Глава 15. Портфели облигаций

Глава
15.1.
15. Портфели облигаций
Портфель облиrаций
Под портфелем облигаций понимается произвольный набор
облигаций. Под стоимостью портфеля облигаций в некоторый мо­
мент времени подразумевается суммарная рыночная стоимость всех
входящих в портфель облигаций. Соответственно, текущий доход
портфеля за заданный период времени равен сумме текущих доходов
за этот период всех облигаций, составляющих портфель.
Позиционное представление портфеля.. Пусть
Bl'B 2, ••• ,
Вkимеющие­
ся на рынке облигации. Обозначим через Z; - число единиц облига­
ций В; в портфеле л;, а через Р; - цену облигации
Bi. Тогда поток пла­
тежей, порождаемый портфелем п, есть линейная комбинация пото­
ков платежей
CF(B)
облигаций:
CF(1t) = z1CF(B1) + z2CF(B2) + ... + zkCF(Bk)
и стоимость Рте портфеля равна
рте= z1P1
Пример
15.1.
+ z2P2 + ... + zkPk.
Пусть А и В трехлетняя и пятилетняя облигации с
одинаковыми номиналами $100, с годовыми купонами и купонными
ставками 10% и 20% годовых соответственно. Допустим, что рыноч­
ная ставка равна 15% годовых. Найти поток платежей и стоимость
портфеля 1t, состоящего из 1О облигаций А и 20 облигаций В. Такой
портфель мы будем обозначать как 10·А 20·В.
+
Решение. Очевидно, что потоки платежей облигаций А и В имеют
вид:
CF(A) = {(1;10), (2;10), (3;110)}
CF(B) = {(1;20), (2;20), (3;20), (4;20), (5;120)}
215
Часть
111. Активы с фиксированной доходностью
Тогда очевидно, что
CF(n) = {(1;500), (2;500), (3;1500), (4;400), (5;2400)}
Стоимости облигации А и В равны
р А
р =
в
-
10
+
10
+ 10+100 -9220($)
'
(1+0,15) (1+0,15) 2 (1+0,15) 4 -
20
+
20
+
20
+
20
+ 20 + 100 =
2
3
4
(1+0,15) (1+0,15)
(1+0,15) (1+0,15)
(1+0,15) 5
=
128,84($)
Стоимость портфеля 7t равна
Prt =
10·Рл
+ 20·Рв = 10·$92,20 + 20·$128,84 = $3528,80.
Очевидно, что стоимость портфеля :можно бьmо бы найти ди­
сконтированием потока платежей портфеЛя: по рыночной ставке.
р
=
7r:
500 + 500
+ 1500 + 400 ' + 2400
2
(1+0,15) (1+0,15)
(1+0,15) 3 (1 +0,15) 4 (1 +0,15) 5
=
3528,73
Весовое представление портфеля.
Относительным весом
w.l
облигации Р.l в портфеле 7t называют
величину:
w" =
p.z.
/р
7r
./ =
p.z.
k'
'
·
(15.1)
I~ zi
i=I
Пример
15.2. Пусть облигация А стоит $100, а облигация В- $80.
Найти относительные веса портфеля состоящего из 1О облигаций А и
20 облигаций В.
Решение. Стоимость~ портфеля 7t =
зано в примере
WA =
IO·A + 20·В,
как бьmо пока­
15.1, равна $3528,80. Тогда:
10·92,20/3528,80 = 0,27
И WB =
20· 128,84/3528,80 = 0,73.
Следует отметить важное различие между двумя способами зада­
ния портфеля. Первый
-
абсолютный, задает явное количество кюк­
дого актива, причем это задание никак не связано с текущей ценой
облигации. Второй относительный, имеет смысл лишь при указан­
ных ценах облигаций. Набор весов, задающих портфель, будет есте­
ственно меняться при изменении цен облигаций.
216
Глава
В примере
15.1
15.
Портфель облигаций
мы предполагали независимость рыночной став­
ки (или ДКП) от срока погашения, что соответствует плоской кри:вой
доходности. На практике облигации с разными сроками погашения
имеют разные дкп, поэтому для нахождения стоимости портфеля
необходимо знать цену каждой облигации входящей в портфель. Од­
нако если известна временная структура спот-ставок: (1, s1), (2, s 2 ),
... , (п, sn) то на равновесном рынке стоимость портфеля всегда будет
равна дисконтированной по этой сtруктуре текущей стоимости его
потока платежей:
р
л:
где
CFn = {(1,
С1 ),
С1
С2
~ cN
= (1 + S1) + (1 + S2 ) 2 + ." + (1 + S N )N
С2 ), ••. ,
(2,
(N, CN )} -
поток плате:жей портфеля.
