3.2. Уравнение движения системы. Закон сохранения импульса

3.2. Уравнение движения системы.
Закон сохранения импульса
Рассмотрим систему, состоящую из n тел массами mi . Входящие в систему
тела могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не
принадлежащими данной системе. Другими словами, на тела системы могут
r
r
действовать как внутренние fij , так и внешние Fi силы.
Запишем уравнения, выражающие второй закон Ньютона, для каждого из тел
системы:
r
r
r
r
dp1 r
= f12 + f13 + K + f1n + F1 ;
dt
r
r
r
r
dp2 r
= f 21 + f 23 + K + f 2 N + F2 ;
dt
…………………………….
r
r
r
r
dpn r
= f n1 + f n 2 + K + f n , n−1 + Fn .
dt
Просуммируем уравнения для всех тел системы. В соответствии с третьим
n
n r
законом Ньютона сумма всех внутренних сил равна нулю ( ∑∑ fij = 0 , так как
i =1 j ≠i
все эти силы попарно равны по величине и противоположно направлены),
поэтому будем иметь:
r
n
n r
dpi
Fi
=
(3.6)
∑
∑
dt
i =1
i =1
r n r
Обозначив результирующую всех внешних сил F = ∑ Fi получим:
i =1
r
dp r
=F.
(3.7)
dt
Полученное соотношение является одной из наиболее общих формулировок
второго закона динамики для системы материальных точек: скорость изменения
импульса системы материальных точек равна равнодействующей внешних сил,
которые действуют на систему.
Из выражения (3.7) можно получить и другую общую формулировку
r r
dp = Fdt .
(3.8)
Изменение импульса системы равно импульсу равнодействующей внешних сил.
Дифференцируя по времени выражение для импульса системы (3.3) и
сравнивая полученный результат с (3.7), получим закон движения центра масс
механической системы:
r
d ( mυc )
dt
r
=F,
(3.9)
или
r
r
(3.10)
d ( mυ c ) = Fdt .
Центр масс механической системы движется так, как двигалась бы
материальная точка с массой, равной массе системы, под действием
результирующей всех внешних сил (которые приложены к телам, составляющим
систему). Это утверждение иногда называют теоремой о движении центра масс
механической системы.
r
Если результирующая внешних сил F = 0 , то из выражения (3.8) следует, что
r
изменение импульса замкнутой механической системы равно нулю: dp = 0 . Таким
образом, мы пришли к выводу, что импульс замкнутой механической системы
остается постоянным при любых взаимодействиях, происходящих внутри
системы
r
r
(3.11)
p = ∑ pi = const .
i
Полученное соотношение (3.11) представляет собой аналитическую форму
закона сохранения импульса механической системы. Из него следует, что центр
масс замкнутой механической системы находится в состоянии покоя или
движется равномерно и прямолинейно
r uuuuur
(3.12)
mυc = const .
Таким образом, на движение центра масс механической системы оказывают
влияние только внешние силы. Какие бы движения частей системы под действием
внутренних сил не происходили, ее центр масс в инерциальной системе отсчета
сохранит свое первоначальное состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения.
Закон сохранения импульса для замкнутой механической системы является
одним из фундаментальных законов природы, справедливых как для
макроскопических тел, так и для микромира.
Применение закона сохранения импульса позволяет упростить решение
многих задач, поскольку из рассмотрения могут быть исключены все внутренние
силы, которые обычно неизвестны. Обратим внимание на следующие наиболее
характерные случаи.
1. Механическая система может быть незамкнутой, т. е. сумма внешних сил
отличается от нуля, однако в случае кратковременного воздействия импульс этих
сил практически не может изменить импульс системы.
Типичным примером такой ситуации является разрыв снаряда массой m,
r
который имеет скорость υ , на n осколков массами mi . Несмотря на то, что на
снаряд и осколки действует внешняя сила (сила тяжести), она за время разрыва
практически не изменяет импульса системы. Поэтому можно считать, что
импульс снаряда до разрыва равен суммарному импульсу осколков:
r n
r
(3.13)
mυ = ∑ miυi
i =1
r
Пусть, например, в момент разрыва на два осколка вектор скорости υ снаряда
имел горизонтальное направление, а после разрыва осколок массой m1 полетел
r
вертикально вверх со скоростью υ1 (рис. 3.3).
r
r
r
В соответствии с формулой mυ = m1υ1 + m2υ 2
второй осколок получит такое же по величине, но
противоположное по направлению приращение
импульса, в результате чего его импульс станет:
r
r
r
m2υ 2 = mυ − m1υ1 , и он полетит под углом ϕ к
горизонтальному
направлению
m υ + m1 υ1
2
со скоростью υ 2 =
2
m2
2
( tg ϕ =
m1υ1
mυ
)
Рис. 3.3
2
.
2. Нередки случаи, когда равенство нулю суммы внешних сил наблюдается
только вдоль некоторого направления, в то время как результирующая этих сил не
r
равна нулю ( ∑ Fi ≠ 0 ). В данном случае импульс не изменяется только вдоль
i
этого направления. Такая ситуация обычно возникает, когда на траекторию
движения наложены ограничения.
Пусть, например, на вагонетку массой m1 , которая движется прямолинейно со
r
r
скоростью υ1 , вскочил человек массой m2 со скоростью υ 2 под углом ϕ к направлению
движения (рис. 3.4). Если бы в данной задаче вектор суммарного импульса оставался
r
неизменным, то после взаимодействия вагонетка с человеком приобрела бы импульс p′ ,
направленный под углом к рельсам. Однако
вагонетка может двигаться только вдоль рельсов,
т. е.
на
траекторию
движения
наложено
ограничение. Поэтому закон сохранения импульса в
векторной форме не выполняется:
r
r
r
m1υ1 + m2υ 2 ≠ ( m1 + m2 ) u .
В момент «приземления» человека вагонетка
на протяжении некоторого времени ∆t будет
действовать на рельсы в направлении Y, вызывая
r
дополнительную силу реакции рельсов N ′ , импульс
Рис. 3.4
которой скомпенсирует импульс человека вдоль
этого направления: N ′∆t = m2υ 2 sin ϕ .
В то же время, если пренебречь силой трения о рельсы, вдоль оси X сумма сил
равна 0, и вдоль этого направления выполняется закон сохранения импульса:
m1υ1 + m2υ 2 cos ϕ = ( m1 + m2 ) u .