= ∑ q ∫ ∑ ∫ ∫ ∫

Лекция №15 ([6] - стр. 27-53, [7] - стр. 22-49).
Спектральный анализ непериодических сигналов.
На прошлой лекции мы установили, что если амплитуду каждой спектральной линии
умножить на период, то полученная характеристика не зависит от периода и может
служить для описания свойств непериодических сигналов. Мы назвали эту
характеристику спектральной плотностью.
c
c 2π
2π
Спектральная плотность: s(ω ) = Lim cnT = Lim n 2π = Lim n
;
, где T =
ω1 → 0 ω
Δω → 0 Δω
T →∞
ω1
1
T /2
cn =
1
S (t )e jnω1t , Δω - расстояние между 2-мя соседними гармониками.
∫
T −T / 2
Периодический сигнал можно представить в виде комплексного ряда Фурье
S (t ) =
∞
∑ c e
n =−∞
n
jnω1t
.
Δω → 0
nω1 → ω
S( nω ) → S( ω )
Если T → ∞ , то
⎫
⎪
⎪
⎪
1
∞
⎪
1 S ( ω )e jωt dω
Δω → dω
⎬ → S( t ) =
∫
2 π −∞
1⎪
Cn → S ( ω )dω ⎪
2π ⎪
⎪
∑→ ∫
⎭
∞
Равенство S ( t ) =
1 S ( ω )e jωt dω называется обратным преобразованием Фурье.
2π −∫∞
Существует и прямое преобразование Фурье S (ω ) =
∞
∫ S (t )e
− jωt
dt .
−∞
Используя прямое и обратное преобразования Фурье, можно решить задачу анализа
прохождения непериодического сигнала через цепь с помощью спектрального метода.
Спектральный метод анализа удобно использовать в двух случаях:
1) Когда входной сигнал представлен малым числом гармоник или является
непериодическим.
2) Когда прямое преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье вычислить
проще, чем прямое преобразование Лапласа и обратное преобразование Лапласа.
Спектральное свойство непериодического сигнала характеризуется спектральной
плотностью S (ω ) , которое определяется отношением амплитуды гармоники к полосе
cn
. При стремлении периода к
Δω
бесконечности и cn , и Δω → 0 , однако, их отношение не меняется и называется
частот, содержащих только эту гармонику:
⎡В⎤
спектральной плотностью. Размерность спектральной плотности ⎢ ⎥
⎣ Гц ⎦
⋅
S (ω) = S (ω) e jΘ (ω)
S (ω ) - спектральная плотность амплитуд.
Θ(ω ) - фазовый спектр
Пример 1.
Определим спектральную плотность одиночного четного прямоугольного импульса.
Решение
Дано:
τu
2
S (ω ) =
∫τ
u
−
2E e
Найти: S (ω ) − ?
jω
τu
2
ω
e − jωt
Ee − jωt dt = E
− jω
τu
2
−
τu
2
−e
2j
− jω
τu
2
2
τ
τ
jω u
E ⎛ − jω 2u
=
−e 2
⎜e
− jω ⎝
⎞
⎟=
⎠
ωτ
u
2 Eτ u sin 2
ωτ
=
=
= Eτ u Sinc u
sin
ωτ u
2
2
2
ω
2
2E
ωτ u
Сравним спектры периодической последовательности
прямоугольных импульсов и одиночного импульса:
1. Огибающая амплитудного и фазового спектра и
огибающая сигнала совпадает со спектральной плотностью
амплитуд и фазовым спектром одиночного прямоугольного
импульса.
2. Спектры периодического сигнала дискретны и
определены на частотах, кратных частоте первой гармонике.
Спектры одиночного импульса непрерывны и определены
для любого значения частоты.
3. Размерность амплитудного спектра периодического
сигнала совпадает с размерностью самого сигнала, а
размерность спектральной плотности амплитуд определяется
отношением размерности сигнала к размерности частоты.
4. Размерность фазового спектра периодического и
непериодического сигналов совпадают, так же как и их
смысл. Физический смысл фазового спектра – фазовый
спектр показывает зависимость начальных фаз гармоник от
частоты.
