Раздел ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Глава Электростатика

Раздел III
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Глава 8
Электростатика
§ 56
Закон сохранения электрического заряда
Еще в глубокой древности было известно, что янтарь, потертый о шерсть,
притягивает легкие предметы. Английский врач Джильберт (конец XVI в.) назвал
тела, способные после натирания притягивать легкие предметы, наэлектризованными.
Существует два типа электрических зарядов: положительные, отрицательные. Одноименные заряды – отталкиваются, разноименные – притягиваются.
Опытным путём американский физик Р. Милликен показал, что электрический заряд дискретен.
Элементарный электрический заряд: e = 1,6 ⋅ 10−19 Кл ;
[q ] = 1 Кл ;
1 Кл = 2,998 ⋅ 10 9 ≈ 3 ⋅ 10 9 СГСЭ - единиц заряда ;
e = 4,8 ⋅10 −10 СГСЭ - единиц заряда .
При электризации тел происходит перераспределение зарядов.
Системы, не обменивающиеся зарядами с внешними телами, называются замк-
нутыми.
Закон сохранения заряда М. Фарадей (1843 г.): алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы.
Проводники – вещества, в которых электрический заряд может перемещаться по
всему его объему. Проводники делятся на две группы:
1. Проводники первого рода – металл (переносимые заряды – свободные электроны).
2. Проводники второго рода – расплавы, растворы (заряды – ионы).
Диэлектрики – вещества, в которых практически отсутствуют свободные заряды.
Полупроводники – вещества, занимающие по электрическим свойствам промежуточное положение между проводниками и диэлектриками.
§ 57
Закон Кулона
Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов
установлен в 1785 г. Ш. Кулоном .
Точечным – называется заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных
тел, с которыми он взаимодействует.
Закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными
зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам q1 и q 2 и обратно
пропорциональна квадрату расстояния r между ними
F=k
q1q 2
r2
.
r
r
q1q 2 r12
Векторная форма закона Кулона: F12 = k 2
.
r
r
k = 1 (СГСЭ-единиц заряда), k =
F=
1
– (СИ)
4πε 0
1 q1q 2
4πε 0 r 2
Электрическая постоянная – ε 0 = 8,85 ⋅ 10
−12
Кл 2
= 8,85 ⋅ 10 −12 Ф м ;
2
Н⋅м
2
1
9 Н⋅м
k=
= 9 ⋅ 10
= 9 ⋅ 109 Ф м .
2
4πε 0
Кл
r N r
Силы взаимодействия зарядов произвольной формы – F = ∑ Fi
i =1
Задача. Расстояние между двумя точечными зарядами Q1 = 2 мкКл и
Q2 = −Q1 равно 10 см. Определить силу, действующую на точечный заряд
Q = 0,2 мкКл , удаленный на r1 = 6 см от первого и на r2 = 8 см от второго зарядов.
Дано:
СИ
Решение
Q1 = 2 мкКл
2⋅10–6 Кл
Q2 = −2 мкКл
–2⋅10–6 Кл
Q = 0,2 мкКл
0,2⋅10–6 Кл ся выражениями
r = 10 см
0,1 м
r1 = 6 см
0,06 м
r2 = 8 см
0,08 м
Согласно закону Кулона силы, с которыми
заряд Q1 и Q2 действуют на заряд Q , определяют-
F=?
F1 =
1 QQ1
,
4πε 0 r12
F2 =
1 Q Q2
4πε 0 r22
и направлены так, как это
r
показано на рисунке. Тогда суммарную силу F определим, сложив эти два вектора
r r r
F = F1 + F2 .
r
Модуль вектора F найдем по теореме косинусов
F = F12 + F22 − 2F1F2 cos α ,
r
где α – угол, противолежащий вектору F , который можно найти из треугольника
со сторонами r1 , r2 и r
r12 + r22 − r 2
cos α =
.
2r1r2
Вычислим косинус угла
(0,06 м) 2 + (0,08 м) 2 − (0,1 м) 2
cos α =
= 0,
2 ⋅ 0,06 м ⋅ 0,08 м
следовательно, угол α = 90° . Отсюда следует, что треугольники будут прямоr
угольными, и величину силы F можно определить по теореме Пифагора
F = F12 + F22 .
Подставим в эту формулу выражения для F1 и F2
2
 1 QQ1   1 Q Q2
 + 
F = 
2 
2
4
πε
r
0

 4πε 0 r2
1 
2

Q
 =
4πε 0

Q12 Q22
+
.
r14 r24
В полученное равенство подставим числовые значения
0,2 ⋅10 −6 Кл
(2 ⋅10 −6 Кл) 2 (−2 ⋅10 −6 Кл) 2
F=
⋅
+
= 1,15 Н
4 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅10 −12 Ф/м
(0,06 м) 4
(0,08 м) 4
§ 58
Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля
Если на заряд, внесенный в пространство, действует кулоновская сила, то в этом
пространстве существует силовое поле.
Электростатическое поле – создается неподвижными телами, оно материально,
посредствам его осуществляется взаимодействие между заряженными макроскопическими телами и частицами.
Напряженность электростатического поля – в данной точке есть физическая
величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля
r r
E = F q0 ,
r
r
1 q r
E=
– векторная форма;
4πε 0 r 2 r
E=
1 q
– скалярная форма
4πε 0 r 2
[E ] = 1 В м = 1 Н
Кл – размерность
Линии напряженности – линии, касательные к
которым в каждой точке совпадают с направr
лением вектора E .
Густота силовых линий характеризует величину напряженности электростатического поля
EdS cos α = En dS .
§ 59
Принцип суперпозиции электростатических полей. Поле диполя
Рассмотрим метод определения значения и направление вектора напряженr
ности E в каждой точке электростатического поля, создаваемого системой неподвижных зарядов q1 , q 2 , ..., q N
r N r
r N r
F = ∑ Fi или E = ∑ E i – принцип суперпозиции.
i =1
i =1
Принципы суперпозиции можно применить для расчета электростатического поля электрического диполя.
Электрический диполь – система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов ( + q, − q ), расстояние l , между которыми
значительно меньше расстояние до рассматриваемых
точек поля.
Вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительr
ному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя l .
r
r
Вектор p = q l , совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда q на плечо l , называется электрическим моментом диполя или
дипольным моментом.
Согласно принципу суперпозиции:
1. Напряженность поля на продолжении оси диполя
r >> l ; E A = E + − E −
EA =
=

1 
q
q
−

=
4πε 0  (r − l 2 )2 (r + l 2 )2 
q (r + l 2 ) − (r − l 2 )
4πε 0 (r − l 2 )2 (r + l 2 )2
2
2
,
так как l 2 << r ,
EA =
1 2ql
1 2p
=
.
3
4πε 0 r
4πε 0 r 3
2. Напряженность на перпендикуляре, восстановленном к оси
из середины диполя
Из подобия равнобедренных треугольников, опирающихся на плечо диполя
r
и вектор EB , получим
E+ = E− =
EB
=
E+
q
1
1 q
≈
.
4πε 0 r ′ 2 + l 2 4 4πε 0 r ′ 2
l
(r ′)2 + (l 2)2
≈
l
,
r′
откуда
EB = E +
l
,
r′
или
EB =
1 ql
1
p
=
.
4πε 0 (r ′)3 4πε 0 (r ′)3
r
Вектор EB имеет направление, противоположное электрическому моменту диr
поля (вектор p направлен от отрицательного заряда к положительному).
Рассмотрим диполь, находящийся во
внешнем электрическом поле. Если диполь
поместить в однородное электрическое поле,
образующие диполь заряды окажутся под
действием
равных
по
величине,
но
r
r
противоположных по направлению сил F1 и F2 . Тогда на диполь будет действо-
вать вращающий момент
M = qEl sin α = pE sin α
или в векторном виде выражение имеет вид
r
r r
M = [p × E ] .
r
Момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент p
установился по направлению поля.
Рассмотрим диполь, находящийся в неоднородном электрическом поле, обладающем симметрией относительно оси x . В
r
r
этом случае силы F1 и F2 уже не будут равными
по
величине.
