Ìíîæåñòâà Æþëèà Í.ÄÎËÁÈËÈÍ Âìåñòî ïðîëîãà: âîñïîìèíàíèå î äàâíåì ïóòåøåñòâèè  äàëåêîì 1968 ãîäó ìíå ïîñ÷àñòëèâèëîñü ñîâåðøèòü ïóòåøåñòâèå â Êàðïàòû ñ ìîèì ó÷èòåëåì, âûäàþùèìñÿ ìàòåìàòèêîì Áîðèñîì Íèêîëàåâè÷åì Äåëîíå.  îäèí ïàñìóðíûé äåíü âî âðåìÿ ïðîãóëêè ÿ îêàçàëñÿ íà ñåäëå ïîä âåðøèíîé Ãîâåðëà.  ñïóñêàâøåìñÿ íà âîñòîê öèðêå, â ìåòðàõ 100 íèæå ñåäëà, áóðëèë ìîùíûé ïîòîê. Ýòî áûë èñòîê ðåêè Ïðóò. Ñêëîí, ñáåãàâøèé íà þãî-çàïàä, áûñòðî óãëóáëÿÿñü, ïåðåõîäèë â óùåëüå, èç êîòîðîãî âûòåêàëà ðå÷êà Ãîâåðëÿíêà. Íàäî ìíîé íàâèñàë èíòåíñèâíî òàÿâøèé (äåëî áûëî â íà÷àëå ìàÿ) ñíåæíèê. ×àñòî ïàäàâøèå ñ îãðîìíîé ñîñóëüêè êàïëè îáðàçîâûâàëè ïî÷òè íåïðåðûâíóþ ñòðóéêó. Ñèëüíûé âåòåð, ïîäíèìàâøèéñÿ ñ þãî-çàïàäíîãî öèðêà, ñíîñèë ýòó ñòðóéêó íà âîñòî÷íûé ñêëîí îáëåäåíåëîé ïëîùàäêè ïîä ñíåæíèêîì, îòêóäà âîäà óõîäèëà âíèç, ê Ïðóòó, âïàäàþùåìó â Äóíàé. Íî êàê òîëüêî âåòåð íà ìãíîâåíèå ñòèõàë, âîäà âåðòèêàëüíî ïàäàëà íà ïëîùàäêó, íàêëîíåííóþ ê çàïàäó, è ñòåêàëà â äðóãóþ ñòîðîíó, ê Ãîâåðëÿíêå, êîòîðàÿ ìíîãî íèæå âïàäàëà â Òèñó, à òà â Äóíàé. È õîòÿ ðàíî èëè ïîçäíî ýòè «âîñòî÷íûé» è «çàïàäíûé» ïîòîêè ñëèâàëèñü â îäèí (âáëèçè óñòüÿ Äóíàÿ), äîñòàòî÷íî áûëî âçãëÿíóòü íà êàðòó, ÷òîáû ïîíÿòü, êàêàÿ ðàçíàÿ ó íèõ ñêëàäûâàëàñü ñóäüáà. Îñîáåííî ïîðàæàëî íàñêîëüêî ïîâåäåíèå ñòðóéêè, âûòåêàâøåé èç ñíåæíèêà, ðàäèêàëüíî çàâèñåëî îò äóíîâåíèÿ âåòðà. ìóëîé z1z2 = (a1, b1 )(a2 , b2 ) = (a1a2 - b1b2 , a1b2 + b1a2 ) . Îòìåòèì, ÷òî åñëè îáà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè, ò.å. b1 = b2 = 0 , òî ïðàâèëî óìíîæåíèÿ (ã) êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñîâïàäàåò ñ ïðàâèëîì óìíîæåíèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Îáû÷íî êîìïëåêñíîå ÷èñëî (a, b) çàïèñûâàþò â âèäå äâó÷ëåíà a + bi, ãäå i òàê íàçûâàåìàÿ ìíèìàÿ åäèíèöà, ò.å. òàêîå «íîâîå ÷èñëî», íå ÿâëÿþùååñÿ âåùåñòâåííûì, êâàäðàò êîòîðîãî ïî îïðåäåëåíèþ ðàâåí 1.  ýòîì ñëó÷àå, íàïðèìåð, ïðîèçâåäåíèå äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñîîòâåòñòâóåò ïðîèçâåäåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ äâó÷ëåíîâ: (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + b1ia2 + b1b2i2 = = (a1a2 - b1b2 ) + (a1b2 + b1a2 ) i . Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = a + bi ìîæíî ïðåäñòàâèòü òî÷êîé (a, b) íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè (ðèñ.1,à). Ïðè ýòîì ñàìà êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü, êàæäàÿ òî÷êà (a,b) êîòîðîé îòîæäåñòâëåíà ñ êîìïëåêñíûì ÷èñëîì z = a + bi, íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ. Íåñêîëüêî ñëîâ î êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ Ïðåæäå âñåãî íàì ïîíàäîáèòñÿ êîå-÷òî, ñîâñåì íåìíîãîå, èç òåîðèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ìû êîíñïåêòèâíî ïðèâåäåì ëèøü ñàìûå íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ.1 Êîìïëåêñíûì ÷èñëîì z íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ïàðà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (a, b) . Ïðè ýòîì (à) äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà z = ( a, b) è z ¢ = ( a ¢, b ¢) ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a = a ¢ è b = b¢ ; (á) âåùåñòâåííîå ÷èñëî a ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a = ( a,0) ; (â) ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îïðåäåëÿåòñÿ â òî÷íîñòè êàê äëÿ âåêòîðîâ ïî ôîðìóëå z1 ± z2 = (a1 ± a2 , b1 ± b2 ) ; (ã) óìíîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë çàäàåòñÿ ôîð1 Áîëåå ïîäðîáíî î êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â ñòàòüÿõ Ë.Ñ.