Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Производная функции, её геометрический и механический смысл. Методические указания для практических занятий Новокузнецк 2014 УДК 517.54(07) П 801 Рецензент доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики имени профессора В.М. Финкеля Громов В.Е. П 801 Производная функции, её геометрический и механический смысл: метод. указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост. В. И. Зимин. – Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2014. – 10 с. Изложена краткая теория, рассмотрены примеры решения задач, приведены задания для самостоятельного решения. Предназначены для студентов всех специальностей и направлений подготовки. Печатается по решению Совета института фундаментального образования 2 1. Понятие производной Теоретические сведения 1. Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, то есть . Используя это определение, получают формулы дифференцирования (таблица производных) и правила дифференцирования. 2. Таблица производных: 2.1 Степенная функция: 1) c’=0, 2) x’=1, 3) (x2)’=2x, 4) 2.2 Показательная функция: 1) 2.3 Логарифмическая функция: 2.3 Тригонометрические функции: 2.4 Обратные тригонометрические функции: 2.5 Гиперболические функции: 3. Правила дифференцирования. 3.1 Производная суммы (разности) 3.2 Производная произведения 3.3 Производная частного 3.3 Производная сложной функции 3 . 3.3.1 Двухзвенная сложная функция y=U(V(X)), 3.3.2 Трехзвенная сложная функция 2. Геометрический смысл производной Теоретические сведения 1. Геометрический смысл производной функции y=f(x) состоит в том, что значение производной в точке х0 равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции, проходящей через точку графика с абсциссой х0 (рисунок 1). . 2. Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 имеет вид у=у’(x0)(x-x0)+y(x0). 3. Уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой х0 имеет вид у= (x0)(x-x0)+y(x0). у y=f(x) y=y’(x0)(x-x0)+y(x0) x (x-x0)+y(x0) y= Рисунок 1 – Геометрический смысл производной Примеры решения задач 1) В какой точке касательная к графику функций у=х3-х параллельна прямой у=5х+2? Решение В точках, в которых касательная параллельна прямой у=5х+2, её угловой коэффициент равен 5, поэтому, и 3x 2 1 5 , . Так, как 3 2 2. точка лежит на графике функции, то y ( 2) Ответ: М1,2( 4 2) Чему равен угловой коэффициент касательной, проведенный к окружности (х-1)2+(у+3)2=17, проведенной в точке М0(2;1) Решение Угловой коэффициент касательной в данной точке равен значению производной в этой точке. Находим производную. 2(х-1)+2(у+3)у,=0, у,= Ответ:-1/4 3) Найти угловой коэффициент касательной к данной линии в данной точке: Решение Угловой коэффициент касательной равен значению производной в этой точке. Отметим, что в данной точке параметр имеет два значения t1=0, t2=1. Это говорит о том, кривая, заданная параметрически самопересекается (рисунок 2). у 0 х Рисунок 2 – График заданной функции Поэтому в данной точке будет две касательные и два угловых коэффициента. Находим производную к=ух/= к1=у(0)=0, к2=у(1)=1/3. Ответ: 0; 1/3. 5 Задачи для решения в аудитории 1) Составить уравнение касательной к графику у=х2 в точке М(2;4). Построить параболу и касательную. 2) Составить уравнения касательных к графику функции у= 4х2 х в точках пересечения его с осью абсцисс. Сделать чертеж. 3) В точках М1(0; 0), М2(2; 1), М3(4; 0) проведены касательные к параболе у=(4х-х2)/4. Написать их уравнения и определить углы наклона к оси ОХ. Сделать чертеж. 4) Под каким углом пересекаются парабола у=х2 и прямая 3х-у2=0? 5) Под каким углом пересекаются парабола у=х2 с параболой у= ? 6) Написать уравнение касательной и нормали к кривой у=х3 в точке с абсциссой 2. Задачи для домашнего задания 7) В какой точке касательная к параболе у=х2 7.1) параллельна прямой у=4х-5; 7.2) перпендикулярна прямой 2х-6у+5=0; 7.3) образует с прямой 3х-у+1=0 угол 450? 