Средневзвешенная доходность к погашению портфеля облигаций. Сред­
невзвешенная доходность к погашению портфеля у
1t
равна взвешенной
(относительно весов облигаций в портфеле) сумме доходностей к погашению облигаций, составляющих портфель
Уп = W1J.\
+ W2Y2 + ... + wkyk'
(15.2)
где у.1 - доходность к погашению облигации В1..
Пример.
15.3. Пусть сtруктура процентных ставок имеет вид:
s1=5%, s2 = 8%, s3= 10%. Найти средневзвешенную доходность порт­
феля п= 2А + 3В, где А облигация с парамеtрами: тл = 3 года,
сА=6%, FA = $100, а В облигация с параметрами: тв= 2 года, св=12%,
Fв= $100.
Решение. Имеем:
р
А
=
6
+
6
+
106
$90 50
(1+0,05) (1+0,08) 2 (1+0,10) 3 =
'
и
р в-
12
+
112
- $107 45
(1+0,05) (l+O 08) 2 '
•
Для нахождения доходности к погашению (у) облигации А со­
ставляем уравнение:
.
6 +
6
+ 106
рА = (I+ул)
(l+Ул)2 (l+ул)з = 90,50.
Решая его, находим Ул=
9,81%.
Аналогично составляем уравнение
для ДКП ув облигации В:
15 175
217
Часть
Ill. Активы с фиксированной доходностью
Рв =
12
112
(1+ Ув) + (1+ Ув)z
Решая уравнение, находим Ув
Рп
= 2·РА +
= 7,83%.
= 107,45.
Стоимость портфеля равна:
3.рв =
2;90,50 + 3·107,45 = 181,00 + 322,35 = $503,35,
а веса облигаций wA = 181,00/503,35 = 0,36; wв=322,35/503,35 = 0,64.
Тогда средневзвешенное ДКП портфеля равно:
у1[
= 0,36-9,81% + 0,64-7,83% = 8,54%.
Доходность к пога1иению портфеля облигаций. Второй характеристи­
кой эффективности портфеля служит его ДКП. Эта характеристика
определяется как внутренняя доходность (ставка) полного потока
платежей (включая цену) облигации.
Пусть
облигации, а CFI'CF2 ,.",CFk - их потоки плате­
BI'B2 , ••• ,Bk -
жей. Будем считать, Что куПонные периоды облигаций совпадают.
Рассмотрим портфель
7t
включающий
= z1B1 + z2B2 +... + zkBk,
z.1 единиц облигации В1.. Тогда сумма потоков платежей
СFп =
z 1 CF 1 + z2 CF2 +... + zkCFk
задает поток платежей портфеля облигаций. Тогда внутренняя став­
ка потока СFirДКП ·портфеля находится· из уравнения
Рп=
с
с
с
(l+Iy) + (l+~)z + ... + (l+;)~-1 + (l+;)N '
где {(1,С1 ),(2,
Пример
с
C), ... ,(N, CN)}= CFn -
15.4.
(15.3)
поток платежей портф~ля.
Найти поток и доходность к погашению для пррт-
феля из примера 15.3.
:
Решение. Поток платежей по облигации А:
CFA = {(1, 6); (2, 6); (3, 106)}.
Поток платежей по облигации · В:
CFB = {(1, 12); (1, 112)}.
Тогда поток платежей портфеля имеет вид
CFir= 2CFA + 3СFв = {(1, 2-6
Начальная цена
+ 3· 12); (2, 2-6 + 3·112); (3, 2-106) }=
= {(1, 48); (2, 348); (3, 212)}.
портфеля облигаций Рп0 = $503,35.
Найдем доход­
ность к погашению (у) портфеля 7t облигаций из уравнения
218
1
1
Глава
1
15.
Портфель облигаций
1
48 + 348 + 212
(1 + у)2 (1 + у)з
1i
(1 +у)
i
i
i
503 35
= .' .
Решая это уравнение, находим доходность к погашению Уп = 8,74%.
