для студентов специальности «Менеджмент организаций

ГОУ ВПО «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ, МЕХАНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Летняя сессия 2009/2010
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
ПО КУРСУ «Высшая математика (теория вероятностей)»
для студентов специальности «Менеджмент организаций»
Ф.И.О. ___________________________________________
Курс, группа_______
Для получения оценки «3» необходимо набрать более 6,5 баллов по заданиям Тестовой части и Практической части-1 , для оценки «4» не менее 14 баллов, для оценки «5» не менее 17,5 баллов.
ТЕСТОВАЯ ЧАСТЬ
(за правильный ответ на каждый вопрос 0,5 балла)
1. Произведением двух событий называется
а) произведение вероятностей этих событий
б) событие, состоящее в появлении одного из этих событий
в) событие, состоящее в одновременном появлении этих событий
г) число появления этих событий
2. Полная группа событий - это
а) группа событий, одно из которых в результате опыта обязательно произойдет
б) группа несовместных событий, одно из которых в результате опыта обязательно произойдет
в) группа независимых событий, одно из которых в результате опыта обязательно произойдет
г) группа событий, вероятности которых равны между собой.
3. Из коробки с 7 красными, 9 синими и 4 белыми шарами наугад извлечены 4. Вероятность того,
что среди извлеченных шаров два белых, равна
а)
С 72 С91С 14
б)
4
С 20
2
С 42 С16
в)
4
С 20
С42
г)
4
С20
С71 С91С 42
4
С 20
4. Для непрерывной случайной величины X, подчиняющейся экспоненциальному закону, заданному
 0, x  0
, математическое ожидание равно:
 3x
, x0
3e
плотностью распределения f ( x )  
А) 3;
Б) 9;
В) -3;
Г) 1/3
5. X, Y – произвольные случайные величины. Какое из свойств является неверным?
а) D(С)=0
б) D(CY)=С2D(Y)
в) М(XY)=M(X)M(Y)
г) M(CY)=CM(Y)
6. Какая из таблиц является законом распределения дискретной случайной величины X?
а)
в)
X
2
4
7
8
p
0,1
0,1
0,4
-0,1
X
2
4
7
8
p
0,2
-0,1
0,7
0,2
б)
г)
X
2
4
7
8
p
0,6
0,3
0,1
0,1
X
2
4
7
8
p
0,2
0,6
0,1
0,1
7. Выберите правильное утверждение:
А) выборочное среднее квадратическое отклонение - оценка несмещенная
Б) исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение - оценка смещенная
В) исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение - оценка несмещенная
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ -1 (ответы должны сопровождаться решениями)
ВОПРОС
ОТВЕТ
1. Определите вероятность того, что при одновременном броске двух игральных
костей сумма выпавших очков будет не более 5 (0,5 б)
2. Вероятности того, что в течение дня откажут станки A, B, C, равны, соответственно, 0,4; 0,2; 0,1. Определите вероятность того, что в течение дня отказали
два станка. (1 б)
3.В соревнованиях участвуют 16 стрелков, 4 из которых отличные (каждый попадает в мишень с вероятностью 6/7), 7 хороших (каждый попадает с вероятностью 5/7) и 5 плохих (вероятность попадания 2/7). Какова вероятность, что
наугад выбранный стрелок попал в мишень? Какова вероятность, что это был
хороший стрелок? (1,5 б)
.
4. Определите вероятность того, что событие, наступающее в каждом испытании
с вероятностью 3/4, наступит не менее 220 и не более 250 раз в серии из 300 испытаний.. (1,5 б).
 0, x  0

