ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ векторная функция

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
векторная функция
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург – 2014г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
1 / 14
Определения и теоремы I
Определение
Соответствие, при котором каждой точке x множества Ω евклидова
пространства Rm сопоставляется вектор r(x) множества Q евклидова
пространства Rp , называется векторной функцией векторного аргумента:
x ∈ Ω = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm → r(x) ∈ Q = (r1 , . . . , rp ) ∈ Rp .
Определение
Множество Ω называют областью значения векторной функции, а множество Q
– множеством значений этой функции.
Замечания
1
2
Если Ω = x1 ∈ R – множество точек на прямой, то имеем векторную
функцию одного скалярного аргумента r(x1 );
Если Ω = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm – множество точек евклидова пространства, то
имеем векторную функцию нескольких скалярных аргументов
r(x1 , x2 , . . . , xm ).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
2 / 14
Определения и теоремы II
Пусть (r1 , . . . , rp ) — координаты вектора r(x) ∈ Q ⊂ Rp
Ясно, что задание векторной функции r(x) равносильно заданию скалярных
функций r1 (x1 , . . . , xm ), r2 (x1 , . . . , xm ), . . . , rp (x1 , . . . , xm ).
Определение
Если начала указанных векторов совместить с началом соответствующей
декартовой системы координат, то точечное множество концов рассматриваемых
радиус–векторов будем называть годографом векторной функции.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
3 / 14
Определения и теоремы III
Определение
Постоянный вектор r 0 называют пределом векторной функции r(x) при
x → x0 и обозначают
lim r(x) = r 0 ,
x → x0
если
lim |r(x) − r 0 | = 0
x → x0
(здесь | · | берется в Rp ).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
4 / 14
Определения и теоремы IV
Замечание
|r(x)| =
q
r12 + r22 + . . . + rp2 ,
а условие x(x1 , x2 , . . . , xm ) → x(x10 , x20 , . . . , xm0 ) означает, что
|x − x0 | → 0
(здесь | · | берется в Rm ), что влечет
x1 → x10 , x2 → x20 , . . . , xm → xm0 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
5 / 14
Определения и теоремы V
Замечание
Для вектор–функции имеют место теоремы о пределах, аналогичные теоремам о
пределах для скалярных функций.
Если
lim r(x) = r 0 , lim q(x) = q 0 , lim µ(x) = µ0
x → x0
x → x0
x → x0
то
lim r(x) ± q(x) = r 0 ± q 0 ,
x → x0
lim µ(x)r(x) = µ0 r 0 ,
x → x0
lim r(x) · q(x) = r 0 · q 0 ,
x → x0
lim r(x) × q(x) = r 0 × q 0 .
x → x0
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
6 / 14
Определения и теоремы VI
Определение
Векторная функция r(x), заданная в точке x0 и в любой её окрестности,
непрерывна в x0 , если
lim r(x) = r(x0 ).
x → x0
Замечание
Если векторные функции r(x), q(x) и скалярная функция µ(x) непрерывны в
точке x0 , то в этой точке непрерывны также векторные функции
r(x) ± q(x), µ(x)r(x), r(x) · q(x), r(x) × q(x).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
7 / 14
Определения и теоремы VII
Определение
Производной векторной функции r = r(t) по ее скалярному аргументу
t ∈ T ⊂ R называют предел отношения приращения функции к
соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента
стремится к нулю:
r 0 (t) =
dr(t)
= lim
∆t →
dt
0
r(t + ∆t) − r(t)
.
∆t
Определение
Функция дифференцируема в точке t, если в этой точке существует её
производная.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
8 / 14
Определения и теоремы VIII
Замечание
Если r(t) ∈ V 3 и векторы e1 , e2 , e3 составляют базис в линейном пространстве
V 3 , то r(t) = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3 и
r 0 (t) = x0 (t)e1 + y 0 (t)e2 + z 0 (t)e3 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
9 / 14
Определения и теоремы IX
Замечание
Если r(t), q(t), λ(t) – дифференцируемые в точке t функции, то в этой же точке
дифференцируемы
r(t) ± q(t), λ(t)r(t), r(t) · q(t), r(t) × q(t),
причем
1
(r(t) ± q(t))0 = r 0 (t) ± q 0 (t);
2
(λ(t)r(t))0 = λ0 (t)r(t) + λ(t)r 0 (t);
3
(r(t) · q(t))0 = r 0 (t) · q(t) + r(t) · q 0 (t);
4
(r(t) × q(t))0 = r 0 (t) × q(t) + r(t) × q 0 (t).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
10 / 14
Определения и теоремы X
Замечание
Если векторная функция r = r(s), а s = s(t), то
dr ds
dr
=
·
.
dt
ds dt
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
11 / 14
Определения и теоремы XI
Определение
Производная векторной функции r 0 (t) называется второй производной функции
r(t) и обозначается r 00 (t). Аналогичным образом определяются производные
более высоких порядков
r (k) (t) = (r (k−1) (t))0 .
Определение
Функция, имеющая непрерывные производные до k–го порядка включительно
на некотором отрезке, называется k–раз дифференцируемой на этом отрезке.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
12 / 14
Определения и теоремы XII
Определение
Неопределенным интегралом от векторной функции r(t), t ∈ T называют
векторную функцию g(t), определяемую с точностью до постоянного векторного
слагаемого
Z
g(t) = r(t)dt, t ∈ T,
если
dg(t)
= r(t), t ∈ T.
dt
Определение
Определенным интегралом от векторной функции r(t), t ∈ T называют
постоянный вектор, определяемый равенством
Zb
r(t)dt = g(b) − g(a).
a
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
13 / 14
Определения и теоремы XIII
Замечание
Пусть векторная функция r(t) ∈ V 3 задана на отрезке [a, b], причем e1 , e2 , e3
составляют базис в V 3 . Тогда неопределенный и определенный интегралы от
векторной функции вычисляются покоординатно:
Z
Zb
r(t) = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3 ,
Z
Z
Z
r(t)dt = e1 x(t)dt + e2 y(t)dt + e3 z(t)dt,
r(t)dt = e1
a
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
Zb
a
x(t)dt + e2
Zb
a
y(t)dt + e3
Zb
z(t)dt.
a
2014г.
14 / 14