Дюрацияпортфеля. ЕслиСFп-= {(1,С),(2, C), ... ,(N, CN)} поток пла­
тежей портфеля, то его дюрацией Маколея называется величина
D _ l·C1 + 2·С2 + + N·CN
7t - (1 + У)
(1 + у) 2 • • • (1 + у) N
где у
= уп
(lS.4)
'
ДКП портфеля.
Модифицированной дюрацией портфеля назь1вается величина
MD1t = Dn/O + Уп)
Средневзвешенной дюрацией портфеля те=
z 1B1 + z 2B2 +... + zkBk
называется величина
D п = w1D 1 + w2D2 +... + zпDп,
где.
D. 1
(15.5)
дюрация облигации
В.1 относительно
ее ДКП
.
.
Пример
-
у..
1
15.5. Найти дюрацию портфеля из примера 15.4.
Решение. Учитывая, что РА =
$90,50 и Ул= 9,81, найдем дюрацию
облигации А:
.
.
1 [
1·6
2·6
3·106 ]
Dл= Рл (l+ул) + (1+ул)2+ (l+ул)з
Аналогично, учитывая Рв =
обл~гации В:
=
2,82года.
$107,45 и Ув = 7,83, найдем дюрацию
.
D __1_[ 1·12 + 2 -. 112 ] _ l 90
в- Рв (1+У.в) (1+У.в)2 - '
года.
Поскольку wл
феля равна
= 0,36 и w8 = 0,64, то средневзвешенная дюрация порт­
Dтс ~
0,36 2,82 + 0,64 1,90 = 2,23 года.
С другой стороны для потока платежей
портфеля 1t получаем у = 8 '7 4 % и тоrда
{(1, 48); (2, 348); (3, 212)}
7t
D = . . 1 [ . 1· 48
+ . 2 · 348
+
3 · 212
]
п
503,35 (l+O,Q.874) (1+0,0874)2 . (1+0,08'74)з
= 2 24
'
года.
Можно показать, что для плоской структуры процентных ставок
дюрация портфеля, равна взвешенной средней дюрации облигаций.
В предьщущей главе мы определили понятие дюрации Фишера­
Вейля облигации, для произвольной облигации. Аналогичным обра­
зом можно определить дюрацию Фишера-Вейля портфеля облигаций.
15*
219
Часть
111. Активы с фиксированной доходностью
Пусть задана временная структура спот-ставок:
s = {(1, s1), (2, s2),
... , (m, sm )}. Тогдадюрацией Фишера Вейля портфеля 1t = z 1B1 + z2 B2
+... + zkBk
определяется как
DFW = -1С
-1 + 2С2
п
(1 + S1 )2 . (1 + S2)3
+
...
+
тСт
(1 + sm)m+I
б
(15.)
Заметим, что для заданной структуры спот-ставокs дюрация Фи­
шера-Вейля портфеля равна средне взвешенной сумме дюраций
Фишера-Вейля облигаций входящих в портфель:
DFWп
Пример
мера
15.6.
=
w 1 DF~
+ w2DFw; + ... + wkDF~.
Найти дюрацию Фишера-Вейля портфеля из при­
15.3.
Решение.
1 [ 1· 48 + 2 . 348 + 3 . 212 ] DF~ - 503,35 (1+0,05)2 (1 + О,08)з (1 +0,10)4 - 2,047 года.
Дюрация портфеля позволяет получить приближенную оценку
изменения цены при изменении процентных ставок (точнее при па­
раллельном сдвиге структуры спот-ставок).
Пусть исходная структура s = {(1, s 1), (2, s 2 ), ••• , (т, sm)} мгновен­
но смещается на величину
h
для всех сроков, порождая тем самым
новую структуру ставок
s + h = {(l,s1+h), (2, s2+h), ... , (т, sm +h)}.
В новой структуре все облигации и портфель изменят свои стои­
мости, при этом изменение цен облигаций и портфеля при малых h
будет верно приближенное равенство:
ЛР(h)
где
z
dP= -DFw·h
или ЛР(h)
DFw- дюрация Фишера-Вейля,
а
MD -
z
dP= -MD·h,
модифицированная дю­
рация соответствующая ДКП-дюрации облигации или портфеля.
Пример
15.7.
Рассмотрим структуру ставок, облигации и порт­
фель из примера
Пусть
h=
15. 3.
0,5% величина параттельного сдвига кривой спот-ста­
вок. Найти фактическое изменения цены портфеля и его приближе­
ния по дкп-дюрации и дюрации Фишера- Вейля.
