И.Л.Макарова, Е.И.Улитина К вопросу определения весовых

ОБОЗРЕНИЕ
Т о м 22
ПРИКЛАДНОЙ И ПРОМЫШЛЕННОЙ
МАТЕМАТИКИ
Выпуск 4
2015
И. Л. М а к а р о в а, Е. И. У л и т и н а (Сочи,СГУ). К вопросу определения весовых коэффициентов.
Необходимость численного определения сравнительной важности различных показателей, характеристик объектов, процессов и явлений возникает при решении задач многокритериального выбора, оптимального управления, построения интегральных, сводных показателей и многих других. Существует множество разных подходов
к решению задачи определения весовых коэффициентов со своими особенностями, преимуществами и недостатками. Все они предъявляют
к вектору весовых коэффициентов
Pm
одинаковые требования: w i > 0 (i = 1, m),
i=1 wi = 1, m — количество исходных
показателей. Рассмотрим некоторые особенности определения весовых коэффициентов
в методе рандомизированных сводных показателей [1].
В рамках дискретной модели неопределенности задания весовых коэффициентов
[2] предполагается, что каждый такой коэффициент измеряется с точностью до конечного шага h = 1/n, определяемого натуральным числом n > 1. Таким образом,
весовые коэффициенты могут принимать только дискретные значения из множества
n 1 2
n−2 n−1 o
w(n) = 0, , , . . . ,
,
,1
n n
n
n
Множество всех возможных векторов весовых коэффициентов
W (m, n) =
m
X
(t)
(t)
(t) (t)
w(t) = (w1 , . . . , wm
) wi ∈ w(n),
wi = 1, t ∈ T (m, n) ,
i=1
где T (m, n) = {1, . . . , N (m, n)} есть множество возможных значений индекса t, являn
элементов.
ется конечным множеством, содержащим N (m, n) = Cn+m−1
Компоненты случайного вектора весовых коэффициентов, равномерно распределенного на множестве W (m, n), могут быть определены как соответствующие математические ожидания:
w i = M wi =
N (m,n)
X
1
(t)
wi .
N (m, n) t=1
Понятно, что значения весовых коэффициентов, определенные таким образом, будут зависеть от n. Например, для m = 3 и 0 < w1 < w2 < w3 , результаты расчетов
представлены в табл. 1. Как видно из табл. 1 при n = 6 получаются наибольшие значения w1 , w2 и наименьшее значение w3 . По мере увеличения n и уменьшения шага
дискретизации h весовые коэффициенты ведут себя не монотонно. Чем необходимо
руководствоваться при выборе параметра дискретизации n пока непонятно.
Таблица 1. Расчет весовых коэффициентов
c Редакция журнала «ОПиПМ», 2015 г.
2
XVI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике
n
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Весовые коэффициенты
w1
w2
w3
0,1667
0,3333
0,5000
0,1429
0,2857
0,5714
0,1250
0,3125
0,5625
0,1481
0,2963
0,5556
0,1250
0,3000
0,5750
0,1273
0,2909
0,5818
0,1310
0,2976
0,5714
0,1250
0,2885
0,5865
0,1214
0,2929
0,5857
0,1278
0,2889
0,5833
0,1205
0,2902
0,5893
0,1213
0,2868
0,5919
h=1/n
0,1667
0,1429
0,1250
0,1111
0,1000
0,0909
0,0833
0,0769
0,0714
0,0667
0,0625
0,0588
Определим наименьшее возможное число n = nmin, при котором ∀wi > 0 и
w1 < w2 < ∙ ∙ ∙ < wm . Пусть w1 = k1 /n, k1 > 1 и wm = km /n. Тогда
1 + 2 + ∙ ∙ ∙ + (m − 1) + km = n,
m(m − 1)
+ km = n,
2
km = n −
m(m − 1)
.
2
Так как wi > wi−1 , то km > m. Следовательно, n − m(m−1)
> m, n > m(m−1)
+ m,
2
2
m(m+1)
m(m+1)
. Значит nmin =
.
n>
2
2
Таким образом, если мы хотим, чтобы все весовые коэффициенты были больше
1
2
нуля и w1 < w2 < ∙ ∙ ∙ < wm , то величина шага должна быть не больше nmin
= m(m+1)
.
Пример расчета nmin для различных наборов показателей показан в табл. 2.
Таблица 2. Определение значений параметра дискретизации
m
nmin
2
3
3
6
4
10
5
15
6
21
7
28
8
36
9
45
10
55
11
66
12
78
13
91
14
105
15
120
Теперь при тех же условиях определим максимально возможное значение наименьшего из весовых коэффициентов w1 = w1 max .
k1 + (k1 + 1) + ∙ ∙ ∙ + (k1 + m − 2) + km = n;
Так как km
2k1 + m − 2
(m − 1) + km = n;
2
(m − 1)(m − 2)
= n − km ;
k1 (m − 1) +
2
n − km
m−2
k1 =
−
.
m−1
2
> m, то k1 6 n−m
− m−2
и k1 max = [ n−m
− m−2
],
m−1
2
m−1
2
w1 max =
k1 max
n−m
m−2
=
−
.
n
n(m − 1)
2n
− 6−2
= 4, 2 − 2 = 2, 2 и k1 max = 2,
Например, при m = 6, n = 27 получим k1 6 27−6
5
2
w1 max = 2/27.
В заключении отметим, что при n = nmin получается один единственно возможный
Pm вектор весовых коэффициентов, компоненты которого (0 < w1 < w2 < ∙ ∙ ∙ < wm ,
i=1 wi = 1) совпадают с весовыми коэффициентами, определенными по известной
формуле Фишберна [3].
Работа поддержана грантом РФФИ № 14-01-00835.
Научные доклады
3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Хованов Н. В. Анализ и синтез показателей при информационном дефиците. СПб.:
Изд-во СПбГУ, 1996, 196 с.
2. Хованов Н. В., Федотов Ю. В. Модели учета неопределенности при построении
сводных показателей эффективности деятельности сложных производственных систем. — Научные доклады НИИ менеджмента СПбГУ, 2006, № 28(R), 37 с.
3. Королев О. Л., Куссый М. Ю., Сигал А. В. Применение энтропии при моделировании процессов принятия решений в экономике. Симферополь: Издательство
«ОДЖАКЪ», 2013, 148 с.