Çàäàíèå 18 Ñäàòü äî 12.02 Êàñàòåëüíàÿ 2 Çàäà÷à 1 (îáÿçàòåëüíàÿ). Îêðóæíîñòü êàñàåòñÿ ñòîðîíû BC òðåóãîëüíèêà ABC â òî÷êå M , à ïðîäîëæåíèé ñòîðîí AB è AC â òî÷êàõ N è P ñîîòâåñòâåííî. Âïèñàííàÿ â ýòîò òðåóãîëüíèê îêðóæíîñòü êàñàåòñÿ ñòîðîíû BC â òî÷êå K , à ñòîðîíû AB â òî÷êå L. Äîêàæèòå, ÷òî à) îòðåçîê AN ðàâåí ïîëóïåðèìåòðó òðåóãîëüíèêà ABC ; á) BK = CM ; â) N L = BC . Çàäà÷à 2.  ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê ñ îñíîâàíèåì, ðàâíûì a, âïèñàíà îêðóæíîñòü è ê íåé ïðîâåäåíû òðè êàñàòåëüíûå òàê, ÷òî îíè îòñåêàþò îò äàííîãî òðåóãîëüíèêà òðè ìàëåíüêèõ òðåóãîëüíèêà, ñóììà ïåðèìåòðîâ êîòîðûõ ðàâíà b. Íàéäèòå áîêîâóþ ñòîðîíó äàííîãî òðåóãîëüíèêà. Çàäà÷à 3. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì O, âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê ABC , êàñàåòñÿ ñòîðîí AB, BC è AC ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êàõ K, L è M . Èçâåñòíî, ÷òî ∠KLM = α. Íàéäèòå ∠BOC . Çàäà÷à 4. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì O êàñàåòñÿ â òî÷êå A âíóòðåííèì îáðàçîì áîëüøåé îêðóæíîñòè. Èç òî÷êè B áîëüøåé îêðóæíîñòè, äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíîé òî÷êå A, ïðîâåäåíà õîðäà BC áîëüøåé îêðóæíîñòè, êàñàþùàÿñÿ ìåíüøåé îêðóæíîñòè â òî÷êå M . Äîêàæèòå, ÷òî OM ||AC . Çàäà÷à 5.  îñòðûé óãîë, ðàâíûé 60◦ , âïèñàíû äâå îêðóæíîñòè, êàñàþùèåñÿ äðóã äðóãà âíåøíèì îáðàçîì. Ðàäèóñ ìåíüøåé îêðóæíîñòè ðàâåí r. Íàéäèòå ðàäèóñ áîëüøåé îêðóæíîñòè. Çàäà÷à 6. Îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè O1 è O2 êàñàþòñÿ âíåøíèì îáðàçîì â òî÷êå K . Íåêîòîðàÿ ïðÿìàÿ êàñàåòñÿ ýòèõ îêðóæíîñòåé â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ A è B è ïåðåñåêàåò èõ îáùóþ êàñàòåëüíóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó K , â òî÷êå M . Äîêàæèòå, ÷òî ∠O1 M O2 = ∠AKB = 90◦ . Çàäà÷à 7. Äâå îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ â òî÷êå A. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó A, ïåðåñåêàåò ýòè îêðóæíîñòè âòîðè÷íî â òî÷êàõ B è C ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíûå, ïðîâåä¼ííûå ê ýòèì îêðóæíîñòÿì â òî÷êàõ B è C , ïàðàëëåëüíû. Çàäà÷à 8. Ïðÿìûå P C è P D êàñàþòñÿ îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì AB (C è D òî÷êè êàñàíèÿ). Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ P ñ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ AC è BD, ïåðïåíäèêóëÿðíà AB . Çàäà÷à 9.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC ñ ïðÿìûì óãëîì A âïèñàííàÿ îêðóæíîñòü êàñàåòñÿ ñòîðîí AB è BC â òî÷êàõ P è Q ñîîòâåòñòâåííî. Âíåâïèñàííàÿ îêðóæíîñòü, êàñàþùàÿñÿ ñòîðîíû AB è ïðîäîëæåíèé ñòîðîí BC è AC , êàñàåòñÿ ïðîäîëæåíèÿ ñòîðîíû AC â òî÷êå R. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè P, Q è R ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Çàäà÷à 10. Íà êàæäîé ñòîðîíå ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ABCD âçÿòî ïî äâå òî÷êè, è îíè ñîåäèíåíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè âñå ïÿòü ÷¼ðíûõ ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ÿâëÿþòñÿ îïèñàííûìè, ò.å. â íèõ ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, òî ÷åòûð¼õóãîëüíèê ABCD òîæå îïèñàííûé. Çàäà÷à 11. ×åòûð¼õóãîëüíèê ñ ïåðïåíäèêóëÿðíûìè äèàãîíàëÿìè âïèñàí â êâàäðàò. Äèàãîíàëè è ñòîðîíû ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ðàçäåëèëè êâàäðàò íà 8 òðåóãîëüíèêîâ, ïîïåðåìåííî îêðàøåííûõ â ñåðûé è áåëûé öâåò. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â ñåðûå òðåóãîëüíèêè, ðàâíà ñóììå ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â áåëûå òðåóãîëüíèêè. Êðèòåðèè: îöåíêà ¾5¿ ¾4¿ ¾3¿ ¾2¿ ñäàíî çàäà÷ 10 8 6 4