Подпространства линейных пространств

Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое
множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Теорема 14. Непустое множество элементов В  L
является линейным
подпространством в L тогда и только тогда, когда для любых двух элементов в1 и в2 из В и
любого  Р выполняются условия: в1 + в2  В и в1  В.
Доказательство.  Если В – линейное подпространство, то условия теоремы,
очевидно, выполнены.
 Если условия теоремы выполняются, то возьмём любой элемент в  В. Тогда (–1)в = –в
принадлежит В. Итак, в В для каждого элемента есть противоположный. Но тогда и в + (–в)
тоже принадлежит В, т.е. 0  В. Остальные требования определения 14 выполняются очевидно.
Следовательно, В – линейное пространство над тем же полем, что и L.
Примеры линейных подпространств.
1. Пусть а1, а2, … , ак – любая система векторов из L. Множество всех линейных
комбинаций этих векторов (т.е. элементов вида 1а1 + 2а2 + … + как) называется линейной
оболочкой данной системы векторов и обозначается а1, а2, … , ак, или L(а1, а2, … , ак).
Линейная оболочка любой конечной системы векторов из L является линейным
подпространством в L.. Одним из базисов линейной оболочки является максимальная линейно
независимая подсистема системы а1, а2, … , ак. Следовательно, размерность линейной оболочки
равна рангу этой системы.
2. Множество многочленов степени не выше к (к  n) с коэффициентами из поля Р
является линейным подпространством в пространстве многочленов степени не выше n.
3. Множество компланарных геометрических векторов является линейным
подпространством в пространстве всех геометрических векторов трёхмерного евклидова
пространства.
4. Нулевой вектор является линейным подпространством в том линейном пространстве,
которому он принадлежит.
5. Множество диагональных матриц порядка n является линейным подпространством во
множестве квадратных матриц порядка n.
Пусть А и В – два линейных подпространства пространства L .
Определение 23. Суммой подпространств А и В называется множество всех
возможных элементов вида а + в, где а  А, в  В. (Обозначение А + В)
Теорема 15. Сумма линейных подпространств из L есть линейное подпространство из
L.
Доказательство. Пусть а1 + в1 и а2 + в2 – любые два элемента из А + В. Тогда
(а1 + в1) + (а2 + в2) = (а1 + а2) + (в1 + в2)  А + В, так как а1 + а2  А, в1 + в2  В. Кроме того (а
+ в) = а + в  А + В, так как а  А, в  В. Следовательно, по теореме 14 сумма А + В
является линейным подпространством в L.
Теорема 16. Пересечение линейных подпространств из L
есть линейное
подпространство из L.
Доказательство проведите самостоятельно.
Теорема 17. Размерность суммы двух линейных подпространств равна сумме
размерностей слагаемых минус размерность их пересечения.
Доказательство. Пусть С = А + В, где А и В линейные подпространства пространства
L. Пусть D = А  В. Выберем базис d = (d1, d2, … , dк) в подпространстве D и дополним его
векторами е = (е1, е2, … , еm) и f = (f1, f2 … , fs) так, чтобы система (е1, е2, … , еm , d1, d2, … , dк)
была базисом в подпространстве А, а система (d1, d2, … , dк, f1, f2 … , fs ) была базисом в В.
Покажем, что система (е1, е2, … , еm , d1, d2, … , dк , f1, f2 … , fs) является базисом в
подпространстве С. Если с  С, то с = а + в. Так как а  А, то а есть линейная комбинация
векторов систем е и d. Так как в  В, то в есть линейная комбинация векторов систем d и f .
Но тогда с линейно выражается через векторы е, d и f . Остаётся показать, что система
векторов (е1, е2, … , еm , d1, d2, … , dк , f1, f2 … , fs) линейно независима. Для этого рассмотрим
1е1 + 2е2 + … + mеm + 1d1 + 2d2 + ... + кdк + 1f1 + 2f2 + … + sfs = 0. Вектор
а = 1е1 + 2е2 + … + mеm + 1d1 + 2d2 + ... + кdк лежит в подпространстве А. Но в то же
время а = – 1f1 – 2f2 – … – sfs . Следовательно, а  В. Итак, а  D . Если бы а не был
нулевым вектором, то он не мог бы выражаться через векторы системы f . Следовательно,
– 1f1 – 2f2 – … – sfs = 0. Так как векторы системы f линейно независимы, то 1= 2= …= s = 0.
Но тогда 1е1 + 2е2 + … + mеm + 1d1 + 2d2 + ... + кdк = 0. Так как система векторов (е, d )
линейно независима, то отсюда следует, что 1 = 2 = … = m = 1 = 2 = … = к = 0. Итак,
система (е1, е2, … , еm , d1, d2, … , dк , f1, f2 … , fs) является базисом в подпространстве С. Отсюда
dim C = m + k + s = (m + k) + (k + s) – k = dim A + dim B – dim D .
Изоморфизм линейных пространств
Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р
называются изоморфными,
если существует такое взаимнооднозначное отображение
: L  L1, что для любых векторов а и в из L и любого элемента   Р выполняются
условия: (а + в) = (а) + (в), (а) = (а).
Отображение  называется изоморфизмом.
Определение 24 можно заменить следующим эквивалентным определением.
Определение 25. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р
называются изоморфными,
если существует такое взаимнооднозначное отображение
1
: L  L , что для любых векторов а и в из L и любых элементов ,   Р выполняется
условие: (а + в) = (а) + (в).
Свойства изоморфизма.
1. (0) = 01, где 0 и 01 – нулевые вектора в пространствах L и L1 соответственно.
2. Если а1, а2, … , ак – любая система векторов из L и (а1) = а11, (а2) = а21, … ,
(ак) =
1
1
1
1
ак , то (1а1 + 2а2 + … + как) = 1а1 + 2а2 + … + как .
3. Если а1, а2, … , ак –линейно независимая система векторов из L и (а1) = а11,
(а2) =
1
1
1
1
1
1
а2 , … , (ак) = ак , то система векторов а1 , а2 , … , ак – линейно независима в L .
4. Если а1, а2, … , ак –линейно зависимая система векторов из L и (а1) = а11, (а2) = а21, … ,
(ак) = ак1, то система векторов а11, а21, … , ак1 – линейно зависима в L1.
5. Если L – n-мерное линейное пространство, то L1 – тоже n-мерное линейное пространство.
6. При изоморфизме образом любого базиса из L является базис из L1.
Примеры изоморфных пространств.
1. Арифметическое линейное пространство Аn над полем Р изоморфно пространству
многочленов степени не выше (n – 1) с коэффициентами из поля Р.
2. Пространство квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р изоморфно
арифметическому линейному пространству размерности n2 над полем Р.