ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ Å. Ñ. Òâåðñêàÿ ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà Ìîñêâà ËÅÊÖÈß 3 Óñòîé÷èâîñòü âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è ïî âõîäíûì äàííûì X { ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ âõîäíûõ äàííûõ Y { ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ðåøåíèé Êîððåêòíîñòü âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è ïî Àäàìàðó. Âû÷èñëèòåëüíàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ êîððåêòíîé (ïî Àäàìàðó), åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå 3-è óñëîâèÿ. • Ðåøåíèå âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è y ∈ Y ñóùåñòâóåò ïðè ëþáûõ âõîäíûõ äàííûõ x ∈ X . • Ðåøåíèå âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è åäèíñòâåííî. • Ðåøåíèå óñòîé÷èâî ïî îòíîøåíèþ ê ìàëûì âîçìóùåíèÿì âõîäíûõ äàííûõ (íåïðåðûâíî çàâèñèò îò âõîäíûõ äàííûõ). Åñëè õîòÿ áû îäíî èç óñëîâèé íå âûïîëíåíî, òî âû÷èñëèòåëüíàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ íåêîððåêòíîé. ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 2 Îïðåäåëåíèå. Ðåøåíèå y âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì ïî âõîäíûì äàííûì (àáñîëþòíî óñòîé÷èâûì) x, åñëè ∀ε > 0, ∀x∗ (∆(x∗ ) < δ(ε) ∃δ(ε) > 0 : =⇒ ∆(y ∗ ) < ε). Îïðåäåëåíèå. Ðåøåíèå y âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è íàçûâàåòñÿ íåóñòîé÷èâûì x, åñëè ∃ε > 0, ∀δ > 0 : ∃x∗ (∆(x∗ ) < δ(ε) =⇒ ∆(y ∗ ) > ε). Îïðåäåëåíèå. Ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíî óñòîé÷èâûì, åñëè ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 : ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. ∀x∗ (δ(x∗ ) < δ(ε) =⇒ δ(y ∗ ) < ε). 3 Óñòîé÷èâîñòü çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ Rb îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà I = f (x) dx a ∗ f (x) { ïðèáëèæåííî çàäàííàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. I∗ = Zb f ∗ (x) dx a ∆ (f ∗ ) = sup |f (x) − f ∗ (x)| - àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ôóíêöèè f ∗ (x). x∈[a,b] b Z ∗ ∗ ∗ ∆ (I ) = |I − I | = (f (x) − f (x)) dx 6 (b − a)∆ (f ∗ ) . a ε Åñëè ïîòðåáîâàòü: δ(ε) = , òîãäà b−a ∗ ∗ ∗ ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 : ∀f (x) ∆ (f ) < δ(ε) =⇒ ∆ (I ) < ε . Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâîé. ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 4 Óñòîé÷èâîñòü çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé f ∗ (x) { ïðèáëèæåííî çàäàííàÿ íà îòðåçêå [a, b] íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. 