( ) ϕ πε

2. ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Потенциал, создаваемый точечным зарядом Q в точке A, находящейся на
расстоянии r от этого заряда, равен ϕ (A ) =
Q
4πε 0 r
, если положить потенциал на
бесконечности равным нулю: φ(∞) = 0.
Потенциал, создаваемый в точке A произвольным зарядом, можно найти на
основании принципа суперпозиции (см. пример 2.1).
Зная
распределение
потенциала
φ(x,
y,
z),
можно
найти
составляющие
напряженности, пользуясь дифференциальной связью потенциала, и напряженности
(см. пример 2.2).
Потенциал и разность потенциалов можно рассчитать, зная напряженность
электростатического поля, так как они взаимосвязаны.
Примеры решения задач
Пример 2.1. По тонкому* стержню, длиной l = 20 см равномерно распределен
заряд Q = l,0 мкКл. Найти потенциал в точке A, лежащей на продолжении стержня на
расстоянии
x0
=
10
см
от
его
ближайшего
конца
(рис.
2.1).
Пользуясь
дифференциальной связью напряженности и потенциала, найти напряженность
электрического поля в точке A.
Рис. 2.1.
Наиболее экономно в данном случае найти потенциал φ(A), исходя из принципа
суперпозиции потенциала: ϕ (A ) =
∫ dϕ (A ) . Введем ось x, как на рис. 2.1. Мысленно
по Q
разделим стержень на столь малые участки dx, что сосредоточенный на участке dx
заряд dQ можно считать точечным. Поскольку заряд распределен по стержню
равномерно, то Q/l = dQ/dx, откуда dQ =
потенциал dϕ (A ) =
dQ
4πε 0 r
Q
dx . В точке A этот заряд dQ создает
l
(считаем, что φ(∞) = 0), здесь r – расстояние от участка dx до
A,
r = l + x0 – x.
Потенциал, создаваемый всеми зарядами стержня, найдем интегрированием:
ϕ (A ) =
∫ dϕ (A ) = ∫
по Q
dQ
по Q
4πε 0 r
l
Qdx
.
4πε 0 lr
0
=∫
Учтем, что расстояние r от произвольного заряда dQ до точки A различно, и
перейдем к интегрированию по r (dr = – dx, пределы интегрирования по r примут
значения при x = 0 r = l + x0, при x = l r = x0) (рис. 2.1). Тогда
ϕ (A ) = −
x0
dr
Q
l + x0
=
ln
= 30 кВ .
x0
4πε 0l r 4πε 0l
l+x0
∫
Q
Конечно, можно найти φ(A) из интегральной связи напряженности и потенциала
∞
ϕ (A ) = ∫ E x dx , но для этого нужно сначала вычислить Ex(x) (тоже с помощью принципа
A
суперпозиции), этот путь длиннее.
При x >> l заряд стержня можно считать точечным, действительно, в этом случае
ϕ (A ) =
Q
4πε 0 l
ln (1 + l x 0 ) =
Q
4πε 0 x 0
(здесь использовано разложение в ряд Тейлора
ln(1 + x) = x при малых x). Зная φ(x), найдем
Ex = −
dϕ
d
=−
dx
dx
 Q
Q
x 
Q
 =