В
случае,
приведенном
на
рисунке, будет отлична от нуля компонента Fx
равнодействующей этих сил. Она равна
Fx = p
∂E
cos α .
∂x
Задача 1. Диполь с электрическим моментом p = 10 пКл⋅м находится в неоднородном электрическом поле. Степень неоднородности поля в направлении
оси диполя: dE dx = 2 МВ/м2. Вычислите силу, действующую на диполь в этом
направлении.
Дано:
СИ
Решение
p = 10 пКл ⋅ м
10–11 Кл⋅м
dE dx = 2 МВ/м 2
2⋅106 В/м2 родном электрическом поле, определим по фор-
Fx = ?
Силу, действующую на диполь в неодно-
муле
Fx = p
dE
cos α .
dx
Поскольку
степень
неоднородности
электростатического поля направлена
вдоль оси диполя, как это показано на
рисунке, то в этом случае α = 0 и
формула примет вид
Fx = p
dE
.
dx
Подставим числовые значения в полученное выражение
Fx = 10 −11 Кл ⋅ м ⋅ 2 ⋅10 6 В/м 2 = 2 ⋅10 −5 Н = 20 мкН .
Задача 2. В вершинах А и С квадрата AВCD со стороной a = 10 см находятся разноименные заряды q1 = 8 нКл и q 2 = −6 нКл. Найти напряженность электрического поля в точке D.
Дано:
СИ
Решение
a = 10 см
0,1 м
q1 = 8 нКл
8⋅10–9 Кл
трических полей напряженность поля в
q 2 = −6 нКл
–6⋅10–9 Кл
точке D равна
r r r
E = E1 + E2 ,
E=?
По принципу суперпозиции элек-
r
где E1 – вектор напряженности поля в точке D,
обусловленного зарядом q1 , величина которого равна
E1 =
1 q1
;
4πε 0 a 2
r
E2 – вектор напряженности поля в этой точке, обусловленного зарядом q 2 , величина которого определяется выражением
E2 =
1 q2
.
4πε 0 a 2
Как видно из рисунка, величину результирующего поля в точке D можно
найти по теореме Пифагора
E = E12 + E22 .
Подставляя в эту формулу выражения для E1 и E2 получим
2
2
 q1   q 2 
q12 + q 22




E= 
+
=
.
2 
2 
4πε 0 a 2
 4πε 0 a   4πε 0 a 
В полученное равенство подставим числовые значения
(8 ⋅10 −9 Кл) 2 + (−6 ⋅10 −9 Кл) 2
E=
= 9000 В/м = 9 кВ/м
4 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅10 −12 Ф/м ⋅ (0,1 м) 2
§ 60
Теорема Гаусса
r r
Величина dΦ E = En dS = EdS называется потоком вектора
напряженности.
Поток вектора напряженности электростатического поля
через произвольную замкнутую поверхность определяется выражением
r r
Φ E = ∫ E n dS = ∫ EdS ,
S
(60.1)
S
r
где интеграл берется по замкнутой поверхности S . Потом вектор E является алr
гебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля E , но и от выr
бора направления n . Для замкнутых поверхностей за положительное направлеr
ние нормали n принимается внешняя нормаль, т.е. нормаль,
направленная наружу области, охватываемой поверхностью.
Вычисление
напряженности
поля
системы
электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции
электростатических полей можно значительно упростить,
используя выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777–1855) теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность.
В соответствии с формулой (60.1) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r , охватывающую точечный заряд q , находящийся в ее центре
Φ E = ∫ E n dS =
S
q
q
4πr 2 =
.
4πε 0
ε0
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу (см. рис.) произвольной замкнутой поверхностью,
то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту
поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь
неё равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность,
равно числу линий напряженности, выходящих из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению,
так как поток считается положительным, если линия напряженности выходит из
поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность.
Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток
сквозь нее равен нулю, т.к. число линий напряженности, входящих
в поверхность, равно числу линий выходящих из нее.
Таким образом, для поверхности любой формы, если она
r
замкнута и заключает в себя точечный заряд q , поток вектора E
будет равен q ε 0 , т.е.
r r
q
Φ E = ∫ EdS = ∫ En dS = .
ε0
S
S
(60.2)
Знак потока совпадает со знаком заряда q .
Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей N заr
рядов. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность E поля, создаr
ваемого всеми зарядами, равна сумме напряженности E i , создаваемых каждым
r N r
зарядом в отдельности: E = ∑ E i . Поэтому
i =1
r r
N r  r N r r
Φ E = ∫ EdS = ∫  ∑ E i dS = ∑ ∫ E i dS .
i =1 S

S
S  i =1
Согласно (60.1), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен q i ε 0 .
Следовательно,
r r
1
E
∫ dS = ∫ En dS = ε 0
S
S
N
∑ qi .
(60.3)
i =1
Формула (60.3) выражает теорему Гаусса для электростатического поля
в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме
сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε0.
В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой
объемной плотностью ρ = dq dV , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S , охватывающий некоторый объем V ,
∑ q i = ∫ ρdV .
i
(60.4)
V
Используем формулу (60.4), теорему Гаусса (60.3) можно записать так:
r r
1
E
d
S
=
E
dS
=
ρdV .
n
∫
∫
∫
ε
0 V
S
S
§ 61
Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей
в вакууме
1.
Поле
равномерно
заряженной
бесконечной
плоскости. Бесконечная плоскость заряжена с постоянной
поверхностной
плотностью
приходящийся
на
напряженности
σ
единицу
( σ = dq dS
поверхности).
перпендикулярны
–
заряд,
Линии
рассматриваемой
плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве
замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основание которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие
цилиндра параллельны линиям напряженности ( cos α = 0 ), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток
сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований
равны и для основания En совпадает с E ), т.е. равен 2E∆S . Заряд заключенный
внутри построенной цилиндрической поверхности, равен σ∆S . Согласно теореме
Гаусса, 2E∆S = σ∆S ε 0 , откуда
E=
σ
.
2ε 0
(61.1)
Из формулы (61.1) вытекает, что E не зависит от длины цилиндра, т.е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле
равномерно заряженной бесконечной плоскости однородно.
2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно
заряженных плоскостей. Пусть плоскости заряжены
равномерно разноименными зарядами с поверхностными
плотностями +σ и –σ. Поле таких плоскостей найдем как
суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей
в отдельности. Слева и справа от плоскостей поля
r
r
вычитаются (линии напряженности E+ и E− направлены навстречу друг другу),
поэтому здесь напряженность поля E = 0 . В области между плоскостями
r
r
E = E + + E − ( E+ и E− определяются по формуле (61.1), поэтому результирующая
напряженность
E = σ ε0 .
(61.2)
Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой (61.2), а вне объема, ограниченного плоскостями,
равна нулю.
3. После равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена
равномерно
с
поверхностной
плоскостью
+σ.
Благодаря равномерному распределению заряда по
поверхности
поле,
создаваемое
им,
обладает
сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально. Построим мысленно сферу радиуса r , имеющую общий центр с
заряженной сферой. Если r > R , то внутрь поверхности попадает весь заряд q ,
создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, 4πr 2 E = q ε 0 , откуда
E=
1 q
( r ≥ R ).
4πε 0 r 2
(61.3)
При r > R поле убывает с расстоянием r по такому
же закону, как у точечного заряда. График зависимости E от r приведен на рисунке. Если r ′ < R , то
замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов,
поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует ( E = 0 ).
4. Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса
R с общим зарядом q заряжен равномерно с
объемной плоскостью ρ ( ρ = dq dV
– заряд,
приходящийся на единицу объема). Учитывая
соображения симметрии, можно показать, что для
напряженности поля вне шара получится тот же
результат, что и в предыдущем случае. Внутри же шара напряженность поля будет другая. Сфера радиуса r ′ < R охватывает заряд q ′ = 4πr ′3ρ 3 . Поэтому, со-
гласно теореме Гаусса, 4πr ′ 2 E = q ′ ε 0 = 4πr ′3ρ 3ε 0 . Учитывая, что ρ = 3q 4πR 3 ,
получим
E=
1 q
r′ ( r′ ≤ R )
4πε 0 R 3
(61.4)
Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (61.3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r′ согласно
выражению (61.4).
