ЛЕКЦИЯ 4 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ). ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

ЛЕКЦИЯ 4
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ
ТОЧКИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ).
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
1. Законы сохранения
Ключевыми понятиями в этом разделе являются законы сохранения энергии и импульса.
Закон сохранения импульса (ЗСИ) работает в замкнутых системах.
Закон сохранения энергии (ЗСЭ) выполняется в консервативных системах.
Консервативные системы — это системы, в которых присутствуют только консервативные силы, т. е. силы, зависящие только от координат. В поле консервативных
сил можно ввести потенциальную энергию, и тогда будет выполняться ЗСЭ (Π —
потенциальная энергия, 𝐾 — кинетическая энергия):
Π + 𝐾 = const.
Примеры полей:
1. Гравитационное поле.
2. Электрическое поле.
3. Поле сил упругости:
𝐹 =
𝑘𝑥2
.
2
4. Поле центробежных сил (сил инерции). Эти силы действительно являются потенциальными, поскольку зависят только от расстояния до оси.
Введём понятие центра инерции (центра масс) системы материальных точек:
𝑟c⃗ =
∑ 𝑚u� 𝑟u�
.
∑ 𝑚u�
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
2
Рис. 4.1
Но эти точки движутся, поэтому можно ввести скорость центра масс системы.
∑ 𝑚u� 𝑟u�̇
𝑣c⃗ = 𝑟c⃗̇ =
.
∑ 𝑚u�
Ускорение центра масс:
𝑟c̈⃗ =
∑ 𝑚u� 𝑟u�̈
∑ 𝑚u� 𝑟u�̇
==
𝑀
∑ 𝑚u�
⇒
𝑀 𝑟c̈⃗ = ∑ 𝐹u�внеш = 𝑅⃗ внеш — равнодействующая сила.
Сумма сил расписывается через внутренние и внешние силы:
∑ 𝑚u� 𝑟u�̈ = ∑ 𝐹u�u� + 𝐹u�внеш .
Из-за того, что все внутренние силы являются парными,
∑ 𝐹u�u� = 0.
Тогда:
∑ 𝑚u� 𝑟u�̈ = 𝐹u�внеш .
Рис. 4.2
Для описания движения центра масс следует сложить все силы, приложенные к твердому телу. У каждой силы есть момент относительно центра масс.
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
3
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
2. Задачи
Задача 4.22.
Человек прошел вдоль по лодке массой 𝑀 путь 𝑙. Каковы при этом будут смещения
Рис. 4.3
лодки 𝜌1 и человека 𝜌2 относительно воды? Масса человека: 𝑚.
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
4
Решение.
Поскольку к системе не было приложено никаких внешних сил, то положение её
центра масс не изменилось.
Зададим координаты тел. 𝑥c , 𝑥ч , 𝑥л — старые координаты, 𝑥′c , 𝑥′ч , 𝑥′л — после передвижения человека
(𝑀 + 𝑚)𝑥c = 𝑀 𝑥л + 𝑚𝑥ч = 𝑀 𝑥′л + 𝑚𝑥′ч .
𝑥c — координата центра масс, 𝑥л — координата центра масс лодки, 𝑥ч — координата
человека.
𝑀 (𝑥′л − 𝑥л ) + 𝑚(𝑥′ч − 𝑥ч ) = 0.
𝑀 𝜌1 + 𝑚𝜌2 = 0,
{
𝜌2 = 𝜌1 + 𝑙.
⇒
{
u�u�
𝜌1 = − u�+u�
,
u�u�
𝜌2 = u�+u� .
Задача 4.25.
На дне маленькой запаянной пробирки, подвешенной над столом на нити, сидит муха,
масса которой равна массе пробирки, а расстояние от дна до поверхности стола равно
𝑙 — длина пробирки. Нить пережигают, и муха за время падения перемещается со дна в
верх пробирки. Определить время, по истечению которого нижний конец опустится на
стол.
Рис. 4.4
Решение.
Внутренние силы между мухой и пробиркой парные и замкнутые. Центр масс про3𝑙
𝑙
бирки: , центр масс мухи: 𝑙, центр масс пробирки после падения: , центр масс мухи
2
2
после падения: 𝑙.
5𝑙
3𝑙
Центр масс системы: , центр масс системы после падения: .
4
4
𝜌ц. м. =
!
5𝑙 3𝑙
𝑙
𝑔𝑡2
− = =
4
4
2
2
⇒
𝑙
𝑡=√ .
𝑔
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
5
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
Задача 4.40.
На проволочное кольцо радиуса 𝑅 надето маленькое колечко. Коэффициент трения
1
колечка о проволоку: 𝑘 = . В момент времени 𝑡 = 0 колечку сообщили скорость 𝑣0 =
4𝜋
10 м/с относительно проволоки. Считая проволоку неподвижной, определить, какую
скорость будет иметь колечко, совершив два полных оборота по колцу. Силу тяжести
не учитывать.