0 u∗ (x) = f ∗ (x) Çàäàäèì àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè: ∆ (f ∗ ) = max |f (x) − f ∗ (x)| , x∈[a,b] ∆ (u∗ ) = max |u(x) − u∗ (x)| x∈[a,b] x Âîçüìåì, íàïðèìåð, ôóíêöèþ f (x) = f (x) + α cos 5 , ãäå 0 < α 1. α x Тогда u∗ (x) = u(x) − α−3 sin 5 и ∆(f ∗ ) = α2 , ∆(u∗ ) = α−3 . α Òàêèì îáðàçîì, ñêîëü óãîäíî ìàëîé ïîãðåøíîñòè ôóíêöèè f îòâå÷àåò ñêîëü óãîäíî áîëüøàÿ ïîãðåøíîñòü ïðîèçâîäíîé f 0 . Çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ïðèáëèæåííî çàäàííîé ôóíêöèè íå ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâîé. ∗ 2 Çàìå÷àíèå. Îäíà è òàæå çàäà÷à ìîæåò îêàçàòüñÿ êàê óñòîé÷èâîé, òàê è íåóñòîé÷èâîé â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ àáñîëþòíûõ ïîãðåøíîñòåé ∆(x∗ ) è ∆(y ∗ ). ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 5 Îáóñëîâëåííîñòü âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è. Àáñîëþòíîå è îòíîñèòåëüíîå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè. Íà ïðàêòèêå: òî÷íîñòü âõîäíûõ äàííûõ îãðàíè÷åíà. Âîïðîñ: êàê ïîâëèÿþò ìàëûå, íî êîíå÷íûå ïîãðåøíîñòè âõîäíûõ äàííûõ íà ðåøåíèå? Îïðåäåëåíèå. ×óâñòâèòåëüíîñòü ðåøåíèÿ âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è ê ìàëûì ïîãðåøíîñòÿì âõîäíûõ äàííûõ { îáóñëîâëåííîñòü âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è. Îïðåäåëåíèå. Çàäà÷à íàçûâàåòñÿ õîðîøî îáóñëîâëåííîé, åñëè ìàëûì ïîãðåøíîñòÿì âõîäíûõ äàííûõ îòâå÷àþò ìàëûå ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ è ïëîõî îáóñëîâëåííîé, åñëè ïðîèñõîäÿò ñèëüíûå èçìåíåíèÿ ðåøåíèÿ. Îïðåäåëåíèå. ×èñëî îáóñëîâëåííîñòè (êîëè÷åñòâåííàÿ ìåðà ñòåïåíè îáóñëîâëåííîñòè âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è) { êîýôôèöèåíò âîçìîæíîãî âîçðàñòàíèÿ ïîãðåøíîñòåé â ðåøåíèè ïî îòíîøåíèþ ê âûçâàâøèì èõ ïîãðåøíîñòÿì âõîäíûõ äàííûõ. ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 6 Ïóñòü: ∆(y ∗ ) 6 ν∆ ∆(x∗ ), δ(y ∗ ) 6 νδ δ(x∗ ). Îïðåäåëåíèå. âåëè÷èíà ν∆ { àáñîëþòíîå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè, à ν { îòíîñèòåëüíîå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè. δ Çàìå÷àíèå.  íåðàâåíñòâà âìåñòî ∆ è δ ìîãóò áûòü è èõ ãðàíèöû ∆ è δ . Äëÿ ïëîõî îáóñëîâëåíííîé çàäà÷è ν 1. Îáóñëîâëåííîñòü çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîãðåøíîñòè ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé ïîëó÷àåì: 0 ν∆ ≈ |f (x)|, |f 0 (x)| |x| νδ ≈ . |f (x)| Îáóñëîâëåííîñòü çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà. Èç âûøå ïðèâåäåííîãî ïðèìåðà ñëåäóåò, ÷òî ν∆ = b − a. ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 7 Ïîëîæèì sup |f ∗ (x) − f (x)| δ(f ∗ ) = x∈[a,b] |f (x)| где f (x) 6= 0. , Ñëåäîâàòåëüíî, ∆(I ∗ ) 6 Zb |f ∗ (x) − f (x)|dx 6 a Zb |f (x)|dx δ(f ∗ ). a Ïîëó÷èëè îöåíêó Rb δ(I ∗ ) 6 νδ δ(f ∗ ), где νδ = |f (x)|dx a Rb . | f (x)dx| a Âûâîä. Åñëè ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ çíàêîïîñòîÿííà, òî νδ = 1 è çàäà÷à õîðîøî îáóñëîâëåíà, åñëè æå ôóíêöèÿ f (x) íà [a, b] ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ, òî νδ > 1. ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 8 ËÅÊÖÈß 4 ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ ëèíåéíîé àëãåáðû  ëèíåéíîé àëãåáðå âûäåëÿþò 4-ðå îñíîâíûå çàäà÷è: • ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé; • âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé; • íàõîæäåíèå îáðàòíûõ ìàòðèö; • íàõîæäåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Ðàññìîòðèì ÑËÀÓ Ax = f, ãäå A { ìàòðèöà m × m, x = (x1 , x2 , x3 , . . . xm )T { èñêîìûé âåêòîð, f = (f1 , f2 , f3 , . . . fm )T { çàäàííûé âåêòîð. ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 9 Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç ëèíåéíîé àëãåáðû. Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèþ, çàäàííóþ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå H , êîòîðàÿ äëÿ ∀x ∈ H ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî ||x||, íàçûâàþò íîðìîé, åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì àêñèîìàì íîðìû: • ||x|| > 0, ∀x ∈ H è ||x|| = 0 =⇒ x = 0; • ||αx|| = |α|||x||, ãäå α ∈ R • ||x + y|| 6 ||x|| + ||y||. Íàèáîëåå ÷àñòî ïðèìåíÿåìûå íîðìû: !1/p m X , ||x||∞ = max |xi |, |xi |p ||x||p = i=1 16i6m ãäå ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè íîðìû ||x||p ÿâëÿþòñÿ íîðìû: ||x||1 = m X |xi | − октаэдрическая норма; i=1 ||x||2 = m X !1/2 |xi |2 − евклидова (или сферическая) норма. i=1 ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 10 Àáñîëþòíàÿ è îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòè âåêòîðîâ  êà÷åñòâå ìåðû ñòåïåíè áëèçîñòè âåêòîðîâ ||x|| è ||x∗ || ââåäåì àáñîëþòíóþ è îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòè âåêòîðà ||x∗ || ∗ ∗ ∆ (x ) = ||x − x || , ||x − x∗ || δ (x ) = . ||x|| ∗ ∞ (n) (n) (n) Ïóñòü x(n) n=1 - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ x(n) = x1 , x2 , . . . , xm . Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ x(n) ñõîäèòñÿ â âåêòîðó x ïðè n → ∞, åñëè (n) (n) ∆ x = x − x → 0, при n → ∞ ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 11 Ìåòîäû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ ëèíåéíîé àëãåáðû • Ïðÿìûå ìåòîäû. Ðåøåíèå ñèñòåìû x íàõîäèòñÿ çà êîíå÷íîå ÷èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé.  