Ïîíòðÿãèíà «Êîìïëåêñíûå ÷èñëà» («Êâàíò» ¹3 çà 1982 ã.) è «Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû» («Êâàíò» ¹4 çà 1982 ã.). Ðèñ. 1 Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà èìååò âèä z = ρ ( cos ϕ + i sin ϕ) . Çäåñü ϕ åñòü óãîë uuur ìåæäó îñüþ Ox è âåêòîðîì Oz , à ρ ìîäóëü z = a2 + b2 ÷èñëà z, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, äëèíà uuur âåêòîðà Oz (ðèñ.1,á). È, íàêîíåö, íàì ïîíàäîáèòñÿ èçÿùíàÿ ôîðìóëà Ìóàâðà: zn = (ρ (cos ϕ + i sin ϕ)) = ρn (cos nϕ + i sin nϕ) . (1) n Êîðíåì n-é ñòåïåíè èç ÷èñëà z = ρ ( cos ϕ + i sin ϕ) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî, n-ÿ ñòåïåíü êîòîðîãî ðàâíà z. Äðóãàÿ ôîðìóëà Ìóàâðà äàåò ïðåäñòàâëåíèå âñåõ êîðíåé n-é ñòåïåíè: ϕ + 2πk ϕ + 2πk ö æ n + i sin z = n ρ ç cos ÷, è n n ø k = 0, 1, , n 1. ÊÂÀÍT 2008/¹1 Ïðèâåäåì òàêæå ôàêò, âûòåêàþùèé èç îñíîâíîé òåîðåìû àëãåáðû: âñÿêèé ìíîãî÷ëåí n-é ñòåïåíè ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè (â òîì ÷èñëå è ñ âåùåñòâåííûìè) èìååò â îáëàñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ðîâíî n êîðíåé. Ïóòåøåñòâèå ñòðåêîçû òèõèì óòðîì  îäíî ïðåêðàñíîå ëåòíåå òèõîå óòðî ïîïðûãóíüÿñòðåêîçà, ïðîñíóâøèñü â òî÷êå z0 = ρ0 (cos ϕ0 + i sin ϕ0 ) , îòïðàâèëàñü â ïóòåøåñòâèå, ïåðåëåòàÿ èç îäíîãî ïóíêòà â äðóãîé. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïîñëå ïåðâîãî ïåðåëåòà ñòðåêîçà îêàçàëàñü â òî÷êå z1 = z02 , ïîñëå âòîðîãî â òî÷êå z2 = z12 , ïîñëå òðåòüåãî â òî÷êå ..., ïðàâèëüíî, â òî÷êå z3 = z22 è òàê äàëåå. È âîîáùå, åñëè ïîñëå (n - 1) -ãî ïåðåëåòà ñòðåêîçà áûëà â òî÷êå zn -1 , òî ïîñëå n-ãî ïåðåëåòà îíà îêàæåòñÿ â òî÷êå zn = zn2 -1 . Ìíîæåñòâî z0 , z1 = z02,K , zn = zn2 -1,K (2) òî÷åê «ïðèçåìëåíèÿ» ñòðåêîçû áóäåì íàçûâàòü îðáèòîé. Ðàññìîòðèì, ÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îðáèòà. ßñíî, ÷òî íà÷àëüíàÿ òî÷êà z0 = ρ0 (cos ϕ0 + i sin ϕ0 ) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò îðáèòó. Ïî ôîðìóëå Ìóàâðà àðãóìåíòû òî÷åê îðáèòû ñóòü ϕ0 , 2ϕ0 , 22 ϕ0 , , 2n ϕ0 è ò.ä. Ìîäóëè òî÷åê îðáèòû ðàâíû ρ0 , ρ02 , ρ04 ,K , ρ02n è ò.ä. Î÷åâèäíî, ÷òî îðáèòà ëåæèò íà áûñòðî ðàñêðó÷èâàþùåéñÿ óõîäÿùåé â áåñêîíå÷íîñòü ñïèðàëè, åñëè ρ0 > 1 (ðèñ.2). Åñëè æå ρ0 < 1 , òî îðáèòà ëåæèò íà ñïèðàëè, çàêðó÷èâàþùåéñÿ ê íóëþ. Åñëè òî÷êà z0 ëåæèò íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè, ò.å. åñëè ρ0 = 1 , òî âñÿ îðáèòà ëåæèò íà ýòîé îêðóæíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, Ðèñ. 2 åñëè z0 > 1 , òî îðáèòà, çàäàâàåìàÿ ôîðìóëîé zn = zn2 -1 , óáåãàåò íà áåñêîíå÷íîñòü. Åñëè æå z0 < 1 , òî, íàîáîðîò, îðáèòà îñòàåòñÿ îãðàíè÷åííîé. Áîëåå òîãî, â íàøåì ñëó÷àå îíà íå ïîêèäàåò åäèíè÷íûé êðóã è ïðèòÿãèâàåòñÿ ê íóëþ. Ýòî î÷åíü íàïîìèíàåò ðàñïðåäåëåíèå çåìíîé ñóøè ïî òàê íàçûâàåìûì âîäíûì áàññåéíàì. Èç êóðñà ãåîãðàôèè èçâåñòíî î áàññåéíå ðåêè Âîëãà, î áàññåéíå îçåðà Áàéêàë... Óñëîâíàÿ ëèíèÿ, ðàçäåëÿþùàÿ áàññåéíû ðåê, ñêàæåì Âîëãè è Äîíà, íàçûâàåòñÿ âîäîðàçäåëîì. Ýïèçîä, ðàññêàçàííûé â íà÷àëå ñòàòüè, ïðîèçîøåë íà âîäîðàçäåëå áàññåéíîâ Ïðóòà è Òèñû (âïðî÷åì, îáå îíè âïàäàþò â Äóíàé).  ñëó÷àå èòåðàöèè zn = zn2 -1 âñå îðáèòû, íà÷èíàþùèåñÿ âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà, ñòåêàþòñÿ ê íóëþ, â òî âðåìÿ êàê îðáèòû, íà÷èíàþùèåñÿ âíå ýòîãî êðóãà, ñòåêàþòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Åäèíè÷íûé êðóã ÿâëÿåòñÿ áàññåéíîì «îêåàíà Íóëü», âñÿ îñòàëüíàÿ ÷àñòü ïëîñêîñòè ñîñòàâëÿåò áàññåéí «îêåàíà Áåñêîíå÷íîñòü». Âîäîðàçäåë ìåæäó ýòèìè îêåàíàìè ïðîõîäèò ïî åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè |z| = 1. Ìåæäó òî÷êîé, ëåæàùåé âíóòðè áàññåéíà, è òî÷êîé, ëåæàùåé íà âîäîðàçäåëå, èìååòñÿ êà÷åñòâåííîå ðàçëè÷èå. Ó êàæäîé òî÷êè z0 , ëåæàùåé âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà, íåêîòîðàÿ åå îêðåñòíîñòü ëåæèò âíóòðè ýòîãî êðóãà. Äðóãèìè ñëîâàìè, îðáèòû, íà÷èíàþùèåñÿ â òî÷êàõ, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê òî÷êå z0 , âïàäàþò â òîò æå îêåàí, ÷òî