Управление размером открытой позиции

ТЕОРИЯ
Управление размером
открытой позиции
Стандартные методы технического
анализа дают сигналы на вход в рынок
и выход из него. Если один из таких
методов выбран, в руках инвестора
остается еще один рычаг управления
– количество денег, инвестируемых
при очередном входе в рынок. Естественно, возникает вопрос: как распорядиться этим рычагом, чтобы получить
дополнительную прибыль?
Сверхзадача
В
последнее время на русском
языке вышло уже несколько
книг, посвященных этой теме. Как
обычно, погоня за модой ведет к
определенным перегибам. Приведу
лишь одну цитату: «При таком
подходе практически не существует неудачных торговых сделок, а
есть только неквалифицированное
управление капиталом» [1]. В общем, сбылась вековая мечта человечества: зарабатывать, не затрачивая интеллектуальных усилий.
Мое внимание на данную задачу
обратил Владимир Лукашевич1, в
то время один из редакторов
«Валютного спекулянта». Он предлагал на качественном уровне объяснить пропагандируемый новой
теорией эффект, который заключается в следующем: в известном
смысле оптимальным является такой способ управления размером
открытой позиции, при котором
каждый раз инвестируется вполне
1
определенная доля имеющихся
средств. В приватной беседе прозвучала даже конкретная цифра:
вкладывать следует примерно четверть капитала.
Однако
жизнь
оказывается
сложнее очередной теоретической
схемы. В рассматриваемой задаче
можно выделить сразу несколько
качественных эффектов, разных по
направленности и по масштабу.
Поэтому результирующий эффект
вряд ли можно оценить, не прибегая к количественному анализу. Частично данной проблемы я уже касался [2]. Теперь попробуем взглянуть на нее с другой точки зрения.
Новая теория является альтернативой старомодному утверждению о том, что деньги должны работать. Смысл новой теории часто
объясняют так. При увеличении
капитала после удачной сделки
инвестор увеличивает размер открытой позиции при очередном
входе в рынок, тем самым, увеличивая ожидаемую прибыль. А при
уменьшении капитала после убыточной сделки инвестор уменьшает размер открытой позиции, снижая риск разорения.
Казалось бы, определенная логика есть. Но давайте посмотрим на
проблему повнимательнее. Допустим, вероятности выигрыша в соседних сделках сильно коррелированны, то есть за удачей с большой
вероятностью вновь следует удача.
Тогда, очевидно, после одной удачной сделки следует увеличивать
объем инвестируемых средств.
Пусть теперь вероятности успеха в
соседних сделках антикоррелированны, то есть за успехом почти
всегда следует неудача, и наоборот.
Тогда, очевидно, после удачной
сделки следующий вход в рынок
лучше бы вообще пропустить. А
как действовать в промежуточном
случае, когда вероятности успеха
в соседних сделках статистически
независимы (именно этот случай
рассматривается интересующей
нас теорией)? В силу симметрии
За что я ему искренне благодарен.
52
ВАЛЮТНЫЙ СПЕКУЛЯНТ Июнь 2003
ТЕОРИЯ
можно предположить, что в этом
случае любая стратегия может
оказаться оптимальной. Во всяком случае, понятно, что приведенных выше аргументов явно недостаточно для обоснования сделанных выводов.
Попробуем разобраться в проблеме более детально.
Исходные
предположения
П1. Входя в рынок, инвестор устанавливает два стоп-ордера: один
– фиксирующий прибыль в размере a рублей на вложенный рубль,
а другой – фиксирующий убытки в
размере b рублей на вложенный
рубль. Выход из рынка осуществляется в соответствии с одним из
этих стоп-ордеров.
Это предположение сделано исключительно для простоты. Более
общий случай рассмотрен, например, в книге Р. Винса «Математика управления капиталом» [3]. Никакого существенного изменения
картины это усложнение не дает.
А поскольку нас интересует в первую очередь качественная сторона
дела, ограничимся более простой
моделью.
П2. Завершение
очередной
сделки с прибылью или с убытками является случайным событием.
На практике это предположение требует тщательной экспериментальной проверки. Об этом я
уже писал [4], поэтому возвращаться к этой теме не буду. Отмечу лишь одно обстоятельство. В
данном случае случайность интересующего нас события характеризует не только рынок, но и выбранный конкретным инвестором
способ действий2.