5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен
равномерно с линейной плотностью τ ( τ = dq dl – заряд,
приходящийся на единицу длины). Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно
построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой h . Поток
r
вектора E сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность – 2πrhE . По теореме Гаусса, при r > R 2πrhE = τh ε 0 , откуда
E=
1 τ
( r > R ).
2πε 0 r
(61.5)
Если r < R , то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в
этой области E = 0 . Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением (61.5), внутри же его
поле отсутствует.
Задача. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными
плоскостями, равномерно заряженными с поверхностными плотностями σ1 = σ и
σ 2 = −3σ . Найдите отношение напряженностей поля в области между плоскостя-
ми и в пространстве слева и справа от них.
Дано:
Решение
σ1 = σ
Пусть, как показано на рисунке, левая плоскость имеет
σ 2 = −3σ
положительный заряд, а правая – отрицательный. Тогда вокруг
Eвнут Eвнеш = ? левой плоскости величина напряженность поля равна
E+ =
σ
2ε 0
и силовые линии направлены так, как это
+σ
− 3σ
E+ =
σ
2ε 0
E− =
3σ
2ε 0
показано в верхней части рисунка. Величина
напряженности поля, создаваемая правой
плоскостью, определяется выражением
E− =
3σ
2ε 0
и силовые линии направлены так, как это показано в нижней части рисунка.
Как видно из рисунка, силовые линии, создаваемые двумя плоскостями, в
области между ними направлены в одну сторону. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, суммарное поле в этой области определяется формулой
Eвнут = E+ + E− =
σ
3σ 2σ
+
=
.
2ε 0 2ε 0 ε 0
Так как силовые линии электрических полей, создаваемых в пространстве вне
плоскостей, направлены в противоположные стороны, то величина суммарного
поля в этих областях определяется выражением
Eвнеш = E− − E+ =
3σ
σ
σ
−
= .
2ε 0 2ε 0 ε 0
Тогда отношение величины электрического поля в области между плоскостями к
величине поля вне этой области равно
Eвнут
Eвнеш
= 2.
Задача 2. Перпендикулярно длинному прямому проводу, равномерно заряженному с линейной плотностью τ = 0,2 мкКл/м, на расстоянии a = 50 см помещен диполь с электрическим моментом p = 20 мкКл⋅м. Найдите величину и направление силы, действующей на диполь. Размеры диполя малы по сравнению с
расстоянием до провода.
Дано:
СИ
Решение
τ = 0,2 мкКл/м
2⋅10–7 Кл/м
a = 50 см
0,5 м
p = 20 мкКл ⋅ м
2⋅10–5 Кл⋅м дикулярна плоскости рисунка), является неодно-
F =?
Как показано на рисунке, электрическое поле, наводимое бесконечной нитью (нить перпен-
родным. Величина напряженности поля равна
E=
1 τ
,
2πε 0 r
где ε 0 – электрическая постоянная, r – расстояние
от нити до рассматриваемой точки поля.
На диполь, находящийся в неоднородном
электрическом поле, действует сила, проекция которой на радиальную координату r определяется выражением
Fr = p
∂E
cos α ,
∂r
r
r
где α – угол между направлениями векторов p и E . В нашем случае α = 0 . Определим степень неоднородности ∂E ∂r электрического поля
∂E
τ
=−
.
∂r
2πε 0 r 2
Подставив все в формулу для проекции силы, получим
Fr = −
pτ
.
2πε 0 r 2
Подставим в полученное равенство числовые значения
2 ⋅10 −5 (Кл ⋅ м) ⋅ 2 ⋅10 −7 (Кл/м)
Fr = −
= −0,29 Н .
2 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅10 −12 (Ф/м) ⋅ (0,5 м) 2
Таким образом, сила, действующая на диполь в электрическом поле бесконечной
заряженной нити равна по величине F = 0,29 Н и направлена в сторону нити.
§ 62
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля
r
r
Работа силы F на элементарном перемещении dl равна
r r
dA = Fd l = Fdl cos α =
1 qq 0
dl cos α .
4πε 0 r 2
Так как dl cos α = dr , то
dA =
1 qq 0
dr .
4πε 0 r 2
Работа по перемещению заряда из точки 1 в точку 2
r2
qq 0
A12 = ∫ dA =
4πε 0
r1
r2
dr
∫ r2
=
r1
1
4πε 0
 qq 0 qq 0 


−
r
r
 1
2 
(62.1)
не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек.
Электростатическое поле точечного заряда является – потенциальным, а электростатические силы – консервативными.
Из формулы (62.1) следует, что работа, совершаемая при перемещении
электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L , равна нулю, т.е.
∫ dA = 0 .
(62.2)
L
Если в качестве заряда, переносимого в электрическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути
r
r r
r
dl равна Edl = El dl , где El = E cos α – проекция вектора E на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (62.2) можно записать в виде
r r
E
∫ dl = ∫ El dl = 0 .
L
(62.3)
L
r r
Интеграл ∫ Ed l = ∫ El dl называется циркуляцией вектора напряженности.
L
L
Силовое поле, обладающее свойством (62.3), называется потенциальным.
Из условия (62.3) следует, что силовые линии электростатического поля не
могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах или же уходят в бесконечность.
Формула (62.3) справедлива только для электростатического поля и не выполняется для поля движущегося заряда.
Задача. Положительные заряды Q1 = 10 мкКл и Q2 = 20 мкКл находятся в
вакууме на расстоянии a = 3 м друг от друга. Какую нужно совершить работу,
чтобы сблизить заряды до расстояния b = 1 м?
Дано:
СИ
Q1 = 10 мкКл
10–5 Кл
Q2 = 20 мкКл
2⋅10–5 Кл
Решение
Работа, которую нужно совершить, чтобы
сблизить заряды, является работой внешних сил и
она равна
a=3 м
Aвн = − A ,
b =1 м
Aвн = ?
где A – работа электрического поля, которая равна
A=
1  Q1Q2 Q1Q2  Q1Q2  1 1 
−

=
 − .
4πε 0  a
b  4πε 0  a b 
Подставив это выражение в формулу для работы внешних сил, получим
Aвн =
Q1Q2  1 1 
 − .
4πε 0  b a 
Подставим в полученное равенство числовые значения
10 −5 Кл ⋅ 2 ⋅10 −5 Кл  1
1 
Aвн =
⋅
−
 = 1,2 Дж .
-12
4 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅10 Ф/м  1 м 3 м 
§ 63
Потенциал электростатического поля
Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной
энергии. Поэтому работу сил электростатического поля можно представить как
разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд q 0 в начальной и конечной точках поля заряда q
A12 =
1 qq 0
1 qq 0
−
= U1 − U 2 ,
4πε 0 r1 4πε 0 r2
(63.1)
откуда следует, что потенциальная энергия заряда q 0 в поле заряда q равна
U=
1 qq 0
+C.
4πε 0 r
(63.2)
Если поле создается системой N точечных зарядов q1 , q 2 , …, q N , то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом q 0 , равна алгебраической сумме
работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия U заряда q 0 , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальной энергий U i , создаваемых каждым из зарядов в отдельности
N
N
qi
.
i =1 4πε 0 ri
U = ∑ Ui = q 0 ∑
i =1
(63.3)
Из формулы (63.1) и (63.2) вытекает, что отношение U q 0 не зависят от q 0
и является поэтому энергетической характеристикой электростатического
поля, называемого потенциалом
ϕ = U q0 .
(63.4)
Потенциал ϕ в какой либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.
Из формулы (63.4) и (63.2) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q , равен
ϕ=
1 q
.
4πε 0 r
(63.5)
Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении
заряда q 0 из точки 1 в точку 2, может быть представлена как
A12 = U1 − U 2 = q 0 (ϕ1 − ϕ 2 ) .
(63.6)
Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.
Работа сил поля при перемещении заряда q 0 из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде
2
r r
A12 = ∫ q 0 Edl .
