Теория колец-1 01.09.2014 Определение кольца и поля ′ χG ; χG χG В отличие от групп кольца и поля — это алгебраические структуры с двумя операциями, называемыми обычно сложением и умножением. Их аксиомы подсказаны свойствами операций над вещественными числами. Кольцом называется непустое множество K с операциями сложения и умножения, обладающими следующими свойствами: • относительно сложения K есть абелева группа (называемая аддитивной группой кольца K); • a(b + c) = ab + ac и (a + b)c = ac + bc для любых a, b, c ∈ K (дистрибутивность умножения относительно сложения). 1. Для любых a, b, c ∈ K а) a0 = 0a = 0; б) a(−b) = (−a)b = −ab; в) a(b − c) = ab − ac и (a − b)c = ac − bc. Кольцо K называется ассоциативным, если умножение в нем ассоциативно, т. е. (ab)c = a(bc) для любых a, b, c ∈ K. Кольцо K называется кольцом с единицей, если в K существует нейтральный элемент относительно умножения, обозначаемый обычно через 1, т.е. 1a = a1 = a для любого a ∈ K. Кольцо K называется коммутативным, если K — ассоциативное кольцо с единицей, в котором умножение коммутативно. 2. В кольце не может быть двух различных единиц. 3. Пусть кольцо с единицей содержит не меньше двух элементов. Тогда 1 ̸= 0. 4. Какие из следующих колец являются коммутативными? ассоциативными? кольцами с единицей? а) множества Z, Q, R, C, 2Z, Zn ; б) множество всех функций, определенных на заданном подмножестве числовой прямой. 5. Множество многочленов K[x1 , . . . , xn ], где K — коммутативное кольцо, также является коммутативным кольцом. Элемент a−1 кольца с единицей называется обратным к элементу a, если aa−1 = a−1 a = 1 (в коммутативном кольце достаточно требовать, чтобы aa−1 = 1). Элемент, имеющий обратный, называется обратимым или единицей. 6. В коммутативном кольце элемент не может иметь двух различных обратных элементов. Полем называется коммутативное кольцо, содержащее не менее двух элементов, в котором всякий ненулевой элемент обратим. 7. Являются ли полем следующие кольца: Q, R, C, Z, Zm ? 8. Если K — поле, то для любых двух элементов a, b ∈ K если ab = 0, то a = 0 или b = 0. Элемент a ̸= 0 ∈ K называется делителем нуля, если найдется элемент b ̸= 0, такой что ab = 0. Коммутативное кольцо без делителей нуля называются областью целостности или кольцом целостности. 9. Обратимый элемент кольца не может быть делителем нуля. 10. Если K — кольцо без делителей нуля, то возможно сокращение: если ac = bc (или ca = cb) и c ̸= 0, то a = b. 11. В конечном коммутативном кольце если элемент не является делителем нуля, то он обратим. 12. Придумайте пример а) конечного; б) бесконечного коммутативного кольца с делителями нуля. 13. Множество K ∗ единиц кольца K является группой. Она называется мультипликативной группой или группой единиц кольца K. 14. Укажите, является ли данное числовое множество кольцом/ассоциативным кольцом/коммутативным кольцом/кольцом без делителей нуля/полем. Опишите единицы колец. а) множество nZ, n > 1; б) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели делят фиксированное число n ∈ N; в) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели не делятся на фиксированное простое число p; г) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели являются степенями фиксированного простого числа p; √ д) множество вещественных чисел вида x + y √2, где x, y ∈ Q; 3 е) множество вещественных чисел вида x + y √ 2 , где x, y ∈ Q; √ 3 3 ж) множество вещественных чисел вида x + y 2 + z 4, где x, y, z ∈ Q; з) множество гауссовых чисел, т.е. комплексных чисел вида x + yi, где x, y ∈ Z; и) множество всевозможных сумм вида a1 z1 + . . . + an zn , где ai ∈ Q, zi — комплексный корень степени n из 1, 1 6 i 6 n.