Действительно, пусть цены на
рынке меняются абсолютно регулярно, например, колеблются по
синусоиде, а моменты входа в рынок и выхода из него инвестор выбирает случайно. Тогда и результат сделки будет случайным. Мы
принимаем эту гипотезу исключи-
тельно потому, что в данный момент нас интересуют выводы конкретной теории, а не практическое использование ее результатов.
П3. Успехи и неудачи в различных сделках являются статистически независимыми событиями.
Это предположение существенно упрощает теорию. При ее
практическом использовании оно,
конечно же, нуждается в проверке. Правда, следует отметить, если
удастся обнаружить, что такое
предположение не выполняется,
это можно рассматривать как
большую удачу, потому что тогда
начинают работать соображения,
изложенные в первом разделе. Мы
принимаем эту гипотезу по той же
причине, что и предыдущую.
П4. Вероятности успеха p и неудачи q во всех сделках одинаковы.
Это очень сильное предположение. По существу, оно говорит о
некой стабильности рынка. Приняв
гипотезы П2 и П3, мы, по сути, вынуждены принять и П4, поскольку
иначе будет непонятно, как можно
проверить гипотезы П2 и П3, и откуда взять значения соответствующих вероятностей.
П5. Вероятности p и q заранее
известны инвестору.
Если предположения П2-П4 выполнены, то значения вероятностей уже совсем нетрудно найти с
помощью анализа временных рядов, хотя для этого, конечно, нужна определенная статистика.
П6. Качество механизма управления размером открытой позиции
инвестор оценивает с помощью
математического ожидания своего
дохода.
В контексте предыдущих предположений это представляется
вполне естественным. Впрочем, к
обсуждению этой гипотезы мы
еще вернемся.
Выводим теорему
Н
ачнем с простейшего механизма управления размером открытой позиции. Будем считать,
что каждый раз, входя в рынок,
инвестор вкладывает сумму, равную S. Посчитаем математическое
ожидание прибыли инвестора.
После одной сделки инвестор с
вероятностью p получит прибыль в
aS рублей и с вероятностью q понесет убыток в bS рублей. Математическое ожидание прибыли будет
равно (ap-bq)S.
Последовательность из двух
сделок может закончиться четырьмя разными исходами. С вероятностью p2 обе сделки закончатся прибылью, которая в результате составит 2aS рублей. С
вероятностью pq первая сделка
закончится прибылью, а вторая –
убытком, и результат будет равен
(a-b)S. С вероятностью qp первая
сделка закончится убытком, а вторая – прибылью, в итоге вновь получится (a-b)S. Наконец, с вероятностью q2 обе сделки закончатся
убытками, которые в сумме составят -2bS. Интересующее нас математическое ожидание будет равно (2ap2+2(a-b)pq-2bq2)S.
При трех сделках число вариантов еще больше увеличивается. В
одном случае с вероятностью p3
все три сделки окончатся прибылью, что даст итог 3aS. В трех случаях две сделки окончатся прибылью3, а одна убытками. Вероятности всех этих случаев равны p2q, а
итоговая прибыль составит (2a-b)S.
В трех случаях будет одна удачная
сделка и две неудачных (вероятности pq2 и прибыли (a-2b)S). Наконец, с вероятностью q3 все три
сделки закончатся неудачно и итоговая «прибыль»4 составит -3bS.
Математическое ожидание прибыли
будет
равно
(3ap3+3(2ab)p2q+3(a-2b)pq2-3bq3).
Теперь должно быть понятно,
что происходит в общем случае.
Пусть совершено t сделок. Мы будем иметь Ctk вариантов, когда k
сделок завершаются с прибылью,
а остальные – с убытками (здесь
Ctk=t!/(k!(t-k)!) – число способов
выбрать из t сделок k удачных).
Вероятность каждого из этих
Поэтому ссылки на чужой опыт в данном случае необоснованны.
Убыточной может быть первая сделка, может быть вторая, и может – третья.
4
Для наших целей гораздо удобнее пользоваться представлением отрицательных чисел, принятым в математике, а не в бухгалтерском учете. Поэтому для нас убытки – это отрицательная прибыль.
2
3
ВАЛЮТНЫЙ СПЕКУЛЯНТ Июнь 2003
53
ТЕОРИЯ
вариантов равна pkqt-k, а итоговая
прибыль составит (ka-(t-k)b)S. По
определению,
математическое
ожидание прибыли будет равно
сумме
t
( C t t a p t+ C t t-1( ( t - 1 ) a - b ) ×
t-1
× p q + . . . + C t k( k a - ( t - k ) b p k×
×q t-k+...+C t 0t(-b)q t)S.
