Вступительные испытания по математике Вступительные испытания по математике, представляют собой экзаменационную работу, состоящую из заданий базового, повышенного уровня и высокого уровня сложности. Поступающие в лицей должны продемонстрировать: -владение основными алгоритмами; -знание и понимание ключевых математических понятий, свойств, приёмов решения задач; -умение пользоваться математической записью, применять знания к решению математических задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, а также применять математические знания в простейших практических ситуациях. - умение математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования; - умение решить планиметрическую задачу, применяя различные теоретические знания курса геометрии; Задания расположены по нарастанию трудности – от относительно простых до сложных, предполагающих свободное владение материалом курса и хороший уровень математической культуры. В экзаменационной работе содержатся задания по ключевым разделам изученного курса алгебры и геометрии. Требования (умения), проверяемые заданиями экзаменационной работы Уметь выполнять вычисления и преобразования: Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифметические действия с рациональными числами, сравнивать действительные числа; находить в несложных случаях значения степеней с целыми показателями и корней; вычислять значения числовых выражений; переходить от одной формы записи чисел к другой. Округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближения чисел с недостатком и с избытком, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений Решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин, дробями, процентами. Изображать числа точками на координатной прямой. Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений: Составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач, находить значения буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования. Выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и алгебраическими дробями. Выполнять разложение многочленов на множители. Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений. Уметь решать уравнения, неравенства и их системы: Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы. Решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы. Применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств. Уметь строить и читать графики функций: Определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции. Определять свойства функции по её графику (промежутки возрастания, убывания, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения) Строить графики изученных функций, описывать их свойства Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами: Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей). Распознавать геометрические фигуры на плоскости, различать их взаимное расположение, изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задачи. Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать простейшие математические модели: Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры. Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами; интерпретировать графики реальных зависимостей. Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения. Примерные задания вступительных испытаний по математике 1. Для приготовления яблочного варенья на 1 кг яблок нужно 1,2 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 26 кг яблок? 2.Почтовая марка стоит 2 руб. 40 копеек. Какое наибольшее число этих марок можно купить на 80 рублей? 3. Водитель за месяц проехал 8500 км, при этом средний расход бензина на 100 км составил 9 литров. Стоимость одного литра бензина равна 22 рубля. Сколько рублей потратил водитель на бензин за этот месяц? 4. Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке А(8;6), чтобы она касалась оси абсцисс? 5. Для изготовления книжных полок требуется заказать 42 одинаковых стекла в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 м2. В таблице приведены цены на стекло, а также заказ на резку стекол и шлифовку края. Сколько будет стоить самый дешевый заказ? Фирма Цена стекла (руб. за 1 м2) Резка и шлифовка стекла (руб. за одно стекло) А 415 75 В 430 65 С 465 60 6. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) точки М, Н, К – середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник МКН- равнобедренный. 7. Найдите площадь треугольника. вершины которого имеют координаты (1;7), (5;7), (2;9). 2 x 3 3x 5 8. Решить уравнение 0. 5 7 2 9. Сократите дробь 3x 7 x 6 . 3x 2 2 x 10. Сократите дробь 9 x 2 15 x 4 . 1 3x y 3xy 11.Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения 10х2+х-1=0. Не вычисляя х1 и х2 найдите значение выражения х21х2+х1х22. 12. Расстояние между двумя пристанями по реке равно 12 км. Лодка проплыла от одной пристани до другой и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 1км/час. 13. На трех полках 30 книг. На первой полке в два раза меньше книг, чем на второй, а на третьей полке на 5 книг меньше, чем на второй. Сколько книг на второй полке? 14. Найти значение выражения 15. На координатной прямой отмечены числа х и у . Какое из следующих утверждений верно? 16. 17. Вычислить координаты точки С. q1q2 выразить q1 . r2 r 2 F q2 r2 F r2 F r2 F 1) q1 ; 2) q1 k ; 3) q1 ; 4) q1 k q2 k q2 q2 k 19. В какой многочлен можно преобразовать выражение (3-х)2 + 5х(х-2)? 18. Из формулы F k 20. Решить уравнение (3-2х)(6х-1)=(2х-3)2. 21. Решите неравенство х2-5х<24. 22. Решите неравенство 2х-5(4-3х)>-3 23. Составьте выражение для нахождения периметра равнобедренного треугольника, если известно, что длина его основания равна а , а длина боковой стороны с. 24.К числу справа приписали 6, и оно увеличилось в 13 раз. Какое это число? 22 n 5 6n . 22 24n y 2 4 x xy 2 4 26. Сократите дробь . xy y 2 x 2 27. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 15. Найдите её среднюю линию. 25. Сократите дробь 28. При каких значениях р прямая y=px+2 образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 64? nmv 2 выразите скорость молекул v . 3 Pn 3P Pm 3P А) v ; Б) v ; В) v ; Г) v . 3m mn 3n mn 30. В ромб вписана окружность радиуса 2. Найти произведение его диагоналей, если его сторона равна 3. 29. Из формулы давления газа P 31. Найти наименьшее значение выражения 4a2 9b2 4a 6b 6 . 32. 33. 34. На рисунке изображен график функции y=ax2+bx+c. Определите знаки коэффициента a и дискриминанта D 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. Основания трапеции равны 5 и 7. Найти отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции. 45. 46. 47. 48.