Ëåêöèÿ 8 Òåìà Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè Ñîäåðæàíèå òåìû Çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè Íàó÷íûå ïðåäïîñûëêè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè âûáîðîê Îñíîâíûå êàòåãîðèè âûáîðêà, âàðèàöèîííûé ðÿä, ìåäèàíà, ìîäà âàðèàíòû, ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä, ÷àñòîòû, ÷àñòîñòè, ïîëèãîí âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå, âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ, íåñìåùåííàÿ îöåíêà. Ì.Ï. Õàðëàìîâ http://inter.vags.ru/hmp Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 Ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ òåðìèíà ¾ñòàòèñòèêà¿ Ñòàòèñòèêà ñåìåéñòâî äèñöèïëèí, èçó÷àþùèõ îáúåì íàêîïëåííûõ äàííûõ â îïðåäåëåííîé îòðàñëè è ïðèåìû èõ îáðàáîòêè (ñîöèàëüíàÿ ñòàòèñòèêà, ôèíàíñîâàÿ ñòàòèñòèêà, ýêîíîìè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà, ñòàòèñòèêà îòðàñëåé íàðîäíîãî õîçÿéñòâà, ñòàòèñòèêà ïðåñòóïëåíèé è ò.ï.). Ñòàòèñòèêà ïðîöåññ ñáîðà îò÷åòíîé èíôîðìàöèè îá îïðåäåëåííîì íàáîðå ïîêàçàòåëåé ïî îïðåäåëåííîìó âîïðîñó. Ñòàòèñòèêà, èëè ñòàòèñòè÷åñêàÿ èíôîðìàöèÿ ÷èñëîâàÿ è ñòðóêòóðèðîâàííàÿ èíôîðìàöèÿ î íåêîòîðûõ îáúåêòàõ èëè ïðîöåññàõ. Ñòðóêòóðèðîâàííîñòü ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ÷åòêî îïðåäåëåí íàáîð ÷èñëîâûõ ïðèçíàêîâ, çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ñîáðàíû ïî ìíîæåñòâó îäíîðîäíûõ îáúåêòîâ èëè ïðîöåññîâ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà íàóêà îá îáîñíîâàííûõ ñïîñîáàõ îáðàáîòêè ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèè. Îáåñïå÷èâàåò îòðàñëåâûå ñìåæíûå äèñöèïëèíû íàó÷íûì òåîðåòè÷åñêèì ôóíäàìåíòîì. Ì.Ï. Õàðëàìîâ http://inter.vags.ru/hmp Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 Ïðåäïîñûëêè ÌÑ ¾ïðåäåëüíûå òåîðåìû¿ Íåòî÷íûå, ãèïîòåòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ: Ïåðâàÿ èäåÿ ïðè áîëüøîì êîëè÷åñòâå ýêñïåðèìåíòîâ ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èçìåðåííîãî ïðèçíàêà ñòðåìèòñÿ ê åãî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ. Âòîðàÿ èäåÿ ïðè áîëüøîì êîëè÷åñòâå ýêñïåðèìåíòîâ ëþáîé èçìåðåííûé ïðèçíàê ¾â ñðåäíåì¿ ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó (Ãàóññà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çàêîí Ãàóññà N (µ, σ) ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì µ è äèñïåðñèåé σ 2 èìååò âèä Íàïîìèíàíèå. f (x) = (x−µ)2 1 √ e− 2σ2 . σ 2π Îïðåäåëåíèå. Ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåëåííàÿ ïî çàêîíó N (0, 1), òî åñòü ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ è õàðàêòåðèñòèêàìè x2 1 f (x) = √ e− 2 , 2π Ì.Ï. Õàðëàìîâ M (X) = 0, http://inter.vags.ru/hmp D(X) = 1, Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 σ(X) = 1. Ïåðâûå ïðåäïîñûëêè òåîðåìû Áåðíóëëè è ×åáûøåâà Òåîðåìà Áåðíóëëè.  ñõåìå Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà óñïåõà â n èñïûòàíèÿõ ñòðåìèòñÿ ¾ïî âåðîÿòíîñòè¿ ê p ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ÷èñëà èñïûòàíèé, òî åñòü äëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε è êîëè÷åñòâà óñïåõîâ k lim P {| n→∞ k − p| 6 ε} = 1. n Òåîðåìà ×åáûøåâà. Ïóñòü X1 , X2 , . . . , Xn , . . . îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a. Ïóñòü Yn îáîçíà÷àåò ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ïåðâûõ n âåëè÷èí X1 + . . . + Xn Yn = . n Òîãäà äëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε lim P {|Yn − a| > ε} = 0. n→∞ Ýòî îäíà èç ôîðìóëèðîâîê Ì.