СПОСОБ АНАЛИЗА ВЕРОЯТНОСТНЫХ И МОЩНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МНОЖЕСТВА ПАРЕТО

Научные сообщения
Д.Г. Зыбин, Д.Б. Десятов
СПОСОБ АНАЛИЗА ВЕРОЯТНОСТНЫХ И МОЩНОСТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
METHOD OF ANALYSIS OF PROBABILISTIC AND POWER
CHARACTERISTICS OF THE PARETO SET
Вводится понятие среднего числа недоминируемых по бинарному отношению
альтернатив как эффективного инструмента анализа вероятностных и мощностных
характеристик двух множеств: множества недоминируемых вариантов и множества
наилучших вариантов. Даются асимптотические формулы, описывающие связи между
этими величинами.
The article introduces the concept of non-dominated by the average number of binary
relation alternatives, as an effective tool of probabilistic analysis and power characteristics of
the two sets: the set of non-dominated set of options and the best option. Asymptotic formulas
describing the relationship between these variables are given.
Рассмотрим особенности множества решений в задачах векторной оптимизации.
Для такого класса задач характерно, что множество вариантов решений, из которых
выделяется оптимум, является множеством Парето [1]. Принятие решений на множестве Парето связано с неопределенностью правила выбора. Но в силу необходимости
решения задачи способ формирования решающего правила обычно порождается системой или методом принятия решения самым определенным образом [2, 3]. Таким образом, на вход детерминированного решающего правила поступает случайное множество.
Следовательно, оптимум также будет случайным множеством, а его мощность является
случайной целочисленной величиной. Как известно, математическое ожидание этой
величины формализуется в виде среднего числа недоминируемых вариантов [4]. В виду
того, что в задачах подобного рода имеется недостаток априорной информации об исходном множестве вариантов, используемых для выбора оптимальных, становится актуальным нахождение среднего числа недоминируемых (оптимальных) вариантов.
Предположим, что на некотором множестве вариантов решений задано бинарное
отношение и анализируется, сколько из этих решений составляет множество Парето.
Число таких вариантов, естественно, тоже случайная величина и является главным изучаемым объектом данной работы.
Постановка задачи. Пусть A — исходное множество вариантов решений. Считаем, что на A задана -алгебра и вероятностная мера . Бинарное отношение R  A  A
предполагается измеримым относительно соответствующей -алгебры. Введем N —
целочисленную случайную величину, а также X — повторную независимую выборку
объема N (т.е. сначала разыгрывается число N, а потом из A выделяется N точек x1, x2,
..., xN в соответствии с мерой , X={ x1, x2, ..., xN }.
Тогда множество недоминируемых по бинарному отношению вариантов может
быть определено как MaxRX = { x  X :  y  Y неверно, что yRx }, т.е. вариант x не
может считаться лучшим, если при сравнении с другим вариантом он окажется хуже в
276
Вестник Воронежского института МВД России №4 / 2014
смысле данного бинарного отношения. Следовательно, множество лучших в этом
смысле объектов и будет множеством недоминируемых (оптимальных) вариантов, или
множеством Парето. Как уже отмечалось, количество недоминируемых в X вариантов
MaxRX является случайным числом.
Математическое ожидание случайной величины MaxRX назовем средним числом
недоминируемых проектных вариантов e(N) в выборке объема N, т.е. e(N) = EMaxRX,
где E — оператор математического ожидания.
В [4, 5] определяется среднее число оптимальных вариантов S для графодоминантной функции C(X), как вероятность того, что x1  C(X), умноженное на n в силу
перестановочности xi, X={ x1, x2, ..., xn }; т.е. ES = nP ( x1  C(X) ).
Так как С — графодоминантная функция, эта формула для иррефлексированного
отношения R может быть переписана следующим образом:
ES=n  (1-m(a)) n-1d(a),
A
(1)
где m(a) — измеримая почти всюду функция на A мера верхнего среза в точке a:
m(a) = {Ra }.
Подынтегральное выражение в (1) есть условная вероятность того, что если x1 = a,
он не доминируется никакой из оставшихся n–1 точек, а интеграл усредняется по всевозможным а.
Иррефлексивность R необходима для того, чтобы а не доминировал себя. Всюду в
работе предполагается иррефлексивность всех бинарных отношений.
Под паретовским i-м слоем будем понимать совокупность элементов предъявления X, доминируемых в точности i-ми элементами их X.
От формулы (1) перейдем к изучению функции распределения меры верхнего среза в случайной точке. Согласно введенным обозначениям и [5], среднее число недоминируемых вариантов есть e(N) = E  MaxRX, где X — случайная выборка. Возьмем N
случайных величин: 1, 2 ,..., N : i  1 , если xi  MaxRX и  i =0, если xi  MaxRX. Все  i
измеримы. В силу симметричности  i их перенумерация не изменит их совместного
N
распределения. Следовательно, Max R X    i . Значит, с учетом симметричности i :
i 1
N
e( N)  E  Max R X  E