Свойства преобразования Фурье.
1. Изменение знака
частоты.
S ( −ω ) = S ∗ (ω )
2. Значение
спектральной
плотности в нуле.
1
1
⇒ S ( −ω ) =
= S ∗ (ω )
1 + jω
1 − jω
Если изменить знак частоты на противоположный, то
получим спектральную плотность, комплексно сопряжённую с
исходной спектральной плотностью.
Если S (ω ) =
S (ω ) =
F {S (t )}
S ( 0 ) =
+∞
∫ S (t )e
− jωt
dt - прямое преобразование Фурье
−∞
∞
∫
−∞
S (t )e − jωt dt =
∞
∫ S (t )dt
−∞
Значение спектральной плотности в нуле численно равно
площади под кривой, описывающей сигнал. Это свойство
удобно использовать для проверки правильности вычисления
прямого преобразования Фурье
3. Умножение сигнала
на число (const).
Если S1 (t ) = aS (t ) и
F {S (t )} = S (ω )
⇒ S1 (ω ) = aS (ω )
F {S (t )} = S (ω )
1
1
Если сигнал умножить на const, то и на эту же const
умножится и его спектральная плотность.
4. Сдвиг сигнала во
времени (теорема
запаздывания).
S1 (t ) = S (t − τ з ) ⎫
⎪
F {S (t )} = S (ω ) ⎬ ⇒ S1 (ω ) = S (ω ) e − jωτ з
⎪
F {S1 (t )} = S1 (ω ) ⎭
Если сигнал запаздывает во времени на τ з , то его
спектральная плотность умножается на e− jωτ з . Если сигнал
опережает исходный сигнал на τ з , то есть смещается влево по
оси времени, то показатель экспоненты меняет свой знак на
противоположный. Смещение сигнала во времени влияет только
на его фазовый спектр и не влияет на его спектральную
плотность амплитуд.
Пример 2.
Найдем спектр одиночного прямоугольного импульса (см.
рис.), используя результаты примера 1.
τз =
τu
2
ωτ
S (ω ) = Eτ u Sinc u
2
S1 (ω ) = ?
5. Спектр суммы
сигналов.
S1 (ω ) = S (ω ) e − jωτ u / 2 = Eτ u Sinc
ωτ u
2
e − jωτ u / 2
S (t ) = S1 (t ) + S2 (t ) ⎫
⎪
F {S (t )} = S (ω ) ⎪
⎬ ⇒ S (ω ) = S1 (ω ) + S2 (ω )
F {S1 (t )} = S1 (ω ) ⎪
F {S2 (t )} = S2 (ω ) ⎪⎭
Спектр суммы сигналов равен сумме спектров каждого
сигнала.
6. Изменение
направления времени
сигнала.
⎫
S1 (t ) = S (−t )
⎪
F {S (t )} = S (ω ) ⎬ ⇒ S1 (ω ) = S ∗ (ω )
⎪
F {S1 (t )} = S1 (ω ) ⎭
Если изменить направление времени сигнала, то есть
заменить t на –t, то спектральная плотность нового сигнала будет
комплексно сопряжена спектральной плотности исходного
сигнала.
Пример 3.
⋅
S 2 (ω) = ?
7. Дифференцирование
сигналов.
Найдем спектр сигнала S 2 (t ) (см. рис.) по спектру сигнала
S1 (t ) , заданного в виде прямоугольного одиночного импульса
(см. пример 2)
Для этого воспользуемся свойством: Изменение
направления времени сигнала. Тогда
τ
⋅
ωτ и − jω 2и
S 1 (ω) = Eτ и Sinc
e
2
τ
⋅
⋅
ωτ и jω 2и
*
S 2 (ω) = S 1 (ω) = Eτ и Sinc
e
2
⎫
F {S (t )} = S (ω ) ⎪
⎪
F {S1 (t )} = S1 (ω ) ⎬ ⇒ S1 (ω ) = jω S (ω ) (15.1)
⎪
dS (t )
⎪
S1 (t ) =
dt
⎭
При дифференцировании сигнала по времени его
спектральная плотность умножается на jω . При этом
уменьшается амплитуда низкочастотной составляющей и
увеличивается амплитуда высокочастотной составляющей.