Решение.
Рис. 4.5
Изменение киетической энергии равно работе сил трения.
𝑘
𝑚𝑣2
𝑚𝑣2
𝑅𝑑𝜙 = 𝛿𝐹тр − 𝑑𝐾 = −𝑑
= −𝑚𝑣𝑑𝑣.
𝑅
2
u�
4u�
𝑑𝑣
∫
= −𝑘 ∫ 𝑑𝜙.
𝑣
u�0
0
ln
𝑣=
𝑣
= −𝑘4𝜋 = −1,
𝑣0
𝑣0
10
=
≈ 3, 7 м/с.
e
2, 7
Задача 4.45.
Однородная доска длиной 𝐿 горизонтально лежит на двух одинаковых цилиндрических опорах, вращающихся в противоположных направлениях. В силу различных
случайных толчков доска выходит из положения равновесия. Каков будет характер ее
дальнейшего движения? Найти скорость 𝑣, которую приобретет доска в момент времени,
когда один из ее концов соскользнет с опоры, если 𝐿 = 2𝑙 = 4 м. Коэффициент трения
между доской и опорой: 𝑘 = 0, 5.
Решение.
Если центр масс сместится, поменяется реакция опоры.
{
!
𝑁1 + 𝑁2 = 𝑚𝑔,
𝑚𝑔 ( 2u� + 𝑥) = 𝑁1 𝑙,
{
𝐹тр 1 = 𝐾𝑁1 ,
𝐹тр 2 = 𝐾𝑁2 ,
𝑁 = 𝑚𝑔 ( 12 + u�u� ) ,
{ 1
𝑁2 = 𝑚𝑔 ( 12 − u�u� ) .
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
6
Рис. 4.6
Уравнение движения доски:
𝑚
𝑑𝑣
1 𝑥
1 𝑥
2𝑘𝑚𝑔𝑥
= 𝐹тр 1 − 𝐹тр 2 = 𝑘𝑚𝑔 ( + ) − 𝑘𝑚𝑔 ( − ) =
,
𝑑𝑣
2
𝑙
2
𝑙
𝑙
2𝑘𝑔
𝑥 = 0.
𝑙
Полученное уравнение не является колебательным, т. к. в нем фигурирует знак «-».
𝑥̈ −
𝑑𝑣
2𝑘𝑔
=
𝑥,
𝑑𝑡
𝑙
𝑑𝑥
𝑑𝑣
2𝑘𝑔
=
𝑥𝑑𝑥.
𝑑𝑡
𝑙
u�
2
u�
∫ 𝑣𝑑𝑣 =
0
2𝑘𝑔
∫ 𝑥𝑑𝑥,
𝑙
0
𝑣2
2𝑘𝑔 1 𝑙 2
𝑘𝑔𝑙
=
( )
⇒ 𝑣=√
= 2, 2 м/с.
2
𝑙 2 2
2
Также есть еще один способ получения этого дифференциального уравнения:
𝛿𝐴 = (𝐹тр 1 − 𝐹тр 2 )𝑑𝑥 =
𝑣𝑑𝑣 =
2𝑘𝑚𝑔
𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝐾 = 𝑚𝑣𝑑𝑣,
𝑙
2𝑘𝑔
𝑥𝑑𝑥.
𝑙
Задача 2.24.
Хоккейная шайба падает на лёд со скоростью 𝑣0 под углом 𝛼 и продолжает скользить
по льду. Найти скорость скольжения как функцию времени, если коэффициент трения
шайбы об лёд 𝐾 не зависит от скорости и силы давления шайбы об лёд.
Решение.
Шайба после удара не подпрыгивает. Значит, гасится вертикальная составляющая
импульса (удар неупругий).
𝑑𝑝
𝐹 =
,
𝑑𝑡
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
!
!
7
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
Рис. 4.7
u�
∫ 𝑁 𝑑𝑡 = Δ(𝑚𝑣u� ) = 0 − 𝑚𝑣 sin 𝛼
0
— импульс силы реакции опоры льда.
u�
u�
∫ 𝐹тр 𝑑𝑡 = 𝑘 ∫ 𝑁 𝑑𝑡 = Δ(𝑚𝑣u� ) = 𝑚𝑣u�конеч − 𝑚𝑣u�нач = 𝑚𝑣пол = 𝑚𝑣0 cos 𝛼 = −𝑘𝑚𝑣0 sin 𝛼.
0
0
𝑣пол = 𝑣0 cos 𝛼 − 𝑘𝑣0 sin 𝛼.
Скольжение:
𝑚𝑣 ̇ = −𝑘𝑚𝑔,
𝑣(𝑡) = 𝑣нач − 𝑘𝑔𝑡 = 𝑣0 cos 𝛼 − 𝑘(𝑣0 sin 𝛼 + 𝑔𝑡).