, E x (A ) =
.
ln
4πε 0 x 0 (x 0 − l )
 4πε 0 l x − l  4πε 0 x (x − l )
Отметим, что это выражение для Ex справедливо только для точки на продолжении
стержня.
Пример 2.2. Найти потенциал как функцию расстояния от центра двух
концентрических сфер радиусами r1 = 10 см и r2 = 20 см, равномерно заряженных
зарядами
Q1 = 1,0 · 10-6 Кл и Q2 = – 3,0 · 10-6 Кл. Начало отсчета потенциала принять в центре
(φ(0) = 0).
Расчет потенциала из принципа суперпозиции ϕ =
∫ dϕ
представляет здесь
по Q
математически сложную задачу. Высокая симметрия заряда позволяет легко рассчитать
напряженность поля и воспользоваться связью потенциала и напряженности в
интегральной форме
r0
ϕ (r ) = ϕ (r ) − ϕ (r0 ) = ∫ E l dl , ϕ (r0 ) = 0 .
r
Применяя теорему Гаусса, найдем
Er = 0
на участке 0 < r < r1,
Er =
Er =
Q1
4πε 0 r 2
на участке r1 < r < r2,
Q1 + Q2
при r > r2.
4πε 0 r 2
Полученный зависимости Er(r) для конкретных заданных значений приведены на
рис. 2.2.
Er,
5
10 Н/Кл
10
5
0
-5
Рис. 2.3.
Рис. 2.2.
Вычисляя потенциал φ(r), отметим, что соответствующий интеграл представляет
собой площадь, ограниченную кривой Er(r) (рис. 2.2).
Математическое выражение для потенциала (как и Er(r)) будет иметь для разных
областей различный вид. Так,
0
для области r < r1 ϕ (r ) = ∫ 0dr = 0 ,
r
r1
для r1 < r < r2
0
Q1dr
Q 1 1 
+
0dr = 1  −  ,
2
∫
4πε 0r
4πε 0  r r1 
r
r
ϕ (r ) = ∫
r2
r
0
1
Q1 + Q2
Q1dr
1  Q1 + Q2 Q1 Q2 

+ ∫ 0dr =
− −  .
dr + ∫
для области r ≥ r2 ϕ (r ) = ∫
2
2
4πε 0r
4πε 0r
4πε 0  r
r1
r2 
r
r
r
На рис. 2.3 изображен график φ(r) при заданных значениях r1, r2, Q1, Q2. Потенциал
бесконечно удаленных точек положительный, это означает, что при переносе
единичного заряда к центру поле совершает положительную работу (действительно, dr
<
0,
Er < 0, dA < 0).
Задачи
2.1. Два точечных заряда расположены на оси x декартовой системы координат.
Заряд Q1 = 4,0 · 10-7 Кл находится в точке x1 = 0, заряд Q2 = – 2,0 · 10-7 Кл – в точке
x2 = – 70 мм.
1. Найти потенциал: а) в точке с координатами x = 20 мм, y = 50 мм; б) в точке, в
которой результирующая напряженность поля E = 0 (φ(∞) = 0).
2. Построить график зависимости потенциала φ от координаты x для точек,
расположенных вдоль оси абсцисс.
2.2. По тонкому* стержню длиной l равномерно распределен заряд Q. Найти
потенциал в точке, лежащей на продолжении стержня на расстоянии x0 от его
ближайшего конца.
2.3. Тонкий* стержень длиной l = 10 см заряжен положительным зарядом с
линейной плотностью τ = τ 0
x
, где τ0 =8 нКл/м (рис. 1.5). Найти потенциал в точке,
l
находящейся на продолжении стержня на расстоянии a = 20 см от его правого конца.
2.4. По тонкому* полукольцу радиуса r = 80 мм равномерно распределен заряд
Q = 7 · 10-8 Кл.
1. Найти потенциал в центре полукольца.
2. Как изменится ответ, если полукольцо заряжено неравномерно?
2.5. По тонкому* полукольцу радиуса r равномерно распределен заряд Q. Из центра
полукольца восстановлен перпендикуляр к плоскости полукольца. Ось z направлена по
перпендикуляру, начало координат в центре полукольца.
1. Найти потенциал φ и проекцию вектора напряженности Ez как функцию
координаты z точек, лежащих на оси z.
2. Что изменится, если заряд Q распределить по полукольцу неравномерно?
2.6. По тонкому* кольцу радиуса r равномерно распределен заряд Q.
1. Найти потенциал поля в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии z от его
центра.
2. Построить график зависимости потенциала φ от координаты z точек, лежащих на
оси кольца (ось z направлена по оси кольца, начало координат совпадает с его
центром), считая: а) φ = 0 при z = 0; б) φ = 0 при z → ∞.
3. Найти напряженность поля в точках, лежащих на оси, дифференциальную связь
между φ и E.
4. Что изменится в решении задачи, если заряд будет распределен по кольцу
неравномерно?
2.7. Поле создано диполем с электрическим моментом p = Ql.
1. Найти потенциалы точек, лежащих: а) вдоль оси диполя (ось x) и б) на
перпендикуляре к оси, проходящем через середину диполя.
2. Построить графики зависимостей φ(x) и φ(y) для указанных точек.
2.8. Тонкий диск радиуса r = 20 см равномерно заряжен с поверхностной
плотностью σ = 50 нКл/м2.
1. Найти потенциалы в точках, лежащих на оси диска на расстояниях: a) z1 = 0,l r;
б) z2 = 3r от его центра.
2. Показать, что при z >> r потенциал меняется с расстоянием, как в поле точечного
заряда.
3. Построить график зависимости потенциала φ от расстояния z до точек,
расположенных на оси диска.
2.9. По полусфере радиуса r = 10 см равномерно распределен заряд Q = 6 · 10-7 Кл.
1. Найти потенциал в центре полусферы.
2. Как изменится ответ, если заряд Q распределить по поверхности полусферы
неравномерно?
2.10. По сфере радиуса r0 = 30 мм равномерно распределен заряд Q = 1,0 · 10-7 Кл.
1. Найти потенциал в точках, расположенных на расстояниях r1 = 20 мм и
r2 = 10 мм от центра сферы. Начало отсчета потенциала выбрать в центре сферы.
2. Построить график φ(r).
3. Те же вопросы при начале отсчета потенциала в бесконечности.
2.11. Тонкая* длинная* нить равномерно заряжена с линейной плотностью
τ = 4,0 · 10-7 Кл/м.
а) Найти потенциал в точках, расположенных на расстоянии r1 = 20 мм и r2 = 10 мм
от нити. Начало отсчета потенциала в точке на расстоянии от нити r0 = 60 мм.
б) Вычислить потенциал в каждой точке, приняв r0 = 60 см.
2.12. Длинный* цилиндр радиусом r0 = 30 мм равномерно заряжен по поверхности
с плотностью σ = 6 · 10-9 Кл/м2.
1. Найти потенциалы в точках на r1 = 20 мм, r2 = 10 см от его оси. Начало отсчета
потенциала принять на оси.
2. Построить график φ (r).
3. Можно ли выбрать начало отсчета потенциала в конечно удаленной точке? Ответ
объяснить.
2.13. Большая* плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью
σ = 6 · 10-9 Кл/м2. Найти потенциалы в точках, расположенных на расстоянии x1 = 20 см,
x2 = 10 см от нее. Начало отсчета потенциала принять на плоскости.
2.14. Объемный заряд постоянной плотности ρ имеет форму длинного* цилиндра
радиусом r0.
1. Найти потенциал как функцию расстояния от оси цилиндра. За точку с нулевым
потенциалом принять ось цилиндра, φ(0) = 0.
2. Построить график φ(r).
3. Можно ли в данном случаем начало отсчета потенциала отнести к
бесконечности?
4. Вычислить разность потенциалов между точками, отстоящими от поверхности
цилиндра на r0/2 внутрь и наружу, если r0 = 30 см, ρ = 6 · 10-6 Кл/м3.
2.15. Объемный заряд постоянной плотности ρ имеет форму большого* плоского
слоя толщиной d.
1. Найти потенциал как функцию расстояния x от середины слоя по нормали к его
поверхностям. Начало отсчета потенциала в середине слоя, φ(0) = 0.
2. Построить график φ(r).
3. Вычислить разность потенциалов между точками, отстоящими от поверхности
слоя на d/4 внутрь и наружу, d = 1,0 см, ρ = 6 · 10-6 Кл/м3.
2.16. Объемный заряд постоянной плотности ρ имеет форму шара радиуса r0.
1. Найти потенциал как функцию расстояния r от центра шара. Начало отсчета
потенциала выбрать на бесконечности, φ(∞) = 0.
2. Построить график φ(r).
3. Вычислить потенциал центра шара, если r0 = 1,0 см, ρ = 6 · 10-6 Кл/м3.
2.17. Сфера радиуса r1 = 2,0 см, равномерно заряженная зарядом Q1 = 10 нКл,
окружена концентрической сферой радиуса r2 = 4,0 см, равномерно заряженной
зарядом Q1 = – 40 нКл.
1. Найти потенциал точек, находящихся на расстоянии r3 = 3,0 см и r4 = 5,0 см от
центра сферы.
2. Найти потенциал внутренней сферы.
3. Построить графики зависимости проекции вектора напряженности Er и
потенциала φ от расстояния r.
4. Построить эти же графики при увеличении абсолютной величины заряда Q
вдвое.
2.18.
Электронное
облако
постоянной
объемной
плотности
заряда
ρ = – 6 · 10-4 Кл/м3 имеет форму шара радиуса r1 = 3,0 см. Концентрично этому облаку
расположена тонкая сфера радиуса r2 = 7,0 см, равномерно заряженная с поверхностной
плотностью σ = 1,5 · 10-6 Кл/м2.
1. Найти потенциал поля в точках r3 = 0, r4 = 1,0 см, r5 = 4,0 см, r6 = 8,0 см (r –
расстояние от центра объемного заряда до рассматриваемой точки).
2. Построить графики зависимости проекции; напряженности поля Er и потенциала
φ от расстояния r.
2.19. По сфере радиуса r0 равномерно распределен заряд Q. Пользуясь принципом
суперпозиции, рассчитать потенциал как функцию расстояния r от центра сферы.
Указание. Боковая поверхность шарового слоя высоты dh равна S = 2πr0dh.
2.20. Две тонкие* большие* пластины, равномерно заряженные с поверхностными
плотностями σ1 = 2,0 нКл/м2 и σ2, расположены параллельно друг другу на расстоянии
a = 30 мм.
1. Найти разность потенциалов U между пластинами.
2. Построить график изменения потенциала вдоль прямой, перпендикулярной
пластинам, считая потенциал одной из них равным нулю. Рассмотреть случаи:
а) σ2 = 4,0 нКл/м2; б) σ2 = σ1; в) σ2 = – σ1; г) σ2 = – 4,0 нКл/м2.
2.21. Три одинаковые тонкие* пластины расположены, параллельно друг другу на
расстоянии d = l,0 мм одна от другой (очень малом по сравнению с линейными
размерами пластин).
1. Найти разности потенциалов U1 и U2 между соседними пластинами, если на
первой находится равномерно распределенный заряд с плотностью σ1 = 20 нКл/м2, на
второй σ2 = 40 нКл/м2, на третьей σ3 = – 60 нКл/м2.
2. Построить график изменения потенциала φ вдоль оси x, перпендикулярной
плоскости пластин (φ = 0 на одной из пластин).
2.22. Длинная* тонкая* прямая нить равномерно заряжена с линейной плотностью
τ = 1,0 нКл/м. Каков градиент потенциала в точке, удаленной на расстояние r = 10 см от
нити. Указать направление вектора grad φ.
2.23. Потенциал электростатического поля в некоторой области зависит только от
координаты x следующим образом: a) φ = ax + c, x > 0; б) φ = – ax2/2 + c.
1. Чему равна напряженность такого поля?
2. При каком распределении зарядов может быть такое поле?
3. Какова размерность коэффициентов a и c, чем они определяются?
2.24.
Некоторое
распределение
зарядов
создает
электростатическое
поле,
потенциал которого зависит только от координаты x так, как это представлено на рис.
2.4 а, б.
1. Начертить график зависимости проекции силы Fx, с которой поле действует на
протон, от координаты x протона.
2. Как будет изменяться сила, с которой поле действует на протон, при d → 0?
3. Какие распределения зарядов позволяют получить такие поля?
2.25. Какова энергия W и скорость v электрона, прошедшего ускоряющее поле с
разностью потенциалов в 300 В?
2.26. Две параллельные пластины, расстояние между которыми l = 10 см, имеют
равные разноименные, равномерно распределенные заряды (плоский конденсатор). В
Бесконечно широкий Потенциальный барьер
потенциальный барьер
конечной ширины
а)
б)
Рис. 2.4 а, б.
середину между ними, параллельно им, влетает пучок электронов, прошедших
ускоряющее электрическое поле с разностью потенциалов U0 = 500 В. Какую
минимальную разность потенциалов U надо создать между пластинами, чтобы
электроны не вылетели из пространства между ними? Длина пластин b = 5 см.
Ответы

Q2
1  Q1
2.1. 1. а) ϕ (x , y ) =
−
2
4πε 0  x 2 + y 2
x + x2 + y2

[(
б) ϕ (x ,0) =
Q2
1  Q1
−

4πε 0  x 1 x − x 2
ϕ=

l 
ln 1 +  .
4πε 0 l  x 0 
2.3.
ϕ=
τ
4πε 0
Q

1 +

) ]

 = 4,4 кВ , x = – 0,24 м.


2. См. рис. 2.5.
2.2.

 = 50 кВ ;
12


a  l  
ln 1 +  − 1 = 16 В .
l   a  
2.4. 1. ϕ =
Q
4πε 0 r
= 8 кВ .
2. Не изменится.
2.5. 1. ϕ (z ) =
Q
, E z (z ) =
4πε 0 r 2 + z 2
(
Qz
4πε 0 r 2 + z 2
)
32
.
2. Не изменится.
2.6. 1. ϕ (z ) =
Q
.
4πε 0 r 2 + z 2
z
Рис. 2.6 а, б.
Рис. 2.5.
2. См. рис. 2.6 а и б.
3. E z (z ) =
(
Qz
4πε 0 r 2 + z 2
)
32
.
4. Ничего не изменится.
2.7. 1. а) ϕ (x ,0) =
(
4πε 0 x 2 − l 2 4
ϕ (x ,0) = −
ϕ (x ,0) =
Ql
(
) , x ≥ l/2;
Ql
4πε 0 x 2 − l 2 4
Qx
(
2πε 0 l 2 4 − x 2
) , x ≤ – l/2;
) , – l/2 ≤ x ≤ l/2;
ось x направлена вдоль дипольного момента.
Рис. 2.7.
Рис. 2.8.
б) ϕ (0, y ) = 0 .
2. См. рис. 2.7.
2.8. 1. ϕ ( z ) =
σ
2ε 0
(r
2
)
+ z2 − z ,
а) φ = 510 В;
б) φ = 90 В.
2. Указание: по формуле Тейлора 1 + x = 1 + x 2 при малых x.
3. См. рис. 2.8.
2.9. 1. ϕ =
Q
4πε 0 r
= 54 кВ .
2. Не изменится.
Q 1 1
 −  = −21 кВ .
4πε 0  r2 r0 
2.10. 1. ϕ (r1 ) = 0 , ϕ (r2 ) =
2. См. рис. 2.9, кривая а.
3. ϕ (r1 ) =
2.11.
ϕ (r ) =
Q
4πε 0 r0
= 30 кВ , ϕ (r2 ) =
Q
4πε 0 r2
= 9 кВ , см. рис. 2.9, кривая б.
r
τ
ln 0 ;
2πε 0 r
а) ϕ (r1 ) = 8,0 кВ ,
ϕ (r2 ) = −3,7 кВ ;
б) ϕ (r1 ) = 24 кВ ,
ϕ (r2 ) = 13 кВ .
2.12. 1. ϕ (r1 ) = 0 , ϕ (r2 ) =
σr0 r0
ln = −24 кВ .
ε0 r
2. См. рис. 2.10.
3. Нельзя.
Рис. 2.9 а, б.
Рис. 2.10.
2.13.
ϕ (x ) = −
2.14. 1. ϕ (r ) = −
σx
; ϕ ( x1 ) = −67 В ; ϕ ( x2 ) = −34 В .
2ε 0
ρr 2
ρr 2  r 1 
, r ≤ r0; ϕ (r ) = − 0  ln +  , r ≥ r0.
4ε 0
2ε 0  r0 2 
Рис. 2.11.
Рис. 2.12.
2. См. рис. 2.11.
3. Нельзя.
4. ϕ (r0 2) − ϕ (3r0 2 ) =
2.15. 1. ϕ ( x ) = −
ρr02  3
3
 + ln  = 23 кВ .
2ε 0  8
2
ρx 2
ρd 
d
, |x| ≤ d/2; ϕ ( x ) = −
 x −  , |x| ≥ d/2.
2ε 0 
4
2ε 0
2. См. рис. 2.12.
3. Нельзя.
4. ϕ (d 4) − ϕ (3d 4) =
7 ρd 2
= 15 В .
32 ε 0
ρr03
ρ
2
2
(3r0 − r ), r ≤ r0; ϕ (r ) = 3ε r , r ≥ r0.
2.16. 1. ϕ (r ) =
6ε 0
0
ϕ, В
30
20
10
0
1
Рис. 2.13.
2. См. рис. 2.13.
3. ϕ (0) =
ρr02
= 34 В .
2ε 0
2.17. 1. ϕ (r3 ) =
2. ϕ (r1 ) =
Q + Q2
1  Q1 Q2 
 = −3,0 кВ ; ϕ (r4 ) = 1
 +
= −3,6 кВ , |x| ≥ d/2.
4πε 0  r3
4πε 0 r4
r2 
1  Q1 Q2 
 = 0.
 +
4πε 0  r1
r2 
3. См. рис. 2.14 а, б.
Рис. 2.14 а, б.
4. См. рис. 2.15 а, б.
Рис. 2.15 а, б.
2.18. 1. ϕ (r ) =
1  2 1 2

 ρr1 − ρr + 2σr2  , r ≤ r1, ϕ (r3 ) = −19 кВ , ϕ (r4 ) = −18 кВ ;
2ε 0 
3

ϕ (r ) =
ρr13 σr2
+
, r1 ≤ r ≤ r2, ϕ (r5 ) = −3,4 кВ ;
3ε 0 r ε 0
ϕ (r ) =
1
(
ρr13 + 2σr22 ), r ≥ r2, ϕ (r6 ) = 2,7 кВ .
3εr0
2. См. рис. 2.16 а, б.
Er,
5
10 В/м
2
-2
-4
-6
Рис. 2.16 а, б.
2.19.
ϕ (r ) =
2.20. 1. U =
Q
4πε 0 r0
, r ≤ r0; ϕ (r ) =
Q
4πε 0 r
, r ≥ r0.
a
(σ 1 − σ 2 ) ,
2ε 0
а) U = – 3,4 В;
б) U = 0;
в) U = 6,8 В;
г) U = 10 В.
2. См. рис. 2.17 а, б, в, г, потенциал левой пластины с плотностью заряда σ1 равен
нулю.
Рис. 2.17 а, б, в, г.
2.21. 1. U1 =
d
(σ 1 − σ 2 − σ 3 ) = 2,3 В ; U 2 = d (σ 1 + σ 2 − σ 3 ) = 7 В .
2ε 0
2ε 0
2. См. рис. 2.18, φ = 0 на левой пластины с σ1.
Рис. 2.18.
2.22.
grad ϕ = −
τ r
= 10 В м .
2πε 0 r 2
2.23. 1. а) E x = −a ;
б) Ex = ax .
2. а) Равномерно заряженная плоскость;
б) объемный заряд постоянной плотности.
3. а) [a] = В/м, [c] = В;
б) [a] = В/м2, [c] = В.
2.24. 1. См. рис. 2.19 а, б.
Fx
0
Рис. 2.19 а, б.
2. Fx → 0.
3. а) Заряженный плоский конденсатор;
б) две большие параллельные плоскости с одинаковыми (по знаку и модулю)
зарядами.
2.25.
W = eU = 300 эВ = 4,8 ⋅ 10−17 Дж ; v = 2eU me = 1,0 ⋅ 107 м с .
2.26.
U1 =
2
U 0l 2 = 40 В .
b2