Решение. В примерах
15.3-15.6 мы получили следующие значения:
начальная цена портфеля Рп = 503,35($);
ДКП портфеляуп = 8,74%;
ДКП- дюрация портфеля
Dn =2,24 года;
дюрация Фишера-Вейля портфеля D~
220
= 2,047.
Глава
Портфель облигаций
15.
Наконец легко найти новую цену
P(h) _
-
48
(1+О,055)
2
+
348
(1+О,085)
3
+
212
(1 + 0,105)
4
_ 498 23 ($)
-
'
для смещенных спот-ставок и соответствующуй ДКП решая уравнение
48 + 348 . + 212 = 498 23
(l+y) (l+y)2 (l+у)з
' '
Получим у1t(h)
= 9,24%. Таким образом, сдвигу h = 0,5% соответ-
ствует прирашение
Лy1t(h) =
9,24% - 8,74% = 0,50%
ДКП портфеля. Следовательно фактическое абсолютное изменение
цены портфеля составляет
Л~(h) =
498,23 - 503,35 = -5,11($)
. а относительное
8Р1t (h) = -5,11/503,35 = -1,016%.
Используя дюрацию · Фишера-Вейля получим оценку абсолютного и относительного изменения цены портфеля:
8Р1t=
-2,047·0,05% =-1,024%
и ЛР1t(h)
= -:-1,024% · 503,35=-5,12($);
а используя ДКП-дюрацию
8Р1t=
-2,24·0,50%/(1+0,0874) =-1,253%
= -1,253%. 503,3.5 = -6,30($).
и ЛР
. 1t(h)
=
Из примера видно, что оценка по дюрации Фишера- Вейля лучше чем оценка по ДКП-дюрации.
·
Полная (эффективная) доходность портфельной облигационной сдел­
ки. Полный доход
TRn
инвестора по портфелю 1t за период Т будет
складываться из:
купонных выплат, выплаченных ему за срок Т по всем обли­
гациям (за инвестиционный период);
дохода от инвестирования купонных выплат, выплаченных
ему за срок Т по всем облигациям (за инвестиционный пе-
риод);
.
номиналов облигаций, погашенных за срок Т;
дохода от инвестирования номиналов, погашенных за срок
Т по всем облигациям (за инвестиционный период);
выручки от продажи облигаций портфеля, проданных в кон­
це срока Т.
Полная эффективная доходность портфельной облигационной сдел-
221
Часть
III.
Активы с фиксированной доходностью
ки считается по формуле
1
r,
где Рп0
=(~! )' -1,
(15.6)
цена портфеля облигаций на дату покупки,
-
TR . 1t
полный
доход инвестора при реинвестировании дохода портфеля те.
Если купонные выплаты и суммы поrашения (номиналы) реин­
вестируются по соответствующим форвардным ставкам, то можно
показать, что полная доходность портфеля 1t в этом случае равна
(15.7)
где
С1
С2
См
PV1.-СFп) = (l+ ~ J1"т)1-т + (1+ 2fт) 2- т + ... + (1+ м1fт) м - т
-
(15.8)
приведенная к концу инвестиционного периода (т.е. к моменту Т)
стоимость полного потока платежей
CF'lt = {(1, С1 ),(2, C2), ••• ,(N, CN)}
по портфелю, причем ставкой дисконтирования для k-го платежа
Cic
является форвардная ставка
-
(1+sт)т
kfт- (I+sk)k ·
Пример
15.6. Пусть временная структура ставок имеет вид:
s1 =10%; s2 =12%; s3 =15%, s4 = 20%. На рынке обращаются две обли­
гации: облигация А с параметрами т = 3 года, с ~ 1о·%, F = $100 и
облигация В с параметрами т = 4 года, с= 20%·, F= $100. Найти ожи­
даемую реализованную доходность портфеля 1t -:- 5А
да Т =
2,
+ 2В,.для перио­
если купоны и номиналы погашения реинвестируются по
соответствующим форвардным ставкам.
Решение. Полный поток платежей портфеля (до погашения всех
облигаций портфеля) будет ·
СFя
= {(1,90),(2, 90), (3, 590),(4, 240)}.
Начальная цена портфеля будет приведенной к моменту t = О стоимо­
стью этого потока
(C'F ) _
90 +
90
+
590
+ 240
'"-- $657 24
Pvя0 -_ ртт
4
2
3
Уо
я - (1+0,1) (1+0,12)
(1+0,15)
(1+0,2) - ·
'
•
Форвардные ставки имеют вид
1; = 14,04%; 21; = 0%; 3J;= 21,24%; 4J;= 28,57%.