ñëåäñòâèè ïîãðåøíîñòåé îêðóãëåíèÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà ÝÂÌ, ïðÿìûå ìåòîäû íå ïðèâîäÿò ê òî÷íîìó ðåøåíèþ. Ñîïîñòàâëåíèå ðàçëè÷íûõ ïðÿìûõ ìåòîäîâ ïðîèçâîäèòñÿ ïî ÷èñëó àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ. • Èòåðàöèîííûå ìåòîäû (ìåòîäû ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé). Ðåøåíèå x ÑËÀÓ íàõîäèòñÿ êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé x(n) ïðè n → ∞. Êàê ïðàâèëî, çà êîíå÷íîå ÷èñëî èòåðàöèé ýòîò ïðåäåë íå äîñòèãàåòñÿ è âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå áóäåò âûïîëíåíà îöåíêà (n) x − x < ε, ãäå ε > 0 { òî÷íîñòü. Êà÷åñòâî ðàçëè÷íûõ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ ñðàâíèâàþò ïî íåîáõîäèìîìó ÷èñëó èòåðàöèé n(ε), êîòîðîå íåîáõîäèìî ïðîâåñòè äëÿ ïîëó÷åíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè. ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 12 Íîðìà ìàòðèöû Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü â ëèíåéíîì àðèôìåòè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå R çàäàíà íîðìà || · ||∗ . Íîðìó || · ||k â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå Mm (R) íàçûâàþò ñîãëàñîâàííîé ñ íîðìîé || · ||∗ , åñëè äëÿ ∀A ∈ Mm (R) è ∀x ∈ Rm âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå: ||Ax||∗ 6 ||A||k ||x||∗ . m ||Ax|| íàçûâàåòñÿ íîðìîé x6=0 ||x|| Îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå. ×èñëî ||A|| = sup ìàòðèöû A ïîä÷èíåííîé äàííîé íîðìå ||x||. Äëÿ ïîä÷èíåííîé íîðìû ìàòðèöû A âûïîëíÿþòñÿ âñå àêñèîìû íîðìû: • ||A|| > 0 è ||A|| = 0 =⇒ A = 0; • ||αA|| = |α|||x||; • ||A + B|| 6 ||A|| + ||B|| äëÿ ∀A, B ; Äîïîëíèòåëüíî • ||AB|| 6 ||A||||B|| äëÿ ∀A, B ; • ||Ax|| 6 ||A||||x||. ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 13 Ïðèìåðû ïîä÷èíåííûõ íîðì ìàòðèö Íîðìà ||A||1 = max m P 16j6m i=1 |aij | { ìàêñèìàëüíàÿ ñòîëáöåâàÿ èëè îêòàýäðè÷å- ñêàÿ íîðìà, ïîä÷èíåíà íîðìå ||x||1 . Íîðìà ||A||s = 1/2 max µj 16j6m { ñïåêòðàëüíàÿ íîðìà ìàòðèöû A, ïîä÷èíåííàÿ íîðìå ||x||2 , ãäå µj { ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà AT A. Íîðìà ||A||∞ = max m P 16i6m j=1 |aij | { ìàêñèìàëüíàÿ ñòðî÷íàÿ èëè êóáè÷åñêàÿ íîðìà ïîä÷èíåíà íîðìå ||x||∞ . Èñêëþ÷åíèå. Åâêëèäîâà íîðìà ||A||2 = m P m P !1/2 a2ij . i=1 j=1 Îíà ÿâëÿåòñÿ ñîãëàñîâàííîé ñ ||x||2 , íî íå ÿâëÿåòñÿ ïîä÷èíåííîé. Ïðè÷åì: ||A||s 6 ||A||2 . ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 14 Îáóñëîâëåííîñòü ÑËÀÓ. Ðàññìîòðèì ÑËÀÓ Ax = f, A ∈ Mm (R). Ðàññìîòðèì äâà òèïà óñòîé÷èâîñòè: • óñòîé÷èâîñòü ïî ïðàâîé ÷àñòè, êîãäà âîçìóùàåòñÿ òîëüêî ïðàâàÿ ÷àñòü f , à ìàòðèöà A îñòàåòñÿ íåèçìåííîé, • êîýôôèöèåíòíàÿ óñòîé÷èâîñòü, êîãäà âîçìóùàåòñÿ òîëüêî ìàòðèöà A, à ïðàâàÿ ÷àñòü f îñòàåòñÿ íåèçìåííîé. Âìåñòî âåêòîðà f çàäàåòñÿ áëèçêèé åìó âåêòîð f˜ (íàïðèìåð, èç-çà ïîãðåøíîñòåé îêðóãëåíèÿ). Ðàññìîòðèì <âîçìóùåííóþ ñèñòåìó> Ax̃ = f˜, где ∆x = x̃ − x, ∆f = f˜ − f. Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ñèñòåìà Ax = f óñòîé÷èâà ïî ïðàâîé ÷àñòè, åñëè ïðè ∀f, f˜ ñïðàâåäëèâà îöåíêà ||∆x|| 6 M1 ||∆f ||, ãäå M > 0 { ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò ïðàâûõ ÷àñòåé f, f˜. 