Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. № 1 (22). С. 191–195 УДК 539.3 СОСРЕДОТОЧЕННАЯ СИЛА ВБЛИЗИ ВЕРШИНЫ МЕЖФАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ С ЖËСТКОЙ НАКЛАДКОЙ НА ЕË БЕРЕГУ Ю. О. Васильева, В. В. Сильвестров 1 Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова, 428015, Чебоксары, Московский пр., 65. 2 Российский государственный университет нефти и газа им. И. М. Губкина, 199991, Москва, Ленинский пр., 65. E-mails: shydaisy@mail.ru, v-silvestrov@yandex.ru Изучается плоское напряжённое состояние вблизи вершины межфазной трещины, порождённое заданной сосредоточенной силой. Один из берегов трещины частично усилен жёсткой прямолинейной накладкой. Находятся комплексные потенциалы, коэффициенты интенсивности напряжений в вершине трещины, приводятся их графики. Ключевые слова: трещина, жёсткая накладка, сосредоточенная сила, кусочнооднородная упругая плоскость, напряжения, коэффициенты интенсивности напряжений, гипергеометрическая функция. Пусть в кусочно-однородном упругом изотропном теле, составленном из разных по упругим свойствам верхней и нижней полуплоскостей, на линии раздела сред y = 0 расположена полубесконечная открытая трещина [0, +∞), верхний берег которой на участке [0, l] подкреплён абсолютно жесткой прямолинейной накладкой, присоединённой к телу без натяга, а остальная часть этого берега и весь нижний берег трещины свободны от напряжений: u+ (x) + iv + (x) = iεx, x ∈ (0, l); − τxy (x) + iσy− (x) + τxy (x) + iσy+ (x) = 0, = 0, x ∈ (l, +∞); x ∈ (0, +∞), где u+iv — вектор смещений, τxy +iσy — вектор напряжений, ε — неизвестный угол поворота накладки, а верхними индексами плюс и минус помечены значения функций на верхнем и нижнем берегах трещины. Вдоль луча (−∞, 0] полуплоскости жёстко соединены друг с другом, и в точке x = x0 (x0 < 0) действует сосредоточенная сила X0 + iY0 . На бесконечности напряжения и вращение исчезают. На накладку никакие внешние силы не действуют. Требуется найти комплексные потенциалы, описывающие плоское напряженное состояние тела, и исследовать поведение напряжений вблизи вершины трещины. Воспользуемся формулами Колосова—Мусхелишвили для кусочно-одноЮлия Олеговна Васильева, аспирант, каф. математического анализа и дифференциальных уравнений. Василий Васильевич Сильвестров (д.ф.-м.н.), профессор, каф. высшей математики. 191 В а с и л ь е в а Ю. О., С и л ь в е с т р о в В. В. родной плоскости [1]: σx + σy = 4Re Φ∗ (z), z = x + iy, σy − iτxy = Φ∗ (z) + Ω∗ (z) + (z − z)Φ0∗ (z), 2µj (u + iv)0x = κj Φ∗ (z) − Ω∗ (z) − (z − z)Φ0∗ (z), Φ∗ (z) = Φ(z), Imz > 0, Ω (z) = α1 Φ(z) + α2 Ω(z), Imz < 0, ∗ α1 = (1 + µ∗ κ1 )/(1 + κ2 ), α2 = (1 − µ∗ )/(1 + κ2 ), µ∗ = µ2 /µ1 , (1) Ω(z), Imz > 0, α3 Ω(z) + α4 Φ(z), Imz < 0, α3 = 1 − α2 , κj = (3 − νj )/(1 + νj ), α4 = 1 − α1 , j = 1, 2, где Φ(z), Ω(z) — кусочно-голоморфные функции (комплексные потенциалы) с линией разрыва [0, +∞), а µ1 , ν1 и µ2 , ν2 — модули сдвига и коэффициенты Пуассона верхней (j = 1) и нижней (j = 2) полуплоскостей соответственно. В точках z = 0 и z = l ± i0 функции Φ(z), Ω(z) могут иметь интегрируемые особенности, на ∞ они исчезают, а в точке z = x0 имеют простые полюсы