1
222
Глава
Приведенная по этим ставкам к моменту t
15. Портфель облигаций
= Т стоимость полного по­
тока СFп составит
240
590
Pv;(cF ) = 90·(1+0,1404)+90+ (
)+( ·
= $824,46.
1t
.
1+0,2124
1+0,2857) 2
.
Следовательно, полная эффективная ДОХОДНОСТЬ п~ртфеля будет
·(824' 46)
rтr =
l
2
657,24
'
'
.
-1 =О, 1200, ИЛИ 12,00%.
15.2 Управление прqцентным риском и и~мунизация
Выше бьшо показано, что стоимость облигаций и портфелей, со­
ставленных из них, меняется при изменении процентной ставки. Так
стоимость облигаций падает с ростом ставок и растет с их уменьше­
нием. с другой стороны рост ставок, приводящий к уменьшению
стоимости, ведет к росту инвестиционного (процентного) дохода от
реинвестирования
купонов
и
выручки
от
погашения
и
продажи
облигаций. Какова будет.полная стоимость облигационного портфе­
ля, зависит от его структуры.
Пусть инвестор сформировал портфель п
из облигаций
Bl'B2, ••• ,Bk и
= z 1B1 + z 2B2 + ... + zkBk
его инвестиционный период равен Т лет
(отсчитыва~мы от момента составления портфеля. Будем предпола­
гать также плоскую структуру ставок в начальный момент равную у0 •
Тогда начальная стоимость портфеля равна, очевидно, дисконтиро­
ванной ло ставке у0 стоимости его потока плат~жей ..
PV (CF )
О
7t
'
=
'
с1
(1 + Уо)
+
с2
{1 +уо )2
+ ... +
с
N
(1 +уо )N
'
Пусть сразу же посл:~ формирования портфеля рыночная ставка
становится
равной у и остается
неизменной
в течение всего периода.
.
.
'
.
'
.
инвестированщ:r ..Пусть
момент nQследнего купонного . ПЛ!!Тежа от
k-
облигаций портфеля за инвестиционный период. Тогда конечный .
капитал портфеля будет равным
PV/y)
где сумма
U дает вю:tад
=,
U+L
в конечный капитал купонного дохода и до­
хода от реинвестирования купонов и номиналов погашенных облиv
;
. .
.
.
'
.
гации:
(15.9а)
а сумма
L --
выручка от продажи непогашенных в течение инвести­
ционного периода облигаций
223
Часть
III. Активы с фиксирован.ной доходностью
L=
ck+1
(1 + y)k+l-T
+
ck+2
cN
(15.96)
(1 + y)k+2- T + ... + (1 + y)N-T
При росте ставки у сумма И растет, а сумма
при снижении ставки у сумма И уменьшается а
L падает и наоборот
L растет. Изменение
конечного капитала при изменении ставки зависит от соотношения
изменения сумм И и L. Вынося множитель ( 1+у) т за скобки в выра­
жениях для И и
L
получим
PVT(y)
где Рп(У)
= (1 + у)ТРп(у)
(15.10)
- цена Портфеля 1t относительно измененной ставки у.
Дифференцируя по ставке у мы получим
PV;(y)
= T(l + у)т- Рп{у) + (1 + у)тРп'(у) =
1
=Рп(у)(l+ у)т- 1 [Т+ (1+ у)Рп'(у)/Рп(у)]
= Рп(у)(l + у)тгде Dп(У)
-
1
=
(15.11)
[ Т- Dп(У)]
дюрация портфеля. Из формулы
(15.11)
следует, что ко­
нечный капитал портфеля будет наименее чувствительным к изме­
нению процентной ставки, если инвестиционный горизонт и дюра­
ция портфеля совпадают. Выбрав портфель дюрация которого сов­
падает с инвестиционным горизонтом, инвестор обеспечит защиту
конечного капитала портфеля и согласно
сти
rrc
(15.6)
его полной доходно­
от изменения процентной ставки.
Таким образом, перед инвестором встает задача формирования та­
кого портфеля, который для заданного инвестиционного горизонта
обеспечивал устойчивость к любому изменению процентных ставок.
Имеются различные подходы к решению этой задачи. Один из извест­
ных методов, называемый иммунизацией портфеля, позволяет строить
портфели, стоимость которых "нечувствительна" к изменению про­
центных ставок. Ниже мы рассмотрим этот метод в простейшем случае.
