19. Понятие о стохастической зависимости между случайными

19. Понятие о стохастической зависимости между случайными величинами.
Теория вероятностей имеет важные приложения к изучению зависимостей величин
друг от друга. До сих пор рассматривались лишь функциональные зависимости, при которых
задав значения одних величин мы можем получить значения других. Однако, рассмотрим,
например, такие величины как длина рыбы l и ее вес.
p. Естественно ожидать, что чем больше l, тем больше р. Но такая зависимость
осуществляется лишь в среднем, так как длина рыбы не определяет однозначно ее вес.
Такая "мягкая" зависимость, которая осуществляется лишь в "среднем", называется
корреляционной.
Корреляционными являются зависимости между возрастом человека и его ростом, между
знаниями студента и его оценкой на экзамене и т.д.
Корреляционная зависимость получается в случае, когда сказывается влияние факторов,
которые почему-либо не учитываются, например, из-за сложного характера этого влияния.
Однако, такая зависимость может получиться и независимо от сложности факторов.
Если две величины x и у зависят от одного параметра: x=х(t), у=y(t), то эти два
соотношения определяют функциональную зависимость; если таких параметров много, то
есть если x=x(t1,t2, t3,…tn,), y=y(t1,t2, t3,…tn,) то эти соотношения определяют корреляционную
зависимость, если учитывать частоту реализаций различных комбинаций значений.
Уравнение, давшее зависимость математического ожидания одной случайной величины
от значений другой случайной величины, называется уравнением регрессии.
Между случайными величинами X и Y существуют два уравнения регрессии:
Кривые D(Y)=F(Х), D(X)= Ф(Y) называются скедастическими кривыми.
Коэффициент корреляции.
Пусть имеем случайные величины X и Y и
Коэффициентом корреляции между величинами Х и Y называется величина
Заметим, что выражение, стоящее в числителе, называется вторым смешанным центральным
моментом.
Свойства коэффициента корреляции
1.
Действительно, рассмотрим очевидное неравенство:
Раскрывая квадрат скобки, получим
Но
Аналогично
,
Таким образом, имеем
или
, откуда
2. Если X и Y - независимые, то rx/y=0
Действительно,
3. Если между случайными величинами имеет место линейная функциональная зависимость,
то есть Y=C1+C2X , то |r|=1
Доказательство. Найдем M(Y)=C1+C2M(X). Пусть M(X)=a, тогда M(Y)=C1+C2a
Тогда
Это свойство коэффициента корреляции используется для характеристики тесноты
стохастической связи: чем ближе к единице |r|, тем связь теснее, чем ближе |r| к нулю, тем
связь слабее. И хотя коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи, но
именно этот вид связи является важнейшим при рассмотрения стохастической зависимости.
Подчеркнем, что если r = 0 , это еще не означает отсутствия зависимости, так как
зависимость может оказаться нелинейной. Нелинейную зависимость можно исследовать на
небольших интервалах изменения X , приближенно полагая, что на этих интервалах
зависимость линейна.
20. Закон больших чисел
Лемма Чебышева. Пусть U - неотрицательная случайная величина, t2 - неотрицательное
число, тогда
Доказательство. Для удобства будем полагать, что U - дискретная случайная величина. Тогда
Сокращая на t2M(u) обе части, получим:
Переходя к противоположному событию, получим
Неравенство Чебышева. Пусть X - произвольная случайная величина, для которой M(x)=a.
Рассмотрим неотрицательную величину Y(X-a)2. Для Y
Применяя лемму Чебышева к неотрицательной случайной величине Y, получим
или
что равносильно неравенству
(*)
Полученное неравенство (*) дает оценку отклонения случайной величины X от ее
математического ожидания. Оценка дана независимо от закона распределения. Заметим, что
из (*) следует, что
Отсюда следует, что "правило трех сигм" может быть распространено на случайную
величину независимо от ее закона распределения.
Полагая в (*)
, получим
, (**)
где не обязательно мало.
Теорема Чебышева. Пусть дана последовательность независимых случайных величин x1, x2,
x3,…, xn и пусть
,
. Рассмотрим случайную величину
Тогда
Применяя неравенство Чебышева (*) к величине Y, получим
Введем дополнительное условие: пусть все
произвольная постоянная
Тогда
Учитывая последнее неравенство, получим
Обозначим
- ограничены то есть
, где с -
Тогда
Если
, то
,
а это означает, что среднее арифметическое случайных величин стремится по вероятности к
среднему арифметическому их математических ожиданий. Этот факт называется законом
больших чисел.