Ï. Õàðëàìîâ Çàêîíà Áîëüøèõ ×èñåë. http://inter.vags.ru/hmp Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 Äàëüíåéøèå ïðåäïîñûëêè ¾ïðåäåëüíûå òåîðåìû¿ Òåîðåìà ÌóàâðàËàïëàñà. Ðàññìîòðèì ñõåìó Áåðíóëëè ñ ôèêñèðîâàííîé âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p. Ïóñòü X áèíîìèàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà êîëè÷åñòâî óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ, à ÷åðåç q = 1−p îáîçíà÷åíà âåðîÿòíîñòü íåóäà÷è. Åñëè êîëè÷åñòâî èñïûòàíèé n ñòðåìèòñÿ ê ∞, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X − np Z= √ npq ñòðåìèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó çàêîíó N (0, 1). Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà (Ëÿïóíîâ è ïîñëåäîâàòåëè). Ïóñòü X1 , . . . , Xn , . . . ïðîèçâîëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå è M (Xi ) = a, σ(Xi ) = σ . Òîãäà çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ¾ñðåäíåé è íîðìàëèçîâàííîé¿ âåëè÷èíû Yn = X1 +...+Xn n √ σ/ n −a . ñòðåìèòñÿ ê íîðìàëüíîìó çàêîíó N (0, 1) ïðè n → ∞. Ì.Ï. Õàðëàìîâ http://inter.vags.ru/hmp Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 Ïðèìåð Çàäà÷à äëÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè  îïðåäåëåííîì ðåãèîíå ñðåäíÿÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè ñîñòàâëÿåò 60 ëåò, ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå 15 ëåò. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäíÿÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè 100 ñëó÷àéíî âûáðàííûõ æèòåëåé áóäåò îò 60 äî 63 ëåò? Íàáðîñîê ðåøåíèÿ X ÑÂ, âûðàæàþùàÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè. Òîãäà ïî èñõîäíûì äàííûì: a = M (X) = 60, σ = σ(X) = 15. Âûáðàëè n = 100 ÷åëîâåê è âû÷èñëèëè ñðåäíåå Z= 1 (X1 + X2 + ... + X100 ). 100 Ïî ÖÏÒ ýòó âåëè÷èíó ìîæíî ñ÷èòàòü íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñ ìàòåìàòè÷åñêèì √ îæèäàíèåì a = 60 è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ/ n = 1.5. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî 60 6 Z 6 63 òåïåðü ìîæíî íàéòè ïî ïðàâèëó òðåõ ñèãì. Ì.Ï. Õàðëàìîâ http://inter.vags.ru/hmp Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 Íà÷àëà ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè Ïðåäïîëîæåíèå. Âûáðàí è èçìåðÿåòñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýêñïåðèìåíòîâ íåêîòîðûé ÷èñëîâîé ïðèçíàê (ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà) X . Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà â ðåçóëüòàòå âñåõ âîçìîæíûõ ìûñëèìûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Îïðåäåëåíèå. Êàê ïðàâèëî, ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü íàì íåäîñòóïíà, à åñëè è ìîæåò áûòü óêàçàíà, òî òîëüêî òåîðåòè÷åñêè. Âûáîðêà ïîëíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ïðèçíàêà, ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå âñåõ ýêñïåðèìåíòîâ. Îáúåì âûáîðêè êîëè÷åñòâî ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé ïðèçíàêà (â òîì ÷èñëå è ïîâòîðÿþùèõñÿ) â ðåçóëüòàòå âñåõ ýêñïåðèìåíòîâ (ôàêòè÷åñêè êîëè÷åñòâî ýêñïåðèìåíòîâ). Îïðåäåëåíèå. Ì.