Пример 4.
Продифференцируем одиночный прямоугольный импульс.
Результат дифференцирования приведем на рисунке.
Из рисунка следует, что в результате дифференцирования,
сигнал становится более изрезанным. Сопоставляя этот рисунок
с формулой (15.1) , найдём, что чем изрезанней сигнал, тем
больше амплитуда высокочастотной составляющей и наоборот.
8. Интегрирование
сигналов с нулевой
площадью.
⎫
F {S (t )} = S (ω ) ⎪
⎪
S (ω )
⎪
F {S1 (t )} = S1 (ω ) ⎬ ⇒ S1 (ω ) =
(15.2)
j
ω
⎪
t
S (t ) = ∫ S (V )dV ⎪
⎪⎭
−∞
При интегрировании сигнала по времени его спектральная
плотность делится на jw. При этом повышается амплитуда
низкочастотных составляющих и понижается амплитуда
высокочастотных составляющих.
Пример 5.
Проинтегрируем пачку из двух разнополярных
прямоугольных импульсов одинаковой длительности и
амплитуды. Результат интегрирования приведем на рисунке
Из рисунка видно, что в результате интегрирования сигнал
становится более гладким. Сопоставляя рисунок с формулой
(15.2), можно утверждать, что с увеличением амплитуды
низкочастотной составляющей и уменьшением амплитуды
высокочастотной составляющей, сигнал становится более
гладким. Справедливо и обратное.
Пример 6
Найти спектр одиночного треугольного импульса
(см.рис.)
Решение
1. Продифференцируем исходный сигнал по времени
(см.рис.).
2. Используя спектральную плотность для одиночного
прямоугольного импульса, а также свойства: смещение сигнала
во времени, умножение сигнала на число и сложение сигналов,
запишем спектральную плотность полученного сигнала.
Обозначим спектральную плотность одиночного
⋅
прямоугольного импульса через S 0 (ω) .
⋅
⎛ ωτ ⎞
S 0 (ω) = Eτ и sin c⎜ и ⎟ (см.пример 1). Тогда
⎝ 2 ⎠
S (ω ) = ?
⋅
⋅
⋅
− jω b
S 0 (ω) jω 2b S 0 (ω) − jω 2b S 0 (ω) ⎛⎜ jω 2b
2
−
=
−
S1 (ω) =
e
e
e
e
τи
τи
τ и ⎜⎝
⋅
τ
τ
τ
τ
⎞
⎟
⎟
⎠
Для определения спектральной плотности заданного
сигнала S(t ) воспользуемся свойством 8 – интегрирование
сигнала с нулевой площадью. Тогда , используя (15.2), имеем
τ
⋅
⋅
⋅
− jω b ⎞
⎛ jω τ b
⋅
ωτ
S1 (ω) 2 S 0 (ω) ⎜ e 2 − e 2 ⎟ 2 S 0 (ω)
S(ω) =
sin и =
=
⎜
⎟=
jω
2j
2
ωτ и
ωτ и ⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎛ ωτ
= Eτ и ⎜⎜ sin c⎜ и
⎝ 2
⎝
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
2
Воспользуемся свойством 2 для проверки правильности
решения:
S (0) = Eτ u , то есть значение спектральной плотности в
нуле равно площади под кривой, описывающей сигнал.
9. Изменение
масштаба времени
сигналов.
⎫
S1 (t ) = S (at )
⎪
1 ⎛ω ⎞
F {S1 (t )} = S1 (ω ) ⎬ ⇒ S1 (ω ) = S ⎜ ⎟
a ⎝a⎠
⎪
F {S (t )} = S (ω ) ⎭
Если a > 1 , то сигнал сжимается во времени, а его
спектральная плотность уменьшается в а раз и растягивается в а
раз по частоте.
Чем короче сообщение, тем шире его спектр и тем шире
должна быть полоса пропускания канала обработки
информации.