Простейшая· иммунизация портфеля из двух бескупонных облигаций.
Пусть на рынке имеется две бескупонные облигации
налы облигаций
F1 и
01
и ·0 2• Номи­
Е;. Сроки погашения т 1 и т 2 • Текушую рыноч­
ную процентную ставку обозначим i0• Пусть у инвестора имеется обя­
зательство (долг). Спустя срок тон должен выплатить долг в размере
L.
Задача инвестора сформировать портфель облигаций, такой, что
при любом изменении рыночной .процентной ставки стоимость порт­
феля облигаций бьmа бы не меньше, чем стоимость долга. Для дости­
жения этой цели инвестор должен сформировать портфель такой что:
а) его стоимость равна текущей стоимости обязательства,
б) дюрация портфеля равна дюрации обязательства.
224
Глава
Портфель облигаций
15.
Пусть вектор w = (w1, w) весов искомого (иммунизированного)
портфеля. Тогда для портфеля выполняется система уравнений .
w1+ w2 =1; m1w1+ m2 w2 = т.
(15.12)
Первое равенство есть основное портфельное ограничение, а
второе есть условие равенства дюраций портфеля и обязательства.
Дюрации облигаций и обязательства в точности равны их срокам по­
гашения, т.е.
ml' т 2
и т соответственно, а дюрация портфеля равна
взвешенной сумме дюраций облигаций составляющих портфель.
Решая эти уравнения можно найти веса облигаций в портфеле
w=
1
~ -т
~ - т1
m-ni1
w =
и
.
(15 13)
m2 - т1
2
.
° будут равны очевидно
Текущие цены облигаций Р1 ° и Р2
ро=
1
ро=
Fi
(1 + i)m1
2
'
F2 ·
(1 + i)m2
'
а текущая стоимость долга
ро=
L
(1+i)m
L
Поскольку в силу условия а) стоимость обязательства равна сто­
имости портфеля
то легко найти числа z 1 и
z 2 облигаций 0 1 и 0 2 в портфеле:
рО
х
Z = W1
i
Пример
15. 7.
И
flo
рО
Z -
W2
2
ir
ро
2-
·
(15.14)
Пусть на рынке имеется две бескупонные облига­
0 1 и 0 2• Номиналы облигаций F 1 = $1000 и F2 = $5000. Сроки по­
гашения облигаций т 1 = 1 и т 2 =3. Текущая рыночная ставка
i0 = 20%. Инвестор через 2 года должен выплатить долг в размере
L = $2 ООО ООО. Найти портфель, Позволяющий погасить долг при
ции
любых колебаниях рыночной процентной ставки.
Решение. Найдем начальные цены облигаций:
Р. 0 -
Fi
1 - (l+io)m1
= 1000/1 2 1= 833 33
и обязательства
'
'
'
Р0 =
2
. F2
=5000/1 23 = 2893 52
(l+io)m2
'
' '
-
р о= 20000002 = 1 388 900.
L
(1+0,2)
.
225
Часть
111. Активы с фиксированной доходностью
Решая систему
w1 = w2 = 1/2. Тогда
(15.9): w1 + w2 = 1
и
1· w1 + 3· w2 = 2,
получим
z 1=1388 900· 0,5/833,33 = 833 и z2=1388900· 0,5/ 2893,52 = 240.
Иммунизация портфеля. Портфель считается иммунизированным,
если:
1.
Его полная доходность за период · не меньmе начальной до­
ходности к погашению в момент его покупки.
2.
Накопленная стоимость инвестиций в конце периода будет
не меньше, чем, при любых изменениях процентной ставки, нако­
пленное значение к концу инвестиционного периода при начальном
значении процентной ставки.
3.
Текущая стоимость и дюрация портфеля совпадают с теку­
щей стоимостью и дюрацией потока обязательств.
Замечание (важное). Иммунизацию часто называют пассивной
стратегией, однако, следует отметить, что поскольку с течением
времени дюрации потоков меняются, стратегия их выравнивания
требует постоянной коррекции портфеля! Наконец, иммунизация
предполагает плоскую кривую доходностей! Предположим, напри ­
мер, что инвестор с инвестиционным горизонтом в
5 лет
обладает
портфелем с дюрацией равной 5-годам. Пусть текущий уро­
вень процентной ставки (ДКП) равен 7% годовых и цель состоит в
$1000
иммунизации портфеля против возможного изменения процентной
ставки. Для достижения этой цели можно купить портфель облига­
ций с дюрацией равной
5 лет, на сумму равную стоимости исходно­
го портфеля. Спустя год необходима перестройка портфеля, для то­
го чтобы его дюрация бьmа
4 года!