5. F ( x )   x 3 / 8, 0  x  2 - функция распределения непрерывной случайной

1, x  2

величины. Определите вероятность того, что значения случайной величины попадают в интервал (1;3/2). Найдите математическое ожидание (2 б)
6. Пусть X – дискретная случайная величина, заданная табличным законом распределения. Найдите математическое ожидание и дисперсию (1,5 б)
X
2
4
7
8
p
0,2
0,3
0,4
7. Методом моментов оцените параметры нормально распределенной генеральной совокупности, если известна выборка. Запишите плотность распределения
(2,5 б)
xi
1
3
5
6
8
ni
7
2
5
3
3
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
1. Дайте определение суммы событий, сформулируйте и докажите теорему сложения для совместных
событий (1,5 б)
2. Вероятность абсолютной величины отклонения нормально распределенной случайной величины.
Пусть известно, что значения нормально распределенной с математическим ожиданием 50 случайной
величины лежат в интервале (30;70). Определите вероятность того, что значения Х отклоняются от M(X)
на величину, по модулю не превосходящую 12. (2 б)
3. Пусть известно, что генеральная совокупность Х распределена по нормальному закону и есть выборка, приведенная в задании 7. Проверьте при уровне значимости 0,01 гипотезу «М(Х)=5» при альтернативной «М(Х)≠5» (1,5 б)
ЭКЗАМЕНАТОР
ДАТА УТВЕРЖДЕНИЯ
Ю.С.Налбандян
18.05.2010
ЗАВ.КАФЕДРОЙ
А.В.АБАНИН
ГОУ ВПО «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ, МЕХАНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Летняя сессия 2009/2010
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
ПО КУРСУ «Высшая математика (теория вероятностей)»
для студентов специальности «Менеджмент организаций»
Ф.И.О. ___________________________________________
Курс, группа_______
Для получения оценки «3» необходимо набрать более 6,5 баллов по заданиям Тестовой части и Практической части-1 , для оценки «4» не менее 14 баллов, для оценки «5» не менее 17,5 баллов.
ТЕСТОВАЯ ЧАСТЬ
(за правильный ответ на каждый вопрос 0,5 балла)
1. Формула P(AB)=P(A)P(B) справедлива для
а) пары зависимых событий
б) для пары совместных событий
в) для пары несовместных событий
г) для пары независимых событий
2. Брошены два игральных кубика. Событие «сумма выпавших числе равна 4»
а) достоверное
б) невозможное
в) случайное
г) маловероятное
3. Из коробки с 7 красными, 9 синими и 4 белыми шарами наугад извлечены 4. Вероятность того,
что среди извлеченных шаров три красных, равна
а)
С73С90 С41
б)
4
С20
1
С 73С13
в)
4
С 20
С73
г)
4
С20
С73С91С40
4
С20
4. Для непрерывной случайной величины X, подчиняющейся нормальному закону, заданному плотностью распределения f ( x ) 
2
1
e  ( x  3) / 8
2 2
а) математическое ожидание равно 3, дисперсия равна 8;
б) математическое ожидание равно -3, дисперсия равна 4;
в) математическое ожидание равно 3, дисперсия равна 2;
г) математическое ожидание равно 3, дисперсия равна 4.
5. Опыт проведен 300 раз, вероятность появления события в каждом из них равна 0,7. Чтобы определить вероятность того, что событие наступило более 200 раз, необходимо применить
а) интегральную теорему Лапласа
б) формулу Пуассона
в) локальную теорему Лапласа
6. Какая из таблиц является законом распределения дискретной случайной величины X?
X
а)
в)
1
2
p
0,1
0,4
X
1
2
p
0,4
0,8
3
0,5
б)
3
-0,2
г)
X
2
4
7
p
0,3
0,3
0,3
X
2
4
7
p
4
3
3
7. Выберите правильное утверждение:
А) оценка несмещенная, если при одних и тех же объемах выборки она имеет одну и ту же дисперсию;
Б) оценка несмещенная, если при n   она по вероятности стремится к оцениваемому параметру
В) оценка несмещенная, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ -1 (ответы должны сопровождаться решениями)
ВОПРОС
ОТВЕТ
1. Известно, что вероятность вытащить красный карандаш из коробки с карандашами равна 2/13. Какова вероятность вытащить из этой коробки карандаш любого другого цвета? (0,25 б)
2. Вероятность того, чтоб Вы правильно ответите на вопрос теста, равна 3/5. Какова
вероятность, что вы ответите на 8 вопросов теста из 11? Хотя бы на один вопрос?
(1,25 б)
.
3. Деталь попадает на проверку к первому контролеру с вероятностью 40%, ко
второму с вероятностью 35%, к третьему с вероятностью 25% . Вероятности того, что контролеры признают деталь браком, равны, соответственно, 0,8; 0,75;0,9.
Какова вероятность, что деталь признана бракованной? Какова вероятность, что
бракованная деталь обнаружена третьим контролером? (1,5 б)
4. Определите вероятность того, что при 500 бросках игральной кости «5» выпадет 110 раз.. (1,5 б).
0, x  1


5. При каком значении параметра C функция p( x)  C  x 2 , 1  x  2 будет
 0, x  2

плотностью распределения некоторой случайной величины? Найдите М(Х). (2 б)
6. Известно, что X – непрерывная случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием 4 и дисперсией
25. Запишите плотность ее распределения и найдите вероятность того, что значения X лежат в интервале (10;20) (1,5 б)
7. Методом моментов оцените параметры равномерно распределенной генеральной совокупности, если известна выборка. Запишите плотность распределения
(2,5 б)
xi
1
3
4
6
10
ni
10
4
5
5
6
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
8. Выведите формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины X,
распределенной по равномерному закону. (1,5 б)
9. Генеральная совокупность Х подчиняется нормальному закону. С помощью выборки, приведенной в задании 7, определите с надежностью 0.99доверительные интервалы для оценки математического ожидания и
среднего квадратического отклонения (1,75 б)
10. Дискретная случайная величина Х задана табличным законом распределения, причем известно, что
M(X)=2,2; D(X)=0,76. Восстановите неизвестные данные в законе распределения. (2,25 б)
X
1
x
y
p
0,3
0,2
P1
ЭКЗАМЕНАТОР
ДАТА УТВЕРЖДЕНИЯ
Ю.С.Налбандян
18.05.2010
ЗАВ.КАФЕДРОЙ
А.В.АБАНИН