О ВЛИЯНИИ РАДИУСА БЛОКА НА НАТЯЖЕНИЕ КАНАТОВ В

УДК 621.873.01
О ВЛИЯНИИ РАДИУСА БЛОКА НА НАТЯЖЕНИЕ
КАНАТОВ В СИСТЕМЕ ПОДВЕСКИ ГРУЗА
М.Ф. Кулешова, доцент, к.т.н., О.В. Щербак, доцент, к.т.н.,
Н.В. Розенфельд, ассистент, С.А. Евтушенко,
А.В. Туленинов, студенты, ХНАДУ
Аннотация. Разработана нелинейная модель наматывания упругого каната на
блок, позволяющая оценить влияние радиуса блока на характер натяжения каната
Ключевые слова: подвеска груза, жесткость, блок, радиус, раскачивание, наматывание, натяжение.
Введение
приведённой схеме полиспаста радиус r блока во
внимание не принимается.
Как известно [1], механизм подъема груза, имеющий широкое применение в грузоподъемных кранах, включает полиспаст с неподвижными блоками радиуса r (рис. 1).
Рис. 2. Приведённая схема полиспаста
Цель и постановка задачи
Разработать динамическую и математическую модель подвески груза с целью оценки влияния радиуса блока полиспаста на характер изменения
натяжения упругого каната.
Рис. 1. Механизм подъема груза: 1 – электродвигатель; 2 – тормоз; 3 – редуктор; 4 – барабан
лебедки; 5 – полиспаст
Анализ публикаций
При расчете натяжения в канатах [1] полиспаст
заменяется приведенной схемой (рис. 2) с одним
канатом, жесткость которого эквивалентна жесткости полиспаста и равна c = k⋅ ск, где k – количество канатов, ск – жесткость одной ветви каната
длиной l, вычисляемая по формуле
ck = EF/l,
Е – модуль упругости каната, F – площадь сечения проволок каната.
Известен [2] номенклатурный ряд радиусов блоков: 0,2; 0,25; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 м, однако в
Решение задачи и анализ полученных
результатов
На рис. 3 представлена динамическая модель поставленной задачи, учитывающая радиус r блока,
жесткость каната, возможное его раскачивание,
имеющее место в реальной ситуации, с наматыванием каната на блок. Задача сводится к составлению дифференциальных уравнений движения маятника, состоящего из материальной точки
массой m, подвешенной на упругой нити (канате).
Длина свисающей в положении равновесия части
каната равна l, потери на трение во внимание не
принимаются.
За обобщенные координаты приняты: угол φ отклонения каната от вертикали и удлинение x каната, то есть q1 = φ и q2 = x.
а) m=250 кг
Рис. 3. Динамическая модель
Рассматриваемая динамическая модель описывается системой двух дифференциальных уравнений
второго порядка, нелинейных, с переменными коэффициентами, при составлении которых были
использованы уравнения Лагранжа второго рода.
Для определения натяжения каната получена формула: S = mgcos φ + m(l+x+r φ)(φ`)2 +
+ c(x+r φ), указывающая на зависимость натяжения S нити (каната) от радиуса r блока полиспаста. Из приведенной формулы как частные случаи
следуют формулы натяжения: S=mg при φ = 0 и
x = 0; S = mg + cx при φ = 0, x ≠ 0; S = mgcosφ
+ +ml(φ’)2 при φ ≠ 0, x = 0 . Переменные x и φ
определяются составленными дифференциальными уравнениями.
б) m=1000 кг
Решение задачи выполнено в MATLAB в пакете
Simulink.
Исследования проводились по схеме rk → lп → mi
{250; 1000; 5000; 10000 кг}, где rk – величины радиуса блока из его номенклатурного ряда; длина
lп каната принималась равной 1; 2; . . ., 100 м; mi
– масса груза.
в) m=5000 кг
Сопоставительный анализ для каждого случая
проводился при rk ≠ 0 и rk = 0. На рис. 4–5 выборочно представлены графики, иллюстрирующие
влияние радиуса блока на натяжение каната.
г) m=10000 кг
Рис. 4. Изменение натяжения каната при r =0,5 м
l=1м, с=870000 Н/м
На схемах а–г рис. 4 представлены графики изменения натяжения S каната, когда r = 0,5 м,
l = 1 м (жесткость каната с = 8,7·105 Н/м = const
для всех схем) при m = 250 кг, m = 1000 кг,
m = 5000 кг и m = 10000 кг. При этом, для всех
приведенных графиков отношение ν, равное отношению величины радиуса r блока к длине l каната, составляет ν = r / l = 0,5.
На схемах а–г рис. 5 масса груза неизменна и равна m = 5000 кг. Величины r и l различны, но их
отношение ν на всех схемах постоянно и равно ν
= r / l = 0,2.
Приведенные графики свидетельствуют об очевидном влиянии радиуса r блока на натяжение S
каната. Это влияние, как показал машинный эксперимент, прослеживается до отношения ν = r / l
= 0,02 – 0,01. Если допустить, что ν = 0,02, а r =
0,8 м, то длина каната составит l = 40 м. Безусловно, с увеличением длины l каната и уменьшением
величины ν, влияние радиуса r блока практически
исчезает.
а) r=0,2 м , l=1м, с=870000 Н/м
Из представленных графиков следует, что характер изменения частоты и периода натяжения S
обусловлен наложением колебаний с учетом
жесткости каната и массы груза, частота которых
значительно превышает частоту колебаний от
раскачивания каната. Кроме того, «набегание» и
«сбегание» каната с блока (наматывание каната на
блок) способствует появлению дополнительных
«всплесков» натяжения.
б) r =0,4 м , l=2м, с=430000 Н/м
Выводы
Доказано влияние радиуса r блока полиспаста на
натяжение каната, увеличивающее его нагружение.
Дальнейшие исследования влияния радиуса блока
на динамику подъема груза должны учитывать
диссипативные процессы в системе подвески груза с выявлением роли начальных условий.
в) r=0,6 м , l=3м, с=270000 Н/м
Литература
1. Лобов Н.А. Динамика грузоподъемных кранов.
– М.: Машиностроение, 1987. – 158 с.
2. Колесник Н.П. Расчеты строительных кранов.
– Киев: Высш. школа. Головное изд-во, 1985.
–240 с.
Рецензент: Л.В. Назаров, д.т.н., профессор, ХНАДУ.
г) r=0,8 м , l=4м, с=215000 Н/м
Рис.
5. Изменение натяжения
ν=r/l=0,2, m=5000 кг
каната
при
Статья поступила в редакцию 15 мая 2006 г.