и т.д. Поступая таким образом,
инвестор фиксирует ставку дохода в течение всего горизqнта инве­
стирования и к концу 5-:-летнего периода наколленная стоимость
инвестиций составит $1000 · (1,07) 5 = $1402,55. Если портфель со­
ставляется для обеспечения выплаты обязательства с текущей сто и.:.
мостью $ 1000 к концу 5-летнего срока, то цельбудет достигнута.
· Управление Активами и Обязательствами. Пусть некоторая фирма
имеет долгосрочные активы с фиксированным доходом (например
портфель облигаций) и краткосрочные обязательства (пассивы).
Если ставка процента повысится, стоимость активов снизится боль­
ше чем стоимость обязательств и баланс будет нарушен.
Степень нарушения баланса можно оценить величиной, назы­
ваемой скачком (или разрывом) дюрации:
скачокдюрации =
226
MD80P =MDA-
~ xMDL,
Глава
где А
-
15.
Портфель облигаций
величина активов, L-величина обязательств,
активов,
MDL -
дюрация обязательств.
MDA - дюрация
Все дюрации здесь - модифи­
цированные дюрации. Использование коэффициента (обязательства/
активы) в этой формуле необходимо, поскольку величина активов
обычно превышает величину обязательств
-
иначе фирма имела бы
отрицательное значение капитала. Так как модифицированная дю­
рация указывает процентное изменение в стоимости, долларовое из­
менение стоимости актива будет больше, чем долларовое изменение
в стоимости обязательств, для равного изменения ставки процента.
Пример
15.8.
Пусть финансовый институт :(например банк) име-
ет следующий текущий баланс:
Активы (А) = $500 млн.;
Обязательства (L) = $490 млн;
l(апитал (К)= $500 - $490 = $10 млн;
Пусть, также, модифицированная дюрация активов
и модифицированная дюрация обязательств
MDA
=
7 лет
MDL = 2 года, тогда раз­
рыв дюрации составит
MDgap = 7 - [(490/500) х2] = 5,04 лет.
Это~ положительный разрыв, так что при повышении ставок,
стоимость активов падает больше чем стоимость долгов и величина
капитала также снижается. Пусть, например, рыночная ставка вы­
росла на
10 б.п.
Тогда, ожидаемое снижение стоимости активов
ЛА =А·
MDA · Лi = $500 млн. 7 · 0,0001 = $3,5 млн.
Ожидаемое снижение стоимости долга
ЛL
= L · MDL · Лi = $490 млн.
2·0,0001
= $0,980 млн.
О)Iшдаемое снижение стоимости капитала
лк= ЛА- ЛL
которое составляет более чем
= $3,5 -
0.98
= 2,52 млн.,
25 % ве,личины капитала.
Чтобы защитить активы от падения стоимости при росте ставок,
необходимо увеличить дюрацию обязательств (долга) и/или умень­
шить дюрацию активов. Управляющий инвестициями мог бы добить­
ся снижения дюрации активов инвестировав часть портфеля в крат­
косрочные казначейские векселя США
(Treasure Bills).
Допустим что
векселя имеют дюраЦию (или, что в данном случае то же самое, срок до
погашения)
0,25
года. Возникает вопрос, какую часть активов (обли­
гаций) с дюрацией
7 лет следует перевложить в казначейские векселя.
Решение: Если бы стоимости активов и обязательств бьmи равны,
все что нужно сделать
-
решить уравнение
О,25х
+ 7(1-х) = 2
227
Часть
III
Активы с фиксированной доходностью
где: х - доля (вес) казначейских векселей в портфеле, а
1-х -
доля (вес)
облигаций в портфеле. После несложных преобразований получим
6,75х
= 5,
откуда
х=
5/(6,75) = 0,741=74,1 %.
Работая только с активами, управляющий должен бьm бы про­
дать
74,1 %
облигаций и использовать выручку для приобретения
казначейских векселей.
Однако, принимая во внимание различие в стоимости активов и
обязательств, необходимо использовать выражение для разрыва дю­
рации . Таким образом, нужно найти такое х, для которого этот раз­
рыв равен нулю
О,25х+7(1-х)-
490 )
( 500 х2 =0.