1 ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 15 Ïóñòü detA 6= 0. Ïîêàæåì, ÷òî ñèñòåìà óñòîé÷èâà ïî ïðàâîé ÷àñòè. A(∆x) = ∆f ⇒ ∆x = A−1 (∆f ). Èñïîëüçóÿ àêñèîìû íîðìû, ïîëó÷àåì ||∆x|| 6 ||A−1 || ||∆f ||. Ñëåäîâàòåëüíî M1 = ||A−1 ||. Èñêëþ÷åíèå. ×åì áëèæå ê íóëþ îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A, òåì áîëüøå ïîñòîÿííàÿ M1 , òåì ñèëüíåå ïîãðåøíîñòü ïðàâîé ÷àñòè ìîæåò èñêàçèòü èñêîìîå ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì îòíîñèòåëüíûå ïîãðåùíîñòè δ x è δ f . Èñïîëüçóþ àêñèîìû íîðìû ïîëó÷àåì ||f || 6 ||A|| ||x||.Òîãäà ||∆x|| ||∆f || 6 cond(A) , ||x|| ||f || ãäå cond(A) = ||A−1 || ||A||. ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 16 Îïðåäåëåíèå. ×èñëî cond(A), âõîäÿùåå â îöåíêó, íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû A è õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü çàâèñèìîñòè îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ îò îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ïðàâîé ÷àñòè. Ìàòðèöû ñ áîëüøèì ÷èñëîì îáóñëîâëåííîñòè íàçûâàþò ïëîõî îáóñëîâëåííûìè ìàòðèöàìè. Çàìå÷àíèå. ×èñëî îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû âñåãäà ïîëîæèòåëüíî è çàâèñèò îò çàäàííîé íîðìû ìàòðèöû. Ñâîéñòâà ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû. • cond(A) = cond(A−1 ). • cond(AB) 6 cond(A)cond(B). • cond(A) > 1. |λmax | • cond(A) > , |λmin | ãäå λmax , λmin { íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 17 Ìåòîä Ãàóññà. Ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà. Çàïèøåì ñèñòåìó Ax = f â ðàçâåðíóòîì âèäå a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1m xm = f1 , a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2m xm = f2 , ................................. am1 x1 + am2 x2 + . . . + amm xm = fm . Èäåÿ ìåòîäà: Ïîñëåäîâàòåëüíîå èñêëþ÷åíèè íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , ..., xm èç ñèñòåìû. Ïóñòü a11 6= 0. Òîãäà a11 íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì èëè âåäóùèì ýëåìåíòîì ïåðâîãî øàãà. Ïîäåëèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà a11 , ïîëó÷èì x1 + c12 x2 + . . . + c1m xm = y1 , ãäå c1j = a1j f1 , j = 2, . . . , m, y1 = . a11 a11 ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 18 Òîãäà x1 + c12 x2 + . . . + c1m xm = y1 , a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2m xm = f2 , ................................. am1 x1 + am2 x2 + . . . + amm xm = fm . Âû÷òåì ïåðâîå óðàâíåíèå ïîëó÷åííîé ñèñòåìû óìíîæåííîå íà ai1 èç i-ãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, i = 2, 3, . . . , m: x1 + c12 x2 + . . . + c1j xj + . . . + c1m xm = y1 , (1) (1) (1) (1) a22 x2 + . . . + a2j xj + . . . + a2m xm = f2 , ................................. (1) (1) (1) am2 x2 + . . . + amj xj + . . . + a(1) mm xm = fm , (1) (1) ãäå aij = aij − c1j ai1 , fi = fi − y1 ai1 , ãäå i, j = 2, 3, . . . , m ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 19 Ñòðóêòóðà ìàòðèöû ïîëó÷åííîé ñèñòåìû: 1 × ... × 0 × ... × .. .. . . .. . . . . 