Если 0<a<1, то сигнал растягивается во времени, а его
спектральная плотность увеличивается в а раз и сжимается в а
раз по частоте.
10. Перемножение
сигналов.
F {S (t )} = S (ω ) ⎫
⎪
∞
F {S1 (t )} = S1 (ω ) ⎪
1
S1 (u ) S2 (ω − u )du = S1 (ω ) * S2 (ω )
⎬ ⇒ S (ω ) =
∫
2
π
F {S2 (t )} = S 2 (ω ) ⎪
−∞
⎪
S (t ) = S1 (t ) S2 (t ) ⎭
Если сигнал получается в результате перемножения двух
сигналов, то его спектр определяется с помощью интеграла свертки
спектров сомножителей.
11. Спектр свертки
двух сигналов.
⎫
t
S (t ) =
∫ S (τ )S (t − τ )dτ ⎪
1
2
⎪
⎪
⎬ ⇒ S (ω ) = S1 (ω ) S2 (ω )
⎪
⎪
⎪
2
2
⎭
Если сигнал получен в результате вычисления интеграла
свертки двух сигналов, то его спектр равен произведению этих
сигналов.
−∞
F {S (t )} = S (ω )
F {S1 (t )} = S1 (ω )
F {S (t )} = S (ω )
12. Свойство
обратимости частоты и
времени.
S( t ) = S(− t ) ⎫
⎬ ⇒ F{U( t )} = 2πS(ω)
F{S( t )} = U(ω)⎭
Если сигнал S (t ) чётный со спектром U (ω ) , то для расчёта
спектра сигнала U (t ) , повторяющего по форме спектр исходного
сигнала, достаточно в формуле S (t ) , описывающей исходный
сигнал, заменить t на ω и результат умножить на 2π .
13. Умножение
сигнала на
гармоническую
функцию.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1.
2.
3.
4.
F {S1 (t )} = S1 (ω )
F {S (t )} = S (ω )
⎫
⎪⎪
1 jϕ
1 − jϕ
⎬ ⇒ S1 (ω ) = e 0 S (ω − ω0 ) + e 0 S (ω + ω0 )
2
2
S1 (t ) = S (t ) cos(ω0t + ϕ0 ) ⎪⎪
⎭
Если сигнал умножается на гармоническую функцию, то его
спектр раздваивается и каждая его половина уменьшается в 2 раза и
смещается влево и вправо симметричным образом относительно оси
ординат на частоту ω0 .
Контрольные вопросы к лекции №15
Для чего используются прямое и обратное преобразования Фурье?
Сформулируйте основные свойства преобразования Фурье.
Что происходит со спектром сигнала при сжатии сигнала во времени?
Для чего можно использовать умножение импульсного сигнала на гармоническую
функцию?
Что происходит со спектром сигнала после его дифференцирования и как это
влияет на форму сигнала?
Что происходит со спектром сигнала после его интегрирования и как это влияет на
форму сигнала?
Какое из свойств преобразования Фурье удобно использовать для проверки
вычисления прямого преобразования Фурье?
Типовые задачи к экзамену
Определите спектральную плотность пачки из двух прямоугольных импульсов
одинаковой длительности τи с амплитудами Е1=Е; Е2=-2Е, если второй импульс
задержан относительно первого на τ зад = 3τ и . Начало сигнала выберите на оси
времени произвольно.
Определите спектральную плотность сигнала в форме равнобокой трапеции, если
его амплитуда Е, а длительность τи=3τ0. Начало сигнала выберите на оси времени
произвольно.
Определите спектральные плотности двух прямоугольных импульсов одинаковой
амплитуды Е1=Е2=Е и длительностями τи1=τи и τи2=2τи. Сравните и сделайте
выводы. Начало сигнала выберите на оси времени произвольно.
Определите спектральную плотность сигнала S(t)=S0(t).сos( ω0t ), где S0(t)прямоугольный импульс с амплитудой Е и длительностью τи, расположенный
2π
симметрично относительно t=0, ω0 >>
.
τи