(63.7)
1
Приравняв формулы (63.6) и (63.7), придем к выражению разности потенциалов
2
r r 2
ϕ1 − ϕ 2 = ∫ Ed l = ∫ El dl .
1
(63.8)
1
Работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.
Потенциал – физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его изданной точки поля в бесконечность
ϕ = A∞ q 0 .
Из выражения (8.4) следует, что единица потенциала – вольт (В): 1 В есть
потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной
энергией в 1 Дж (1 В = 1 Дж Кл ).
Из формулы (63.3) и (63.4) вытекает, что если поле создается несколькими
зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов
N
ϕ = ∑ ϕi =
i =1
1
4πε 0
N
q
∑ ri .
i =1
i
Задача 1. В вершинах А и С квадрата ABCD со стороной a = 10 см находятся разноименные заряды q1 = −8 мкКл и q 2 = 6 мкКл. Найти потенциал электрического поля в точке D.
Дано:
СИ
Решение
a = 10 см
0,1 м
q1 = −8 нКл
–8⋅10–9 Кл
лей потенциал поля системы двух точечных зарядов
q 2 = 6 нКл
6⋅10–9 Кл
равен алгебраической сумме потенциалов полей этих
ϕ=?
По принципу суперпозиции электрических по-
зарядов
ϕ = ϕ1 + ϕ2 ,
где ϕ1 – потенциал электрического поля в точке D,
создаваемого зарядом q1 , который равен
ϕ1 =
1 q1
;
4πε 0 a
ϕ2 – потенциал поля, создаваемого зарядом q 2 , который определяется равенством
ϕ2 =
1 q2
.
4πε 0 a
С учетом этих двух равенств потенциал электрического поля системы двух точечных зарядов в точке D определяется формулой
ϕ=
1 q1
1 q 2 q1 + q 2
+
=
.
4πε 0 a 4πε 0 a 4πε 0 a
В полученное равенство подставим числовые значения
(−8 ⋅10 −9 Кл + 6 ⋅10 −9 Кл)
ϕ=
= 180 В .
4 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅10 −12 Ф/м ⋅ 0,1 м
Задача 2. Протон, пройдя в плоском конденсаторе от одной пластины до
другой, приобретает скорость v = 105 м/с. Найдите разность потенциалов между
пластинами.
Дано:
Решение
v = 105 м/с
Работа электрического поля по перемещению про− 27
m = 1 , 67 ⋅ 10
q = 1 , 6 ⋅ 10
− 19
кг
тона между пластинами конденсатора равна
A = q (ϕ1 − ϕ2 ) .
Кл
Работа также равна изменению кинетической энер-
ϕ1 − ϕ2 = ?
гии
mv 2
A=
.
2
Здесь мы учли, что начальная скорость протона была равна нулю.
Приравняем правые части этих выражений
mv 2
q (ϕ1 − ϕ2 ) =
2
и выразим разность потенциалов
mv 2
ϕ1 − ϕ 2 =
.
2q
В полученное равенство подставим числовые значения
ϕ1 − ϕ2 =
1,67 ⋅10 −27 кг ⋅ (105 м/с) 2
= 52 В .
2 ⋅1,6 ⋅10 −19 Кл
Задача 3. Пылинка массой m = 0,05 г и с зарядом q = 100 нКл перемещается в электрическом поле из точки А, с потенциалом 6000 В, в точку С, потенциал
которой равен 2000 В. Чему была равна скорость пылинки в точке А, если в точке
С она стала равной 5 м/с?
Дано:
СИ
m = 0,05 г
5⋅10–5 кг
q = 100 нКл
10–7 Кл
Решение
Работа электрического поля по перемещению заряда равна
A = q ( ϕ A − ϕC ) .
ϕ A = 6000 В
ϕC = 2000 В
По теореме о кинетической энергии работа равна изме-
vC = 5 м/с
нению кинетической энергии тела
vA = ?
A=
mvC2 mvA2
−
.
2
2
Приравняв правые части этих выражений, получим
mvC2 mvA2
q ( ϕ A − ϕC ) =
−
.
2
2
Выразив из полученного равенства кинетическую энергию заряда в точке А
mv A2
mv C2
=
− q (ϕ A − ϕ C ) ,
2
2
найдем отсюда формулу для скорости в этой точке
vA = vC2 −
2q (ϕ A − ϕC )
.
m
Подставим в полученное равенство числовые значения
2 ⋅10 −7 Кл ⋅ (6000 В − 2000 В)
vA = (5 м/с) −
= 3 м/ с .
5 ⋅10 −5 кг
2
§ 64
Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности
Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом – энергетической характеристикой поля.
Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда одной точки в другую вдоль оси x при условии, что точки расположены бесконеч-
но близко друг к другу и x2 − x1 = dx , равна Ex dx . Та же работа равна
ϕ1 − ϕ 2 = −dϕ . Приравняв оба выражения, можем записать
E x = − ∂ϕ ∂x ,
(64.1)
где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по x . Повторив аналогичное рассуждения для осей y и z , можем
r
найти вектор E
r
 ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r 
E = − i +
j + k  ,
∂y
∂z 
 ∂x
r r r
где i , j , k – единичные векторы координатных осей x , y , z .
Из определения градиента следует, что
r
r
E = −gradϕ или E = −∇ϕ .
(64.2)
Эквивалентные поверхности – поверхности, во всех точках которых потенциал
имеет одно и тоже значение.
Линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям.
Электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по
r
нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор E всегда
r
нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора E ортогональны этим поверхностям.
Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их проводят
так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковыми. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей характеризует напряженность поля в разных точках. Там,
где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.
Зная расположение линий напряженностей электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке
поля величину и направления напряженности поля.
На рисунке изображены для примера виды
линий напряженностей (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного заряда (а)
и заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом – впадину (б).
§ 65
Вычисление разности потенциалов по напряженности поля
1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости определяется формулой E = σ 2ε 0 , где σ – поверхностная плоскость заряда. Разность потенциалов
между точками, лежащими на расстояниях x1 и x 2 от плоскости равна
x2
x2
x1
x1
ϕ1 − ϕ 2 = ∫ Edx =
σ
σ
∫ 2ε 0 dx = 2ε 0 (x 2 − x1 ) .
2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей определяется формулой E = σ ε 0 . Разность потенциалов между плоскостями, расстояние между которыми равно d , равна
d
σ
σ
dx = d = Ed .
ε
ε0
0 0
d
ϕ1 − ϕ2 = ∫ Edx = ∫
0
(65.1)
3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R с общим зарядом q вне сферы ( r > R ) вычисляется по формуле
E=
1 q
.
4πε 0 r 2
Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от
центра сферы ( r1 > R , r2 > R ), равна
r2
ϕ1 − ϕ 2 = ∫ Edr =
r1
r2
1
q
q 1
1
∫ 4πε 0 r 2 dr = 4πε 0  r1 − r2  .
(65.2)
r1
Если принять r1 = r и r2 = ∞ , то потенциал поля вне сферической поверхности,
задается выражением
ϕ=
1 q
.
4πε 0 r
Внутри сферической поверхности потенциал всюду
одинаков и равен
ϕ=
1 q
.
4πε 0 R
График зависимости ϕ от r приведен на рисунке.
4. Поле объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом q вне шара
( r > R ) вычисляется по формуле
E=
1 q
,
4πε 0 r 2
поэтому разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях
r1 и r2 от центра шара ( r1 > R , r2 > R ), определяется формулой (65.2). В любой
точке, лежащей внутри шара на расстоянии r ′ от центра ( r ′ < R ), напряженность
определяется выражением
E=
1 q
r′ .
4πε 0 R 3
Следовательно, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1′ и r2′ от центра шара ( r1′ < R , r2′ < R ), равна
r2′
ϕ1 − ϕ 2 = ∫ Edr =
r1′
(
)
q
r ′ 2 − r1′ 2 .
3 2
8πε 0 R
5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R , заряженного с линейной плоскостью τ, вне цилиндра ( r > R ) определяется формулой
E=
τ
.
