Новые методы исследования долгосрочного экономического

Аскар Акаевич Акаев
иностранный член РАН, профессор
Институт математических исследований сложных систем МГУ
Новые методы исследования
долгосрочного экономического роста
с учетом циклических колебаний деловой активности
В работе (Акаев 2007а) автором было получено общее дифференциальное уравнение макроэкономической динамики, описывающее совместное взаимодействие долгосрочного
экономического роста и циклических колебаний деловой активности в свободной рыночной экономике:
( )


d 2 Y 
1 ∂Y
4
∂Y 
dY 2   dY
− kλλ  1 − χ v
+ λ  k − s (1 − s )

+  λ + k − λ( 1 − s)
Y +
3
∂K 
dt

  dt

dx 2
Y * ∂L

a  ∂Y
b ∂Y
dA

+ λ (1 − s ) µ − k  K
− Kλ (1 − s ) L
= λ
+ kλ A .
h  ∂K
h ∂L
dt

(1)
Здесь
Y(t)
, K
L
λ
k
–
–
–
–
–
–
s
υ
µ
a, b, h
–
–
–
–
текущий объем выпуска продукции (текущий уровень ВВП),
уровень выпуска, соответствующего траектории долгосрочного роста,
капитал,
труд,
скорость реакции запаздывания предложения от спроса,
скорость реакции запаздывания фактических индуцированных капиталовложений от решения об инвестициях,
коэффициент сбережений
мощность акселератора,
коэффициент выбытия капитала,
постоянные коэффициенты в уравнении Эйлера для производственной
функции ,
– модифицированный параметр Оукена – национальный доход при полной занятости,
A – независимые от дохода (Y) расходы как на капиталовложения, так и на
потребление.
Уравнение (1) включает в себя нелинейный акселератор инвестиций равный
3
4  dY 
kλ  v
 (при 1), который обеспечивает поддержание в данной экономической
3  dt 
системе незатухающих циклических колебаний. Экономическая система с нелинейным
акселератором является классической автоколебательной системой, в которой роль механизма положительной обратной связи играет нелинейный акселератор, а в качестве коэф-
фициента усиления служит мощность акселератора . Если коэффициент усиления достаточно велик ( 1,05), то в системе возникает самоподдерживающийся колебательный
процесс, характеристики которого определяются внутренними (структурными) параметрами системы (Акаев 2008а). Таким образом, в точке =1,05 в системе происходит бифуркация рождения цикла. При выводе уравнения (1) была также учтена циклическая безработица, которая возникает в периоды спадов, что позволяет рассматривать реальную экономику с неполной занятостью. Как известно, колебания уровня безработицы связаны с
колебаниями фактического выпуска согласно закону А. Оукена.
В общем уравнении макроэкономической динамики (1) присутствуют две переменные, характеризующие выпуск продукции Y(t), – это «быстрая» переменная, которая
описывает циклические колебания y= , и «медленная» (t), описывающая трендовую
кривую долгосрочного роста. Для получения приближенных решений подобных нелинейных уравнений имеется весьма эффективный асимптотический метод – метод усреднения
Крылова – Боголюбова – Митропольского (метод КБМ), который позволяет разделить быстрые и медленные движения (Митропольский 1971; Боголюбов, Митропольский 1974).
Действительно, можно сначала провести усреднение быстро меняющейся переменной
y(t)= и получить усредненное описание системы, учитывающее только ее долговременный тренд, описываемый Для того, чтобы практически реализовать данную схему
разделения быстрых и медленных движений, необходимо прежде всего выделить трендовую составляющую в правой части уравнения (1), представляя независимые (автономные)
инвестиции A(t) в виде , где – трендовая составляющая (например, !" (t), а – квазипериодическая функция, колеблющаяся вокруг трендовой составляющей. Таким образом, правая часть уравнения (1) примет вид:
$%
$%
# $" & # $" & $' $"
& (2)
Первая часть этого выражения определяет медленные долгосрочные движения
решения уравнения (1), т.е. трендовую кривую, а вторая – определяет циклические колебания вокруг долгосрочной трендовой кривой.
Нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее циклические колебания
деловой активности вокруг трендовой кривой роста, имеет вид (Акаев 2007б):
$( )
$" (
$) 0 $)
,
*σ - λ&- . $" / 1 $" +2 0 31 4564
7
$' 89 : # $" & ,
(3)
где