с вычетами P1 = −(X0 + iY0 )/[2π(1 + µ∗ κ1 )] и P2 = κ2 (X0 + iY0 )/[2π(µ∗ + κ2 )] соответственно [2]. На луче (0, +∞) функции Φ(z), Ω(z) удовлетворяют краевым условиям κ1 Φ+ (x) − Ω− (x) = 2iµ1 ε, x ∈ (0, l); Φ+ (x) + Ω− (x) = 0, x ∈ (l, +∞); α1 Φ− (x) + α2 Ω− (x) + α3 Ω+ (x) + α4 Φ+ (x) = 0, (2) x ∈ (0, +∞), откуда находим [3]: Φ(z) = H1 (z/l), Ω(z) = H2 (z/l); Hj (ζ) = A0 +C2 (ζ−t0 )−1 +εµ1 J2 (ζ) χj1 (ζ) + C1 (ζ−t0 )−1 +εµ1 J1 (ζ) χj2 (ζ), P1 χ2j (t0 ) − P2 χ1j (t0 ) X0 + iY0 A0 = − , Cj = (−1)j , t0 = x0 /l, 2πlc3 (α1 + α3 ) l det X + (t0 ) Z + −1 + (−1)j 1 χ2j (t) + α4 α3 χ1j (t) Jj (ζ) = dt, j = 1, 2, κ1 π 0 (t − ζ) det X + (t) Z εµ1 = − 1 0 t Re −1 + (t) + C (t − t ) χ (t) dt × A0 + C2 (t − t0 )−1 χ+ 1 0 11 12 Z × 0 c3 = 192 1 −1 + (t)J (t) + χ (t)J (t) dt , t Re χ+ 1 2 11 12 c1 ξ2 eiπa Γ(c)Γ(b − a) c2 ξ1 eiπ(a+1−c) Γ(2 − c)Γ(b − a) + , Γ(c − a)Γ(b) Γ(b + 1 − c)Γ(1 − a) (1 − ξ1 )Γ(2 − c)e−iπc (1 − ξ2 )Γ(c) , c2 = , c1 = Γ(a + 1 − c)Γ(1 − b) Γ(a)Γ(c − b) Сосредоточенная сила вблизи вершины межфазной трещины с жёсткой накладкой на её берегу q 1 α2 κ1 + α4 α1 ξ1,2 = , α= , m= , −α ± α2 − 4mκ−1 1 2 α 3 κ1 α3 ln ξ1 3 1 1 a=1− , b= + (ln m − ln ξ1 ), c = 1 + (ln ξ2 − ln ξ1 ) 2πi 2 2πi 2πi (0 < arg ξ1 6 π, π 6 arg ξ2 < 2π, Imξ1 > 0, Imξ2 6 0), где Γ(ζ) — гамма-функция Эйлера и χij (ζ) — элементы канонической матрицы X(ζ) однородной векторной краевой задачи Римана (2) при l = 1. Для изучения напряжений вблизи вершины трещины z = 0 достаточно знать выражение этой матрицы при Re z < 1: ln ξ1 c ξ c ξ η11 (ζ) η12 (ζ) , λ=− X(ζ) = ζ λ 1 2 2 1 , c1 m c2 m η21 (ζ) η22 (ζ) 2πi η11 (ζ) = F (a, b; c; ζ), η12 (ζ) = a(1 − ζ)F (a + 1, b; c; ζ), η21 (ζ) = ζ 1−c F (a − c + 1, b − c + 1; 2 − c; ζ), η22 (ζ) = (a − c + 1)ζ 1−c (1 − ζ)F (a − c + 2, b − c + 1; 2 − c; ζ) при |ζ| < 1, ζ 6∈ [0, 1]; −a η11 (ζ) = a∗ (ζ − 1) F (a, c − b; c; ζ∗ ), η12 (ζ) = aa∗ (ζ − 1)−a F (a + 1, c − b; c; ζ∗ ), η21 (ζ) = −c∗ ζ 1−c (ζ − 1)c−a−1 F (a + 1 − c,1 − b; 2 − c; ζ∗ ), η22 (ζ) = (c − a − 1)c∗ ζ 1−c (ζ − 1)c−a−1 F (a + 2 − c,1 − b; 2 − c; ζ∗ ), a∗ = eiπa , ζ∗ = ζ/(ζ − 1), c∗ = eiπ(a−c) при Re ζ < 1/2, ζ 6∈ [0, 1/2]. Здесь F (a, b; c; ζ) — гипергеометрическая функция Гаусса, а у многозначных функций ζ p и (ζ − 1)q берутся ветви, однозначные в плоскости с разрезами [0, +∞) и [1, +∞) соответственно, определяемые условиями 0 < arg ζ < 2π и 0 < arg(ζ − 1) < 2π. Из приведённых формул и формул (1) следует, что вблизи точки z = 0 на действительной отрицательной полуоси x < 0 вектор напряжений σy − iτxy имеет асимптотику KI − iKII KIII − iKIV σy (x) − iτxy (x) = √ +√ + O(1), x → 0−0, 2π|x|γ0 −iδ0 2π|x|1−γ0 −iδ0 √ KI − iKII = 2π(ξ1 + m)D2 e−iπ(γ0 −iδ0 ) , √ KIII − iKIV = 2π(ξ2 + m)D1 e−iπ(1−γ0 −iδ0 ) , γ0 − iδ0 = ln ξ2 /(2πi), −1 λj Dj = cj [A0 − C2 t−1 0 + εµ1 J2 (0) + (λj − 1)(C1 t0 − εµ1 J1 (0)]l , λj = (2πi)−1 ln ξj , j = 1, 2 в случае γ0 6= 1/2 и асимптотику σy (x) − iτxy (x) = (KI − iKII )|x|iδ2 + (KIII − iKIV )|x|iδ1 p + O(1), 2π|x| √ KI − iKII = − 2π(ξ1 + m)D2 e−πδ2 , x → 0−0, 193 В а с и л ь е в а Ю. О., С и л ь в е с т р о в В. В. √ KIII − iKIV = − 2π(ξ2 + m)D1 e−πδ1 , δ1,2 = ln |ξ1,2 |/(2π) в случае γ0 = 1/2. Таким образом, интенсивность