2πε 0 r
Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от
оси заряженного цилиндра ( r1 > R , r2 > R ), равна
r2
τ
ϕ1 − ϕ 2 = ∫ Edr =
2πε 0
r1
r2
τ
dr
=
∫ r 2πε 0 ln(r2 r1 ).
r1
(65.3)
Задача 1. Две бесконечные параллельные плоскости, находящиеся на расстоянии d = 4 мм, несут равномерно распределенные заряды с поверхностными
плотностями σ1 = 1 нКл/м2 и σ 2 = −3 нКл/м2. Найти разность потенциалов между
плоскостями.
Дано:
СИ
Решение
d = 4 мм
0,004 м
σ1 = 1 нКл/м 2
10–9 Кл/м2
нечными параллельными плоскостями определя-
σ 2 = −3 нКл/м 2
3⋅10–9 Кл/м2
ется по формуле
ϕ1 − ϕ2 = ?
Разность потенциалов между двумя беско-
ϕ1 − ϕ 2 = Ed ,
где E – напряженность
электрического поля между плоскостям, которое является
однородным.
Как видно из рисунка, вектора напряженности элекr
r
трических полей E+ положительно и E− отрицательно заряженных плоскостей в области между плоскостями направлены в одну сторону, и из величины равны, соответственно,
E+ =
σ
σ1
и E− = 2 .
2ε 0
2ε 0
Тогда результирующий вектор напряженности электрического поля между плоскостями равен по величине
E = E+ + E− =
σ1 + σ 2
.
2ε 0
Подставим это выражение в формулу для разности потенциалов
ϕ1 − ϕ2 =
σ1 + σ 2
d.
2ε 0
В полученное равенство подставим числовые значения
10 −9 Кл/м 2 + 3 ⋅10 −9 Кл/м 2
ϕ1 − ϕ2 =
⋅ 0,004 м = 0,9 В .
2 ⋅ 8,85 ⋅10 −12 Ф/м
Задача 2. Найдите потенциал в центре металлической сферы радиуса R = 5
см, равномерно заряженной по поверхности с поверхностной плотностью заряда
σ = 5 нКл/м2, если на бесконечности он равен нулю.
Дано:
СИ
Решение
Во всей области внутри сферы r ≤ R про-
R = 5 см
0,05 м
σ = 5 нКл/м 2
5⋅10–9 Кл/м2 странство является эквипотенциальным, то есть
ϕ∞ = 0
ϕ=
ϕ=?
1 q
,
4πε 0 R
где q – заряд сферы, который равен
q = σS = σ4πR 2 .
Подставим это выражение в формулу для потенциала
1 σ4πR 2 σR
ϕ=
=
.
4πε 0 R
ε0
По полученному равенству рассчитаем числовое значение потенциала
ϕ=
5 ⋅10 −9 Кл/м 2 ⋅ 0,05 м
= 28 В .
8,85 ⋅10 −12 Ф/м
Задача 3. Напряженность однородного электрического поля в некоторой
точке равна 300 В/м. Вычислите разность потенциалов между этой точкой и другой, лежащей на прямой, составляющей угол 30° с вектором напряженности. Расстояние между точками равно 3 мм.
Дано:
СИ
d = 3 мм
Решение
0,003 м
Разность потенциалов в одно-
E = 300 В/м
родном электрическом поле между
α = 30°
двумя точками, не лежащими на од-
ϕ1 − ϕ2 = ?
ной силовой линии, можно найти
по формуле
ϕ1 − ϕ 2 = Ed cos α .
Подставим числовые значения
ϕ1 − ϕ 2 = 300 В/м ⋅ 0,003 м ⋅ cos 30° = 0,78 В .
§ 66
Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков
Молекулы
в
диэлектриках
можно
рассматривать, как диполь с электрическим
моментом равным
r
r
p = ql .
Диэлектрики – это вещества, которые не проводят (плохо проводят) электрический ток.
Первую группу диэлектриков (N2, H2, O2, CO2, CH4, …) составляют вещества, молекулы которых имеют симметричное строение, т.е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов в отсутствии внешнего электрического
r
поля E = 0 совпадают и, следовательно, p i = 0 . Молекулы таких диэлектриков
r
называются неполярными. Под действием электрического поля E ≠ 0 заряды не-
полярных молекул смещаются в противоположные стороны и молекулы приобретают дипольный момент.
Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей или появления под воздействием электрического поля ориентированных по полю диполей.
У неполярных молекул наблюдается электронная или деформационная поляризация, заключающаяся в возникновение у атомов индуцированного электричеr
ского момента p за счет деформации электронных орбит.
Вторую группу диэлектриков (H2O, NH3, SO2,
CO, …) составляют вещества, молекулы которых
имеют асимметрическое строение, т.е. центры
«тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Таким образом, эти молекулы в
r
отсутствии E = 0 обладают p i ≠ 0 . Молекулы таких диэлектриков называются полярными. Однако в отсутствии внешнего элекr
r
r
трического поля E ∑ p i = 0 , так как из-за теплового движения pi молекулы ориi
ентируются в пространстве хаотически. Если такой диэлектрик поместить во
r
r
r
внешнее E ≠ 0 , то pi стремятся ориентироваться вдоль поля, и тогда ∑ p i ≠ 0 . У
i
полярных молекул наблюдается ориентационная или дипольная поляризация
r
диэлектриков, которая заключается в ориентации имеющихся pi по полю. Эта
r
ориентация тем сильнее, чем больше величина E .
Третью группу диэлектриков (NaCl, KCl, KBr, …) составляют вещества, молекулы которых имеют ионное строение. Ионные кристаллы представляют собой
пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков. В
этих кристаллах нельзя выделить отдельные молекулы, а рассматривать их можно
как систему двух вдвинутых одна в другую ионных подрешеток. При наложение
r
на ионный кристалл внешнего электрического поля E происходит некоторая деформация кристаллической решетки или относительное смещение подрешеток,
r
приводящее к возникновению дипольных моментов p . У ионных решеток на-
блюдается ионная поляризация, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных – против поля, приводящая к
r
возникновению p .
§ 67
Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике
При помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле он поляризуется, т.е. приобретает отличный от нуля дипольный момент
r
r
pV = ∑ pi ,
i
r
где pi – дипольный момент одной молекулы.
Поляризованность – дипольный момент единицы объема диэлектрика
r r
r
P = pV V = ∑ pi V .
(67.1)
i
r
Если диэлектрик изотропный и E не слишком велико, то
r
r
P = ℵε 0 E ,
(67.2)
где ℵ – диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства диэлектрика; ℵ – величина безмерная, притом всегда ℵ > 0 .
Установим количественные закономерности поля в диэлектрике, внесенном в однородное внешнее электростатичеr
ское поле E0 . Некомпенсированные заряды + σ′ и − σ′ , появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называются
связанными. Поляризация диэлектриков вызывает уменьшение в нем поля по сравнению с первичным внешним полем. Вне
r r
диэлектрика E = E0 . Результирующее поле внутри диэлектрика
равно
E = E0 − E ′ ,
где E ′ = σ′ ε 0 – поле, возникающее в диэлектрике и созданное связанными зарядами. Тогда
E = E0 −
σ′
.
ε0
(67.3)
Определим поверхностную плотность связанных зарядов σ′ . По (67.1), полной дипольной момент пластики диэлектрика p V = PV = PSd , где S – площадь
грани пластинки, d – ее толщина. С другой стороны q ′ = σ′S , следовательно,
p V = q ′d = σ′Sd , таким образом,
PSd = σ′Sd
или
σ′ = P ,
(67.4)
т.е. поверхностная плотность связанных зарядов σ′ равна поляризованности P .
Подставим в (67.3) выражение (67.4) и (67.2), получим
E = E 0 − ℵE ,
откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна
E=
E0
E
= 0.
1+ℵ ε
(67.5)
Безразмерная величина
ε =1+ℵ
(67.6)
называется диэлектрической проницаемостью среды.
§ 68
Электрическое смещение. Теорема Гаусса для электростатического поля в
диэлектрике
r
Вектор напряженности E , переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение, создавая тем самым неудобства при расчете электростатических полей.
r
r
D = εε 0 E ,
(68.1)
r
где D – вектор электрического смещения для электрически изотропной среды.
