+1
i−1
(1)
f (z) + if (z + 1) + i2 f (z + 1 + i) + i3 f (z + i) = 0.
(2)
Если соотношение (2) справедливо для каждого квадрата, принадлежащего множеству
D ⊂ G, мы говорим, что f является дискретной аналитической функцией на D.
Обозначим G+ часть гауссовой плоскости, содержащейся в первом квадранте
G+ = {x + iy ∈ G : x ≥ 0, y ≥ 0}.
Дискретная аналитическая функция, определенная на всем G+ , называется целой.
Д. Цайльбергер [5] построил систему псевдостепеней
πk (z) = πk (x, y) =
¯
ξ
−ξ
dk
¯
1+i − i]x [(1 − i)e 1+i + i]y ¯
,
[(1
+
i)e
dξ k
ξ=0
(3)
играющих роль базиса в пространстве целых функций. Дискретные полиномы πk (z)
наследуют многие свойства комплексных полиномов z k , где z = x + iy ∈ G.
∗
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта APVV SK-RU-0007-07.
ISSN 1818-7897. Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2008. Т. 8, вып. 4. C. 33–39
c О. А. Данилов, 2008
°
34
О. А. Данилов
В частности, справедливы [5]:
(A1)
πn (0) = 0 для всех n > 0,
(A2)
πn (z) удовлетворяет биномиальному тождеству,
n µ ¶
X
n
πn (z + w) =
πs (z)πn−s (w),
s
s=0
(A3)
π0 (z) ≡ 1 для всех n ≥ 1 πn (z) = z n + Pn−1 (x, y),
где Pn−1 является полиномом от (x, y) степени ≤ n − 1,
(A4)
∞
X
ak πk (z) сходится абсолютно для всех z ∈ G+ если
k=0
∞
X
ak ξ k сходится для всех ξ ∈ C.
k=0
Кроме того, А. Медных в работе [1] показал, что
(A5)
для каждой целой дискретной аналитической функцииf (z)
существует целая функция
∞
X
ak ξ k
k=0
такая, что f (z) =
∞
X
ak πk (z), z ∈ G+ .
k=0
Также в работе [1] установлено, что
(A6)
∞
X
ak πk (z) ≡ 0, z ∈ G+ если и только если F (n) = 0
k=0
для всех n = 0, ±1, ±2, . . . , где F (ξ) =
∞
X
µ
ak
k=0
ξ
1+i
¶k
.
В силу свойства (A6) дискретное разложение Тейлора не является единственным.
Например, рассматривая в (A6) функцию F (ξ) = exp(2πiξ) − 1, мы получим
∞ √
X
( 8π)k 3π ik
e 4 πk (z) ≡ 0, z ∈ G+ .
k!
(4)
k=1
Целью настоящей работы является доказательство теорем существования и единственности разложения Тейлора для дискретной аналитической функции, определенной
в некоторой конечной части гауссовой плоскости. В частности, в теореме 3 доказывается,
что каждая дискретная аналитическая функция, определенная на квадрате, совпадает
со своим дискретным полиномом Лагранжа.
Соотношение между аналитическими и
дискретными аналитическими функциями
Пусть z = x+iy ∈ G+ и ξ ∈ C. Мы положим k z k = max{ x, y } и определим квадрат
QR как
QR = { z ∈ G+ : k z k < R},
Интерполяционная формула Лагранжа
35
и круг UR как
UR = { ξ ∈ C : | ξ | < R}.
Обозначим через A(UR ) и D(QR ) множество аналитических на UR и множество дискретных аналитических функций на QR , соответственно.
Мы также используем следующие обозначения QR = {z ∈ G+ : k z k ≤ R} и
PR1 ,R2 = {z = x + iy ∈ G+ : x < R1 , y < R2 }.
Очевидно, что для каждого целого неотрицательного N мы имеем QN = QN +1 =
= QN +ε , где 0 < ε < 1.
∞
P
С каждым степенным рядом F (ξ) =
ной ряд f (z) =
³
ak
k=0
∞
P
ξ
1+i
´k
ассоциируем дискретный степен-
ak πk (z).
k=0
Покажем, что с этой точки зрения соответствие Θ : F → f определяет отображение
Θ : A(UR ) → D(QR ),
(5)
которое является отображением «на» и становится гомоморфизмом алгебр при условии,
что умножение в D(QR ) задается правилом
∞
³X
∞
∞ ³X
n
´ ³X
´ X
´
ak πk (z) ·
bk πk (z) =
ak bn−k πn (z).
