Задачи по теме Подпространство, его базис и размерность
реклама
Подпространство, его базис и размерность. Пусть L – линейное пространство над полем P и A – подмножество из L. Если A само составляет линейное пространство над полем P относительно тех же операций, что и L, то A называют подпространством пространства L. Согласно определению линейного пространства, чтобы A было подпространством надо проверить выполнимость в A операций: 1) a, b A : a b A ; 2) (a A)(k P) : ka A ; и проверить, что операции в A подчинены восьми аксиомам. Однако последнее будет излишним (в силу того, что эти аксиомы выполняются в L) т.е. справедлива следующая Теорема. Пусть L линейное пространство над полем P и A L . Множество A тогда и только тогда является подпространством L, когда выполняются следующие требования: 1. a, b A : a b A ; 2. (a A)(k P) : ka A . Утверждение. Если L – n-мерное линейное пространство и A его подпространство, то A также конечномерное линейное пространство и его размерность не превосходит n. Пример 1. Является ли подпространством пространства векторов-отрезков V2 множество S всех векторов плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат 0x или 0y? Решение: Пусть a ОХ , b ОY и a 0 , b 0 . Тогда a b S . Следовательно, S не является подпространством V2 . Пример 2. Является ли линейным подпространством линейного пространства V2 векторов-отрезков плоскости множество S всех векторов плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой l этой плоскости? Решение. Если вектор а S умножить на действительное число y k, то получим вектор k а , также принадлежащий S. Если а и b – два вектора из S, то a b S (по правилу l сложения векторов на прямой). Следовательно, S b является подпространством V2 . Пример 3. Является ли линейным подпространством линейного пространства V2 множество A всех векторов а плоскости, концы которых лежат на данной прямой l, x (предположить, что начало любого вектора совпадает с 0 началом координат)? Решение. y В случае, когда прямая l не проходит через начало координат множество А линейным подпространством пространства V2 не l является, т.к. а b l . В случае, когда прямая l проходит через начало а +b координат, множество А является линейным b подпространством пространства V2, т.к. а любого вектора а А на а b l и при умножении x действительное число α из поля Р получим а l . 0 Таким образом, требования линейного пространства для множества А выполнены. Пример 4. Пусть дана система векторов a1 ,..., ak из линейного пространства L над полем P. Доказать, что множество всевозможных линейных комбинаций t1a1 ... t k ak с коэффициентами t1 ,..., t k из P является подпространством L (это подпространство A называют подпространством, порожденным системой векторов a1 ,..., ak или линейной оболочкой этой системы векторов, A L(a1 ,..., ak ) ). Решение. Действительно, так как и обозначают так: A a1 ,..., ak или A t1a1 ... t k ak , ti P, i 1, k , то для любых элементов x, y A имеем: x r1a1 ... rk ak , y s1a1 ... sk ak , где ri , si P , i 1, k . Тогда x y (r1 a1 ... rk a k ) (s1 a1 ... s k a) r1 s1 a1 ... rk s k a k Так как ri , si P , то ri si P , поэтому x y a1 ,..., ak . Проверим выполнимость второго условия теоремы. Если x – любой вектор из A и t – любое число из P, то tx t (r1a1 ... rk ak ) (tr1 )a1 ... (trk )ak . Поскольку t P и ri P , i 1, k , то tri P , i 1, k , поэтому tx a1 ,..., ak . Таким образом, согласно теореме, множество A – подпространство линейного пространства L. Для конечномерных линейных пространств справедливо и обратное утверждение. Теорема. Всякое подпространство А линейного пространства L над полем P является линейной оболочкой некоторой системы векторов. При решении задачи нахождения базиса и размерности линейной оболочки используют следующую теорему. Теорема. Базис линейной оболочки a1 ,...,ak совпадает с базисом системы векторов a1 ,..., ak . Размерность линейной оболочки векторов a1 ,..., ak . a1 ,...,ak совпадает с рангом системы Пример 4. Найти базис и размерность подпространства S a1 , a2 , a3 , a4 линейного пространства Р3[x], если a1 1 x , a2 1 x , a3 1 x x 3 , a4 2 x3 . Решение. Известно, что векторы и их координатные строки (столбцы) обладают одинаковыми свойствами (в отношении линейной зависимости). Составляем матрицу 1 1 A= 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 2 0 из координатных столбцов векторов 0 1 a1 , a2 , a3 , a4 в базисе 1, x, x2 , x 3 . Найдем ранг матрицы A. 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 2 0 . M 4 А 0 . M2 1 1 2 0 . М3= 1 1 0 1 (1)33 1 1 1 1 Следовательно, ранг r(A)=3. Итак, ранг системы векторов a1 , a2 , a3 , a4 равен 3. Значит, размерность подпространства S равна 3, а его базис состоит из трех векторов a1 , a 2 , a4 (т.к. в базисный минор M 3 входят координаты только этих векторов). Пример 5. Доказать, что множество H векторов арифметического пространства A n , у которых первая и последняя координаты равны 0, составляет линейное подпространство. Найти его базис и размерность. Решение. Пусть x, y H . и x ( 0 , x2 , ..., xn 1 , 0 ) , y ( 0 , y 2 , ..., y n 1 , 0 ) x y ( 0 , x2 y 2 , ..., xn 1 y n 1 , 0 ) . Следовательно, x y H для любых x, y H . Тогда Если x H , k P , то kx k (0, x2 ,..., xn1 ,0) (0, kx2 ,..., kxn1 ,0) H . Таким образом, согласно теореме о линейном подпространстве, множество H является линейным подпространством пространства A n . Найдем базис H. Рассмотрим следующие векторы из H: a2 ( 0, 1, 0, ..., 0 ) , a3 ( 0 , 0 , 1, ..., 0 ) , an 1 ( 0 , 0 , 0 , ..., 1, 0 ) . Эта система векторов линейно независима. Действительно, пусть k 2 a2 ... k n1an1 0 . Тогда k 2( 0 , 1, ..., 0 ) k 3( 0 , 0 , 1, ..., 0 ) ... k n 1( 0 , 0 , .., 1, 0 ) ( 0 , k 2 , ..., 0 ) ( 0 , 0 , k 3 , ..., 0 ) ... ( 0 , 0 , .., k n 1 , 0 ) ( 0 , k 2 , k 3 , ..., k n 1 , 0 ) 0 ( 0 , 0 , ..., 0 ) и k 2 ... k n 1 0 . Можно убедиться, что система a2 ,..., an1 , x линейно зависима при любом векторе x из H. Этим доказано, что a2 , ..., an 1 максимальная линейно независимая система векторов подпространства H, т.е. a2 , ..., an 1 – базис в H и dimH=n -2.