Используя выражения (67.2) и (67.6), вектор электрического смещения может быть записан в следующем виде
r
r
r
r
D = (1 + ℵ)ε 0 E = ε 0 E + ℵε 0 E
или
r
r r
D = ε0E + P .
(68.2)
Размерность – [D] = Кл м 2 .
Результирующее поле в диэлектрике описывается вектором напряженности
r
r
E , и потому оно зависит от свойств диэлектрика. Вектором смещения D описыr
вается электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами. Вектор D
характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т.е. в
вакууме), но при таком их расположении в пространстве, какое имеется при наr
r
личии диэлектрика. Поле D можно также как и E изображать с помощью линий
r
электрического смещения. Линии вектора E начинаются и заканчиваются на люr
бых зарядах – свободных и связанных, в то время как линии вектора D – только
на свободных зарядах. Через область, где есть связанные заряды, линии вектора
r
D проходят не прерываясь.
r
Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора D сквозь эту
поверхность равен
r r
Φ D = ∫ DdS = ∫ Dn dS .
S
S
Теорема Гаусса электростатического поля в диэлектрике: поток вектора смеr
щения электростатического поля D в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов
N
r r
D
d
S
=
D
dS
=
∑ qi .
∫
∫ n
S
S
(68.3)
i =1
В такой форме теорема Гаусса справедлива для электростатического поля как для
однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной сред.
r
Для вакуума Dn = ε 0 En ( ε = 1 ), тогда поток E сквозь замкнутой поверхность равен
N
∫ ε 0 En dS = ∑ q i .
i =1
S
r
Так как источником поля E в среде является как свободные, так и связанr
ные заряды, то теорему Гаусса для поля E в самом общем виде можно записать
N
K
r r
ε
E
d
S
=
ε
E
dS
=
q
+
∑ i ∑ q iсв ,
∫ 0
∫ 0 n
S
N
где
∑ qi и
i =1
S
i =1
i =1
K
∑ q iсв
– соответственно алгебраические суммы свободных и связан-
i =1
r
ных зарядов. Однако эта формула неприемлема для описания поля E в диэлекr
трике, так как она выражает свойства неизвестного поля E , через связанные за-
ряды, которые в свою очередь определяются им же. Это еще раз доказывает целеr
сообразность введения вектора D .
Задача. Пространство между концентрическими металлическими сферами
заполнено парафином с диэлектрической проницаемостью ε = 3 . Заряды сфер:
Q1 = −1 нКл и Q2 = 2 нКл , радиусы сфер: R1 = 2 см и R2 = 4 см . Определите потенциал электрического поля в точках, находящихся на расстояниях r1 = 1 см ,
r2 = 3 см и r3 = 6 см от центра сфер, если на бесконечности он равен нулю.
Дано:
СИ
Решение
ε=3
Пространство внутри сферы радиусом R1 яв-
Q1 = −1 нКл
–10–9 Кл
ляется эквипотенциальным и для него ϕ1 = const .
Q2 = 2 нКл
2⋅10–9 Кл
Потенциал поля в этой области, с учетом того, что на
R1 = 2 см
0,02 м
бесконечности он равен нулю, определяется по фор-
R2 = 4 см
0,04 м
муле
r1 = 1 см
0,01 м
r2 = 3 см
0,03 м
r3 = 6 см
0,06 м
ϕ1 =
1
4 πε
0
Q1
.
R1
Подставим числовые значения
ϕ1 , ϕ 2 , ϕ3 = ?
− 10 −9 Кл
ϕ1 =
= −450 В .
4 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅10 −12 Ф/м ⋅ 0,02 м
Потенциал электрического поля в области меж-
ду сферами, заполненной диэлектриком, согласно теоремы Гаусса для электростатического поля в диэлектрике, определяется зарядом Q1 . Величину потенциала
в точке 2 можно найти по формуле
ϕ2 =
1 Q1
.
4πε 0 ε r2
Вычислим результат
ϕ2 =
− 10 −9 Кл
= −100 В .
4 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅10 −12 Ф/м ⋅ 3 ⋅ 0,03 м
Потенциал поля в области, где находится точка 3, определяется зарядами
Q1 и Q2 , выражение для него будет иметь вид
ϕ3 =
1 Q1 + Q2
.
4πε 0
r3
Подставим числовые значения
ϕ3 =
− 10 −9 Кл + 2 ⋅10 −9 Кл
= 150 В .
4 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅10 −12 Ф/м ⋅ 0,06 м
§ 69
Условия на границе раздела двух диэлектрических сред
r
r
Рассмотрим связь между векторами E и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков при отсутствии на границе свободных зарядов.
r
Согласно теореме о циркуляции вектора E
r r
E
∫ dl = 0 ,
ABCDA
откуда
E 2 τl − E1τl = 0 .
Поэтому можно записать
E1τ = E 2 τ .
(69.1)
Согласно формуле D1τ = ε1ε 0 E1τ и D2 τ = ε 2 ε 0 E 2 τ выражение (69.1) можем
переписать в виде
D1τ ε1
= .
D2 τ ε 2
На
границе
(69.2)
двух
диэлектриков
построим прямой цилиндр ничтожной высоты, одно основание которого находится в
первом диэлектрике, другое во втором.
Основания
∆S
настолько малы, что в
r
пределах каждого из них вектор D
r
r
одинаков. Так как нормали n и n′ противоположно направлены, то согласно теоремы Гаусса можно записать
D2n ∆S − D1n ∆S = 0 ,
откуда
D1n = D2 n .
(69.3)
r
r
Заменяя проекции вектора D на проекции вектора E D1n = ε1ε 0 E1n и
D2 n = ε 2 ε 0 E 2 n , получим
E1n ε 2
= .
E 2n ε1
(69.4)
Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектриков танr
генциальная составляющая вектора E ( Eτ ) и нормальная составляющая вектора
r
D ( Dn ) изменяются непрерывно, а нормальная составляющая En и Dτ претерпевают скачек.
r
r
Из условий (69.1) – (69.4) следует, что линии векторов D и E испытывают
излом (преломляются). Найдем связь между углами α1 и α2 ( ε1 < ε 2 ). Согласно
(69.1) и (69.4) E2 τ = E1τ и ε 2 E 2n = ε1E1n . Из рисунка следует, что
tgα 2 E 2 τ E 2 n
=
.
tgα1 E1τ E1n
Учитывая записанные выше условия, получим
tgα 2 ε 2
= .
tgα1 ε1
Эта зависимость показывает, что, входя в диэлектрик с большой диэлектрической проницаемоr
r
стью, линии E и D удаляются от нормали.
§ 70
Сегнетоэлектрики
Сегнетоэлектрики – диэлектрики, обладающие в определенном интервале
температур спонтанной (самопроизвольной) поляризованностью, т.е. поляризованностью в отсутствии внешнего электрического поля (сегнетова соль –
NaKC4H4O6⋅4H2O и титанат бария – BaTiO3).
В отсутствии внешнего электрического поля сегнетоэлектрики состоят из доменов – областей с различными направлениями поляризованности. Так как в смежных доменах эти направления различны, то в целом дипольный момент диэлектрика равен нулю. При внесении сегнетоэлектрика во внешнее поле происходит переориентация дипольных
моментов доменов по полю, а возникающее при этом суммарное электрическое
поле доменов будет поддерживать их некоторую ориентацию и после прекращения действия внешнего поля. Поэтому сегнетоэлектрики имеют аномально
большое значение диэлектрической проницаемости ε >> 1 .
Сегнетоэлектрические свойства сильно зависят от температуры. Для каждого сегнетоэлектрика имеется определенная температура, выше которой его необычные свойства исчезают и он становится обычным диэлектриком. Эта температура называется точкой Кюри. Как правильно, сегнетоэлектрики имеют только
одну точку Кюри; исключения составляют лишь сегнетовая соль (–18°C и +24°С)
и изоморфные с ней соединения. В сегнетоэлектриках вблизи точки Кюри наблюдается также резкое возрастание теплоемкости вещества. Превращение сегнетоэлектриков в обычный диэлектрик, происходящее в точки Кюри, сопровождается фазовым переходом II рода.
Диэлектрическая проницаемость ε, а следовательно и диэлектрическая восr
приимчивость ℵ сегнетоэлектриков зависит от напряженности поля E в веществе, а для других диэлектриков эти величины являются характеристиками вещества.
r
Для сегнетоэлектриков связь между векторами P и
r
r
E нелинейная и зависит от значений E в предшествую-
щие моменты времени. В сегнетоэлектриках, как показано
на рисунке, наблюдается явление электрического гистерезиса, где Po – остаточная поляризованность, Ec – коэрцитивная сила.
§ 71
Проводники в электрическом поле
r
Напряженность поля во всех точках внутри проводника равна нулю E = 0 и
ϕ = const , т.е. поверхность проводника является эквипотенциальной. Следоваr
тельно, вектор E на внешней поверхности проводника направлен по нормали к
каждой точке его поверхности. Если проводнику сообщать некоторый заряд q , то
нескомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника, что непосредственно следует из
теоремы Гаусса
r r
q = ∫ DdS = ∫ Dn dS ,
S
S
так как во всех точках внутри поверхности
D = 0.
Найдем взаимосвязанность между E вблизи поверхности заряженного проводника и поверхностной плотностью σ заряда на его поверхности. По теореме
Гаусса D∆S = q = σ∆S , т.е.
D=σ
(71.1)
или
E=
σ
.
εε 0
(71.2)
r
Таким образом, E у поверхности проводника определяется поверхностной
плотностью заряда σ.
Если проводник поместить во внешнее электростатическое поле, вследствие движения зарядов
внутри проводника, возникает индуцированный
заряд. Причем, процесс разделения зарядов будет проходить до тех пор, пока поr
ле внутри проводника не станет равным нулю E = 0 . Таким образом, нейтральный проводник, внесенный в электростатическое поле, разрывает часть линий
напряженности, они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и
вновь начинаются на положительных, которые расположены на поверхности проводника.
Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем
электростатическом поле называется электростатической индукцией.
Индуцированные заряды появляются на проводнике вследствие смещения их под
действием поля, т.е. σ является поверхностной плотностью смещенных зарядов.
r
По формуле (71.1) электростатическое смещение D вблизи проводника численно
r
равно поверхностной плотности смещенных зарядов. Поэтому вектор D получил
название вектора электростатического смещения.
Так как в состоянии равновесия внутри проводника заряды отсутствуют, то
созданные внутри него полости не повлияют на конфигурацию расположения зарядов и тем самым на электростатическое поле. На этом основана электростатическая защита – экранирование тел от влияния внешних электрических полей.
§ 72
Электрическая емкость уединенного проводника
Заряд уединенного проводника равен q = Cϕ , откуда величина
C=q ϕ
(72.1)
называется электроемкость проводника. Размерность емкости
[C] = Φ .
Определим емкость шара радиуса R . Потенциал уединенного шара равен
ϕ=
1 q
.
4πε 0 εR
Используя выражение (72.1), получим, что емкость шара равна
C = 4πε 0 εR .
(72.2)
Из (72.2) следует, что емкостью C = 1 Ф в вакууме обладает шар радиусом
R = 9 ⋅ 10 6 км . Для Земли емкость равна C = 0,7 мФ .
§ 73
Конденсаторы
В зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.
Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда q , накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов ( ϕ1 − ϕ 2 )
между его обкладками.
C = q (ϕ1 − ϕ 2 ) .
(73.1)
Рассчитаем емкость C плоского конденсатора состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S , расположенных на расстоянии d
друг от друга и имеющих заряды + q и − q . Поле между пластинами можно рассчитать исходя из формул (65.1) и (73.1)
ϕ1 − ϕ 2 =
σd
,
ε0ε
(73.2)
зная что q = σS , получим
C=
ε 0 εS
.
d
(73.3)
Емкость цилиндрического конденсатора можно определить по формуле
C=
2πε 0 εl
,
ln(R2 R1 )
(73.4)
а для сферического
C = 4πε 0 ε
R1R2
.
R2 − R1
1. Параллельное соединение конденсаторов
При параллельном соединении заряд каждого из конденсаторов определяется выражением
q1 = C1 (ϕ A − ϕ B ),
q 2 = C2 (ϕ A − ϕ B ),
.........................
q n = Cn (ϕ A − ϕ B ),
а заряд батареи конденсаторов
n
q = ∑ q i = (C1 + C2 + ... + Cn )(ϕ A − ϕ B ) .
i =1
Полная емкость батареи будет равна
(73.5)
C=
n
q
= C1 + C2 + ... + Cn = ∑ Ci .
ϕ A − ϕB
i =1
2. Последовательное соединение конденсаторов.
Разность потенциалов на зажимах батареи
при последовательном соединении равна
n
∆ϕ = ∑ ∆ϕ i ,
i =1
где для любого из рассматриваемых конденсаторов
∆ϕ i = q Ci .
С другой стороны,
∆ϕ =
n
1
q
= q∑ ,
C
i =1 Ci
откуда
n
1
1
1
1
1
=
+
+ ... +
=∑ .
C C1 C2
Cn i =1 Ci
Задача 1. К плоскому конденсатору между обкладками площадью S = 50
см2 приложена разность потенциалов ∆ϕ = 200 В. Поверхностная плотность заряда на обкладках σ = 4 ⋅10 −11 Кл/см2. Найти емкость конденсатора (в пФ).
Дано:
СИ
S = 50 см2
0,005 м2
∆ϕ = 200 В
σ = 4 ⋅10 −11 Кл/см2
C=?
Решение
Емкость конденсатора определяется по
формуле
4⋅10–7 Кл/м2
C=
q
,
∆ϕ
где q – заряд конденсатора, который равен
q = σS .
С учетом этого емкость будет определяться выражением
C=
σS
.
∆ϕ
Подставим числовые значения
4 ⋅10 −7 Кл/м 2 ⋅ 0,005 м 2
C=
= 10 −12 Ф = 1 пФ .
200 В
Задача 2. Найдите значение электроемкости (в пФ) системы конденсаторов
показанной
на
рисунке,
если
емкости
конденсаторов равны C1 = 20 пФ , C2 = 30 пФ
и C3 = 8 пФ .
Дано:
Решение
C1 = 20 пФ
Электрическую цепь, представленную на
C2 = 30 пФ рисунке в условии задачи можно перестроить
C3 = 8 пФ
следующим образом. Из перестроенного рисунка
C=?
видно, что конденсатор емкостью C3 соединен параллельно с
последовательно соединенными конденсаторами C1 и C2 . При по-
следовательном соединении конденсаторов общая емкость будет равна
1
1
1
CC
= +
или C12 = 1 2 .
C12 C1 C2
C1 + C2
Тогда емкость всей батареи можно найти по формуле
C = C12 + C3 =
C1C2
+ C3 .
C1 + C2
Подставим числовые значения
C=
20 пФ ⋅ 30 пФ
+ 8 пФ = 20 пФ .
20 пФ + 30 пФ
Задача 3. Батарея, из двух последовательно соединенных конденсаторов с
емкостями 200 пФ и 300 пФ, заряжена до разности потенциалов 100 В. Найти разность потенциалов на первом конденсаторе.
Дано:
СИ
C1 = 200 пФ 2⋅10–10 Ф
C2 = 300 пФ 3⋅10–10 Ф
U = 100 В
Решение
Разность потенциалов на первом конденсаторе
определяется по формуле
U1 =
U1 = ?
q
,
C1
где q – заряд батареи конденсаторов, который определяется через ее общую емкость C выражением
q = CU .
Емкость батареи равна
C=
C1C2
.
C1 + C2
Всё подставив в первую формулу, получим следующее выражение
U1 =
C2 U
.
C1 + C2
Посчитаем числовое значение для разности потенциалов на первом конденсаторе
3 ⋅10 −10 Ф ⋅100 В
U1 =
= 60 В .