Вычислим эту сумму. Для этого
разобьем ее на две, собрав вместе
слагаемые с a и с b:
(tCttpt+(t-1)Ctt-1pt-1q+...+Ct1pqt-1)aS-(Ct1pt-1q+2Ct2p2qt-2+...+tCttqt)bS.
Вспомним формулу бинома
Ньютона
(p+q)t=Cttpt+Ctt-1pt-1q+...+Ct0qt.
Продифференцируем ее по p:
t ( p + q ) t-1= t C t tp t-1+ ( t - 1 ) C t t-1×
t-2
×p q+...+Ct1qt-1.
Вспомнив, что в силу предположения П1 сумма вероятностей p и
q равна единице, получим
tCttpt-1+(t-1)Ctt-1pt-2q+...+Ct1qt-1=t
или
tCttpt+(t-1)Ctt-1pt-1q+...+Ct1pqt-1=pt.
Аналогично доказывается, что
Ct1pt-1q+2Ct2p2qt-2+...+tCttqt=qt.
В итоге приходим к выводу, что
интересующее нас математическое ожидание равно (pa-qb)tS.
Читатель, немного знакомый с
теорией вероятностей, наверно,
уже заметил, что тот же результат можно было бы получить почти без формул, воспользовавшись
5
следующей теоремой: математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме математических ожиданий
слагаемых.
Мы, по сути, вывели эту теорему для интересующей нас задачи. Почему я поступил именно
так, надеюсь, будет понятно чуть
позже.
Оптимальный размер
открытой позиции
Т
еперь нетрудно сообразить,
как следует выбирать размер
открытой позиции S, чтобы получить максимальную ожидаемую
прибыль.
Если величина pa-qb положительна, то математическое ожидание прибыли будет линейно
расти с ростом t, причем скорость роста (pa-qb)S будет тем
больше, чем больше S. Поэтому
независимо от того, как долго мы
предполагаем играть на бирже,
величину открытой позиции следует выбирать по возможности
большей. Естественно, эта возможность ограничена размером
нашего стартового капитала.
Если величина pa-qb отрицательна, то математическое ожидание прибыли будет линейно
убывать, причем тем быстрее,
чем больше S. Следовательно, в
этом случае величину S следует
выбирать возможно меньшей.
Фактически это означает отказ от
игры.
Наконец, если величина pa-qb
равна нулю, то, как бы мы ни выбирали размер открытой позиции,
в среднем мы останемся со своим
стартовым капиталом.
Величину pa-qb естественно
интерпретировать как ожидаемую доходность5 работы на рынке. Фактически мы получили
классический
вывод:
деньги
должны работать, с той естественной оговоркой, что нужно
еще правильно выбирать моменты входа в рынок и выхода из него, без чего лучше вообще не
браться за дело.
Другой сценарий
Р
ассмотрим другой сценарий поведения. Будем считать, что, открывая очередную позицию, инвестор
вкладывает вполне определенную долю текущего значения своего капитала, которую обозначим буквой _.
Очевидно, это число должно лежать
между нулем и единицей. Найдем
математическое ожидание прибыли
инвестора при такой стратегии.
Пусть начальный капитал инвестора равен M. Тогда при первом
входе в рынок будет вложена сумма _M. После этого с вероятностью p будет получена прибыль
_aM и конечный капитал станет
равен (1+_a)M; а с вероятностью
q сделка закончится убытком и конечный капитал будет равен
(1-_b)M. Математическое ожидание
прибыли
будет
равно
p(1+_a)M+q(1-_b)M-M=(pa-qb)_M.
Последовательность из двух сделок может закончиться четырьмя
разными исходами. С вероятностью p2 обе сделки окажутся прибыльными. В этом случае после
первой сделки капитал окажется
равным (1+_a)M, после чего будет
вложена сумма (1+_a)M_, которая
в результате второй сделки возрастет до (1+_a)2M...
Практически дословно повторяя
рассуждения, приведенные в тре-
Правда, время у нас измеряется количеством сделок и может мало соответствовать реальному физическому времени.
54
ВАЛЮТНЫЙ СПЕКУЛЯНТ Июнь 2003
ТЕОРИЯ
тьем разделе статьи, мы получим
выражение для математического
ожидания прибыли:
(Ctt(1+_a)tpt+Ctt-1(1+_a)t-1(1-_b)×
× p t - 1 q + . . . + C t k ( 1 + _a ) k ( 1 - _b ) t - k p k ×
×q t-k+...+C t0(1-_b) tq t)M-M.
