«Анизотропное» пространство. Вейник В.А. Рукопись, 29 августа 1982 года. Рассмотрим множество V, элементами которого служат упорядоченные наборы действительных чисел вида X i2 , где i = 1, 2,..., n чисел в каждом наборе (n – фиксированное натуральное число). Элемент такого множества записывается следующим образом X i2 =( X 12 ; X 22 ; ...; X n2 ). (1) Будем считать множество V n-мерным и введём в него систему координат. Пусть начало этой системы находится в какой-либо выбранной точке 0. Сопоставим множеству V n-мерное линейное пространство с базисом е1 ; е2 ; ...; еn и назовем его V-пространством. Разложение радиус-вектора произвольной точки Р из множества V по базису е1 ; е2 ; ...; еn будет иметь вид ОР = = X 12 е1 + X 22 е2 + ... + X n2 еn (2) здесь коэффициенты разложения X 12 ; X 22 ; ...; X n2 представляют собой координаты радиус-вектора точки Р в V-пространстве. Очевидно, что точечно-векторная аксиоматика введённого пространства будет полностью соответствовать точечно-векторной аксиоматике аффинного пространства [1, 2]. Отличие аффинного и V-пространства состоит в том, что по осям координат в V-пространстве откладываются квадраты значений аффинных координат. Зададим метрические свойства V-пространства билинейной скалярной функцией ( Х 2 , Y 2 ) двух векторных аргументов X 2 и Y 2 , удовлетворяющих условиям симметрии и невырожденности. Запишем билинейную функцию ( Х 2 , Y 2 ) в развернутом виде: ( Х 2 ,Y 2 ) = 2 2 1 1 = a11 X Y 2 2 2 1 + a21 X Y 2 2 1 2 + a12 X Y 2 2 2 2 + a22 X Y ik X i2Yk2 = (3) 2 2 1 n + 2 2 2 n + + ... + a1n X Y + ... + a2 n X Y ................................................... + an1 X n2Y12 + an 2 X n2Y22 + ... + ann X n2Yn2 В случае, если Х 2 = Y 2 , билинейная функция называется квадратичной функцией или скалярным квадратом вектора Х 2 : Стр.1 ( Х2, Х 2 ) = ik X i2 Х k2 = (4) = a11 X 14 + 2 a12 X 12 Х 22 + 2 a13 X 12 Х 32 + ... + 2 a1n X 12Yn2 + + a 22 X 24 + 2 a 23 X 22 Х 32 +... + 2 a 2 n X 22Yn2 + ... + a nn X n4 Если в некотором базисе окажется, что коэффициенты при i k, то в таком базисе квадратичная функция имеет канонический вид: aik = 0 ( Х 2 , Х 2 ) = a11 X 14 + a 22 X 24 + ... + a nn X n4 (5) Заметим, что коэффициенты aik могут быть как постоянными, так и переменными, т.е. зависящими от местонахождения вектора X 12 в V-пространстве и от времени существования. Однако с физической точки зрения в пространстве и во времени можно выделить достаточно малую область, в любой точке которой коэффициенты aik практически неизменны. Систему координат, помещённую внутри такой области, принято называть локальной системой координат. Наиболее широкое применение имеет двухмерная локальная система координат. Скалярный квадрат радиус-вектора Х 2 в такой системе записывается следующим образом: Х 2 2 = Х 4 = a11 X 14 + 2 a12 X 12 Х 22 + a 22 X 24 (6) Здесь постоянные коэффициенты a11 и a 22 представляют собой масштабы величин X 12 и X 22 , откладываемых по осям абсцисс и ординат соответственно, поэтому a11 и a 22 никогда не могут быть равными нулю. Коэффициент a12 зависит от степени асимметрии (или величины искажения) V-пространства, т.е. от угла между осями координат. a12 = f() a11a22 (7) Угол может изменяться в диапазоне от 00 до 1800, причём никогда не достигая значения 00 до 1800. В противном случае пространство вырождается и превращается в линию. В традиционной геометрии на плоскости функцию f() приравнивают к тригонометрическому косинусу угла : f() = cos (8) при этом –1 f() +1. Отобразим локальную систему координат V-пространства на аффинную ортогональную систему координат и перепишем уравнение (6) в виде, более удобном для дальнейших выкладок. Для этого введём общепринятые обозначения Стр.2 X = R; 1 ; a4 a12 = a22 = 1 b4 и выполним следующие преобразования: X 14 X 24 1 2 2 + 2 f() + = R4 X Х 1 2 a 2b 2 a4 b4 Пусть f() = 2q2 – 1, где q = cos (9) . 2 Далее X 12 X 22 2 2 b a 2 + 4q2 X 12 X 22 = R4 a2 b2 (10) Отсюда следует aR X1 = 4 0 bR X2 = 2 4 X2 X1 В частном случае, когда упрощается (рис.1): 2 1 X 22 , (12) b a (13) 2 2 1 2 4 q 2 2 0 0 где X (11) 2 2 2 1 2 4q 2 2 0 0 2 и 0 R = 1, a = b = 1, уравнение (10) + 4q2 X 12 Х 22 = 1 (14) При этом переменные X 1 и X 2 превращаются в обобщённые нормированные функции соответственно: 1 сv = 4 1 2 2 4q 2 (15) 2 sv = 4 1 2 2 4q 2 2 (16) Обе этих функции периодические и непрерывные для всех значений q, кроме q = 0. Стр.3 Для нормального случая при = 00 (q = 1) уравнение (14) преобразуется в X 2 1 X 2 1 2 = 1, (17) X 22 0 а для гипотетического случая при = 180 (q = 0) оно приобретает вид 2 = 1, (18) X 22 Из уравнений (17) и (18) легко выводятся тригонометрические и гиперболические функции через единое безразмерное отношение = tg = th , (19) где - угол между радиус-вектором и осью абсцисс в аффинной ортогональной системе координат: 1 сos = 4 1 2 2 (20) Стр.4 sin = 4 1 2 2 1 сh = 4 1 2 2 sh = 4 1 2 2 (21) (22) (23) В тригонометрических и гиперболических функциях аргументом должна служить не площадь сектора с центральным углом 2 [3, стр. 196-197], а параметр . Целесообразность этого объясняется структурой формул (15) и (16), а также вытекающими из них как следствие формулами (20-23) при подстановке q = 0 и q = 1. Особо следует подчеркнуть, что в уравнениях (17) и (18), в формулах (20-23) однократное извлечение квадратного корня из правых частей неправомерно. Но тогда может быть сделан важный вывод: гиперболические функции (22) и (23) являются периодическими по аналогии с тригонометрическими функциями (20) и (21) (рис.2 и 3). Графически уравнение (18) будет изображаться замкнутой кривой за исключением четырёх точек разрыва на биссектрисах координатных углов (рис.1). Стр.5 Литература. 1. Рашевский П.К., Риманова геометрия и тензорный анализ, изд. «Наука», М., 1967. 2. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия, изд. «Наука», М., 1970. 3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А., Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, изд. «Наука», М., 1964. Впервые опубликовано 05.07.2005 г. на сайте Veinik.ru Справка: Вейник Виктор Альбертович (1945 г.р.), инженер-металлург, кандидат технических наук (1973). Окончил Московский авиационный технологический институт (1967), специалист в области сварки, металловедения, металлургии, прикладной математики. Стр.6