2 ⋅10 −10 Ф + 3 ⋅10 −10 Ф
§ 74
Энергия системы зарядов, уединенного проводника и конденсатора. Энергия
электростатического поля
1. Энергия системы неподвижных точечных зарядов. Электростатические силы взаимодействия консервативны, следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией. Определим потенциальную энергию двух неподвижных
точечных зарядов q1 и q 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый
из зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией:
W1 = q1ϕ12 ,
W2 = q 2 ϕ 21 ,
где ϕ12 и ϕ 21 – соответственно потенциалы, создаваемые зарядом q 2 в точке нахождения заряда q1 и зарядом q1 в точке нахождения заряда q 2 , т.е.
ϕ12 =
1 q2
1 q1
и ϕ 21 =
,
4πε 0 r
4πε 0 r
поэтому W1 = W2 = W и
1
W1 = q1ϕ12 = q 2 ϕ 21 = (q1ϕ12 + q 2 ϕ 21 ) .
2
Добавляя к системе зарядов последовательно заряды q 3 , q 4 ,…, q n , можно
убедиться в том, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия
системы точечных зарядов равна
1 n
W = ∑ q i ϕi .
2 i =1
(74.1)
где ϕ i – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд q i , всеми зарядами, кроме i-го.
2. Энергия взаимодействия диполя с электрическим полем. Энергия взаимодействия диполя с электростатическим полем
определяется выражением
W = −pE cos α ,
где p – величина дипольного момента, E – величина напряженности электрического поля, α – угол между направлениями вектоr
r
ров p и E .
3. Энергия заряженного уединенного проводника. Пусть имеется уединенный
проводник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны q , C , ϕ .
Увеличим заряд данного проводника на dq . Для этого необходимо перенести заряд dq из бесконечности на уединенный проводник, затратив на это работу
dA = ϕdq = Cϕdϕ .
Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до ϕ , необходимо затратить работу
ϕ
A = ∫ Cϕdϕ = Cϕ 2 2 .
(74.2)
0
Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо
совершить, чтобы зарядить этот проводник:
Cϕ 2 qϕ q 2
W=
=
=
.
2
2 2C
(74.3)
4. Энергия заряженного конденсатора. Как всякий заряженный проводник,
конденсатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (19.3) равна
C∆ϕ 2 q∆ϕ q 2
W=
=
=
.
2
2
2C
(74.4)
где q – заряд конденсатора; C – его емкость; ∆ϕ – разность потенциалов между
обкладками конденсатора.
Используя выражение (74.4), можно найти механическую (пондермоторную) силу, с которой пластины конденсатора притягиваются друг к другу. Для
этого предположим, что расстояние x между пластинами меняется на величину
dx . Тогда действующая сила совершает работу
dA = Fdx
вследствие уменьшения потенциальной энергии системы
Fdx = −dW ,
откуда
F=−
dW
.
dx
(74.5)
Подставив в (74.4) выражение (73.3), получим
q2
q2
W=
=
x.
2C 2ε 0 εS
dW
q2
F=−
=−
,
dx
2ε 0 εS
где знак «–» указывает, что сила F является силой притяжения.
(74.6)
5. Энергия электростатического поля. Преобразуем формулу (74.4), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора
C=
ε 0 εS
d
и разности потенциалов между его обкладками ∆ϕ = Ed , тогда
ε 0 εE 2
ε 0 εE 2
W=
Sd =
V,
2
2
(74.7)
где V = Sd – объем конденсатора.
Формула (74.7) показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, – напряженность E .
Объемная плотность энергии электростатического поля равна
w=
W ε 0 εE 2 ED
=
=
.
V
2
2
(74.8)
Выражение (74.8) справедливо только для изотропного диэлектрика, для
r
r
которого выполняется соотношение P = ℵε 0 E .
Задача 1. Диполь с электрическим моментом 50 пКл⋅м свободно устанавливается в однородном электрическом поле напряженностью 50 кВ/м. Найти потенциальную энергию взаимодействия электрического поля с диполем и работу,
необходимая для того, чтобы повернуть диполь на 90°.
Дано:
СИ
p = 50 пКл ⋅ м
5·10−11 Кл·м
E = 50 кВ/м
5·104 В/м
∆α = 90°
W1 = ? Aвнеш = ?
Решение
До поворота потенциальная энергия взаимодействия диполя с внешним электрическим
полем определяется по формуле
W1 = −pE cos α ,
где α – угол между направлениями векторов диr
r
польного момента p и напряженности электрического поля E . По условию зада-
чи диполь свободно устанавливается в электрическом поле, следовательно, α = 0 .
Подставим в формулу числовые значения
W1 = −5 ⋅ 10−11 Кл ⋅ м ⋅ 5 ⋅ 104 В / м ⋅ cos0 = −25 ⋅ 10−7 Дж = −2,5 мкДж .
Работа внешних сил, необходимая для поворота диполя во внешнем электрическом поле может быть найдена через изменение потенциальной энергии
Aвнеш = W2 − W1 ,
где
W2 − потенциальная энергия взаимодействия диполя с электрическим полем по-
сле поворота, которая определяется выражением
W2 = −pE cos(α + ∆α ) .
С учетом равенств W1 и W2 формула для работы будет иметь вид
Aвнеш = −pE cos(α + ∆α) − (−pE cos α ) = pE[cos α − cos(α + ∆α )] .
Подставим числовые значения
Aвнеш = 5 ⋅ 10−11 Кл ⋅ м ⋅ 5 ⋅ 104 В / м ⋅ (cos 0 − cos90°) = 25 ⋅ 10−7 Дж = 2,5 мкДж .
Задача 2. Найти энергию уединенной сферы радиусом 5 см, заряженной до
потенциала 100 В.
Дано:
R = 5 см
СИ
Решение
0,05 м
Энергию уединенной сферы найдем по формуле
ϕ = 100 В
Cϕ2
W=
,
2
W =?
где C − емкость сферы, которую можно найти по выражению
C = 4πε 0R .
С учетом этого равенства формула для энергии будет иметь вид
W=
4πε 0Rϕ2
= 2πε0Rϕ2 .
2
Подставим числовые значения
W = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 Ф/м ⋅ 0,05 м ⋅ (100 В) 2 = 2,8 ⋅ 10−8 Дж = 28 нДж .
Задача 3. Найти потенциальную энергию системы трех точечных зарядов
10 нКл каждый, расположенных в вершинах равностороннего треугольника со
стороной 5 см.
Дано:
СИ
a = 5 см
Решение
0,05 м
Потенциальная энергия системы
q = 10 нКл 10−8 Кл трех одинаковых точечных зарядов опW=?
ределяется формулой
1
3
W = (qϕ + qϕ + qϕ) = qϕ ,
2
2
где
ϕ − потенциал электрического поля в вершинах треугольника, где находятся заряды, который равен
ϕ=
1 q
1 q
1 2q
+
=
.
4πε0 a 4πε0 a 4πε0 a
Подставим это выражение в формулу для потенциальной энергии
3
1 2q
3q 2
=
W= q
.
2 4πε 0 a 4πε0a
Подставим числовые значения
3 ⋅ (10−8 Кл)2
W=
= 5, 4 ⋅ 10−5 Дж = 54 мкДж .
−12
4 ⋅ 3,14 ⋅ 8,85 ⋅ 10 Ф/м ⋅ 0,05 м
Задача 4. Найдите объемную плотность энергии электрического поля вблизи бесконечной плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью
заряда σ = 4 ⋅ 10−11 Кл/см2.
Дано:
σ = 4 ⋅ 10−11 Кл/см2
w=?
СИ
4·10−7 Кл/м2
Решение
Объемная плотность энергии электрического поля определяется формулой
ε0E 2
w=
,
2
где E − напряженность электрического поля вблизи бесконечной заряженной
плоскости, которая определяется выражением
E=
σ
.
2ε 0
Подставив это равенство в формулу для объемной плотности энергии, получим
2
ε  σ 
σ2
=
.
w= 0

2  2ε 0  8ε0
После подстановки числовых значений получаем
(4 ⋅ 10−7 Кл/м 2 ) 2
w=
= 2,3 ⋅ 10−3 Дж/м3 = 2,3 мДж/м3 .
−12
8 ⋅ 8,85 ⋅ 10 Ф/м