6.9. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела Кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетических энергий составляющих его материальных точек ∆miυi2 , (6.43) Eк = ∑ 2 i где ∆mi — масса i-й точки; υi — ее скорость. Рассмотрим сначала случай вращения тела вокруг неподвижной оси (см. рис. 6.8). Выразив в формуле (6.43) линейную скорость i-й точки через угловую скорость ω и расстояние от оси вращения через ri , после суммирования по всем элементам получим 2 ω2 2 ω Eк = ∑ ∆mi ri = ∆mi ri 2 . ∑ 2 2 i i Учитывая, что сумма ∑ mi ri 2 равна моменту инерции тела I относительно i выбранной оси, окончательное выражение для кинетической энергии тела, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси, имеет вид: I ω2 . (6.44) Eк = 2 Можно сказать, что формула (6.44) аналогична соответствующей формуле кинетической энергии поступательного движения. Различие между ними заключается в том, что роль линейной скорости υ играет угловая скорость ω , а массы m — момент инерции тела относительно оси вращения I. Рассмотрим плоское движение тела. Его можно представить как сумму поступательного движения со скоростью центра масс υ c и вращательного с угловой Рис. 6.16 скоростью ω вокруг оси, которая проходит через центр r масс (рис. 6.16). Суммарная скорость точек тела υi r r будет складываться из скорости центра масс υ c и относительной скорости υi′ : r r r υi = υ c + υi′ . r Подставляя υi в выражение (6.43), находим 1 1 r r Eк = ∑ ∆miυc2 + ∑ ∆miυi′2 + ∑ ∆miυcυi′ . 2 i 2 i i r drci Учитывая, что масса тела m = ∑ ∆mi , а относительная скорость υi′ = , dt i получаем: 1 1 r d⎛ r ⎞ Eк = mυc2 + ∑ ∆miυi′2 + υc ⎜ ∑ ∆mi rci ⎟ . dt ⎝ i 2 2 i ⎠ Первое слагаемое представляет кинетическую энергию поступательного движения тела, второе — кинетическую энергию вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс. Как и в предыдущем случае, она равна I c ω2 2 . Третье слагаемое равно нулю, поскольку для центра масс в r соответствии с формулой (3.4) ∑ ∆mi rci = 0 . r i Таким образом, полная кинетическая энергия плоского движения тела массой m складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения вокруг оси, которая проходит через центр масс mυc2 I c ω2 . (6.45) + Eк = 2 2 Рассмотрим изменение кинетической энергии при вращении тела вокруг неподвижной оси. r Пусть сила F приложена в точке A на расстоянии r от оси, лежит в плоскости траектории и направлена по касательной к ней (рис. 6.17). Именно касательная сила создает момент M = Fr относительно оси OZ и вызывает изменение угловой скорости. При повороте на бесконечно малый угол dϕ Рис. 6.17 перемещение точки можно считать равным длине дуги ds = rd ϕ . Тогда элементарная работа dA = Fds = Frd ϕ , или dA = Md ϕ . (6.46) Работа при повороте на конечный угол ϕ равна интегралу ϕ ϕ r r (6.47) A = ∫ M d ϕ , или A = ∫ M d ϕ . 0 0 Если момент силы не изменяется, то работа равна произведению момента силы и угла поворота тела A = Mϕ. (6.48) Запишем уравнение динамики вращательного движения M = I ( d ω dt ) . Пусть за бесконечно малый интервал времени dt произошел поворот тела относительно оси вращения на угол dϕ = ωdt . Умножив обе части уравнения на угол поворота dϕ , получим: dω ωd t . dt Проинтегрировав левую и правую части последнего соотношения, получим: Md ϕ = I 2 2 1 1 ∫ Md ϕ = ∫ I ωd ω или I ω22 I ω12 (6.49) A12 = − = Eк2 − Eк1 . 2 2 Изменение кинетической энергии при вращательном движении тела равно работе момента внешних сил, который сообщает телу угловое ускорение.