k=0
Теорема 1. Пусть F (ξ) =
f (z) =
∞
P
n=0 k=0
k=0
∞
P
³
ak
k=0
(6)
ξ
1+i
´k
и F ∈ A(UR ). Тогда ассоциированный ряд
ak πk (z) сходится для всех z ∈ QR и f ∈ D(QR ). Более того, в этом случае для
k=0
каждого z = x + iy ∈ QR мы имеем
f (z) =
где
c(x, y, s) =
1
2πi
Z
Γ
x
X
(7)
c(x, y, s)F (s),
s=−y
[(1 + i)ξ − i]x [(1 − i)ξ −1 + i]y
dξ,
ξ s+1
(8)
а Γ— любой контур, содержащий внутри 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предварительно доказывается
Лемма 1. Для каждого z = x + iy ∈ G+ справедливы равенства
¶k
µ
x
X
s
, k = 0, 1, 2, . . . ,
πk (z) =
c(x, y, s)
1+i
s=−y
(9)
где c(x, y, s) определяются формулой (8).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
ζ=e
ξ
1+i
Рассмотрим следующее лорановское разложение по степеням
,
ξ
ξ
e(ξ; z) ≡ [(1 + i)e 1+i − i]x [(1 − i)e− 1+i + i]y =
x
X
sξ
c(x, y, s)e 1+i .
s=−y
Следовательно, по определению
µ
¶k
x
x
´¯
X
X
¯
sξ
dk ³ 1+i
s
dk
¯
¯
c(x, y, s) k e
=
c(x, y, s)
πk (z) = k e(ξ; z) ξ=0 =
.
ξ=0
1+i
dξ
dξ
s=−y
s=−y
36
О. А. Данилов
Для доказательства теоремы, заметим что поскольку F ∈ A(UR ) и kzk = max{x, y} < R,
то степенной ряд
F (s) =
f (z) =
=
∞
X
ak πk (z) =
k=0
x
X
c(x, y, s)
s=−y
µ
ak
k=0
сходится для каждого s, −y ≤ s ≤ x.
По лемме 1
∞
X
∞
X
k=0
∞
X
"
s
1+i
x
X
ak
s=−y
µ
ak
k=0
s
1+i
¶k
µ
c(x, y, s)
¶k
x
X
=
s
1+i
¶k #
=
c(x, y, s)F (s)
s=−y
сходится как конечная сумма сходящихся рядов.
Теорема 2. Пусть F и f те же самые, что и в теореме 1. Тогда для всех целых s,
0 ≤ s ≤ R справедливы равенства
F (s) = (1 − i)−s
s
X
( ks ) (−i)k f (k),
(10)
k=0
F (−s) = (1 + i)−s
s
X
( ks ) ik f (ik).
(11)
k=0
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для каждого целого s ≥ 0 имеем
−s
s
ζ = (1 + i)
−s
[((1 + i)ζ − i) + i] = (1 + i)
s
s
X
( ks ) [(1 + i)ζ − i]k is−k .
k=0
Следовательно, производя вычисления по формуле (8), для каждого целого r получим
−s
(1 + i)
s
X
( ks ) c(k, 0, r)is−k
k=0
1
=
2πi
Z
ζs
Γ
ζ r+1
dζ = δs,r ,
(12)
где δs,r — символ Кронеккера.
Аналогично,
ζ
−s
−s
= (1 − i)
[((1 − i)ζ
−1
+ i) − i] = (1 − i)
s
−s
s
X
( ks ) [(1 − i)ζ −1 + i]k (−i)s−k
k=0
и
(1 − i)−s
s
X
( ks ) c(0, k, r)(−i)s−k =
k=0
1
2πi
Z
Γ
ζ −s
dζ = δ−s,r .
ζ r+1
(13)
Пусть теперь 0 ≤ s < R. Используя (12), (8) и (7) имеем
F (s) =
s
X
δs,r F (r) =
r=0
= (1 + i)−s
s
X
(1 + i)−s
r=0
s
X
k=0
( ks ) is−k
s
X
( ks ) c(k, 0, r)is−k F (r) =
k=0
s
X
c(k, 0, r)F (r) = (1 − i)−s
r=0
s
X
( ks ) (−i)k f (k).
k=0
Повторяя те же рассуждения, из (13) и (7) получим (11).
Замечание 1. Проводя рассуждения теоремы 2 в обратном порядке, мы получим следующее
Интерполяционная формула Лагранжа
37
Предложение 1. Пусть F ∈ A(UR ) и f ∈ D(QR ). Соотношения (10) и (11) верны для
всех целых s, 0 ≤ s < R тогда и только тогда, когда соотношения (7) и (8) справедливы
для всех целых k, 0 ≤ k < R.
Замечание 2. Теорема 1 и теорема 2 доказаны в [1] для случая R = +∞.
Следующее утверждение немедленно вытекает из теорем 1 и 2.
³ ´k
∞
P
ξ
ak 1+i
Следствие 1. Пусть F (ξ) =
— функция, аналитическая в круге UR . Тогда
k=0
f (z) =
∞
X
ak πk (z) ≡ 0, z ∈ QR
k=0
если и только если F (s) = 0 для каждого целого s, такого что |s| < R.