i 1
N
i 
 E
i
 NE1 .
i 1
Вероятность того, что первый вариант из выборки недоминируем, т.е.
NE1  P(x1  Max R X) . Следует отметить, что такое представление среднего числа недоминируемых по бинарному отношению вариантов будет верно не только для графодоминантной, но и для функции выбора произвольной природы.
Затем рассмотрим вероятность P(x1  Max R X) . Если x1  a  A, то это значит вероятность того, что ни один из вариантов x1, x2, ..., xN не доминирует x1, т.е. x2, ..., xN 
RA. Представим меру верхнего среза Rа через mà. По теории Фубини эта функция является измеримой и P(x1  Max R X N (x1  a)  P(x 2 ,...,x N  A \ R A ) = (1  m(a )) N1 , в силу независимости xi .
Проинтегрируя последнее выражение по всевозможным а, получим выражение
для нахождения полной вероятности
277
Научные сообщения

e(N) = N (1 - m(a)) N -1 dP(a ).
A
Так как m(a) — мера верхнего среза и случайная величина, формализуем ее функцию распределения в виде F(m) = P( m(x) < m ) =  { a  A : m(A) < m }.
Тогда, по теореме Фубини:
1

e(N) = N (1 - m) N-1 dF(m).
(2)
0
В качестве пределов интегрирования взят интервал [0, 1], так как m(a) — вероятностная мера множества и 0  m  1. Формула (2) показывает, что среднее число недоминируемых вариантов для бинарных отношений e(N) является преобразованием Меллина меры dF(m). При n   вопрос об асимптотике e(N) сводится к вопросу об асимптотике F(m) в нуле, а асимптотическое разложение F(m) определяет асимптотическое
разложение e(n).
Далее рассмотрим вероятностные характеристики среднего числа недоминируемых вариантов. Введем обозначения. Под пересечением вариантов a  b — будем понимать такую ситуацию, когда или b доминирует a, или, наоборот, a  b  a, b  A,
( aRb )  ( bRa ). Упорядоченный конечный набор целых чисел I = ( i1, ..., iI ) является мультииндексом. Под мерой объединения верхних срезов в точках a i1 ,...,a i I , aj  A
будем понимать m I (a i1 ,...,a i I )  P(x  R x i1  ... R x iI ) . Под мерой пересечения верхних срезов будем понимать m1I (a i1 ,...,a i I )  P(x  R x i1  ... R x iI ) ; i — индикатор события xi  Rx,
X = {x1, ..., xN}, P1(n )  E(1 2 ...1 N = n) , при этом
n[ k ] 
n!
 n (n  1)...(n  k  1) ,
(n  k )!
если n < k, то n[k] = 0. Стандартным методом вычисления моментов S = MaxRX является

представление: S    i . Тогда
i 0
ES 
k

 P(N  n) E (S )N  n)  ES   P(N  n) E (S )N  n) 
k

k
n
 P(N  n) E (  )
i
i =1
k

N  n 

k

n
 P(N  n) E (  )
i
i =1
k

N  n

.
В свою очередь E(( i ) k N  n) представляется в виде полигона от величин
n[l]pl(n). Приведем значение формулы для ES2:
ES2   P( N  n) E ( i2 ) N  n =  P( N  n) E ( i ) N  n +



 i  j

+ E   i  j N  n  =


 P(N  n np (n)  n
1
[ 2]
p 2 (n )