Задача 1.
Полусфера массой 𝑀 = 100 грамм лежит на столе. С её верхней точки без трения
соскальзывает тело массой 𝑚 = 10 г. Из-за трения между полусферой и поверхностью
стола движение полусферы начинается только при угле 𝛼 = 6∘ . Найти коэффициент
трения сферы о стол.
Решение.
Рис. 4.8
Центростремительная сила:
!
𝑚𝑣2
= 𝑚𝑔 cos 𝛼 − 𝑁 .
𝑅
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
!
8
Приобретенная кинетическая энергия:
𝑚𝑣2
= 𝑚𝑔𝑟(1 − cos 𝛼).
2
𝑚𝑣2
= 2𝑛𝑔(1 − cos 𝛼) = 𝑚𝑔 cos 𝛼 − 𝑁 ⇒ 𝑁 = 𝑚𝑔(3 cos 𝛼 − 2).
𝑅
Движение начинается, когда 𝑁 sin 𝛼 = 𝑘𝑀 𝑔 + 𝑘𝑁 cos 𝛼:
𝑘=
𝑁 sin 𝛼
𝑚(3 cos 𝛼 − 2) sin 𝛼
=
.
𝑀 𝑔 + 𝑁 cos 𝛼
𝑀 + 𝑚(3 cos 𝛼 − 2) cos 𝛼
Считаем угол 𝛼 малым.
𝑘≈
𝑚
𝛼 ≈ 0, 01.
𝑚+𝑀
Задача 2.32.
Парусный буер массой 𝑀 = 100 кг начинает движение под действием ветра, дующего со скоростью 𝑣 = 10 м/с. Высчитать время, через которое мощность, отбираемая
буером у ветра, будет максимальна, если сила сопротивления паруса ветру пропорциональна квадрату относительной скорости между буером и ветром с коэффициентом
пропорциональности 𝑘 = 0, 1 кг/м. Трением пренебречь.
Решение.
𝑚
u�(u�)
0
u�(u�)
u�
𝑑𝑢
𝑘
∫
=
∫ 𝑑𝑡
2
(𝑣 − 𝑢)
𝑚
0
𝑑𝑢
= 𝑘(𝑣 − 𝑢)2 .
𝑑𝑡
⇒
0
𝑑(𝑣 − 𝑢)
𝑑(𝑢 − 𝑣)
1 0
−∫
=
∫
=
−
∣
=
(𝑣 − 𝑢)2
(𝑢 − 𝑣)2
𝑣 − 𝑢 u�(u�)
0
u�(u�)
1
1
𝑢(𝑡)
𝑘
=− +
=
= 𝑡.
𝑣 𝑣 − 𝑢(𝑡)
𝑣(𝑣 − 𝑢(𝑡))
𝑚
𝑢(𝑡) =
Мощность:
𝑘𝑣2 𝑡
.
𝑚 + 𝑘𝑣𝑡
𝑁 = 𝐹сопр 𝑢 = 𝑘(𝑣 − 𝑢)2 𝑢.
𝑁 ′ = 𝑘(𝑢𝑣2 − 2𝑢2 𝑣 + 𝑢3 )′ = 0.
𝑢2 − 4𝑢𝑣 + 3𝑢2 = 0,
1
𝑣,
1
4
3
𝑢 = 𝑣 ± √ 𝑣2 − 𝑣2 = { 3
3
9
9
𝑣 — не подходит.
𝑢=
!
1
𝑘𝑣2 𝜏
=
3
𝑚 + 𝑘𝑣𝜏
⇒
𝜏=
𝑚
= 50 с.
2𝑘𝑣
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
9
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
Задача 4.61.
Ведущий диск фрикционного сцепления вращается с угловой скоростью 𝜔 и прижимается к ведомому диску с силой 𝐹 . Какую максимальную мощность 𝑁max можно
передать с помощью такого сцепления, если радиус дисков равен 𝑅, а коэффициент
трения 𝜇?
Решение.
𝑃 =
𝐹
.
𝜋𝑅2
Рис. 4.9
𝑑𝐹тр = 𝑘𝑃 𝑑𝜌 = 2
𝐹
2𝜋𝑟𝑑𝑟.
𝜋𝑅2
Сила ведомого вала:
𝑑𝐹 ⩽ 𝑑𝐹тр .
Мощность (𝑣 = 𝜔𝑟):
𝑑𝑁 = 𝑣𝑑𝐹 ⩽ 𝜔𝑟𝑘
𝐹
2𝑘𝐹 𝜔 2
𝑑𝑟 =
𝑟 𝑑𝑟,
2
𝜋𝑅
𝑅2
u�
𝑁 ⩽ 𝑁max
2𝑘𝐹 𝜔
2
=
∫ 𝑟2 𝑑𝑟 = 𝑘𝐹 𝜔𝑅.
2
𝑅
3
0
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu