Зональная олимпиада школьников по математике

Зональная олимпиада школьников по математике
Краснодарский край, 10 декабря 2013
5 класс
Составитель текста – Федоренко И.В.,
телефон для справок +7 918 225-22-13
1
Имеются 2013 яблок и весы, на которых можно взвесить ровно
два яблока. За какое наименьшее число взвешиваний можно найти общий вес всех яблок ?
Ответ: 1008
Сначала возьмем первые три яблока и взвесим их по два. Суммарный вес таких взвешиваний равен удвоенному весу этих
трёх яблок. Остальные яблоки взвесим по два.
Ясно, что 1007 взвешиваний не хватает – в этом случае все яблоки кроме одного будут взвешены по одному разу, а одно – дважды. Суммарный вес определить будет невозможно.
Действительно, если дважды взвешено первое яблоко – со вторым и третьим, то для результатов этих двух взвешиваний в
220 г. и 240 г. подойдут, следующие два набора с разным суммарным весом: 100+120+140=360 и 110+110+130=350.
Верный ответ без обоснования – 1 балл.
Верная схема взвешиваний трёх яблок на частном примере – 5
баллов.
2
Имеется 10 последовательных натуральных чисел. Сумма первых
четырёх (наименьших) из них равна 226. Чему равна сумма последних четырёх (наибольших)?
Ответ: 250
Эти десять чисел – 55,56,57,…,63,64. Поэтому, сумма последних
четырёх чисел равна 250.
Заметим, что седьмое число больше первого на 6, восьмое –
больше второго на 6, девятое – больше третьего на 6, десятое –
больше четвёртого на 6. Поэтому, сумма этих чисел больше
суммы первых четырёх на 24. При таком решении всё равно необходим пример этих чисел.
При отсутствии примера – 3 балла.
3
Карлсон и Малыш гуляли по крышам домов. Длина шага Малыша - 80 см, а Карлсона - 60 см. Их шаги совпали 601
раз, в том числе в самом начале и в конце пути. Какое расстояние они прошли?
Ответ: 1 км 440 м
Первый раз после начала пути их шаги совпадут через 240
см. Всего промежутков между совпадениями – 600. Итого,
пройденное расстояние равно 240 см × 600.
При ответе 240 см × 601 – 3 балла.
4
Юра задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, опять зачеркнул последнюю цифру результата и
получил число 21. Какое число задумал Юра?
Ответ: 24
Последнее полученное число было или 210 или 217 (делится
на 7). Предыдущее полученное число было или 30, или 31.
Единственное число, кратное 13, у которого первые две цифры или 30, или 31 – это число 312.
При пропуске случая 210 – 3 балла.
5
Можно ли увезти 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг,
374 кг, 376 кг, . . . , 468 кг, на семи грузовиках, грузоподъёмностью три тонны каждый?
Ответ: Нельзя
Так как грузовиков 7, а камней 50, то на каком-то грузовике
нужно будет увезти не менее 8 камней. Однако сумма восьми самых легких камней 370+372+. . .+384 = (370+384) · 4 =
3016 кг > 3 т.
За правильный ответ – 0 баллов.
Зональная олимпиада школьников по математике
Краснодарский край, 10 декабря 2013
6 класс
Составитель текста – Федоренко И.В.,
телефон для справок +7 918 225-22-13
1
На листе клетчатой бумаги со стороной клетки 1 см нарисован прямоугольник, стороны которого идут по сторонам клеток. Прямоугольник разрезали на четыре прямоугольника двумя прямолинейными разрезами, также идущими по сторонам клеток. Шестиклассник Петя нашел, что у трех из этих прямоугольников площади составляют 4 см2,
8 см2 и 16 см2. Чему равна площадь исходного прямоугольника?
Найдите все варианты ответа.
Ответ:
60 см2, 36 см2, 30 см2
Вычислим площадь четвёртого из этих прямоугольников. Она зависит от того, какой прямоугольник расположен по диагонали напротив от него. Нетрудно заметить, что произведение площадей прямоугольников, расположенных напротив друг друга по диагонали,
равны. Если по диагонали напротив расположен прямоугольник площади 4 см2 – тогда его площадь равна 32 см2, если по диагонали напротив расположен прямоугольник площади 8 см2 – тогда площадь
четвёртого прямоугольника равна 8 см2, если по диагонали напротив
расположен прямоугольник площади 16 см2 – тогда площадь четвёртого прямоугольника равна 2 см2. Поэтому, есть три варианта
площади исходного прямоугольника – или 60 см2, или 36 см2, или 30
см2.
При рассмотрении на конкретных размерах сторон – 6 баллов.
Неполный ответ, или ответ без обоснования – до 2 баллов.
2
Муравей ползет из вершины А по ребрам единичного куба, нигде не повторяя отрезки своего пути, и возвращается в вершину А. Каков его максимальный путь (длина
ребра куба 1 см.)?
Ответ: 8 см.
Муравей может проползти через все восемь вершин куба, поэтому
длина пути не более 8 сторон куба. Пример пути в 8 см. приводится
легко.
Правильный ответ без обоснования – 2 балла.
3
У трехзначного числа поменяли местами две последние цифры, полученное число сложили с исходным, в результате получили число 1143.
Чему равно исходное число (найти все варианты).
Ответ:
549, 558, 567, 576, 585, 594
Обозначим наше число через
, тогда
Т.к.
- цифры, то
и следует ответ.
Т.е.,
. Отсюда
За неполный ответ – 2 балла.
4
В Васином классе в олимпиаде участвовало 25 школьников (включая Васю). За каждую верно решенную задачу участник получает «+», за неверно решенную он получает «-». Если участник не решал задачу, то он
не получает за нее никакой оценки. В конце олимпиады оказалось, что у
любых двух участников разное число плюсов или разное число минусов.
Кроме того, каждый участник набрал с Васей или поровну плюсов, или
поровну минусов. Какое наименьшее количество задач могло быть в
олимпиаде?
Ответ:
12
Действительно, если бы задач было не более 11, то всего вариантов количества оценок «+» было бы не более 12. Итак, участников, совпадающих с Васей в количестве минусов – не более 11.
То же самое для оценок «-».
Итого, участников не могло бы быть более 23.
Вариант с 12 задачами существует:
- у одного участника (у Васи) нет оценок «+» и нет оценок «-»;
- у 12 участников нет оценок «+», количество оценок «-» у них – от 1 до 12;
- у 12 участников нет оценок «-»,количество оценок «+» у них – от 1 до 12.
За правильный ответ с примером – 3 балла.
5
В классе каждый человек либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец
(всегда лжёт). И каждый знает кем являются его одноклассники. На собрании каждый сказал про каждого кто кем является, при этом ответ "лжец"
прозвучал 272 раза. На следующем таком же собрании один человек отсутствовал и ответ "лжец" прозвучал 256 раз. Сколько человек в классе?
Ответ:
25
Пусть в классе a лжецов и b рыцарей. Тогда 2ab = 272. Из условия про
второе собрание получаем или 2a(b-1) = 256, или 2(a-1)b = 256. Отсюда
следует, что или a=8, или b=8. В обоих случаях a+b = 25.
Зональная олимпиада школьников по математике
Краснодарский край, 10 декабря 2013
7 класс
Время работы – 3,5 часа
Составитель текста – Федоренко И.В.,
телефон для справок +7 918 225-22-13
1 В десятичной записи числа
вычеркнули 2013-ю цифру после
запятой. Что больше: полученное число или
?
Ответ: Полученное число больше.
Поскольку
= 0, 0(714285), а длина периода дроби равна 6 и
предпериод в одну цифру, на 2013-м месте после запятой стоит
цифра 1, а после её вычеркивания на этом месте оказывается
цифра 4.
За правильно найденный вид бесконечной десятичной дроби – 1
балл.
2 Дан квадрат ABCD. На его стороне AD взята точка Е, а на стороне
ВС точки K,L,M,N, которые делят её на 5 равных отрезков (так, что
AE = BK = KL = LM = MN = АВ). Чему равна сумма углов
AKE+ALE+AME+ANE+ACE ?
Ответ: 45
Рассмотрим на стороне AD точки E,F,G,H, делящие её на 5 равных частей. Тогда,
AKE=DCH, ALE=HCG, AME=GCF, ANE=FCE. Т.е., искомая сумма углов
равна углу ACD.
3 Найдите два таких трехзначных числа x и y, что сумма всех остальных трехзначных чисел равна 600x.
Ответ. x = 822, y = 528.
Сумма всех трехзначных чисел равна (100+999)·450 = 494550 (разбиваем на 450 пар равноудаленных от концов чисел). По условию
494550 − x − y = 600x, откуда
.
4 Сравните дроби
, и расположите их в
порядке возрастания.
Ответ: x < y < z.
Решение 1. Пусть
, тогда
откуда легко следует ответ.
А
А
А
А
А
А
,
Решение 2. Привести все дроби к общему знаменателю
(74074259259), и сравнить числители.
Решение 3. Рассмотреть дроби
, откуда легко следует ответ.
откуда легко следует ответ.
5 Сколько существует различных способов расстановки трёх
шахматных королей на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждый из них бил каждого из остальных (доска неподвижна,
расстановки, получающиеся друг из друга поворотом доски
на 90, на 180 или на 270 считаются различными).
Ответ: 196
Решение 1.
В каждом квадрате 2×2 есть четыре варианта расположения
тройки королей, а таких квадратов – 49.
Решение 2.
Очевидно, что короли должны занимать три соседние клетки какого-то квадрата 2×2. Назовём «главным» короля, у которого нет
соседа по диагонали, а оба соседа – по сторонам клетки. Главные
короли могут оказаться в клетках трёх типов:
– в углу (4 клетки, один вариант расстановки трёх ладей для каждой из них);
– на краю доски, но не в угловой клетке (28 клеток, по два варианта расстановки трёх ладей для каждой из них);
– в клетках не на краю доски (36 клеток, по четыре варианта
расстановки трёх ладей для каждой из них).
Итого: 4+24×2+36×4 = 196.
Зональная олимпиада школьников по математике
Краснодарский край, 10 декабря 2013
8 класс
Время работы – 4 часа
Составитель текста – Федоренко И.В.,
телефон для справок +7 918 225-22-13
1
Шестизначное число A делится на 17, а число, полученное вычеркиванием его последней цифры, делится на 13. Найти наибольшее A, удовлетворяющее этим требованиям.
Ответ: 999838
Наибольшее пятизначное число, кратное 13 равно 99996. Но, чисел кратных 17 от 999960 до 999969 нет. Поэтому, рассмотрим следующее кратное 13 пятизначное число 99983. Число
999838 кратно 17.
2
Сколькими способами можно расставить восемь ладей на чёрных
клетках шахматной доски размером 8×8 так, чтобы они не били
друг друга
Ответ: 242=576.
Раскрасим все чёрные клетки в синий и
красный цвет, как на рисунке. На синих
клетках стоят четыре ладьи, и на
красных клетках стоят 4 ладьи.
Если вырезать все столбцы и все строки с синими клетками, то получится
красный квадрат 4×4, в котором необходимо расставить 4 ладьи – по одной в
каждой строке и в каждом столбце. То
же – для синего квадрата 4×4, что и
приводит к ответу.
3
Пусть выполнено равенство
Доказать, что
с
с
с
к
с
к
с
к
с
к
к
с
к
.
.
к
с
к
с
к
к
с
с
к
с
к
с
к
с
с
к
с
к
к
Доказательство:
Очевидно, что все три числа не могут быть одного знака (если все
три числа, например, положительны, то каждая дробь в левой части
условия больше правой части).
Пусть
.
. Тогда
Отсюда следует, что
Отсюда следует, что либо
, т.е.,
, либо
.
.
А отсюда легко следует требуемое равенство.
4
На сторонах АС,АВ,BC остроугольного треугольника АВС взяты точки K,L,Р соответственно, так, что прямая KL параллельна ВС,
KРB=CAB, KL=CK. Доказать, что KР=AL.
Доказательство:
Решение 1. Возьмём такую точку М на отрезке РВ, что КМ = КР. Треугольники KAL и
CMK равны (по второму признаку равенства
треугольников). Поэтому, КР = КМ = AL.
Решение 2. Возьмём такую точку М на отрезке РВ, что КМ = КС. Треугольники KAL и
МРK равны (по второму признаку равенства
треугольников). Поэтому, КР = AL.
5
Натуральные числа от 1 до 20 записаны в ряд
так, что
.
Чему равна сумма
?
Ответ: 100
Заметим, что 200 – наибольшее возможное значение суммы
. Действительно, при раскрытии модулей, мы получим вместо каждого слагаемого одно из чисел вида
с плюсом, а другое – с минусом. Поэтому, максимальное
значение суммы принимается, когда в итоге числа от 1 до 10 включительно взяты по два раза с минусом, а числа от 11 до 20 – по два
раза с плюсом.
Но, тогда все выражения вида
равны разности двух чисел,
одно из которых больше 10, а другое – не превосходит 10. Поэтому
.