8) Написать уравнения касательных к окружности х2+у2-4х=0 в точках её пересечения с осью ОХ. Сделать чертеж. 9) Написать уравнение касательных к окружности х 2+у2-6х-8у=0 в точках её пересечения с осью ОХ. Сделать чертеж. 10) Найти угловые коэффициенты касательных к данным линиям в данных точках: . Ответы 1)у=4х-4; 2) у=4х, у=-4х-16, 3)у=х, у=2,у=-х+4, ; 4) , 6) у=12х-16, у 5) 7.1) х=2, х=2; 7.3) х=-1, х= ; 8) х=0, х=4; 9) 10.1) 1; 10.2) . 6 3. Механический смысл производной Теоретические сведения 1. Если тело движется по закону S=S(t)( S- пройденный путь, tвремя от начала движения), то из определения производной следует, что скорость равна производной от пути по времениV=S’= , а ускорение- производная от скорости по времени w=V’= . 2. Если некоторая величина меняет свое значение в зависимости от времени, то производная от этой величины по времени является скоростью процесса, который характеризуется данной величиной. Например, при радиоактивном процессе масса является величиной, зависящей от времени, а производная от функции массы по времени является скоростью радиоактивного распада. 3. Если стержень I помещен на ось ОХ (рисунок 3), а масса его участка [0;x] равна м=м(х), то производной от этой функции по х будет являться плотность стержня в точке х. *0 I * x Рисунок 3 – Изображение стержня на оси Ох Пример решения задач 1. Точка движется по окружности . Найти скорость изменения абсциссы и ординаты точки, если полярный радиус вращается со скоростью . Полярная ось служит осью абсцисс, пoлюс началом системы декартовых координат. Решение Находим координаты точки окружности по формулам Тогда . Находим скорость изменения координат: . Полученные выражения определяют скорости изменения абсциссы и ординаты точки. 7 Задачи для решения в аудитории 1) Точка движется по логарифмической спирали . Найти скорость изменения полярного радиуса, если известно, что он изменяется со скоростью . 2) Тело движется по прямой по закону x=t3/3-2t2+3t. Определить скорость и ускорение движения. В какие моменты тело меняет направление движения? 3) Колебательное движение точки совершается по закону Определить скорость и ускорение движения в точках . Показать, что ускорение и отклонение связаны дифференциальным уравнением . 4) Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за t секунд поворачивается на угол , где а, b, сположительные постоянные. Определить угловую скорость и ускорение вращения. Когда колесо остановится? Задачи для домашнего задания 5) Колесо радиуса a катится по прямой. Угол поворота колеса за t сек. Определяется уравнением .Определить скорость и ускорение движения центра колеса. 6) Точка движется прямолинейно так, что v2=2ax, где vскорость, х-пройденный путь и a постоянная. Определить ускорение движения. 7) Круг радиуса R катится без скольжения по прямой. Центр круга движется с постоянной скоростью v, найти скорость изменения абсциссы x и ординаты у для точки, лежащей на границе круга. Ответы 1) a e ; 2)t1=1, t2=3; 3) v1,2=-a,v3=0, w1,2=0, w3=-a; 4) 5) v=a(1+t), w=a; 6) w=a; 7) vx=v(1+ vy=v aφ 8 ; Библиографический список 1. Игнатьева А.В. Курс высшей математики / А.В. Игнатьева, Т.И. Краснощекова, В.Ф. Смирнов. – М.: Высшая школа, 1998. – 692с. 2. Шипачев В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Шипачев. М.: Высшая школа, 1998. – 479 с. 3. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Шипачев. М.: Высшая школа, 1998. – 304 с. 4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – Москва : Высшая школа, 2003. – 304 с. 9 Учебное издание Составитель Зимин Владимир Иванович Производная функции, её геометрический и механический смысл Методические указания для практических занятий Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом Подписано в печать 28.03.2014г. Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл.-печ. 0,58 л. Уч.-изд. 0,65. л. Тираж 50 экз. Заказ . Сибирский государственный индустриальный университет 654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42. Типография СибГИУ 10