ЛЕКЦИЯ 9 КИНЕТИКА ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ. КВАНТОВЫЙ РОСТ ЗАРОДЫША 1. Спектр ферми-жидкости и плазмы Ферми-жидкость — это образование, в чьём фазовом пространстве все заполнено ниже поверхности Ферми. Небольшое количество газа, который движется вблизи поверхности Ферми, не сохраняет число своих частиц: оно зависит от температуры. Чем больше температура, тем больше слой, в котором эти частицы возбуждены. Будем рассматривать не только ферми-заряженную жидкость, то есть электроны в плазме, электроны в металле, но и нейтральные ферми-жидкости, то есть 3 He. Будем исходить из кинетического уравнения, причем столкновения будем считать редкими (𝜔𝜏 ≫ 1), и поэтому сначала нужно написать кинетическое уравнение без интеграла столкновений. 𝜕𝑓 𝜕𝑓 + (𝑣∇)𝑓 + 𝑝̇ = 0. 𝜕𝑡 𝜕𝑝 Речь идет о ферми-жидкостях при низких температурах, то практически все фермичастицы занимают область фазового пространства под поверхностью Ферми, а все возбуждения двигаются только в узкой области в районе поверхности Ферми, и поэтому можно сказать, что энергия выражается следующим образом: 𝜖 = 𝑣f |𝑝 − 𝑝f |. В небольшой окрестности аппроксимируем квадратичный спектр линейным. Будем искать функцию распределения как сумму равновесной функции и малой добавки к ней: 𝑓 = 𝑓 (0) + 𝑓 (1) , а 𝑓 (1) представим как 𝑓 (1) = ∣ 𝜕𝑓 (0) ∣ 𝜒, 𝜕𝜉 ! Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и, возможно, содержит смысловые ошибки. Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru. 2 Рис. 9.1 где энергия 𝜉 отсчитывается от поверхности Ферми. Перепишем слагаемое с производной по импульсу: 𝑝̇ 𝜕𝑓 (0) 𝜕𝑓 (0) = −𝑝𝑣̇ ∣ ∣. 𝜕𝑝 𝜕𝜉 Сила, которая действует на частицы, слабая, поэтому можно писать 𝑓 (0) . Знак «минус» после знака «равно» появляется из-за того, что 𝑓 (0) — это убывающая функция. ! Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой. Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на pulsar@ phystech. edu 3 ! Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и, возможно, содержит смысловые ошибки. Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru. Рис. 9.2 Теперь запишем уравнение Больцмана через Фурье-образы: 𝜕𝑓 (𝑝) (−𝑖𝜔 + 𝑖𝑘⃗ 𝑣)𝑓 ⃗ u� (𝑝) + (𝑝u�̇ )u� 0 = 0. 𝜕𝑝u� Важно уточнить следующее: раньше был рассмотрен случай с внешним электрическим потенциалом, когда 𝑝̇ полагали равным 𝑒𝐸. Теперь же речь идет о фермижидкости. В ней вся эволюция происходит благодаря тому, что на данную частицу действуют окружающие квазичастицы в огромном количестве (самосогласованное поле: взаимное влияние частиц друг на друга). Учитывая интегральный характер взаимодействия, переписываем 𝑝̇ в следующем виде: 𝜕 𝑑 3 𝑟′ 𝑑 3 𝑝′ 𝑝̇ = − ∫ 𝑈 (𝑟 − 𝑟′ )𝑓 (1) (𝑟′ , 𝑝′ ) 𝜕𝑟 (2𝜋ℏ)3 — под интегралом стоит 𝑓 (1) , поскольку равновесная функция не дает вклада: если квазичастицы со всех сторон расположены симметрично, то суммарная сила равна нулю. Если рассматривать нейтральные частицы, то 𝑈 (𝑟 − 𝑟′ ) = 𝑈0 𝛿(𝑟 − 𝑟′ ). После интегрирования имеем: (𝑝u�̇ )u� = −𝑖𝑘u� 𝑈0 𝑔f <𝜒>, где 𝑔f — плотность состояний, <𝜒> — среднее по углам. Если рассматривать случай заряженной, а не нейтральной частицы, то 𝑈 = тогда 4𝜋𝑒2 𝑈u� = 2 ; 𝑘 (0) 𝜕𝑓 (𝑝) 𝜕𝑓 (0) (−𝑖𝜔 + 𝑖𝑘⃗ 𝑣)⃗ ∣ ∣ 𝜒u� − 𝑖𝑘u� 𝑣u� 𝑔f 𝑈u� ∣ ∣ <𝜒> = 0. 𝜕𝜉 𝜕𝜉 u�2 , u� (0) Сократим на ∣ u�u�u�u� ∣ и усредним: <𝜒> = 𝑈u� 𝑔f ⟨ 𝜔 − 𝑘⃗ 𝑣 ⃗ 1 = 𝑈u� 𝑔f ⟨ ! 𝑘⃗ 𝑣 ⃗ 𝑘⃗ 𝑣 ⃗ ⟩<𝜒>, 𝜔 − 𝑘⃗ 𝑣 ⃗ ⟩ Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой. Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на pulsar@ phystech. edu и ! Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и, возможно, содержит смысловые ошибки. Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru. 4 — отсюда получаем дисперсионное уравнение для 𝜔 = 𝜔(𝑘). 𝐽 =⟨ 1 𝑘⃗ 𝑣 ⃗ 𝜔 + 𝑘⃗ 𝑣 ⃗ ⟩=∫ −1 𝑘𝑣 cos 𝜃 cos 𝜃 𝑑 . 𝜔 − 𝑘𝑣 cos 𝜃 2 Введём обозначение: 𝜔/𝑘𝑣 = 𝑠. 1 1 1 1 cos 𝜃𝑑 cos 𝜃 1 (𝑠 − 𝑥)𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 1 𝑠+1 𝐽= ∫ =− ∫ + 𝑠∫ = −1 − 𝑠 ln . 2 𝑠 − cos 𝜃 2 𝑠−𝑥 2 𝑠−𝑥 2 𝑠−1 −1 −1 −1 1 𝑠+1 1 −1 + 𝑠 ln = . 2 𝑠−1 𝑈0 𝑔f Тогда 𝜔He3 = 𝑠𝑣f 𝑘 — линейный звуковой спектр для 3 He (нуль-звук). Его скорость порядка 𝑣f . Для 3 He отношение u� 1 u� велико, величина 𝑠 близка к единице, и 𝑣f небольшая, 0 f поэтому и скорость нуль-звука тоже невелика. В случае ферми-газа нужно заменить 𝑈0 на 𝑈u� : 1 𝑈u� 𝑔f = 𝑘2 . 4𝜋𝑒2 𝑔f Теперь же рассмотрим длинноволновую часть спектра: 𝑠 ≫ 1. Разложим 𝐽 (𝑠) в ряд до второго члена: 𝑘2 1 1 = 2 + 4. 2 4𝜋𝑒 𝑔f 3𝑠 5𝑠 Если пренебречь вторым членом, то получим спектр: 𝑠2 = 4 𝜋𝑒2 𝑔f 3 𝑘2 ⇒ 𝑠∼ 1 . 𝑘 Отсюда 𝜔плазм ∼ const. 2. Учёт квантовых явлений в задаче о росте зародышей в пересыщенных средах Рассмотрим фазовую диаграмму 4 He. Когда переходим через фазовую кривую, разделяющую сверхтекучее и твердое состояния, при низких температурах, повышая давление через 26 атмосфер, то происходит фазовый переход в жидком сверхтекучем (или не сверхтекучем) 4 He (рис. 9.4). В жидком состоянии возникают зародыши твердой фазы, то есть маленькие кристаллики. Найдем зависимость, с какой скоростью происходит рост твердых кристалликов в зависимости от температуры. Явление заключается в том, что энергия есть функция от радиуса. Когда зародыш очень маленький, главную роль у него играет энергия поверхностного натяжения 4𝜋𝜎𝑟2 , ! Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой. Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на pulsar@ phystech. edu 5 ! Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и, возможно, содержит смысловые ошибки. Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru. Рис. 9.3 то есть энергия растет, и образование зародышей является невыгодным. Однако, если увеличить радиус, то, поскольку изменение химического потенциала есть отрицательная величина, надо к поверхностной энергии, добавить −𝛿𝜇 на число частиц в зародыше, то есть 43 𝜋𝑟3 𝑛ж . Начиная с некоторого размера 𝑅C , функция начинает падать, и образование зародыша становится выгодным. Если пренебречь диффузией, то все кристаллики, зародыши твердой фазы меньше критического размера схлопываются (им выгодно уменьшать энергию). Если нет диссипативных процессов, то большие кристаллы превратятся в один огромный кристалл, а маленькие просто уйдут в жидкую фазу. Рис. 9.4 Но в действительности также есть поток справа налево благодаря тому, что есть еще диффузионный член в кинетическом уравнении. Это просто гидродинамический поток u�u� в пространстве размеров. Также еще есть коэффициент 𝐷 u�u� — диффузия. Благодаря диффузионному члену возникают флуктуационные процессы во все направления, и поэтому даже если в начале все кристаллы были слева, они постепенно, благодаря тепловым флуктуациям, перетекают через максимум. Например, весь жидкий 4 He под давлением становится твердым. Для теплового движения и перескока через барьер нужна температура. Если температура достаточно низкая, то зародыши с энергией образования больше, чем температура, запрещены, то есть нет возможности перепрыгнуть через барьер. Рассмотрим ситуацию с точки зрения квантовой механики. Гамов обратил внимание, что случай 𝛼-распада объясняется простым образом. 