Отсюда следует х = 0,7467 = 74,67 %.
Следовательно, управляющий должен продать
74,67 %
облига­
ций и использовать выручку для приобретения чтобы казначейских
векселей.
Альтернативный способ состоит в изменении структуры обяза­
тельств (реструктуризации долга): Какую долю обязательств с дюра­
цией 2 года следует заменить обязательствами с дюрацией 15 лет, что­
бы ликвидировать разрыв дюрации? Решение этой задачи сводится к
решению уравнения
D"P =
7-(~~~ х (15х+2х (1-х )))=О.
0,3956 = 39,56 %. Таким обра­
зом, управляющий должен заменить 39 ,56% коротких обязательств с
дюрацией 2 года, длинными обязательствами с дюрацией 15 лет.
Решая это уравнение получим х=
Другие решения используют производные финансовые инструмен­
ты такие как свопы, фьючерсы и активы с отрицательной дюрацией.
Задачи к главе
15
Облигация А задана параметрами т = 1 год, с = 20%, F = $100,
цена облигации РА = $80; облигация В задана параметрами т = 2 го­
да, с= 30%, F= $100, цена облигации Рв= $120. Найти поток плате­
1.
жей, доходность к погашению и средневзвешенную доходность порт­
феля те= 5А
+ 4В.
2. llусть на рынке обращаются две облигации: облигация А, с пара­
метрами т
228
= 4 года,
с=
20%, F= $200
и облигация В, с параметрами
Глава
15.
Портфель облигаций
т
= 2 года, с= 10%, F= $500. Текущая структура спот-ставок имеет вид:
s1 = 12%; s2 = 15%; s3 = 16%, s4 = 22%. Найти эффективную доходность
портфеля 1t = 4А + 2В из этих облигаций ддя двухлетнего периода [О, 2].
3. На рынке обращаются две бескупонные облигации с номина­
лом $100, со сроками погашения 3 и 8 лет. Текущая рыночная ставка ,
10% годовых. Найти иммунизированный портфель из бескупонных
облигаций обеспечивающий выплату через 5 лет обязательства на
сумму $5000.
4. Пусть на рынке имеется две бескупонные облигации 0 1 и 0 2 •
Номинал первой облигаций F 1= $1200. Срокцпогашения облигаций
т 1 = 1 и m 2 = 3. Рыночная процентная ставка i0 = 10%. Долг в размере
L = $4000 инвестор должен выплатить спустя т = 2 года. Портфель,
позволяющий погасить долг при любых колебаниях рыночной про­
центной ставки, задается условием
облигации.
z1
=
z 2•
Найти номинал второй
5. Управляющий портфелем рассматривает покупку двух облига­
ций с одинаковым номиналом $1 ООО. Облигация А с купонной став­
кой 10% погашается через 3 года. Облигация В с тем же кредитным
качеством гасится через 10 лет и имеет купонную ставку 15%. Пред­
положим, что инвестиционный менеджер планирует держать облига­
цию в течение 6 лет. Какую из облигаций лучше всего приобрести
управляющему портфелем, если текущая рыночная ставка равна 12%
и он предполагает немедленный рост процентных ставок на 2%?
6. Инвестор с четырехлетним инвестиционным горизонтом фор­
мирует портфель из двух облигаций. Облигация А имеет номинал
$1000, 2 года до погашения, 10%-ые годовые купоны. Облигация В
имеет номинал $1000 имеет 8 лет до погашения, 15%-ые годовые ку­
поны. Текущая рыночная ставка 12% годовых.
А) Как сформировать портфель облигаций, чтобы его дюрация
совпадала с инвестиционным горизонтом?
Б) Докажите, что доходность ПQртфеля защищена от роста ставок
на 1%. В) Докажите, что доходность портфеля защищена от сниже­
ния ставок на 1%.
7. Кредитный портфель стоимостью· $5 млн. имеет модифициро­
ванную дюрацию
зитов
4 -:Года и доходность 10%. Банк имеет $4 млн. депо­
с модифицированной дюрацией 2 года и ставкой 10%. Осталь­
ная часть активов финансируется собственным капиталом.
А) Как изменится размер собственного капитала, если процент­
ная ставка снизится на
1%?
Б) J(ак изменится стоимость капитала, если ставка вырастет на 1%?
229