напряжений вблизи точки z = 0 в любом случае определяется четырьмя коэффициентами KI , KII , KIII , KIV , и напряжения в вершине трещины всегда имеют как степенную, так и осциллирующую особенность. Для значений упругих параметров κ1 = 1,8, κ2 = 2,2 и µ∗ = 2, когда γ0 = 0,79373, графики зависимости коэффициентов KI , KII , KIII , KIV и угла поворота накладки ε от расстояния d = |x0 | между точкой приложения сосредоточенной силы и вершиной трещины и от направления φ силы приведены на рис. 1–4. В первом случае сила X0 + iY0 = −P (P > 0) постоянна и направлена вдоль действительной оси, а во втором случае сила X0 + iY0 = P (cos φ + i sin φ) составляет угол φ с осью x, x0 = 0,2. В обоих случаях принято l = 1. Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 10–01–00103). БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983. 296 с. [Cherepanov G. P. Fracture Mechanics of composite materials. Moscow: Nauka, 1983. 296 pp.] 2. Сильвестров В. В. Метод римановых поверхностей в задаче о межфазных трещинах и включениях при наличии сосредоточенных сил // Изв. вузов. Матем., 2004. № 7. С. 78– 91; англ. пер.: Sil’vestrov V. V. The method of Riemann surfaces in the problem of interfacial cracks and inlcusions in the presence of point forces. // Russian Math. (Iz. VUZ), 2004. Vol. 48, no. 7. Pp. 75–88. 3. Хвощинская Л. А. К проблеме Римана в случае произвольного числа особых точек / В сб.: Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление: Труды международной конференции (16–20 февраля 1996 г.); ред. А. А. Килбас. Минск: Белорус. 194 Сосредоточенная сила вблизи вершины межфазной трещины с жёсткой накладкой на её берегу ун-т, 1996. С. 377–382. [Khvoshchinskaya L. A. To the Riemann problem in the case of an arbitrary number of singular points / In: Boundary value problems, special functions and fractional calculus: Proceedings of the International Conference (February 16–20, 1996); ed. A. A. Kilbas. Minsk: Belorus. Un-t, 1996. Pp. 377–382]. Поступила в редакцию 27/I/2011; в окончательном варианте — 14/III/2011. MSC: 74B05; 74Rxx, 33Cxx CONCENTRATED FORCE ACTING NEAR THE TIP OF AN INTERFACE CRACK WITH A RIGID OVERLAY ON ITS SIDE Yu. O. Vasilyeva, V. V. Silvestrov 1 Ulyanov Chuvash State University, 65, Moskovskiy pr., Cheboksary, 428015, Russia. 2 Gubkin Russian State University of Oil and Gas, 65, Leninskiy pr., Moscow, 199991, Russia. E-mails: shydaisy@mail.ru, v-silvestrov@yandex.ru Plane stress state near the tip of an interface crack induced by specified concentrated force is considered. One of the crack faces is partially reinforced by a rigid straight line overlay. The complex potentials, the stress intensity factors at the crack-tip are found, corresponding plots are presented. Key words: crack, rigid overlay, concentrated force, piecewise-homogeneous elastic plane, stresses, stress intensity factors, hypergeometric function. Original article submitted 27/I/2011; revision submitted 14/III/2011. Yulia O. Vasilyeva, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis & Differential Equations. Vasiliy V. Silvestrov (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of Higher Mathematics.