.
Величины pl(n) будем вычислять следующим образом. Точки x1, ... , xl являются
недоминируемыми, если они не доминируются остальными вариантами выборки и xi 
xj, i, j  1, т.е. варианты x1, ... , xl попарно несравнимы. Первое условие выполнено, если ни в один из имеющихся верхних срезов xi не попадет ни один из оставшихся n–1
элементов x, т.е. ни один оставшийся элемент x не попадет в объединение верхних срезов R x1  ... R x l . Отсюда по теореме Фубини
278
Вестник Воронежского института МВД России №4 / 2014

Pl (n) 
1
 (1  m)
(1  m (1,...,l) )(a1 ,...,a l )d(a1 )d(a 2 )...d(a l ) =
a1 a 2 ...a l
n 1
dP(m (1,...,l)  m, x1  ...  x l ) .
0
Формула для дисперсии DS(N) при фиксированном N будет иметь вид
DS( N)  E(S2 ( N)  (ES( N)) 2  n[2]p 2  Np1  N 2 p12 .
Исходя из формулы для pl(n), получаем
 (1  m )
2 n 2
DS( N)  n [ 2]
 (1  m )
1 n 1
dx1dx 2 – n
(1  m 2 ) n 1 dx1dx 2 + n
x1  x 2
x1  x 2
 (1  m )
1 n 1
dx1 .
x1  x 2
При этом следует учитывать, что N может и не быть фиксированной величиной.
Предположим, что N распределено случайно. Допустим, что N распределено пуассоновски, с параметром . Это удобно для вычисления, т.к. количество вариантов N попавших в непересекающиеся области при пуассоновском распределении, независимы.
А результаты будут достоверны и для фиксированного N.
Таким образом, если N распределено пуассоновски, то, рандомизируя S(N), получаем дисперсию ():
D()  E 2  (E) 2  e 

e
 


= 2

 i [ 2]
i
i!
e
m1 2


i

E(i)  e 
i!

(1  m ) dx1dx 2 +
12 i 2
x1  x 2

dx1dx 2   em dx1 2
x1  x 2
1


e
2
i

ES(i) =
i!

i
i!

(1  1 )
i2
x1  x 2
 ( m1  m 2 )

dx1  – e



2
i

i (1  mi )i 1 dx1  =
i!

 
dx1dx 2 .
x1 , x 2
Так как все функции mI измеримы, то по теореме Фубини получившееся выражение можно переписать в виде

12
2 emdp(m
1


2
m
dp(m1  m 2  m) .
 m  x1  x 2 ) +  e m dp(m  m) –  e
В виду того, что из m1 + m2 < m следует, что m < m, если какой-то из вариантов
доминирует, а функция меры верхнего среза F(m) = P(m(x) < m), то
12
1
1