Ï. Õàðëàìîâ http://inter.vags.ru/hmp Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 Âàæíîå ïîíÿòèå ðåïðåçåíòàòèâíîñòü âûáîðêè Îïðåäåëåíèå. Âûáîðêà íàçûâàåòñÿ ðåïðåçåíòàòèâíîé (ïðåäñòàâèòåëüíîé), åñëè îíà ñîñòàâëåíà òàê, ÷òî ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íîé äëÿ íàäåæíûõ âûâîäîâ î âñåé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Ïî÷òè íåâîçìîæíî äîêàçàòü ðåïðåçåíòàòèâíîñòü âûáîðêè, îäíàêî, ÷àñòî ìîæíî îáîñíîâàòü îáðàòíîå òî åñòü óêàçàòü íåêîòîðûå ñâîéñòâà, ïðè íåâûïîëíåíèè êîòîðûõ âûáîðêà çàâåäîìî íå áóäåò ðåïðåçåíòàòèâíîé (íàïðèìåð, ïðè ñîöèîëîãè÷åñêîì îïðîñå ïåðåä âûáîðàìè íåëüçÿ îãðàíè÷èâàòüñÿ òîëüêî ïåíñèîíåðàìè èëè òîëüêî ëþäüìè, èìåþùèìè ìîáèëüíûå òåëåôîíû). Ì.Ï. Õàðëàìîâ http://inter.vags.ru/hmp Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 Âàðèàöèîííûé ðÿä Âàðèàöèîííûì ðÿäîì íàçûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà âûáîðêè, ðàñïîëîæåííûå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ: Îïðåäåëåíèå. x1 6 x2 6 . . . 6 xn . Îïðåäåëåíèå. Ìåäèàíîé Me âàðèàöèîííîãî ðÿäà íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèå, ðàñïîëîæåííîå â åãî ñåðåäèíå (åñëè n íå÷åòíîå, òî â òî÷íîñòè â ñåðåäèíå, åñëè n ÷åòíîå, òî ëèáî äâà ñîñåäíèõ â ñåðåäèíå, ëèáî èõ ïîëóñóììà). Îïðåäåëåíèå. Ìîäîé Mo âàðèàöèîííîãî ðÿäà íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèå, êîòîðîå âñòðå÷àåòñÿ â íåì ÷àùå âñåãî. Åñëè òàêèõ çíà÷åíèé íåñêîëüêî, òî ðÿä íàçûâàåòñÿ ïîëèìîäàëüíûì. Âàðèàöèîííûì ðàçìàõîì R âàðèàöèîííîãî ðÿäà íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü ìåæäó íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì çíà÷åíèÿìè ïðèçíàêà â ðÿäå. Îïðåäåëåíèå. Ì.Ï. Õàðëàìîâ http://inter.vags.ru/hmp Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 Ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä Ïóñòü äàíà âûáîðêà. Ðàññìîòðèì òîëüêî ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà â âûáîðêå è îáîçíà÷èì èõ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ÷åðåç x1 , . . . , xk . Îíè íàçûâàþòñÿ âàðèàíòàìè. Âàðèàíòà ìîæåò âñòðå÷àòüñÿ íåñêîëüêî ðàç. Êîëè÷åñòâî ïîÿâëåíèé çíà÷åíèÿ xi â âàðèàöèîííîì ðÿäå íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé ýòîãî çíà÷åíèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ ni . Ñóììà âñåõ ÷àñòîò ðàâíà îáúåìó âûáîðêè: n1 + . . . + nk = n. Ñòàòèñòè÷åñêèì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ðàíæèðîâàííûé (òî åñòü óïîðÿäî÷åííûé ïî âîçðàñòàíèþ) íàáîð ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïðèçíàêà â âûáîðêå (âàðèàíò), âìåñòå ñ èõ âåñàìè (÷àñòîòàìè). Îïðåäåëåíèå. Òàêèì îáðàçîì, ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä ýòî òàáëèöà, àíàëîãè÷íàÿ ðÿäó ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: xi ni Ì.Ï. Õàðëàìîâ x1 n1 http://inter.vags.ru/hmp ... ... xk nk Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 ×àñòîñòè Îïðåäåëåíèå. Îòíîøåíèå ÷àñòîò çíà÷åíèé ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà ê îáúåìó âûáîðêè íàçûâàþòñÿ ÷àñòîñòÿìè èëè îòíîñèòåëüíûìè ÷àñòîòàìè è îáîçíà÷àþòñÿ ÷åðåç wi : wi = ni , n i = 1, 2, . . . , k. Ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü è â âèäå òàáëèöû ÷àñòîñòåé: xi wi x1 w1 ... ... xk wk Óïðàæíåíèÿ. 1) ×åìó ðàâíà ñóììà ÷àñòîñòåé? 2) Êàê ïî ñòàòèñòè÷åñêîìó ðÿäó ñðàçó óêàçàòü ìîäó âàðèàöèîííîãî ðÿäà? Ì.