0 × ... × (1) Åñëè a22 6= 0 (ãëàâíûé ýëåìåíò âòîðîãî øàãà), òî èç ñèñòåìû àíàëîãè÷íî ìîæíî èñêëþ÷èòü íåèçâåñòíîå x2 è ïåðåéòè ê ñèñòåìå, ìàòðèöà êîòîðîé èìååò ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó: 1 × × ... × 0 1 × ... × 0 0 × ... × .. .. .. . . .. . . . . . 0 0 × ... × ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 20 Èñêëþ÷àÿ àíàëîãè÷íî íåèçâåñòíûå x3 , x4 , ..., xm ïðèäåì ê îêîí÷àòåëüíîé ñèñòåìå óðàâíåíèé âèäà: x1 + c12 x2 + . . . + c1m xm = y1 , x2 + . . . + с2m xm = y2 , ........................ xm−1 + cm−1,m xm = ym−1 , xm = ym , Îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , ..., xm . xm = ym , xm−1 = ym−1 − cm−1,m xm .  îáùåì âèäå ôîðìóëû îáðàòíîãî õîäà èìåþò âèä: xi = yi − m X cij xj , i = (m − 1), . . . 1, x m = ym . (1) j=i+1 ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 21 Ïîäñ÷åò ÷èñëà äåéñòâèé. Îãðàíè÷èìñÿ âû÷èñëåíèåì êîëè÷åñòâà îïåðàöèé óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ. • Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ cij òðåáóåòñÿ äåëåíèé: (m − 1) + (m − 2) + . . . + 2 + 1 = m(m − 1) . 2 (k) • Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ aij , òðåáóåòñÿ óìíîæåíèé: (m − 1)2 + (m − 2)2 + . . . + 22 + 12 = (m − 1)m(2m − 1) . 6 • Âû÷èñëåíèå ïðàâûõ ÷àñòåé yk òðåáóåò m äåëåíèé, à âû÷èñëåíèå (k) êîýôôèöèåíòîâ fi òðåáóåò óìíîæåíèé: (m − 1) + (m − 2) + . . . + 2 + 1 = m(m − 1) . 2 Îñóùåñòâëåíèå ïðÿìîãî õîäà òðåáóåò äåéñòâèé: m(m − 1) (m − 1)m(2m − 1) m(m − 1) 2m3 + 3m2 + 2 + +m+ = ; 2 6 2 6 ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 22 Äëÿ ðåàëèçàöèè îáðàòíîãî õîäà òðåáóåòñÿ óìíîæåíèé: 1 + 2 + 3 + . . . + (m − 1) = m(m − 1) 2 Èòîãî, äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà Ãàóññà òðåáóåòñÿ äåéñòâèé: 2m3 + 3m2 + 2 m(m − 1) m3 + 3m2 − m + = . 6 2 3 Ìåòîä Ãàóññà ñ âûáîðîì ãëàâíîãî ýëåìåíòà. Ìîæåò îêàçàòüñÿ òàê, ÷òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, äàæå åñëè êàêîé-ëèáî èç óãëîâûõ ìèíîðîâ ìàòðèöû A ðàâåí íóëþ.  ýòîì ñëó÷àå îáû÷íûé ìåòîä Ãàóññà ìîæåò îêàçàòüñÿ íåïðèãîäíûì è ïðèìåíÿþò ìåòîä Ãàóññà ñ âûáîðîì ãëàâíîãî ýëåìåíòà. Îñíîâíàÿ èäåÿ: íà î÷åðåäíîì øàãå èñêëþ÷àþò íå ñëåäóþùåå ïî íîìåðó íåèçâåñòíîå, à íåèçâåñòíîå, êîýôôèöèåíò ïðè êîòîðîì ïî ìîäóëþ íàèáîëüøèé. Ò.å. â êà÷åñòâå âåäóùåãî ýëåìåíòà âûáèðàåòñÿ íàèáîëüøèé ïî ìîäóëþ ýëåìåíò. ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 23 Ïðîèëëþñòðèðóåì íà ïðèìåðå ÑËÀÓ èç 2-õ óðàâíåíèé. a11 x1 + a12 x2 = f1 ; a21 x1 + a22 x2 = f2 . Ìåòîä Ãàóññà ñ âûáîðîì ãëàâíîãî ýëåìåíòà ïî ñòðîêå. Ïóñòü |a12 | > |a11 |. Òîãäà íà ïåðâîì øàãå èñêëþ÷àåòñÿ ïåðåìåííîå x2 a12 x2 + a11 x1 = f1 ; a22 x2 + a21 x1 = f2 , è ê äàííîé ñèñòåìå ïðèìåíÿåòñÿ ïåðâûé øàã îáû÷íîãî ìåòîäà Ãàóññà. Ìåòîä Ãàóññà ñ âûáîðîì ãëàâíîãî ýëåìåíòà ïî ñòîëáöó. Ïóñòü |a21 | > |a11 |. Тогда a21 x1 + a22 x2 = f2 ; a11 x1 + a12 x2 = f1 , è ê íîâîé ñèñòåìå ïðèìåíÿþò ïåðâûé øàã îáû÷íîãî ìåòîäà Ãàóññà. Èíîãäà ïðèìåíÿþò ìåòîä Ãàóññà ñ âûáîðîì ãëàâíîãî ýëåìåíòà ïî âñåé ìàòðèöå, êîãäà â êà÷åñòâå âåäóùåãî ýëåìåíòà âûáèðàþò íàèáîëüøèé ïî ìîäóëþ ýëåìåíò ìàòðèöû ñèñòåìû. ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 24 LU -ðàçëîæåíèå ìàòðèöû. Ìåòîä Ãàóññà ïðåîáðàçóåò ñèñòåìó â ýêâèâàëåíòíóþ ñèñòåìó Cx = y, ãäå C { âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ åäèíèöàìè íà ãëàâíîé äèàãîíàëè. Âåêòîðû ïðàâûõ ÷àñòåé f è y ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè. f1 = y1 a11 , (1) f2 = y1 a21 + y2 a22 , (1) (2) f3 = y1 a31 + y2 a32 + y3 a33 , ........................... (1) или f = By, (2) fm = y1 am1 + y2 am2 + y3 am3 + . . . + ym a(m−1) mm . ãäå B - íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè bii 6= 0. Òàê êàê y = B −1 f =⇒ Cx = B −1 f =⇒ BCx = f . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åíî ðàçëîæåíèå A = BC , ãäå B - íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ íåíóëåâûìè ýëåìåíòàìè íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, à C - âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ åäèíèöàìè íà ãëàâíîé äèàãîíàëè. ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 25  ýòîì ñëó÷àå, ìåòîä Ãàóññà ìîæíî òðàêòîâàòü òàê: • ïðîèçâîäèòüñÿ ðàçëîæåíèå ìàòðèöû A = BC , • ïîñëåäîâàòåëüíî ðåøàþòñÿ äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé: By = f, Cx = y. Òåîðåìà îá LU -ðàçëîæåíèè. Ïóñòü a11 a12 , . . . , ∆m = det A. ∆1 = a11 , ∆2 = det a21 a22 Òåîðåìà. Ïóñòü âñå óãëîâûå ìèíîðû ìàòðèöû A îòëè÷íû îò íóëÿ, ∆i 6= 0, i = 1, 2, . . . , m. Òîãäà ìàòðèöó A ìîæíî ïðåäñòàâèòü, ïðè÷åì åäèíñòâåííûì îáðàçîì, â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ A = LU, (2) ãäå L - íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ íåíóëåâûìè äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè è U - âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ åäèíè÷íîé äèàãîíàëüþ. ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 26 J Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèì ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïóñòü m = 2 a11 a12 A= . a21 a22 Áóäåì èñêàòü ðàçëîæåíèå ìàòðèöû A â âèäå: l11 0 1 u12 A= , l21 l22 0 1 ãäå l11 , l21 , l22 , u12 -íåèçâåñòíûå ÷èñëà.