1


0
0
D()  2 e m dP(m1 2  m, x1  x 2 ) +  e m dF(m)  2 e m dF(m)) 2 .
0
Рассмотрим v  R как область с кусочно-гладкой границей V. Пусть отношение R задано выпуклым телесным конусом K, не имеющим прямых. В V задана плотность , задающая вероятностную компоненту задачи. Считаем, что  можно представить в виде c(x)hs, s > – 1, где с отделено на V от 0 и  , а h(x) — расстояние от точки x
до границы V. Обозначим через W множество точек V, для которых их верхний конус
имеет меру 0 и будем называть W слабым оптимумом. В силу вышеизложенного W 
V. Предположим, что для любой точки w  W, в которой существует касательная к W
гиперплоскость TwW, замыкание внутренности конуса K, снесенное вершиной в точку
w, пересекается с TwW лишь по w (является условием трансверсальности границы коm
~
нуса). Введем обозначение: f g 
f
k 0.
g
Если N распределено пуасcоновски с параметром , то можно рассмотреть две
279
Научные сообщения
важные теоремы об асимптотике дисперсии DS() и асимптотике центрированной
~
нормированной S при    . Центрированная нормированная случайная величина
~
— это X  (X  EX) /(DX)1/ 2 .
Таким образом, в статье приведено формализованное представление среднего числа недоминируемых по бинарному отношению альтернатив и показано, что
оно является эффективным инструментом анализа вероятностных и мощностных
характеристик двух множеств: множества недоминируемых вариантов и множества
наилучших вариантов. Формализованы асимптотические формулы, описывающие
связи между этими величинами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Модели выбора недоминируемых вариантов в численных схемах многокритериальной оптимизации / С.В. Белокуров [и др.]. — Воронеж: Научная книга, 2005. — 199 с.
2. Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Выбор вариантов: основы теории. — М.:
Наука, 1990. — 240 с.
3. Шоломов Л.А. Логические методы исследования дискретных моделей выбора. — М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 287 с.
4. Березовский Б.А., Борзенко В.И., Кемпнер Л.М. Бинарные отношения в многокритериальной оптимизации. — М.: Наука, 1981.
5. Борзенко В.И., Полящук М.В. Геометрия инвариантных функций выбора и
бинарных отношений // Управление сложными техническими системами. — М.: Институт проблем управления, 1987.
REFERENCES
1. Modeli vyibora nedominiruemyih variantov v chislennyih shemah mnogokriterialnoy
optimizatsii / S.V. Belokurov [i dr.]. — Voronezh: Nauchnaya kniga, 2005. — 199 s.
2. Ayzerman M.A., Aleskerov F.T. Vyibor variantov: osnovyi teorii. — M.: Nauka,
1990. — 240s.
3. Sholomov L.A. Logicheskie metodyi issledovaniya diskretnyih modeley vyibora. —
M: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1989. — 287 s.
4. Berezovskiy B.A., Borzenko V.I., Kempner L.M. Binarnyie otnosheniya v mnogokriterialnoy optimizatsii. — M.: Nauka, 1981.
5. Borzenko V.I., Polyaschuk M.V. Geometriya invariantnyih funktsiy vyibora i binarnyih otnosheniy // Upravlenie slozhnyimi tehnicheskimi sistemami. — M.: Institut problem upravleniya, 1987.
280
Вестник Воронежского института МВД России №4 / 2014
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Зыбин Дмитрий Георгиевич. Заместитель начальника по научной работе. Кандидат технических наук.
Воронежский институт ФСИН России.
E-mail: Dzybin@mail.ru
Россия, 394072, г. Воронеж , ул. Иркутская, 1а. Тел. (473) 260-68-19.
Десятов Дмитрий Борисович. Профессор кафедры управления и информационно-технического
обеспечения. Доктор технических наук.
Воронежский институт ФСИН России.
E-mail: DesDB@yandex.ru
Россия, 394072, г. Воронеж , ул. Иркутская, 1а. Тел. (473) 260-68-19.
Zybin Dmitry Georgievich. The deputy chief on scientific work. Candidate of technical sciences.
The Voronezh Institute FSIN of Russia.
Russia, 394072, Voronezh, Irkutskaya Str., 1a. Tel. (473) 260-68-19.
Desjatov Dmitry Borisovich. The professor of chair of management and information-technical
maintenance. Doctor of technical sciences.
The Voronezh Institute FSIN of Russia.
Russia, 394072, Voronezh, Irkutskaya Str., 1a. Tel. (473) 260-68-19.
Ключевые слова: информация; множество недоминируемых вариантов; вероятностная характеристика.
Key words: the information; set of not dominated variants; the likelihood characteristic.
УДК 681.3
ИЗДАНИЯ ВОРОНЕЖСКОГО ИНСТИТУТА МВД РОССИИ
Ильичев М.А.
Системы контроля и управления доступом: учебное пособие / М.А. Ильичев. — Воронеж: Воронежский институт МВД России, 2014. — 69 с.
В пособии изложены основные принципы построения и функционирования систем контроля и
управления доступом. Рассмотрены основные
технические характеристики и функциональные
возможности этих систем, приведена их классификация.
Пособие предназначено для слушателей и курсантов радиотехнического факультета Воронежского института МВД России, а также технических специалистов подразделений вневедомственной охраны.
.
281