Теорема 3. Пусть N — неотрицательное целое и f (z) — дискретная аналитическая
функция в квадрате QN +1 . Тогда существует единственный дискретный полином
l(z) = a0 + a1 π1 (z) + . . . + a2N π2N (z),
(14)
такой что f (z) = l(z) для каждого z ∈ QN +1 .
Существование. Рассмотрим числа F (s), s = 0, ± 1, . . . , ± N,
³ ´k
2N
P
ξ
— однозначно опредеопределенные формулами (10) и (11). Пусть L(ξ) =
ak 1+i
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
k=0
ленный интерполяционный многочлен Лагранжа, такой что
L(s) = F (s), s = 0, ±1, . . . , ±n.
Рассмотрим дискретный полином l(z) =
2N
P
(15)
ak πk (z), ассоциированный с L(ξ). По теоре-
k=0
ме 1 он представим в виде
l(z) =
x
X
c(x, y, s)L(s), z ∈ QN +1 .
s=−y
Убедимся, что значения функций l(z) и f (z) совпадают на множестве QN +1 . Действительно, по теореме 2, для любого k = 0, 1, . . . , N справедливы равенства
k
k
X
X
l(k) =
c(k, 0, s)L(s) =
c(k, 0, s)F (s) = f (k)
s=0
и
l(ik) =
0
X
s=0
c(0, k, s)L(s) =
s=−k
0
X
c(0, k, s)F (s) = f (ik).
s=−k
Поскольку обе функции f (z) и l(z) принадлежат D(QR ), из полученных равенств имеем
l(z) = f (z) при z ∈ QN +1 . Единственность. Пусть
l0 (z) = b0 + b1 π1 (z) + ... + b2N π2N (z)
дискретный полином, такой что f (z) = l0 (z), для всех z ∈ QN +1 . Положим
L0 (ξ) =
2N
X
k=0
bk (
ξ k
) .
1+i
38
О. А. Данилов
По теореме 2 имеем
L(s) = L0 (s),
s = 0, ±1, . . . , ±N.
(16)
Заметим, что L(ξ) и L0 (ξ) — комплексные полиномы степени не выше 2N . Отсюда L = L0
и, следовательно, l = l0 . Далее, построенные в доказательстве теоремы полиномы
L = L(ξ) = Lf,N = Lf,N (ξ),
и
l = l(z) = lf,N = lf,N (z)
будем называть, соответственно, ассоциированным полиномом Лагранжа и дискретным
полиномом Лагранжа функции f (z) на квадрате QN +1 .
В силу теоремы 1, отображение Θ в формуле (5) корректно. Теорема 3 показывает,
что Θ является отображением «на». Нижеприведенное следствие описывает все разложения Тейлора дискретной аналитической функции, определенной на квадрате.
Следствие 2. Пусть F ∈ A(UR ) и f ∈ D(QR ). Предположим, что Θ(F ) = f . Тогда для
любого целого N , такого что 0 ≤ N < R, справедливо разложение
F = G · FN + Lf,N
где
FN (ξ) = ξ
N
Y
(17)
(ξ 2 − k 2 ),
k=1
Lf,N — ассоциированный многочлен Лагранжа функции f (z) на QN +1 , а G(ξ) — некоторая аналитическая в круге UR функция. Таким образом,
D(QR ) = A(UR )/hFN i,
где hFN i = FN A(UR )— главный идеал в A(UR ), порожденный многочленом FN .
Автор благодарит научного руководителя проф. А. Д. Медных за полезные советы
при написании настоящей статьи и плодотворные обсуждения по данной проблематике
в целом.
Список литературы
1. Медных А. Д. Дискретные аналитические функции и ряд Тейлора // Теория отображений, ее обобщения и приложения: Сб. науч. тр. Киев: Наук. думка. 1982. С. 137–144.
2. Ferrand J. Fonctions Preharmoniques et Functions Preholomorphes // Bull. Sci. Math.,
2nd Ser.
1944. Vol. 68. P. 152–180.
3. Isaacs R. F. A Finite Difference Function Theory // Univ. Nac. Tucuman. Revista A.
1941 Vol. 2. P. 177–201.
4. Duffin R. J. Basic Properties of Discrete Analytic Functions // Duke Math. J. 1956.
Vol. 23. P. 335–363.
5. Zeilberger D. A New Basis for Discrete Analytic Polynomials // J. Austral. Math. Soc.
1977. Vol. 23 (Series A). P. 95–104.
Интерполяционная формула Лагранжа
39
Материал поступил в редколлегию 17.07.2008
Адрес автора
ДАНИЛОВ Олег Александрович
РОССИЯ, 630090, Новосибирск
ул. Пирогова, 2, Новосибирский
государственный университет
тел.: (383) 363-40-20
e-mail: odanilov@ngs.ru