Л.В. Агамиров Методы статистического анализа результатов

Л.В. Агамиров
Методы статистического анализа результатов
научных исследований
Учебно-методическое пособие для решения задач
для научных работников, инженеров и студентов
технических вузов
Оценка параметров кривой усталости
Определить параметры медианной кривой усталости натурной детали, если
заданы:
уравнение медианной кривой усталости гладких лабораторных образцов
стандартного
диаметра:
параметр подобия
детали
коэффициент наклона прямой
подобия
теоретический коэффициент концентрации напряжений в детали
Уравнение подобия усталостного разрушения имеет вид:
– max напряжение в зоне концентрации детали,
соответствующее пределу выносливости детали
– предел выносливости гладкого лабораторного образца стандартного
размера
Уравнение медианной кривой усталости детали:
Вероятность безотказной работы
Определить вероятность безотказной работы элемента конструкции на базе
106 циклов при отнулевом цикле нагружения, если заданы: 100 МПа –
амплитуда цикла напряжений, коэффициент вариации предела выносливости
и действующей амплитуды равны:
кривая усталости при ассиметричном цикле
При отнулевом цикле:
Определить вероятность безотказной работы стержней, если заданы:
– распределение предельных напряжений,
– распределение усилий,
– распределение диаметра поперечного сечения балки.
Двусторонние доверительные границы для генерального
среднего
Вычислить двусторонние доверительные границы для генерального среднего
логарифма долговечности в выборке из нормального распределения: 7.12,
6.76, 6.94, 7.23, 6.54, 7.16, 6.87, 6.65, 7.20.
α = 0,1 – уровень значимости;
– квантиль распределения Стьюдента.
Односторонние доверительные границы для квантилей
Нормальный закон распределения
Определить верхнюю и нижнюю доверительные границы квантиля
уровня p = 0,01 логарифма долговечности с доверительной
на основе нормального закона распределения, если
вероятностью
измерены
следующие значения: 6.57, 6.83, 6.99, 7, 7.05, 7.12, 7.33, 7.45
Односторонние доверительные границы для квантилей нормального закона
распределения в полной выборке определяют по формулам:
– квантиль уровня
нецентрального распределения Стьюдента
с f = n-1 степенями свободы
и с параметром нецентральности
– квантиль уровня P нормированного нормального распределения,
– оценки параметров нормального закона распределения
Оценки параметров в полной выборке(выборочное среднее, выборочная
дисперсия):
Оценки квантиля уровня P:
Метод максимального правдоподобия
Произвести оценку параметра распределения
методом максимального правдоподобия, если X: 5.07, 5.53, 5.89, 6.05, 6.15
В случае полной выборки:
Производная по b:
Производная по c:
Решая систему:
Произвести оценку параметра с распределения
методом максимального правдоподобия, если измерены следующие
значения x: 15.07, 15.63, 15.79, 16.05, 16.17
В случае полной выборки:
Метод наименьших квадратов
Для линейной модели вида:
определить методом наименьших квадратов параметры модели, если
наблюдения y составляют: 12.1; 12.3; 12.5; 12.6; 12.8 при значении
факторов x: 100; 120; 140; 150; 170.Значения весовой функции принять
равной единице.
Условие минимума записывается в виде:
Которое эквивалентно уравнению:
или
Тогда решение системы относительно вектора k записывается в виде:
f1(x) + f2(x) + f3(x) = y(x)
Законы распределения вероятностей ХМС
Оценка квантиля уровня P распределения Вейбулла-Гнеденко
Произвести оценку квантиля уровня P=0,01 распределения ВейбуллаГнеденко, если параметры распределения составляют значения:
b=1,1; c=100;
Квантиль
уровня P=0,01:
Непараметрические оценки характеристик распределения
ХМС
Для выборки объемом n = 30 из произвольного непрерывного распределения
определить непараметрическим методом вероятность накрытия квантиля
уровня p = 0,1 интервалом между первым и шестым членами вариационного
ряда.
Доверительная вероятность:
- доверительная вероятность, то есть
вероятность накрыть квантиль
интервалом
При использовании симметрично расположенных порядковых
статистик s = n - r + 1
Критерий Андерсона-Дарлинга A2
Проверить по критерию Андерсона-Дарлинга A2 гипотезу о нормальности
распределения логарифма долговечности: 7.12, 6.76, 6.94, 7.23, 6.54, 6.25,
7.16, 6.87, 6.65, 7.20.
Статистика критерия:
i
1
2
0.05
0.15
0.766 0.779
0.363
0.346
3 0.25 0.21
0.583
4 0.35 1.106 0.867
5 0.45 0.152
1.025
6 0.55 0.027
1.921
7 0.65 0.889 0.813
8 0.75 0.496
0.006
9 0.85 0.251
0.686
10 0.95 1.013 0.844
Составляют неравенство:
-0.250
-1.013
-0.0125
-0.15195
0.95
0.85
0.221
0.637
-1.5096
-0.4510
-0.540
-0.143
-1.884
-0.135
-0.05005
-1.8478
0.75
0.65
0.55
0.417
0.133
0.848
-0.8747
-2.0174
-0.1649
-3.612
-1.9866
0.45
0.973
-0.0274
-0.207
-0.701
-0.13455
-0.52575
0.35
0.25
0.187
0.504
-1.6766
-0.6852
-1.382
-1.1747
0.15
0.749
-0.2890
-0.170
-0.1615
0.05
0.156
-1.8579
Если неравенство выполняется, то нулевая гипотеза принимается, в
противном случае нулевая гипотеза отвергается.