Ï. Õàðëàìîâ http://inter.vags.ru/hmp Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 Ïîëèãîí ÷àñòîò èëè ÷àñòîñòåé Îïðåäåëåíèå. Ïîëèãîíîì ÷àñòîò ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà íàçûâàåòñÿ ëîìàíàÿ, ñîñòàâëåííàÿ ïî òî÷êàì (xi , ni ), òî åñòü ïî îñè àáñöèññ îòêëàäûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà x1 , . . . , xk , à ïî îñè îðäèíàò èõ ÷àñòîòû n1 , . . . , nk . Åñëè âìåñòî ÷àñòîò ïî îñè îðäèíàò îòêëàäûâàþòñÿ ÷àñòîñòè, òî ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ ïîëèãîíîì ÷àñòîñòåé. Ïðèìåð. Ïîëèãîí ÷àñòîñòåé. Ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä çàäàí òàáëèöåé: xi wi −1 0.2 0 0.1 Ì.Ï. Õàðëàìîâ 2 0.4 3 0.1 5 0.2 http://inter.vags.ru/hmp Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü äàíà âûáîðêà îáúåìà n. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà x âû÷èñëèì k(x) êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â âûáîðêå ñî çíà÷åíèåì ìåíüøèì, ÷åì x. Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: F (x) = k(x) . n Âàæíî! Ãðàôèê ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò ñòóïåí÷àòûé âèä. Óïðàæíåíèå. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ýìïèðè÷åñêîé ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ñòàòèñòè÷åñêîìó ðÿäó: xi ni Ì.Ï. Õàðëàìîâ −1 20 0 10 http://inter.vags.ru/hmp 2 40 3 10 5 20 Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 ôóíêöèè Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü äàíà âûáîðêà îáúåìà n. Åñëè x1 6 . . . 6 xn âàðèàöèîííûé ðÿä, òî âåëè÷èíà n x= 1X xi n i=1 ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé âûáîðî÷íûì ñðåäíèì. íàçûâàåòñÿ (âàðèàöèîííîãî ðÿäà) èëè Óïðàæíåíèå. Íàéòè âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, åñëè çàäàí ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä: xi ni −1 20 0 10 2 40 3 10 5 20 Ñëåäñòâèå. Äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà (x1 , n1 ), . . . , (xk , nk ) âûáîðî÷íîå ñðåäíåå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Pk k X i=1 ni xi x = Pk = wi xi . i=1 ni i=1 Ì.Ï. Õàðëàìîâ http://inter.vags.ru/hmp Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè (ïðîäîëæåíèå) Îïðåäåëåíèå. Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå 2 s = k Pk ñòàòèñòè÷åñêîãî 2 X i=1 ni (xi − x) = wi (xi − x)2 = n i=1 k X ðÿäà ! wi x2i − x2 . i=1 Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîðåíü êâàäðàòíûé èç âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè: √ s = s2 . Îïðåäåëåíèå. Íåñìåùåííàÿ îöåíêà âûáîðî÷íîé ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Îïðåäåëåíèå. s2H = Ì.Ï. Õàðëàìîâ n 2 s = n−1 http://inter.vags.ru/hmp Pk i=1 ni (xi − x)2 . n−1 Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 äèñïåðñèè Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1 Ðàçëè÷íûå ïîíèìàíèÿ òåðìèíà ¾ñòàòèñòèêà¿ 2 Òåîðåìû Áåðíóëëè è ×åáûøåâà 3 Òåîðåìà ÌóàâðàËàïëàñà è ÖÏÒ (Ëÿïóíîâà) 4 Ïîíÿòèÿ ãåíåðàëüíîé âàðèàöèîííûé ðÿä ñîâîêóïíîñòè è âûáîðêè, 5 Ìåäèàíà, ìîäà, âàðèàöèîííûé ðàçìàõ 6 Âàðèàíòû, ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä, ÷àñòîòû, ÷àñòîñòè, ïîëèãîí 7 Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ïðèìåð ãðàôèêà 8 9 Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå. Ôîðìóëû äëÿ âàðèàöèîííîãî è ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäîâ Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå, äèñïåðñèÿ, íåñìåùåííàÿ îöåíêà Ì.Ï. Õàðëàìîâ http://inter.vags.ru/hmp Ò è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8 âûáîðî÷íàÿ