Äëÿ èõ íàõîæäåíèÿ ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé l11 = a11 , l11 u12 = a12 , l21 u12 + l22 = a22 . l21 = a21 , Äàííàÿ ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå: l11 = a11 6= 0, u12 = a12 /a11 , a11 a22 − a21 a12 l22 = 6= 0. a11 ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. l21 = a21 , 27 Ïóñòü óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñïðàâåäëèâî äëÿ ìàòðèö ïîðÿäêà (k − 1). Äîêàæåì, ÷òî îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ ìàòðèö ïîðÿäêà k . Ïðåäñòàâèì ìàòðèöó A ïîðÿäêà k â âèäå a11 ... a1,k−1 | a1k ... ... ... | ... a . . . a | a A= k−1,1 k−1,k−1 k−1,k − − −− − − −− − − −− | − − −− ak1 ... ak,k−1 | akk (3) è îáîçíà÷èì a11 . . . a1,k−1 Ak−1 = . . . . . . ... , ak−1,1 . . . ak−1,k−1 a1k ak−1 = . . . , ak−1,k bk−1 = (ak1 , . . . , ak,k−1 ) Ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå ìàòðèöû Ak−1 = Lk−1 Uk−1 . ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 28 Áóäåì èñêàòü ðàçëîæåíèå ìàòðèöû (3) â âèäå Lk−1 0 Uk−1 uk−1 A= , lk−1 lkk 0 1 (4) ãäå lk−1 = (lk1 , lk2 . . . , lk,k−1 ) è uk−1 = (u1k , u2k . . . , uk−1,k )T - íåèçâåñòíûå âåêòîðû. Ïåðåìíîæàÿ ìàòðèöû â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (4) è ó÷èòûâàÿ (3), ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé Lk−1 uk−1 = ak−1 , lk−1 Uk−1 = bk−1 , lk−1 uk−1 + lkk = akk . (5) (6) (7) −1 Èç ïðåäïîëîæåíèÿ èíäóêöèè ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ìàòðèö L−1 k−1 è Uk−1 . Ñëåäîâàòåëüíî èç (5)-(7) ïîëó÷àåì uk−1 = L−1 k−1 ak−1 , −1 lk−1 = bk−1 Uk−1 , ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. lkk = akk − lk−1 uk−1 . 29 Äîêàæåì, ÷òî lkk 6= 0. Çàïèøåì det A = (det Lk−1 )lkk (det Uk−1 ) = (det Lk−1 )lkk . Ïî óñëîâèþ òåîðåìû det A 6= 0, ñëåäîâàòåëüíî lkk 6= 0. Òàêèì îáðàçîì, LU -ðàçëîæåíèå ìàòðèöû A ïîðÿäêà k ñóùåñòâóåò. Äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü òàêîãî ðàçëîæåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ïóñòü ìàòðèöó A ìîæíî ðàçëîæèòü äâóìÿ ñïîñîáàìè: A = L1 U1 = L2 U2 . Òîãäà U1 U2−1 = L−1 1 L2 . Ìàòðèöà â ëåâîé ÷àñòè óêàçàííîãî ðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé òðåóãîëüíîé, à â ïðàâîé - íèæíåé òðåóãîëüíîé. Òàêîå ðàâåíñòâî âîçìîæíî, êîãäà îáå ìàòðèöû U1 U2−1 è L−1 1 L2 ÿâëÿþòñÿ äèàãîíàëüíûìè. Íî íà äèàãîíàëè ìàòðèöû U1 U2−1 ñòîÿò åäèíèöû, ñëåäîâàòåëüíî è íà Òàêèì îáðàçîì ýòè ìàòðèöû äèàãîíàëè L−1 1 L2 òàêæå ñòîÿò åäèíèöû. ÿâëÿþòñÿ åäèíè÷íûìè: U1 U2−1 = L−1 1 L2 = E. Ñëåäîâàòåëüíî, U1 = U2 è L1 = L2 , ò.å. ðàçëîæåíèå åäèíñòâåííî. I ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, ÈÓ3, âåñíà 2014. 30