МЕТОДЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ DECISION

МЕТОДЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
DECISION SUPPORT METHODS
decision-making under risk
expected utility criterion
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург – 2013 г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
1 / 16
Критерий ожидаемой полезности I
При принятии решений в условиях риска стоимости альтернативных
решений обычно описываются вероятностными распределениями
Принимаемое решение основывается на использовании критерия ожидаемой
полезности, когда альтернативные решения сравниваются с точки зрения
максимизации ожидаемой прибыли или минимизации ожидаемых затрат.
Особенность
Критерий имеет свои недостатки, которые не позволяют использовать его в
некоторых ситуациях, для них разработаны модификации данного критерия.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
2 / 16
Критерий ожидаемой полезности II
Критерий ожидаемой полезности
Критерий ожидаемой полезности сводится либо к максимизации ожидаемой
(средней) прибыли, либо к минимизации ожидаемых затрат. Предполагается,
что прибыль (затраты), связанная с каждым альтернативным решением,
является случайной величиной.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
3 / 16
Критерий ожидаемой полезности III
Дерево решений
Приведём пример ситуации, связанной с принятием решения при наличии
конечного числа альтернатив и точных значений матрицы доходов.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
4 / 16
Пример I
Постановка задачи
Предположим, что вы хотите вложить на фондовой бирже 10000 $ в акции
одной из двух компаний: A или B. Акции компании A являются рискованными,
но могут принести 50% прибыли от суммы инвестиции на протяжении
следующего года. Если условия фондовой биржи будут неблагоприятны, сумма
инвестиции может обесцениться на 20%. Компания B обеспечивает безопасность
инвестиций с 15% прибыли в условиях повышения котировок на бирже и только
5% – в условиях понижения котировок. Все аналитические публикации, с
которыми можно познакомиться (а они всегда есть в изобилии в конце года), с
вероятностью 60% прогнозируют повышение котировок и с вероятностью 40% –
понижение котировок. В какую компанию следует вложить деньги?
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
5 / 16
Пример II
Условие задачи принятия решения может быть представлена в виде
таблицы:
Альтернативы
A
B
Вероятность события
Повыш. котировок ($)
5000
1500
0,6
Пониж. котировок ($)
-2000
500
0,4
Табл. Прибыль за один год от инвестиции 10000 $
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
6 / 16
Пример III
Задача может быть также представлена в виде дерева решений:
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
7 / 16
Пример IV
Ожидаемая полезность за год для каждой из двух альтернатив:
U (A) = 5000 · 0, 6 − 2000 · 0, 4 = 2200($),
U (B) = 1500 · 0, 6 + 500 · 0, 4 = 1100($).
Ответ:
Ваше принятие решения, основанное на представленных вычислений, будет
связано с покупкой акций компании A.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
8 / 16
Состояния природы I
Определение
В теории принятия решений повышение и понижение котировок на бирже
называются состояниями природы, возможные реализации которых являются
случайными событиями (для представленного примера с вероятностями 0,6 и
0,4).
Замечание
В общем случае задача принятия решений может включать n состояний
природы и m альтернатив.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
9 / 16
Состояния природы II
Если pj – вероятность j-го состояния природы, а aij – платеж, связанный
с принятием решения i при состоянии природы j
(i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n), тогда ожидаемый платеж для решения i
вычисляется в виде
U (Ai ) = ai1 p1 + ai2 p2 + . . . + ain pn ,
i = 1, 2, . . . , m,
где по определению p1 + p2 + . . . + pn = 1.
Оптимальное решение
Наилучшим решением будет то, которое соответствует U (Ai ) = maxi U (Ai ) или
U (Ai ) = mini U (Ai ) (i = 1, 2, . . . , m), в зависимости от того, является ли платеж в
задаче доходом (прибылью) или убытком (затратами).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
10 / 16
Функция полезности I
Критерий ожидаемой значения применяется лишь в тех случаях, когда функция полезности отождествлена с платежами, которые выражаются в виде реальных денег.
В реальности следует использовать скорее полезность.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
11 / 16
Функция полезности II
Пример
Существует шанс 50 на 50, что инвестиция в 20000 долл. или принесет прибыль
в 40000 долл., или будет полностью потеряна. Соответствующая ожидаемая
прибыль равна 40000 · 0, 5 − 20000 · 0, 5 = 10000 долл.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
12 / 16
Функция полезности III
Особенность
Хотя здесь ожидается прибыль в виде чистого дохода, разные люди могут
по-разному интерпретировать полученный результат. Инвестор, который идет на
риск, может вложить деньги, чтобы с вероятностью 50% получить прибыль в
40000 долл. Наоборот, осторожный инвестор может не выразить желания
рисковать потерей 20000 долл. С этой точки зрения очевидно, что разные
индивидуумы проявляют разное отношение к риску, т.е. они проявляют разную
полезность по отношению к риску.
Определение полезности является субъективным.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
13 / 16
Функция полезности IV
Если отношение лица, принимающего решение, беспристрастно к риску, то
результирующая функция полезности является прямой линией, соединяющей
точки (0, −20000) и (100, 40000).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
14 / 16
Функция полезности V
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
15 / 16
Функция полезности VI
Индивидуум X не расположен к риску (осторожен), так как проявляет большую чувствительность к потере, чем к прибыли. Индивидуум Z - противоположность в этом отношении индивиду X. индивидуум Y является нейтральным к
риску, так как упомянутые изменения порождают одинаковые изменения полезности.
В общем случае индивидуум может быть как не расположен к риску, так и
настроен на риск, в зависимости от суммы риска. В этом случае соответствующая
кривая полезности будет иметь вид удлиненной буквы S.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013 г.
16 / 16