Критерий Смирнова
Проверить по критерию Смирнова гипотезу о нормальности закона
распределения логарифма долговечности: 7.12, 6.78, 6.94, 7.23, 6.54, 6.25,
7.16, 6.87, 6.65, 7.20
Вариационный ряд: 6.25, 6.54, 6.65, 6.78, 6.87, 6.94, 7.12, 7.16, 7.20, 7.23
– накопленная частность
Затем составляют неравенство:
Для уровня
значимости
следовательно,
гипотеза о нормальности распределения логарифма долговечности
принимается.
Двухвыборочный критерий Уилкоксона
Проверить по критерию Уилкоксона гипотезу об отсутствии сдвига в двух
независимых выборках. Измеренные значения временных сопротивлений
составляют:
X: 720, 676, 695, 728, 654, 653, 718, 687, 665, 705 (МПа)
Y: 783, 621, 643, 628, 619, 724, 622 (МПа)
т.е. обе выборки принадлежат одной совокупности
Строим вариационный ряд из k = m + n = 17 элементов:
Считаем сумму рангов наименьшей из совокупностей
Для приблизительного расчета:
Нулевую гипотезу принимают, если для двустороннего критерия с уровнем
значимости a выполняется неравенство:
– квантиль
уровня
– квантиль уровня
распределения Стьюдента с числом степеней
свободыf = m + n - 2
нормированного нормального распределения
В противном случае гипотезу отвергают.
Рассчитать точное распределение значений суммы рангов двухвыборочного
критерия Уилкоксона при объемах выборки n1=2 и n2=3.
Степени полинома определяют критические значения статистики,
коэффициенты полинома – частоты распределения, суммированием которых
определяются значения точной дискретной функции распределения:
0
1
2
3
4
5
6
U
3
4
5
6
7
8
9
W
1
1
2
2
2
1
1
G(W)
P(W)=1-α 1/10 2/10 4/10 6/10 8/10 9/10 10/10
Критерий знаковых рангов Уилкоксона
Рассчитать точное распределение статистики критерия знаковых рангов
Уилкоксона при n=3.
Степени полинома определяют значения статистики, коэффициенты
полинома – частоты распределения, суммированием которых определяются
значения точной дискретной функции распределения:
0
1
2
3
4
5
6
T
G(T)
1
1
1
2
1
1
1
P(T) = 11/8 2/8 3/8 5/8 6/8 7/8 8/8
α
Критерии для отбрасывания резко выделяющихся
(аномальных) результатов испытаний
Критерий Смирнова
Проверить по критерию Смирнова принадлежность последнего члена
вариационного ряда логарифмов долговечностей в выборке из нормального
закона распределения общей генеральной совокупности:
4.90; 5.12; 5.32; 5.55; 5.76; 5.87; 5,98; 6.03; 6.10; 7.05
Для рассматриваемой выборки
т.е. значительно больше критического значения
для n=10 и уровня значимости 0,10. Следовательно, результат испытания
последнего в вариационном ряду образца является резко выделяющимся, и
не принадлежит той же генеральной совокупности, что и результаты
испытаний остальных 9 образцов выборки.
Проверить по критерию Смирнова принадлежность первого члена
вариационного ряда логарифмов долговечностей в выборке из нормального
закона распределения общей генеральной совокупности: 4.12, 4.99, 5.12, 5.32,
5.55, 5.76, 5.87, 5.98, 6.03, 6.10
Статистика критерия:
следовательно, первый член вариационного ряда не принадлежит той же
генеральной совокупности, что и остальные 9 образцов.
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных
совокупностей.
Критерий Фишера (F-критерий)
Даны два
распределения:
Сравнить дисперсии с помощью
критерия Фишера.
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий ряда генеральных
совокупностей. Критерий Бартлета
Проверить по критерию Бартлетта гипотезу о равенстве дисперсий
логарифмов долговечностей пяти нормальных генеральных, если значения
выборочных среднеквадратических отклонений логарифмов долговечностей
составляют: 0.15, 0.17, 0.21, 0.25, 0.27 при объемах 10, 12, 15, 9,
11 соответственно.
m – количество выборок
– выборочная дисперсия
следовательно, нулевая гипотеза об однородности ряда дисперсий
подтверждается.
Проверка гипотезы о равенстве средних двух генеральных
совокупностей
Критерий Стьюдента (t- критерий)
Проверить по критерию Стьюдента гипотезу о равенстве средних пределов
текучести двух нормальных генеральных совокупностей:
220, 223, 234, 245, 257 МПа
234, 246, 259, 262, 278, 280, 285, 290 МПа
Нулевую гипотезу о равенстве средних пределов текучести двух
генеральных совокупностей принимают.
Проверка гипотезы о равенстве средних ряда генеральных
совокупностей.
Однофакторный дисперсионный анализ
Проверить по критерию Фишера гипотезу о равенстве средних логарифмов
долговечностей пяти нормальных генеральных совокупностей, если значения
выборочного среднего и среднеквадратического отклонения логарифма
долговечности составляют:
7.12, 6.76, 6.94, 7.23, 6.54
0.15, 0.17, 0.21, 0.25, 0.27
при объемах выборок 10, 12, 15, 9, 11 соответственно.
следовательно, гипотезу о равенстве средних логарифмов
долговечностей отвергают.