è îðáèòà òî÷êè z0 . Ñîâñåì èíà÷å îáñòîèò äåëî íà âîäîðàçäåëå. Ïðîèçâîëüíàÿ, ñêîëü óãîäíî ìàëåíüêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè, ëåæàùåé íà îêðóæíîñòè |z| = 1, ñîäåðæèò êàê òî÷êè âíóòðè, òàê è òî÷êè ñíàðóæè åäèíè÷íîãî êðóãà. Òàêèì îáðàçîì, ðÿäîì ñ ëþáîé òî÷êîé âîäîðàçäåëà íàõîäÿòñÿ ñêîëü óãîäíî áëèçêî òî÷êè, ÷üè îðáèòû âïàäàþò â îäèí îêåàí, è òóò æå ðÿäîì ñèäÿò òî÷êè, èç êîòîðûõ âûòåêàþò îðáèòû, âïàäàþùèå â äðóãîé îêåàí. Èìåííî íà ýòó îñòðóþ ÷óâñòâèòåëüíîñòü ïîâåäåíèÿ îðáèò â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà íà÷àëüíîé òî÷êè ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ îáðàòèë âíèìàíèå â 1918 ãîäó ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê Æþëèà2 . Ìàòåìàòèê Á.Ìàíäåëüáðîò, ïðîÿâèâøèé ñåðüåçíûé èíòåðåñ ê ðàáîòàì Æþëèà, íàçâàë òàêèå «âîäîðàçäåëû» â ÷åñòü ïåðâîèññëåäîâàòåëÿ ìíîæåñòâàìè Æþëèà. Ñïðàâåäëèâîñòè ðàäè, íàäî ñêàçàòü, ÷òî íå ìåíåå ñåðüåçíûé âêëàä â ýòîé îáëàñòè áûë ñäåëàí òàêæå äðóãèì ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Ï.Ôàòó. Ðàçóìååòñÿ, âðÿä ëè áûëî áû îïðàâäàííî êàê-òî îñîáî íàçûâàòü ñòîëü ïðîñòî óñòðîåííûé âîäîðàçäåë (èìååòñÿ â âèäó åäèíè÷íàÿ îêðóæíîñòü), åñëè áû âñå îáñòîÿëî ñòîëü ïðîñòî, êàê ìîãëî ïîêàçàòüñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä. Ñåé÷àñ ìû óâèäèì, ÷òî ýòî ñîâñåì íå òàê. È ïîäíÿëñÿ âåòåð... Ðàññìîòðèì îðáèòó ñòðåêîçû â ñëó÷àå, åñëè «äóåò ïîñòîÿííûé âåòåð», ò.å. «âåòåð», èìåþùèé ïîñòîÿííûå íàïðàâëåíèå è ñèëó. Èòàê, «âåòåð» ýòî âåêòîð íà ïëîñêîñòè, êîòîðûé ìîæíî çàäàâàòü êîìïëåêñíûì ÷èñëîì c. Êîíêðåòíî, ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñòðåêîçà âî âðåìÿ ñâîåãî ïðûæêà èç òî÷êè z â òî÷êó z2 äîïîëíèòåëüíî «ñíîñèòñÿ âåò- Ðèñ. 3 ðîì» íà âåêòîð, çàäàâàåìûé êîìïëåêñíûì ÷èñëîì c (ðèñ.3). Äðóãèìè ñëîâàìè, îðáèòà çàäàåòñÿ ôîðìóëîé zn = zn2 -1 + c , ãäå n = 1, 2, ... (3) Ëåãêî âèäåòü, ÷òî «øòèëåâàÿ» îðáèòà (2) åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé «âåòðåííîé» îðáèòû (3), ñîîòâåòñòâóþùèé 2 Ãàñòîí Æþëèà (18931978) âî âðåìÿ ïåðâîé ìèðîâîé âîéíû ïîëó÷èë òÿæåëîå ðàíåíèå. Ñâîþ çíàìåíèòóþ ðàáîòó «Ìåìóàð îá èòåðàöèè ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé» îí íàïèñàë â ãîñïèòàëå â 1918 ãîäó â èíòåðâàëå ìåæäó äâóìÿ áîëåçíåííûìè îïåðàöèÿìè. ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ çíà÷åíèþ c = 0. Òåïåðü äëÿ ôèêñèðîâàííîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà c, âîîáùå ãîâîðÿ íå ðàâíîãî íóëþ, ðàññìîòðèì îðáèòó, çàäàííóþ ôîðìóëîé (3). Íàçîâåì òî÷êó z0 áåãëÿíêîé, åñëè íà÷èíàþùàÿñÿ â íåé îðáèòà (3) óáåãàåò íà áåñêîíå÷íîñòü. Ïîä ýòèì ïîíèìàåòñÿ ñëåäóþùåå: êàêîé áû áîëüøîé êðóã z £ R íà ïëîñêîñòè íè âçÿòü, ñóùåñòâóåò íîìåð k, çàâèñÿùèé îò ðàäèóñà R (k = k ( R)) , òàêîé, ÷òî âñå òî÷êè zn â îðáèòå (3) ñ íîìåðàìè n > k ëåæàò âíå äàííîãî êðóãà, ò.å. z > R ïðè n > k ( R) . Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê-áåãëÿíîê ïðè ôèêñèðîâàííîì c ÷åðåç Ec (îò àíãëèéñêîãî escape óáåãàòü). Íàïðèìåð, â ÷àñòíîì ñëó÷àå c = 0 ìíîæåñòâî E0 ñîñòîèò èç òî÷åê, ëåæàùèõ âíå åäèíè÷íîãî êðóãà. Íàïðîòèâ, åñëè îðáèòà (3), íà÷èíàþùàÿñÿ â z0 , âñå âðåìÿ îñòàåòñÿ â ïðåäåëàõ êàêîãî-òî (ïóñòü äàæå î÷åíü áîëüøîãî) êðóãà, òî òî÷êó z0 íàçîâåì ïëåííèöåé. Ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê-ïëåííèö áóäåì íàçûâàòü ïëåííûì è îáîçíà÷àòü ÷åðåç Pc . Êàê ìû óæå âèäåëè, êîãäà c = 0, ïëåííîå ìíîæåñòâî P0 ýòî åäèíè÷íûé êðóã {z : z £ 1} . Âñå òî÷êè ïëîñêîñòè, ëåæàùèå âíå åäèíè÷íîãî êðóãà, ÿâëÿþòñÿ áåãëÿíêàìè è ñîñòàâëÿþò óáåãàþùåå ìíîæåñòâî E0 . Ãèïîòåòè÷åñêè èìååòñÿ è òðåòüÿ âîçìîæíîñòü, êîãäà îðáèòà, ñ îäíîé ñòîðîíû, âûõîäèò çà ïðåäåëû ëþáîãî äàííîãî êðóãà ñêîëü óãîäíî ìíîãî ðàç, à ñ äðóãîé, âîçâðàùàåòñÿ â ýòîò êðóã ñòîëü æå ìíîãî ðàç. Îäíàêî â ñèëó «òåîðåìû î áåãëÿíêå», êîòîðóþ ìû äîêàæåì â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå, òðåòèé ñëó÷àé íåâîçìîæåí. Èòàê, äëÿ ôèêñèðîâàííîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà c êàæäàÿ òî÷êà z0 ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ ëèáî áåãëÿíêîé, ëèáî ïëåííèöåé. Äðóãèìè ñëîâàìè, âñÿ ïëîñêîñòü ðàñïàäàåòñÿ íà äâà ìíîæåñòâà: Pc è Ec . Èç òåîðåìû î áåãëÿíêå ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî åñëè z òî÷êà-áåãëÿíêà, òî åå äîñòàòî÷íî ìàëåíüêàÿ îêðåñòíîñòü ñîñòîèò ëèøü èç òî÷åê-áåãëÿíîê. Ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè òàêèõ, ÷òî â êàæäîé åå îêðåñòíîñòè ñîäåðæàòñÿ êàê ïëåííèöû, òàê è áåãëÿíêè, îáðàçóþò ãðàíèöó ìåæäó ìíîæåñòâàìè Ec è Pc . Ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì Æþëèà Jc . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî Æþëèà ñîñòîèò òîëüêî èç ïëåííèö. Ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà Æþëèà, ïðè c = 0 ìíîæåñòâî J0 åñòü åäèíè÷íàÿ îêðóæíîñòü, íî ïðè c ¹ 0 õàðàêòåð ìíîæåñòâà Jc ñåðüåçíî ìåíÿåòñÿ. Íà ðèñóíêå 4 ïðèâåäåíû ìíîæåñòâà Æþëèà Jc ïðè ðàçëè÷íûõ ÆÞËÈÀ Óñëîâèå óáåãàíèÿ îðáèòû Òåîðåìà î áåãëÿíêå. Ïóñòü òî÷êà z0 òàêîâà, ÷òî z0 ³ c è z0 > 2 . (4) zn2 -1 Òîãäà îðáèòà zn = + c , íà÷èíàþùàÿñÿ â òî÷êå z0 , óáåãàåò íà áåñêîíå÷íîñòü, äðóãèìè ñëîâàìè, òî÷êà z0 ÿâëÿåòñÿ áåãëÿíêîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâà (4) íå ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì òî÷êèáåãëÿíêè. Òî÷êà z0 ìîæåò íå óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ (4), íî åñëè êàêÿ-òî òî÷êà îðáèòû óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óñëîâèþ, òî îðáèòà óáåãàåò íà áåñêîíå÷íîñòü è òî÷êà z0 ÿâëÿåòñÿ áåãëÿíêîé. Ïóñòü òî÷êà z óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4). Òàê êàê â (4) âòîðîå íåðàâåíñòâî ñòðîãîå, òî Ðèñ. 5 z = 2 + ε , ãäå ε íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.  ñèëó íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà (ðèñ.5), èìååì ( ) z2 = z2 + c - c = z2 + c + ( - c) £ z2 + c + c . (5) Èç (4) è (5) ïîëó÷àåì z2 + c ³ z2 - c ³ z2 - z = ( z - 1) z = (1 + ε) z . Èòàê, åñëè òî÷êà z óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (4), òî z2 + c ³ (1 + ε) z . Ïîýòîìó, åñëè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè z0 îðáèòû äî íà÷àëà 0 ïðåâîñõîäèò îáà ÷èñëà c è 2: z0 > max { c ,2} , òî ñëåäóþùàÿ òî÷êà z1 îðáèòû îòñòîèò åùå äàëüøå. Ïðè÷åì êîýôôèöèåíò óäàëåíèÿ êàæäûé ðàç íå ìåíüøå ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà 1 + ε , ñòðîãî ïðåâîñõîäÿùåãî 1. Òàêèì îáðàçîì, åñëè z0 > max { c ,2} , òî ïîëó÷àþùàÿñÿ ïîñëå k èòåðàöèé òî÷êà zk îðáèòû k áóäåò ðàñïîëîæåíà îò íà÷àëà ïî êðàéíåé ìåðå â (1 + ε) k ðàç äàëüøå. Òàê êàê (1 + ε) ìîíîòîííî è íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïðè óâåëè÷åíèè íîìåðà k, òî è òî÷êè îðáèòû ìîíîòîííî è íåîãðàíè÷åííî óäàëÿþòñÿ îò íà÷àëà. Òåîðåìà äîêàçàíà. Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî äàæå åñëè òî÷êà z0 íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4), íî ïåðâûé æå âîçìîæíûé âûõîä îðáèòû zn = zn2 -1 çà ïðåäåëû êðóãà ðàäèóñà max { c ,2} ãàðàíòèðóåò óáåãàíèå äàííîé îðáèòû íà áåñêîíå÷íîñòü. Óïðàæíåíèÿ 1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè z Î Ec , òî ó òî÷êè z ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü U ( z) , ñîäåðæàùàÿñÿ â Ec . 