Листок 18 январь 2012 Геометрические преобразования I: Дважды два ◁ Выберем на плоскости некоторую точку 𝑂. Тогда каждая точка плоскости отождествляется с вектором (радиус-вектором из точки 𝑂) — соответственно, точки можно складывать и умножать на числа. Зафиксируем теперь еще систему координат с началом в точке 𝑂. Тогда(︂плоскость )︂ 𝑥 отождествляется с R2 . Точку с координатами 𝑥 и 𝑦 будем обозначать через . 𝑦 ◁ Определение 1. Линейным отображением плоскости в себя называется отображение вида (︂ )︂ (︂ )︂ 𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ↦→ . 𝑦 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 (︂ )︂ 𝑎 𝑏 Таблица вида называется матрицей этого отображения (в данной системе 𝑐 𝑑 координат). (︂ )︂ 1 0 Задача 0. Тождественное отображение имеет матрицу 𝐸 := . (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 0 1 1 0 1 , , , а также образ единичного квадрата Задача 1. Найдите образы точек 0 1 1 при отображении c матрицей (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 2 1 а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) . 1 0 −1 0 0 0 0 0 −1 1 0 1 1 0 Задача 2. Найдите матрицы линейных отображений, переводящих (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1 1 0 1 1 ↦→ ↦→ ↦→ 1 0 1 1 0 1 (︂ )︂; б) (︂ )︂ (︂ )︂; в) (︂ )︂ (︂ )︂. а) (︂ )︂ 2 1 2 1 2 2 ↦→ ↦→ ↦→ 2 0 1 2 2 2 Задача 2 21 . Линейное отображение однозначно задается образами любых двух непропорциональных векторов. Задача 3. Любое линейное отображение а) оставляет начало координат на месте; б) переводит прямые в прямые; в) сохраняет параллельность прямых. Задача 4*. Всякое ли а) биективное; б) произвольное преобразование плоскости, оставляющее на месте начало координат и переводящее прямые в прямые, является линейным? Задача 5. Отображение 𝐴 : R2 → R2 является линейным тогда и только тогда, когда оно обладает следующими тремя свойствами ∙ 𝐴(0) = 0; ∙ ∀𝑢, 𝑣 ∈ R2 𝐴(𝑢 + 𝑣) = 𝐴(𝑢) + 𝐴(𝑣); ∙ ∀𝑣 ∈ R2 ∀𝜆 ∈ R 𝐴(𝜆𝑣) = 𝜆𝐴(𝑣). Задача 6. Линейное отображение сохраняет отношение отрезков, лежащих на одной прямой. 1 Геометрические преобразования I: Дважды два Задача 7. Пусть три чевианы делят три стороны треугольника в отношениях 𝛼1 , 𝛼2 и 𝛼3 . Тогда то, пересекаются ли они в одной точке, зависит только от чисел 𝛼𝑖 (а от формы треугольника не зависит). Указание: любые два треугольника равны с точностью до линейного преобразования. (︂ )︂ 𝑎 𝑏 Задача 8*. Как при линейном отображении с матрицей изменяется площадь 𝑐 𝑑 а) единичного квадрата; б) произвольного параллелограмма; в) произвольного много(︂ )︂ угольника? 𝑎 𝑏 г) Отображение с матрицей биективно тогда и только тогда, когда 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ̸= 0. 𝑐 𝑑 ◁ Определение 2. Полярными координатами точки плоскости называются ее расстояние до начала координат и азимут (отсчитываемый против часовой стрелки угол1 радиусвектора с осью 𝑥). (︂ )︂ 𝑟 cos 𝜑 Задача 9. Точка с полярными координатами (𝑟, 𝜑) имеет декартовы координаты . 𝑟 sin 𝜑 Задача 10. Найдите а) матрицу поворота на 90∘ ; б) матрицу 𝑅(𝜑) поворота на угол 𝜑. Задача 11. а) Линейное преобразование углы (︂ )︂ сохраняет (︂ )︂ тогда и только тогда, когда 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 его матрица имеет вид либо , либо . (Что это за преобразования −𝑏 𝑎 𝑏 −𝑎 геометрически?) б) Какие линейные преобразования сохраняют расстояния? ◁ Определение 3. Произведением матриц, соответствующих линейным отображениям 𝐴 и 𝐵, называется матрица их композиции, 𝐴𝐵 := 𝐴 ∘ 𝐵. (︂ )︂ (︂ )︂ 0 0 0 1 Задача 12. а) Вычислите произведение . (︂ )︂ (︂матриц)︂ 1 0 0 0 𝑎11 𝑎12 𝑏11 𝑏12 б) Вычислите произведение (“строка на столбец”). 𝑎21 𝑎22 𝑏21 𝑏22 в) Коммутативно ли умножение матриц? Задача 13*. Решите уравнения а) 𝐴2 = 𝐸; б) 𝐴2 = −𝐸. Задача 14. Вычислите явно произведение 𝑅(𝜑)𝑅(𝜓). Какие тригонометрические тождества дает равенство 𝑅(𝜑)𝑅(𝜓) = 𝑅(𝜑 + 𝜓)? 1 Можно считать, что этот угол лежит в R mod 2𝜋 — т. е. является числом, определенным с точностью до прибавления 2𝜋𝑘. 2