Прохождение частицы через потенциальный барьер

Прохождение частицы через
потенциальный барьер
Гармонический осциллятор
Линейным (одномерным) гармоническим
осциллятором
называется частица с массой m, которая
колеблется с собственной циклической
частотой ω0 вдоль некоторой оси ox под
действием квазиупругой силы F  kx.
Потенциальная энергия гармонического
осциллятора
2 2
m

kx
0x
U x  

.
2
2
2
Потенциальная энергия гармонического осциллятора
x  A cos 0t   ;
2
2


a  x   A0 cos 0t     A0 cos 0t     .
2


F  ma  mA cos 0t    m0 x 
2
0
m02 x 2
U    Fdx 
.
2
0
x
2
kx
● Классический осциллятор. U  x  
2
U (x )
- xmax
0
x m ax
При ±xmax полная
энергия E = U;
Ек = 0.
Следовательно,
частица не может
выйти за пределы
области [– xmax;+ xmax]
x
и находится в
потенциальной яме.
● Квантовый осциллятор
описывается уравнением
Шредингера
U (x )
E
E
E
0
n= 2
2
= E
2
n= 1
1
n= 0
m in
0
(стационарным уравнением
Шредингера
2m
E  U   0 )
 
m02 x 2 
 2 2m 
 2 E 
  0.(1)
2
 
2 
x x
Это уравнение имеет
решение только при
1

En   n  0 (2),
2

дискретных значениях
т.е. энергия квантуется.
U (x )
E
Квантовый осциллятор
E
E
E0  Emin
0
n= 2
2
n= 1
1
= E
n= 0
m in
0

 энергия нулевых колебаний.
2
0
x
Решением уравнения (1) являются собственные
волновые функции ψn.
Наличие Emin показывает, что квантовая частица
не может находиться на дне потенциальной
ямы, т.е. еѐ энергия не равна нолю даже при
Т = 0, т.к. на дне ямы импульс частицы р = 0 и,
соответственно, неопределѐнность импульса ∆р = 0.
Следовательно, неопределѐнность координаты
∆x → ∞, что противоречит факту нахождения
частицы в яме.
Квантовый осциллятор
1

En   n  0 (2),
2

Из уравнения (2) следует, что расстояние
между соседними энергетическими уровнями
одинаково:
E   .
0
U (x )
E
E
E
0
n= 2
2
n= 1
1
= E
n= 0
m in
0
x
Вероятность обнаружить квантовый линейный
осциллятор в области от x до x + dx:
W x  
W (x )
W
x  dx

2
n
dx.
x
Wклас.ч. – вероятность
обнаружить
W
классическую
для n= 1
частицу, которая не
0
x
может быть за
- x
x
пределами ±xmax .
Wквант.ч. – вероятность обнаружить квантовую
частицу. Может быть за пределами классически
дозволенной области, что объясняет возможность
прохождения микрочастиц сквозь пот. барьер.
к л а с .ч .
к в а н т .ч .
max
m ax
Туннельный эффект
Рассмотрим движение
частицы вдоль оси x, на
пути которой
потенциальный барьер
прямоугольной формы
U
E<U
0
l
x
0, x  0,

U  x   U , 0  x  l ,
0, x  l.

U
• Классическая частица.
E<U
0
При E > U пройдѐт над барьером.
При E < U отразится от него.
l
x
• Микрочастица.
При E > U существует вероятность, что
частица отразится от барьера, и будет
двигаться в обратную сторону.
При E < U существует вероятность, что
частица окажется в области x > l, т.е.
пройдѐт сквозь барьер.
Туннельный эффект
вытекает из решения уравнения Шредингера,
которое для разных областей дает вид ψфункции, качественно показанной на рисунке.
ψ 1(x )
ψ 2(x )
ψ 3(x )
0
ψ1 – волна де Бройля ψ2 ≠ 0.
с частотой f и
амплитудой А1.
l
x
ψ3 – волна де Бройля
с амплитудой А3 < А1
но с той же частотой f .
Коэффициент прозрачности потенциального
барьера – отношение плотности потока
прошедших частиц к плотности
потока
2
падающих частиц:
A3
D
A1
2
.
 2

D  D0 exp 
2mU  E   l ,
 

U – высота потенциального барьера,
E – энергия частицы,
l – ширина барьера,
D0 – постоянная ~ 1,
m – масса покоя частицы.
U
 2

D  D0 exp 
2mU  E   l ,
 

E<U
0
l
Чем больше m, (U – E), l, тем меньше
вероятность прохождения частицы сквозь
барьер.
x
Объяснение туннельного эффекта из
соотношения неопределѐнности
x  p  h.
Неопределѐнность импульса на отрезке
h
x  l : p  
l
p
Разброс кинетической энергии E 
2
m
может оказаться настолько большим, что
2
полная энергия частицы Е окажется > U.