𝛼-частица вначале имеет положительную энергию, и поэтому это есть квазистационарное состояние (неустойчивое). Частица может перейти на другую сторону (а в ядре ! Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой. Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на pulsar@ phystech. edu ! Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и, возможно, содержит смысловые ошибки. Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru. 6 Рис. 9.5 температура равна нулю, и поэтому флуктуационный процесс невозможен) только квантовым переходом. Применим теорию Гамова к образованию твердых кристаллов гелия в жидком гелии. Энергия тела складывается из кинетической и потенциальной энергий: 𝑝2 . 2𝑚 Благодаря кинетической энергии есть вероятность просочиться через потенциальный барьер: 𝐻 = 𝜖(𝑟) + 2 ⎜− ∫ |𝑝|𝑑𝑟⎞ ⎟. 𝑤 ∼ exp ⎛ ⎝ 1 ⎠ Потенциальная энергия 𝑈 = Π(𝑅) зародыша радиуса 𝑅 имеет вид энергии одного атома Π(𝑅) (рис. 9.5), умноженной на на число атомов в зародыше (𝑀 = 43 𝜋𝑅3 𝑛sol ). Надо учесть, что закритический зародыш растет. И, следовательно, со всех сторон на этот зародыш налетают молекулы жидкости. Кинетическая энергия зародыша равна суммарной энергии атомов, диффундируюших к растущему зародышу. Уравнение непрерывности: 𝜕𝑛 + div 𝑛𝑣 = 0. 𝜕𝑡 Рассматривается квазистационарный процесс с постоянной плотностью жидкости, поэтому: 1 𝜕 ∇ ⋅ 𝑣 = 2 (𝑟2 𝑣) = 0. 𝑟 𝜕𝑟 В этой задаче 𝑅 2 𝑣(𝑟) = − ( ) 𝑣(𝑅). 𝑟 Берём от этого выражения интеграл и находим 𝜖(𝑟). И тогда полная энергия: 𝐻 = 𝑀 Π + 𝐸kin . ∞ 𝐸kin ∞ 𝑚 2 𝑚𝑣2 (𝑅) 𝑅 4 2 2 = ∫ 4𝜋𝑟 𝑛sol 𝑑𝑟 𝑣 = 4𝜋𝑛sol ∫ 𝑟 𝑑𝑟 ( ) = 2 2 𝑟 u� u� = 4𝜋𝑛sol ! 𝑚𝑣2 (𝑅)𝑅3 𝑚𝑣2 (𝑅)𝑅3 =3 𝑀, 2 2 Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой. Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на pulsar@ phystech. edu 7 ! Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и, возможно, содержит смысловые ошибки. Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru. где 𝑀 — число частиц внутри зародыша. Поскольку 𝑣(𝑅) = 𝑅̇ u�u� , где 𝛿𝑛 — разность плотностей, u� 1 𝐸kin = 𝛼𝑅̇ 2 𝑀 (𝑅), 2 𝛼∼ 𝛿𝑛 . 𝑛 Обозначим 𝑥 = 𝑅/𝑅C . Тогда 1 𝐸kin = 𝑀0 𝑥3 (𝑥)̇ 2 , 2 4 𝑀0 ∼ 𝛼 𝜋𝑅C3 𝑛sol . 3 Отсюда нетрудно найти лагранжиан 𝐿 = 𝐸kin − 𝑈 и гамильтониан: Вычисляем импульс: 1 𝐻 = 𝐸kin + 𝑈 = 𝑀0 𝑥3 (𝑥)̇ 2 + 𝑈 = 𝐸. 2 𝜕𝐸 𝜕𝑥 и подставляем выражение для импульса в формулу для вероятности. Основной вклад в показатель экспоненты дает окрестность максимальной высоты потенциального барьера: 𝑝= 𝑤 ∼ exp [− ∫ |𝑃 |𝑑𝑥] ∼ exp [−𝛾 √𝑈max − 𝐸] . Проникновение частиц на ту сторону барьера достигается либо туннелированием при низких температурах, либо благодаря тепловым флуктуациям. При некоторой температуре оба процесса сравниваются, когда вероятность туннелирования и вероятность перехода через барьер одинакова. Это происходит при некоторой температуре 𝑇 ∗ . Эта задача была исследована экспериментально. Ученые Паршин и Цимболенко исследовали зависимость скорости процесса 𝑤 от температуры и увидели, что в начале, как и должно быть, 𝐴 𝑤 ∼ exp (− ) 𝑇 — закон Аррениуса. Рис. 9.6 При температурах, стремящихся к нулю, скорость процесса становилась не экспоненциальной, а гораздо более медленной. ! Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой. Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на pulsar@ phystech. edu