Ëèñòîê 3. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà Ãåîìåòðèÿ, 1 êóðñ, 24.09.2012 Êàæäûé ïóíêò êàæäîé çàäà÷è ýòîãî ëèñòêà îöåíèâàåòñÿ â 0.6 áàëëà ïðè ñäà÷å ðåøåíèÿ íå ïîçæå 12 îêòÿáðÿ, è â 0.3 áàëëà ïîçæå. Âî âñåõ çàäà÷àõ ýòîãî ëèñòêà æèçíü ïðîèñõîäèò íà êðóãîâîé ïëîñêîñòè ñ ââåäåííîé òàì êîìïëåêñíîé êîîðäèíàòîé. 3⋄1 Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ ïëîñêîñòè çàäàåòñÿ ôîðìóëîé z 7→ az + b èëè z 7→ az̄ + b, ãäå a ∈ C\{0}, b ∈ C. 3⋄2 à) Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå êðóãîâîå ïðåîáðàçîâàíèå ïëîñêîñòè çàäàåòñÿ îäíîé èç ôîðìóë z 7→ az+b cz+d (òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ íàçûâàþòñÿ äðîáíî-ëèíåéíûìè ) èëè z 7→ az̄+b , ãäå a, b, c, d ∈ C , ïðè÷åì cz̄+d ad − bc ̸= 0. á) Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå äðîáíî-ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå åñòü ïðîèçâåäåíèå (êîìïîçèöèÿ) ïðåîáðàçîâàíèé âèäà z 7→ az, z 7→ z + b è z 7→ z1 . â) Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äðîáíî-ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì, è ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ, îáðàòíîå ê äðîáíî-ëèíåéíîìó, òîæå ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-ëèíåéíûì.( ) a b 3⋄3 Ñîïîñòàâèì êàæäîìó äðîáíî-ëèíåéíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ åãî ìàòðèöó . c d à) Âûðàçèòå ìàòðèöó ïðîèçâåäåíèÿ äðîáíî-ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ÷åðåç ìàòðèöû ñîìíîæèòåëåé. á) Íàéäèòå ôîðìóëó äëÿ ìàòðèöû îáðàòíîãî äðîáíî-ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. 3⋄4 Äâîéíûì îòíîøåíèåì ÷åòâåðêè ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ òî÷åê z1 , z2 , z3 , z4 íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå −z ÷èñëî X(z1, z2, z3, z4) = zz −z : zz −z . à) Äîêàæèòå, ÷òî äðîáíî-ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîõðà−z íÿþò äâîéíîå îòíîøåíèå. á) Äàéòå îïðåäåëåíèå äâîéíîãî îòíîøåíèÿ ÷åòâåðêè òî÷åê, îäíà èç êîòîðûõ ∞, òàê, ÷òîáû óòâåðæäåíèå ïðåäûäóùåãî ïóíêòà îñòàëîñü âåðíûì. 3⋄5 à) Íàéäèòå êàêîå-íèáóäü äðîáíî-ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå òðè äàííûå òî÷êè z1 , z2 , z3 â òî÷êè 0, ∞, 1 ñîîòâåòñòâåííî. á) Äîêàæèòå, ÷òî òàêîå äðîáíî-ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå åäèíñòâåííî. 3⋄6 à) Äîêàæèòå, ÷òî îêðóæíîñòü (èëè ïðÿìàÿ), ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òðè çàäàííûå òî÷êè z1 , z2 , z3 , ñîñòîèò â òî÷íîñòè èç òî÷åê z òàêèõ, ÷òî X(z1, z2, z3, z) ∈ R ∪ {∞}. á) Äîêàæèòå, ÷òî êðóãîâûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîõðàíÿþò äâîéíîå îòíîøåíèå òî÷åê íà îêðóæíîñòè. 3⋄7 à) Ïóñòü X(z1 , z2 , z3 , z4 ) = λ. Êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü äâîéíîå îòíîøåíèå òåõ æå òî÷åê â äðóãîì ïîðÿäêå? á) ×åòâåðêà òî÷åê z1, z2, z3, z4 íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé, åñëè X(z1, z2, z3, z4) = −1. Äîêàæèòå, ÷òî ýòî ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ X(z1 , z2 , z3 , z4 ) = X(z1 , z2 , z4 , z3 ). 3⋄8 Îêðóæíîñòü S îðòîãîíàëüíà îêðóæíîñòÿì C è C ′ . à) Äîêàæèòå, ÷òî äâîéíîå îòíîøåíèå ÷åòâåðêè òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ S ñ C è C ′ íå çàâèñèò îò S è ñîõðàíÿåòñÿ êðóãîâûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè. á) Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ýòîãî äâîéíîãî îòíîøåíèÿ îêðóæíîñòè C è C ′ ïåðåñåêàþòñÿ? ïðè êàêèõ îðòîãîíàëüíû? â) Âûðàçèòå óãîë ìåæäó îêðóæíîñòÿìè C è C ′ ÷åðåç ýòî äâîéíîå îòíîøåíèå. 3⋄9 à) Äîêàæèòå, ÷òî äâîéíîå îòíîøåíèå òî÷åê íà îêðóæíîñòè ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèè îêðóæíîñòè íà ïðÿìóþ. á) Äîêàæèòå, ÷òî äâîéíîå îòíîøåíèå òî÷åê íà ïðÿìîé ñîõðàíÿåòñÿ ïðè öåíòðàëüíîé ïðîåêöèè ïðÿìîé íà ïðÿìóþ. 3⋄10 (Ïîëíûé ÷åòûðåõâåðøèííèê) Ïóñòü ABCD ÷åòûðåõóãîëüíèê, íå èìåþùèé ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí. Ïðîâåäåì ïðÿìûå, ÿâëÿþùèåñÿ ïðîäîëæåíèÿìè åãî ñòîðîí è äèàãîíàëåé, îáîçíà÷èì ÷åðåç P , Q, R òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ AB ñ CD, AD ñ BC , AC ñ BD, ñîîòâåòñòâåííî, è ïðîâåäåì ïðÿìóþ ÷åðåç êàæäûå äâå èç òî÷åê P , Q, R. Äîêàæèòå, ÷òî íà êàæäîé èç äåâÿòè ïðîâåäåííûõ ïðÿìûõ îñòàëüíûå âîñåìü âûñåêàþò ãàðìîíè÷åñêóþ ÷åòâåðêó òî÷åê. 3⋄11 (Çàäà÷à î áàáî÷êå) ×åðåç ñåðåäèíó C ïðîèçâîëüíîé õîðäû AB îêðóæíîñòè ïðîâåäåíû äâå õîðäû KL è M N (òî÷êè K è M ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò AB ). Îòðåçîê KN ïåðåñåêàåò AB â òî÷êå P . Îòðåçîê LM ïåðåñåêàåò AB â òî÷êå Q. Äîêàæèòå, ÷òî P C = QC . 4 4 1 2 3 3 1 2