Эта сумма упрощается даже легче, чем в предыдущем случае. Достаточно вспомнить формулу бинома Ньютона, чтобы получить ответ:
( p ( 1 + _ a ) + q ( 1 - _ b ) ) tM - M =
=[((1+_(pa-qb))t-1] M.
Из последней формулы видно,
что, если знакомая нам величина
доходности pa-qb положительна,
то математическое ожидание прибыли с ростом числа операций t
будет экспоненциально расти. При
этом основание экспоненты, а значит, и скорость роста, будут тем
больше, чем больше _. То есть
самое выгодное – вкладывать все
наличные средства, чему соответствует значение _=1.
Если доходность отрицательна,
то вместо роста мы получим убывание, опять-таки экспоненциальное. Причем тем более быстрое,
чем больше _. Значит, оптимальное значение _ равно нулю, чему
соответствует отказ от игры.
Наконец, если доходность равна
нулю, то значение _ можно выбирать как угодно, результат от этого не изменится.
Таким образом, опять приходим
к классическому выводу: деньги
должны работать.
ВАЛЮТНЫЙ СПЕКУЛЯНТ Июнь 2003
Долгожданный эффект
В
ыше мы отмечали, что в случае
фиксированного размера открытой позиции интересующий
нас результат может быть получен
без длинных формул с помощью
теоремы о математическом ожидании суммы случайных величин.
А нельзя ли аналогичным образом
получить результат и для случая,
когда фиксирована доля вкладываемых средств? Если при первом
варианте исходная сумма увеличивалась на aS в случае удачи и
уменьшалась на bS в случае неудачи, то при втором варианте она
увеличивается в (1+_a) раз в случае удачи и уменьшается в (1-_b)
раз в случае неудачи.
Хорошей теоремы для вычисления математического ожидания
произведения случайных величин в
нашем распоряжении нет. Чтобы
перейти от произведений к суммам, обычно логарифмируют. Давайте так и поступим.
Получим динамический процесс, в котором величина lnM в
случае
удачи
меняется
на
lnM+ln(1+_a), а в случае неудачи
– на lnM+ln(1-_b). Здесь уже применима теорема о математическом ожидании суммы, поэтому
можно выписать готовый ответ:
математическое ожидание логарифма капитала после t операций
равно lnM+ptln(1+_a)+qtln(1-_b).
Можно теперь перейти от логарифмов к исходным величинам и
получить выражение
M[(1+_a)p(1-_b)q]t.
Итак, получили экспоненциально растущую величину. Выражение (1+_a)p(1-_b)q-1 естественно
трактовать как эффективную доходность. Чем она больше, тем
быстрее растет экспонента с ростом t.
Давайте найдем, при каком значении _ эта эффективная доходность достигает максимума. Для
этого поступим стандартным образом, вычислив производную:
pa(1+_a) p-1(1-_b) q-qb(1+_a) p(1_ b ) q-1= [ p a ( 1 - _ b ) - q b ( 1 + _ a ) ] ×
×(1+_a) p-1(1-_b) q-1.
Данная производная меняет
знак с плюса на минус при
_=(pa-qb)/ab. Значит, если это
значение лежит между нулем и
единицей, максимум достигается
внутри отрезка.
В статье Владимира Лукашевича
«Многоликая мультипликация» [1]
подробно разбирается пример,
когда p=q=1/2, a=2, а b=1. При
этих значениях параметров оптимальная
доля
вкладываемых
средств составляет 25%, как и следует из приведенной в этой статье
таблицы.
Наконец-то желанный результат
получен. Однако не понятно, почему два способа подсчета, казалось бы, одного и того же дают
качественно разные результаты?
Безусловно, это противоречие требует дальнейших исследований. ВС
Михаил Горелов
Литература:
1. Лукашевич В. Многоликая
мультипликация // Валютный спекулянт, 2001, № 2, с. 35-39.
2. Горелов М. Парадоксы сложных процентов // Валютный спекулянт, 2002, № 4, с 48-51.
3. Винс Р. Математика управления капиталом. – М.: Альпина Паблишер, 2001.
4. Горелов М. Метод «черного
ящика» // Валютный спекулянт,
2002, № 12, с 48-51.
55