β
σ 0 = −  λ + k − λkv − λ (1 − s )  ,
γ

2 0 #&, ; $" <
$)
"=
: ,
0,
;:|"= 0,
$)
2 0 #&, ; $" <
"=
0,
@ – эластичность выпуска по труду, – параметр Оукена, i – норма процента. Для
дальнейшего анализа примем следующие типичные численные значения параметров:
0
# 4, & 1, B 0,25, 8 0,1, @ , 2,5.
-
2
Мощность акселератора является основным управляющим параметром и оказывает существенное влияние на динамику исследуемой системы. Поэтому мы будем менять
его в определенных пределах.
Дифференциальное уравнение, описывающее траекторию экономического роста,
имеет вид (Акаев 2007б):
$( $" (
σ
$
$"
$%
+2
0 # +&)
$"
(4)
где
σ
λ κ λκv,
2
0 #B&,
0=0,
$
; <
$" "=
0.
Линейное дифференциальное уравнение (4) с постоянными коэффициентами может быть проинтегрировано, решено в аналитической форме. Для нелинейного дифференциального уравнения (3), в случае слабой нелинейности акселератора (при небольших
значениях мощности акселератора) можно также получить приближенное решение в явной аналитической форме с помощью метода усреднения КБМ. Эти случаи подробно рассмотрены в работе (Акаев 2008б).
В работе (Акаев 2008а) дан качественный анализ решений дифференциальных
уравнений (3) и (4), описывающих циклические колебания деловой активности и экономический рост, исследована устойчивость системы, описана точка бифуркации, где система теряет устойчивость и становится восприимчивой к структурным изменениям и инновациям. Показано, что следствием бифуркации является возникновение в системе самоподдерживаемых незатухающих автоколебаний. Именно в условиях неравновесия происходит смена уровней равновесия, что вызывает возрастающий экономический рост.
В общем случае, когда коэффициенты дифференциальных уравнений (3) и (4) переменные (медленноменяющиеся), а нелинейность акселератора существенна и также изменяется во времени, тогда для решения указанных уравнений необходимо воспользоваться численными методами и осуществлять компьютерное моделирование.
В настоящем докладе представлены результаты компьютерного моделирования
макроэкономической динамики путем численного решения дифференциальных уравнений, описывающих трендовую траекторию экономического развития (4) и циклические
колебания (3), с последующей суперпозицией полученных решений. Исследована устойчивость экономической системы. Проводится верификация математической модели
(3)–(4) на примере экономического развития США в период с 1970 по 2006 г.
Результаты компьютерного моделирования представлены на рис. 1. Видно, при
определенных значениях параметров ( υ 0 = 1, υ 1 = 1,05 ) происходит потеря устойчивости
системы,
экономика
испытывает
кризис,
впадая
в
глубокую
рецессию
( υ 0 = 1, υ 1 = 1,1 ), что подтверждает результаты качественного анализа решений (Акаев
2007б). Важно отметить, что потеря устойчивости связана с трендовой кривой, но не с
циклическими колебаниями. Это соответствует утверждению И. Шумпетера о том, что
равновесная траектория ступенчата, но, тем не менее, представима в описанном выше виде (Полетаев, Савельева 1993). Графики движения ВВП, представленные на рис. 1, гово-
3
рят о том, что искомая математическая модель вполне адекватно описывает реальный
процесс экономического развития.
Рис. 1. Численные решения уравнений макроэкономической динамики:
тренд и циклические колебания представлены линиями средней
толщины, движение выпуска дано толстыми линиями
Насколько точна предлагаемая математическая модель макроэкономической динамики? Чтобы ответить на этот вопрос была проведена верификация модели на примере
развития экономики США в период с 1970 по 2006 г. Статистические данные по движению ВВП (факт ) для США в указанный период (OECD 2008) представлены на рис. 2. Для
численного моделирования выделяется тренд движения инвестиций, описываемый в виде
экспоненциальной функции, и циклические отклонения от этого тренда, которые и составляют правые части дифференциальных уравнений (3) и (4) рассматриваемой матема-
4
тической модели макроэкономической динамики. Численные решения дифференциальных
уравнений (3)–(4), с соответствующими правыми частями и заданными начальными условиями (3)–(4), показаны на рис. 2. Сравнение фактической траектории движения ВВП
США с расчетной, полученной по предполагаемой математической модели, показывает
хорошее совпадение. Максимальное отклонение не превышает 5%. Крайне важно то обстоятельство, что модель улавливает и отражает кризисные рецессии 1980-1982 гг. и 20002001 гг. Следовательно, математическая модель, учитывающая влияние циклических колебаний на формирование долговременной траектории экономического роста дает хорошие результаты.
Рис. 2. Верификация модели с реальной экономикой на примере США
(◊) – фактические данные
Выводы
1. Верификация математической модели (1)–(4) для описания долговременной макроэкономической динамики на примере экономического развития США показывает,
что данная модель достаточно точно, как в количественном, так и в качественном
аспектах, описывает реальный процесс экономического роста с учетом кратко- и
среднесрочных циклов Китчина и Жюгляра. Максимальное отклонение расчетного
значения ВВП от фактического не превышает 5%.
2. Модель может быть использована для анализа влияния структурных параметров
экономической системы на характер ее долговременного развития, выявления критических значений параметров, когда система теряет устойчивость и впадает в кризисную рецессию.
3. Модель позволяет делать долгосрочный прогноз экономического развития.
Библиография
5
Акаев А. А. 2007а. // ДАН, том 417, № 4, с. 439-441.
Акаев А. А. 2007б. // ДАН, том 417, № 5, с. 609-612.
Акаев А. А. 2008а. // ДАН, том 421, № 1, с. 1-5.
Акаев А. А. 2008б. // Экономика и математические методы, том 44, № 3, с. 62-78.
Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. 1974. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний – М.: Наука. – 504 с.
Митропольский Ю. А. 1971. Метод усреднения в нелинейной механике – Киев: «Наукова
Думка» – 440 с.
Полетаев А. В., Савельева И. М. 1993. Циклы Кондратьева и развитие капитализма –
М.: Наука.
OECD 2008. Organization for economic co-operation and development OECD. StatExtracts.
URL: http://stats.oecd.org/wbos/Index.aspx
6