2. Äîêàæèòå, ÷òî Jc Ì Pc . Íåïîäâèæíûå òî÷êè Ðèñ. 4 çíà÷åíèÿõ c. Ìû âèäèì, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ìîäóëÿ |c| ëèíèÿ «âîäîðàçäåëà» Æþëèà ñòàíîâèòñÿ âñå áîëåå ñëîæíîé è èçëîìàííîé. Ìû çíàåì, ÷òî ïðè èòåðàöèè zn +1 = zn2 + c îäíè îðáèòû óáåãàþò íà áåñêîíå÷íîñòü, ïðè÷åì òàêîå óáåãàíèå èäåò ïî ðàñêðó÷èâàþùåéñÿ îò íà÷àëà êîîðäèíàò ñïèðàëè ñ ïîñòîÿííîé ïîïðàâêîé íà «âåòåð» c. Äðóãèå îðáèòû «ãóëÿþò» â îáëàñòè, êîòîðàÿ îãðàíè÷åíà ìíîæåñòâîì Æþëèà. Ýòè îðáèòû ñîñòîÿò èç òî÷åê-ïëåí- ÊÂÀÍT 2008/¹1 íèö. Ñðåäè òî÷åê-ïëåííèö åñòü îñîáûå òî÷êè. Ýòî òàê íàçûâàåìûå íåïîäâèæíûå òî÷êè. Òî÷êà z íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæíîé äëÿ ôóíêöèè f ( z) , åñëè z = f ( z) . Ïðè èòåðàöèè zn +1 = f ( zn ) îðáèòà íåïîäâèæíîé òî÷êè îñòàåòñÿ íà ìåñòå: zn = z0 äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n.  ñëó÷àå êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè f ( z) = z2 + c íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z óäîâëåòâîðÿåò óðàâ2 íåíèþ z - z + c = 0 . Ýòî óðàâíåíèå èìååò äâà ðåøåíèÿ z0 è z1 (çäåñü ìû ïðèìåíÿåì âåðõíèå èíäåêñû, ïîòîìó ÷òî íèæíèå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ íóìåðàöèè òî÷åê â îðáèòå). Èòàê, îðáèòà íåïîäâèæíîé òî÷êè íèêóäà íå óáåãàåò, ò.å. êàæäàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïëåííèöåé. Ìåæäó òåì, íåïîäâèæíûå òî÷êè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà â òîì, êàê âåäóò ñåáÿ îðáèòû, íà÷èíàþùèåñÿ âáëèçè ýòèõ òî÷åê. Ðàññìîòðèì îïÿòü ïðîñòåéøèé ñëó÷àé: c = 0. Èç óðàâíåíèÿ z = z2 íàõîäèì äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè: z0 = 0 , z1 = 1 . Ìåæäó íèìè èìååòñÿ ñóùåñòâåííîå ðàçëè÷èå. Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z0 = 0 , êàê ìû óæå çíàåì, «ïðèòÿãèâàåò» ê ñåáå ëþáóþ îðáèòó, íà÷èíàþùóþñÿ âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà.  òî æå âðåìÿ åñëè òî÷êà z äîñòàòî÷íî áëèçêî íàõîäèòñÿ ê äðóãîé íåïîäâèæíîé òî÷êå z1 = 1 , òî ðàññòîÿíèå ìåæäó îáðàçîì z2 è íåïîäâèæíîé òî÷êîé 1 áîëüøå, ÷åì ìåæäó «ïðîîáðàçîì» z è 1. Òî÷êà z1 = 1 ïðè èòåðàöèè zn +1 = zn2 êàê áû îòòàëêèâàåò îò ñåáÿ îñìåëèâøèåñÿ áûëî ïðèáëèçèòüñÿ ê íåé òî÷êè îðáèòû. Îäíè îðáèòû (åñëè z0 > 1 ) óáåãàþò îò z1 = 1 íà áåñêîíå÷íîñòü. Äðóãèå îðáèòû (åñëè z0 < 1 ) óáåãàþò îò z1 = 1 ê äðóãîé íåïîäâèæíîé òî÷êå z0 = 0 . Òðåòüè îðáèòû ( z0 = 1 ) ðàñïîëîæåíû íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè.  îáùåì ñëó÷àå íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z0 êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè f ( z) íàçûâàåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî ε > 0 , ÷òî ëþáàÿ îðáèòà, íà÷èíàþùàÿñÿ â ε -îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 , ñõîäèòñÿ ê z0 . Ïðèòÿãèâàþùóþ òî÷êó z0 òàêæå íàçûâàþò åùå è óñòîé÷èâîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé, èìåÿ â âèäó, ÷òî ïðè íåáîëüøîì îòêëîíåíèè òî÷êè z îò íåïîäâèæíîé òî÷êè z0 åå îðáèòà âñå ðàâíî ñòðåìèòñÿ ê íåïîäâèæíîé òî÷êå. Òàêèì îáðàçîì, ïðèòÿãèâàþùàÿ òî÷êà íå òîëüêî ñàìà ÿâëÿåòñÿ ïëåííèöåé, íî è íåêîòîðàÿ åå îêðåñòíîñòü ïîëíîñòüþ ñîñòîèò èç òî÷åê-ïëåííèö. Îíà ëåæèò âíóòðè ïëåííîãî ìíîæåñòâà Pc , íî íå íà åãî ãðàíèöå, ò.å. ïðèòÿãèâàþùàÿ òî÷êà íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Æþëèà Jc . Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z1 ôóíêöèè f ( z) îòòàëêèâàþùàÿ, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ε > 0 , ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè z, óäàëåííîé îò z1 íå äàëåå ÷åì íà ε , åå îáðàç 1 f ( z) îòñòîèò îò z äàëüøå ÷åì z: (z 2 ) + c - z1 > > z - z1 . Îòòàëêèâàþùàÿ òî÷êà íàçûâàåòñÿ òàêæå íåóñòîé÷èâîé. Äàæå íåáîëüøîå îòëè÷èå íà÷àëüíîé òî÷êè z0 îò íåóñòîé÷èâîé òî÷êè z1 ïðèâîäèò ê ñåðüåçíîìó îòêëîíåíèþ ñîîòâåòñòâóþùåé îðáèòû. Ïóñòü z0 íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ôóíêöèè f ( z) . Èìååòñÿ âàæíûé êðèòåðèé, âûÿñíÿþùèé, êàêîâà ýòà òî÷êà: ïðèòÿãèâàþùàÿ èëè îòòàëêèâàþùàÿ. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ôóíêöèÿ f ( z) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå z0 . Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè îò êîìïëåêñíîãî àðãóìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàåòñÿ äëÿ âåùåñòâåííîé ôóíêöèè âåùåñòâåííîãî àðãóìåíòà: f ( z ) - f z 0 . f ¢ z0 = lim0 z ® z z - z0 Õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ îðáèòû â îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé f ¢ ( z) â ýòîé òî÷êå. Òåîðåìà. Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z0 äëÿ ôóíêöèè f ( z) ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé, åñëè f ¢ ( z) < 11, è îòòàëêèâàþùåé, åñëè f ¢ ( z) > 1. Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè f ( z) = z2 + c ðàâíà f ¢ ( z) = 2z .  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì êðèòåðèåì, â õîðîøî çíàêîìîì íàì ñëó÷àå c = 0 íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z0 = 0 ïðèòÿãèâàþùàÿ, òàê êàê f ¢ (0) = 0 < 1 , à íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z1 = 1 îòòàëêèâàþùàÿ, òàê êàê f ¢ (1) = 2 > 1 . Ìû íå áóäåì äîêàçûâàòü ýòîò âàæíûé ôàêò äëÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, íî ïîïûòàåìñÿ îáúÿñíèòü åãî â ñëó÷àå âåùåñòâåííîé ôóíêöèè f ( x ) îò âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé x. Ïóñòü x0 íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ôóíêöèè f ( x ) , ò.å. x0 = f x 0 . Ðàññìîòðèì ( ) ( ) ( ) ãðàôèêè äâóõ ôóíêöèé y = x è y = f ( x ) â îêðåñòíîñòè ( ) < 1 , èç ðèñóí- íåïîäâèæíîé òî÷êè x0 . Ïóñòü f ¢ x 0 Ðèñ. 6 êîâ 6,à è 6,á âèäíî, ÷òî åñëè òî÷êà x0 ðàñïîëîæåíà äîñòàòî÷íî áëèçêî ê x0 , òî âûòåêàþùàÿ èç íåå îðáèòà xn +1 = f ( xn ) ìîíîòîííî ïðèáëèæàåòñÿ ê x0 : x0 - x 0 > L > xn - x0 > xn +1 - x 0 > K Óñëîâèå «òî÷êà x0 ðàñïîëîæåíà äîñòàòî÷íî áëèçêî» îçíà÷àåò: òî÷êà x0 ðàñïîëîæåíà â òîé îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè, ãäå ïðîèçâîäíàÿ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó f ¢ ( x ) < 1 . ( ) Åñëè æå f ¢ x 0 > 1 , òî âûòåêàþùàÿ èç òî÷êè x0 , ðàñïîëîæåííîé â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , îðáèòà xn +1 = f ( xn ) êàêîå-òî âðåìÿ áóäåò óäàëÿòüñÿ îò x0 (ðèñ.7,à è 7,á): x0 - x 0 > x1 - x 0 > K Ïðè÷åì óäà- ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÆÞËÈÀ ! ôðàêòàëû» 3 , Ðèñ. 7 ëåíèå êàæäîé ñëåäóþùåé òî÷êè xn +1 îðáèòû ïî ñðàâíåíèþ ñ xn îò íåïîäâèæíîé òî÷êè ãàðàíòèðîâàíî, ïîêà îðáèòà íàõîäèòñÿ â îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè, ãäå ñîõðàíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f ¢ ( x ) > 1 . Íî êàê òîëüêî îðáèòà âûõîäèò çà ïðåäåëû òàêîé îêðåñòíîñòè, åå ïîâåäåíèå ñòàíîâèòñÿ íå ñòîëü îäíîçíà÷íûì. Óïðàæíåíèå 3. Äîêàæèòå, ÷òî îòòàëêèâàþùàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà èòåðàòîðà xn +1 = xn2 + c ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Æþëèà Jc , ò.å. ëåæèò íà ãðàíèöå ìíîæåñòâ Pc è Ec . è îòëè÷àëàñü çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì: ýòà ñàëôåòêà áûëà ïîäîáíà (äàæå ãîìîòåòè÷íà) ëþáîé èç ñâîèõ «÷åòâåðòèíîê», êàæäàÿ èç êîòîðûõ áûëà ëèíåéíî âäâîå ìåíüøå ñàëôåòêè Ñåðïèíñêîãî. ×åòâåðòèíêà, â ñâîþ î÷åðåäü, áûëà ïîäîáíà (îïÿòü ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ 1/2) «ñâîåé» ÷åòâåðòèíêå, è ò.ä. äî áåñêîíå÷íîñòè. Ñâîéñòâî öåëîãî áûòü ïîäîáíûì ñâîåé ÷àñòè íàçûâàþò ñàìîïîäîáèåì. Âîçüìåì íà ìíîæåñòâå Æþëèà Jc òî÷êó z è ïóñòü U Ì Jc íåêîòîðàÿ äóãà, ñîäåðæàùàÿ òî÷êó z. Òàê êàê ìíîæåñòâî Æþëèà ïîä äåéñòâèåì fc îòîáðàæàåòñÿ íà ñåáÿ, òî äóãà U ïåðåõîäèò â äðóãóþ äóãó fc (U ) , ñîäåðæàùóþ òî÷êó fc ( z) . Åñëè áû ôóíêöèÿ fc ( z) áûëà ëèíåéíîé îòíîñèòåëüíî z, òî ïðåîáðàçîâàíèå fc áûëî áû ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ, êàê ýòî ñëó÷èëîñü â ñëó÷àå ñàëôåòêè Ñåðïèíñêîãî. Îäíàêî íàøà ôóíêöèÿ fc ( z) íå ëèíåéíàÿ, à êâàäðàòè÷íàÿ. Ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå ôðàãìåíòû íå ÿâëÿþòñÿ ïîäîáíûìè äðóã äðóãó. Òåì íå ìåíåå, îíè âî ìíîãîì î÷åíü ñõîæè ìåæäó ñîáîé. Íà ðèñóíêå 8,á ïðåäñòàâëåí (â òîì æå ìàñøòàáå) ôðàãìåíò ìíîæåñòâà Æþëèà, îãðàíè÷åííûé ðàìêîé íà Ñàìîïîäîáèå ìíîæåñòâà Æþëèà Îáîçíà÷èì êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ z2 + c ÷åðåç fc ( z) . Ïóñòü U ìíîæåñòâî òî÷åê íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, ÷åðåç fc (U ) îáîçíà÷èì îáðàç ýòîãî ìíîæåñòâà ïðè ôóíêöèè fc ( z) . Äðóãèìè ñëîâàìè, fc (U ) åñòü ìíîæåñòâî îáðàçîâ âñåõ òî÷åê z Î U : fc (U ) = U z ÎU fc ( z) . Ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò ñî çíàêîìûìè ìíîæåñòâàìè Pc , Ec , Jc . Âîçüìåì òî÷êó z0 Î Pc . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî òî÷êà fc ( z0 ) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïëåííèöåé. Äåéñòâèòåëüíî, îðáèòà òî÷êè z1 = fc ( z0 ) ñîâïàäàåò ñ îðáèòîé òî÷êè z0 ñî ñäâèãîì íóìåðàöèè íà åäèíèöó. Ïîýòîìó fc ( Pc ) Í Pc . Âåðíî è îáðàòíîå: Pc Í fc ( Pc ) . Òàêèì îáðàçîì, Pc = fc ( Pc ) , ò.å. ïîä äåéñòâèåì ôóíêöèè fc ìíîæåñòâî Pc îòîáðàæàåòñÿ íà ñåáÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ïðîîáðàçû u = fc-1 ( z0 ) òî÷êè z0 = u2 + c . Ïîíÿòíî, ÷òî îíè îáà òàêæå ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè-ïëåííèöàìè. Òàê êàê êàæäàÿ òî÷êà-ïëåííèöà z0 ÿâëÿåòñÿ fc -îáðàçîì òî÷êè-ïëåííèöû, òî Pc Í fc ( Pc ) .  òàêèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî Pc èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ fc . Ïî òîé æå ïðè÷èíå óáåãàþùåå ìíîæåñòâî Ec òàêæå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ fc . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî òàê êàê êàæäîå èç ìíîæåñòâ Ec è Pc ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ fc , òî è ãðàíèöà ìåæäó íèìè, ò.å. ìíîæåñòâî Æþëèà Jc , òàêæå èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî fc . Óñòàíîâëåííàÿ èíâàðèàíòíîñòü ìíîæåñòâà Æþëèà îòíîñèòåëüíî fc ïîðîæäàåò ïîâòîðÿåìîñòü, òî÷íåå ñõîæåñòü, ôîðìû ìíîæåñòâà Æþëèà â öåëîì ñ ôîðìàìè âñå áîëåå è áîëåå ìåëêèõ åãî ôðàãìåíòîâ. Íàïðèìåð, ñàëôåòêà Ñåðïèíñêîãî, îïèñàííàÿ â ñòàòüå «Èãðà «Õàîñ» Ðèñ. 8 ðèñóíêå 8,à. Ôðàãìåíò, âûäåëåííûé ðàìêîé íà ðèñóíêå 8,á, óâåëè÷åí íà ðèñóíêå 8,â.  ñâîþ î÷åðåäü, ðèñóíîê 8,ã ïðåäñòàâëÿåò óâåëè÷åíèå ôðàãìåíòà, óêàçàííîãî â ðàìêå íà ðèñóíêå 8,â. Èãðà «Õàîñ» è ìíîæåñòâà Æþëèà  çàêëþ÷åíèå ðàññêàæåì, êàê ìîæíî ïîëó÷àòü íà ìîíèòîðå êîìïüþòåðà èçîáðàæåíèå ìíîæåñòâà Æþëèà Jc äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ c. Ïðåäëàãàåìàÿ ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ åñòü ïîïðîñòó âåðñèÿ èãðû «Õàîñ», êîòîðàÿ ïîäðîáíî èçëîæåíà äëÿ áîëåå ïðîñòîé ñèòóàöèè â óïîìÿíóòîé ñòàòüå «Èãðà «Õàîñ» è ôðàêòàëû». Äàâàéòå îòïðàâèìñÿ èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè-ïëåííèöû z0 Î Pc ( z0 ¹ z0 ) â ïóòåøåñòâèå ïî îðáèòå «ââåðõ», 3 Ñì. «Êâàíò» ¹4 çà 1997 ãîä. " ÊÂÀÍT 2008/¹1 ïåðåõîäÿ îò îäíîãî ïðîîáðàçà ê ïðåäûäóùåìó. Ó òî÷êè z0 èìåþòñÿ äâà ïðîîáðàçà ± z-1 , òàêèå, ÷òî 2 fc ( ± z1 ) = ( ± z1 ) + c = z0 . Âûáåðåì îäèí èç íèõ ñëó÷àéíûì îáðàçîì è îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç z-1 . Ó òî÷êè z-1 èìåþòñÿ îïÿòü äâà ïðîîáðàçà ± z-2 . Âûáåðåì ñëó÷àéíî îäèí èç äâóõ ïðîîáðàçîâ è îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç z-2 . Äâèãàÿñü òàêèì îáðàçîì ïî îðáèòå ââåðõ è äåëàÿ íà êàæäîì øàãå ñëó÷àéíûé âûáîð ìåæäó äâóìÿ ïðîîáðàçàìè, ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü z-1, z-2, z-3,K Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê, îñòàâàÿñü âíóòðè ìíîæåñòâà Pc , ïðèáëèæàåòñÿ ê ìíîæåñòâó Æþëèà Jc . Áîëåå êîíêðåòíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { z- n } ñèäèò íà ñëîæíî óñòðîåííîé ñïèðàëè, êîòîðàÿ àñèìïòîòè÷åñêè íàìàòûâàåòñÿ íà ìíîæåñòâî Æþëèà Jc . Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â ñèëó ñëó÷àéíîãî âûáîðà îäíîãî èç äâóõ ïðîîáðàçîâ, ïðîèñõîäÿùåãî íà êàæäîì øàãå, ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê { z- n } áóäåò íàíèçûâàòüñÿ íà âñå ìíîæåñòâî Æþëèà. Ïîýòîìó íåñêîëüêî òûñÿ÷ ïåðâûõ òî÷åê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { z- n } , âûâåäåííûå íà ýêðàí êîìïüþòåðà, èìèòèðóþò ìíîæåñòâî Æþëèà. Òàê êàê íà÷àëüíàÿ òî÷êà îðáèòû ìîæåò áûòü âûáðàíà äîñòàòî÷íî äàëåêî îò ìíîæåñòâà Æþëèà Jc äà è îðáèòà { z- n } ñõîäèòñÿ êî ìíîæåñòâó Æþëèà íå ñëèøêîì áûñòðî, òî íåñêîëüêî ïåðâûõ òî÷åê îðáèòû ñëåäóåò âûáðîñèòü, äàáû íå èñêàæàòü êàðòèíó. Äðóãàÿ íåïðèÿòíîñòü îðáèòà ðàñïðåäåëÿåòñÿ âäîëü ìíîæåñòâà Æþëèà íå î÷åíü ðàâíîìåðíî: íåêîòîðûå ó÷àñòêè ïðîÿâëÿþòñÿ âåñüìà îò÷åòëèâî, íà äðóãèõ, íàîáîðîò, åñòü «ïðîïëåøèíû». ×òîáû çàïîëíèòü ýòè ïðîïëåøèíû â èçîáðàæåíèè, íóæíî ëèáî ïîçâîëèòü ïðîãðàììå äîëãî-äîëãî ðàáîòàòü, ëèáî, ó÷èòûâàÿ ñàìîïîäîáèå ìíîæåñòâà Æþëèà, «ïåðåñàäèòü» íà ïðîïëåøèíû êóñêè êðèâîé Æþëèà ñ äðóãèõ óæå ïðîÿâèâøèõñÿ ó÷àñòêîâ. Ïîñëåäíèé ïîäõîä íàìíîãî ýôôåêòèâíåé. Áëàãîäàðÿ åìó óæå ïåðâûå íåñêîëüêî òî÷åê îðáèòû äàþò èçîáðàæåíèå ìíîæåñòâà Æþëèà, áîëåå îò÷åòëèâîå, ÷åì ïðè ñòàíäàðòíîì ïîäõîäå ñîòíÿ òûñÿ÷ òî÷åê îðáèòû. Ïðåîäîëåâ ýòè òðóäíîñòè, âû áóäåòå âîçíàãðàæäåíû: âû ñìîæåòå ñàìîñòîÿòåëüíî çíàêîìèòüñÿ ñ ìèðîì èçóìèòåëüíûõ ïî êðàñîòå è ðàçíîîáðàçèþ ìíîæåñòâ Æþëèà. Ñóäÿ ïî ýñêèçàì ýòèõ ìíîæåñòâ, êîòîðûå äåëàë ñàì Æþëèà «îò ðóêè», àâòîð âðÿä ëè ïðåäñòàâëÿë âñå âåëèêîëåïèå «öàðñòâà» ìíîæåñòâ, íîñÿùèõ òåïåðü åãî èìÿ, à î íåêîòîðûõ ãëóáîêèõ ñâîéñòâàõ îí äàæå íå ïîäîçðåâàë. Íàïðèìåð, âî âòîðîé ïîëîâèíå XX âåêà áûë îáíàðóæåí «âçðûâíîé» õàðàêòåð ìíîæåñòâ Æþëèà. Äàâàéòå ïðè çàäàííîì íàïðàâëåíèè «âåòðà» c áóäåì íåïðåðûâíî óâåëè÷èâàòü ñèëó |c|. Ïîëó÷àþùèåñÿ ïðè ýòîì ìíîæåñòâà Æþëèà ñòàíîâÿòñÿ âñå áîëåå è áîëåå ñëîæíûìè è àæóðíûìè. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè äîñòèæåíèè íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ |c| ìíîæåñòâî Æþëèà âçðûâàåòñÿ, ðàçëåòàÿñü ïðè ýòîì íà áåñêîíå÷íîå ÷èñëî îòäåëüíûõ êóñî÷êîâ (ðèñ.9). Çíà÷åíèå ìîäóëÿ |c|, ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò âçðûâ, çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà c . Îòëîæèâ íà ïëîñêîñòè âñå çíà÷åíèÿ c, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäèò âçðûâ ìíîæåñòâà Jc , Á.Ìàíäåëüáðîò ïîëó÷èë íîâîå ìíîæåñòâî, åùå Ðèñ. 9 áîëåå ñëîæíîå è âîñõèòèòåëüíîå, ÷åì ìíîæåñòâà Æþëèà. Òåïåðü ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ èìåíåì åãî îòêðûâàòåëÿ ìíîæåñòâî Ìàíäåëüáðîòà. Íî ýòî òåìà äðóãîé ñòàòüè. ÍÀØÀ ÎÁËÎÆÊÀ Ìîçàèêà èç ñíåæèíîê Í À ÏÅÐÂÎÉ ÑÒÐÀÍÈÖÅ ÎÁËÎÆÊÈ ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÀ ìîçàèêà èç òàê íàçûâàåìûõ ñíåæèíîê Êîõ. Ñíåæèíêà Êîõ ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ôðàêòàëîâ, î êîòîðûõ ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â ñòàòüå Í.Äîëáèëèíà â ýòîì íîìåðå æóðíàëà. Ïîñòðîèòü ñíåæèíêó ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âîçüìåì ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, ðàçäåëèì êàæäóþ åãî ñòîðîíó íà òðè ðàâíûõ îòðåçêà è ïîñòðîèì íà ñðåäíèõ îòðåçêàõ ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè âî âíåøíþþ ñòîðîíó îò èñõîäíîãî. Ïîëó÷èì ôèãóðó, îãðàíè÷åííóþ 12 îòðåçêàìè. Ðàçäåëèì êàæäûé èç ýòèõ îòðåçêîâ íà òðè ÷àñòè è âíîâü ïîñòðîèì íà ñðåäíèõ îòðåçêàõ ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè (ðèñ.1). Ïîâòîðèì òó æå îïåðàöèþ ñ îòðåçêàìè, îãðàíè÷èâàþùèìè ïîëó÷åííóþ ôèãóðó, è ò.ä.  ïðåäåëå êàê ðàç ïîëó÷èòñÿ ñíåæèíêà Êîõ. Îòìåòèì, ÷òî ïåðèìåòð ñíåæèíêè áåñêîíå÷åí, à ïëî8 ùàäü êîíå÷íà è ðàâíà ïëîùàäè èñõîäíîãî òðåóãîëü5 íèêà. (Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 29)