ÊÂÀÍT 2003/¹1 30 Óïðàæíåíèÿ 1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå (2), òî ñîâîêóïíîñòü íåðàâåíñòâ à + b > ñ, b + ñ > à, (3) ñ+à>b ýêâèâàëåíòíà ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ ηa + ηb > ηc , ηb + ηc > ηa , (4) ηc + ηa > ηb . 2. Ïîêàæèòå, ÷òî S = (( ηa + ηb + ηc )( ηa + ηb − ηc )( ηb + ηc − ηa )(ηc + ηa − ηb )) −1 2 . (5) Èòàê, åñëè äëèíû âûñîò ha , hb , hc óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì (4), òî ïëîùàäü S òðåóãîëüíèêà âû÷èñëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ïî ôîðìóëå (5). Íî â ýòîì ñëó÷àå ðàâåíñòâà (1) ïîçâîëÿþò îäíîçíà÷íî âû÷èñëèòü è H> H= äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà à, b, ñ. = > ? Óïðàæíåíèÿ H? 3. Îäíîçíà÷íî ëè îïðåäåëÿþò òðåóãîëüíèê ðàäèóñû ra , rb , rc âíåâïèñàííûõ îêðóæíîñòåé (ðèñ.2)? 4. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê ïî òðåì âûñîòàì ha , hb , hc . Ðèñ. 2 Îäíîçíà÷íî ëè îïðåäåëÿåòñÿ òðåóãîëüíèê ñâîèìè ìåäèàíàìè?  øêîëüíîì êóðñå ãåîìåòðèè (ñì., íàïðèìåð, [1], ñ.212, çàäà÷à 788) äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî èç ìåäèàí ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ìîæíî ñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè òðåóãîëüíèê ñ çàäàííûìè äëèíàìè ìåäèàí ma , mb , mc ñóùåñòâóåò, òî âåëè÷èíû ma , mb , mc äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâàì ma + mb > mc, mb + mc > ma , (6) + > . mc ma mb Äëÿ èññëåäîâàíèÿ âîïðîñà îá îäíîçíà÷íîñòè âîññòàíîâëåíèÿ òðåóãîëüíèêà ïî åãî òðåì ìåäèàíàì óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè, ñâÿçûâàþùèìè äëèíû ìåäèàí òðåóãîëüíèêà ñ åãî ñòîðîíàìè à, b, ñ: 2ma2 = 2 (b2 + c2 ) − a 2 , 2mb2 = 2 ( c2 + a2 ) − b 2 , Óïðàæíåíèÿ 2m = 2 ( a + b 2 c 2 2 (7) )−c . 2 5. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äëèíû ìåäèàí ma , mb , mc òðåóãîëüíèêà óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì (6), òî ñòîðîíû ýòîãî òðåóãîëüíèêà à, b, ñ â ñèëó ðàâåíñòâ (7) îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî. 6. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê ïî òðåì ìåäèàíàì ma , mb , mc . Îäíîçíà÷íî ëè îïðåäåëÿåòñÿ òðåóãîëüíèê ñâîèìè áèññåêòðèñàìè? Ñíà÷àëà ïðåäïîëîæèì, ÷òî òðåóãîëüíèê ñ íåêîòîðûìè çàäàííûìè äëèíàìè òðåõ áèññåêòðèñ ñóùåñòâóåò.  ýòîì ñëó÷àå äîêàæåì, ÷òî òðåóãîëüíèê ñâîèìè áèññåêòðèñàìè îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. À èìåííî, äîêàæåì ñëåäóþùèé ïðèçíàê ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ. Òåîðåìà. Åñëè òðè áèññåêòðèñû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû òðåì áèññåêòðèñàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü òðåóãîëüíèêè ∆1 è ∆ 2 èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûå áèññåêòðèñû. Íàçîâåì ñîîòâåòñòâåííûìè ñòîðîíàìè ýòèõ äâóõ òðåóãîëüíèêîâ ñòîðîíû, ê êîòîðûì ïðîâåäåíû ðàâíûå áèññåêòðèñû. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ: 1) âñå ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà íå ìåíüøå ñîîòâåòñòâåííûõ ñòîðîí äðóãîãî òðåóãîëüíèêà; 2) ðîâíî îäíà ñòîðîíà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ìåíüøå ñîîòâåòñòâåííîé ñòîðîíû äðóãîãî òðåóãîëüíèêà. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé 1). Åñëè âñå ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû, òî ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâíû ïî òðåòüåìó ïðèçíàêó ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó òðåóãîëüíèêîâ èìåþòñÿ íåðàâíûå ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû. Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî òðåóãîëüíèêè íå ìîãóò áûòü ïîäîáíûìè ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ, îòëè÷íûì îò 1.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå áèññåêòðèñû îäíîãî èç òðåóãîëüíèêîâ áûëè áû áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ áèññåêòðèñ äðóãîãî. Ñëåäîâàòåëüíî, ó òðåóãîëüíèêîâ èìåþòñÿ íåðàâíûå óãëû. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ∆1 íå ìåíüøå ñîîòâåòñòâåííûõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ∆ 2 . Ïîñêîëüêó ó òðåóãîëüíèêîâ ∆1 è ∆ 2 èìåþòñÿ íåðàâíûå óãëû, òî â òðåóãîëüíèêå ∆1 íàéäåòñÿ óãîë ϕ1 , ìåíüøèé ñîîòâåòñòâåííîãî óãëà ϕ2 â òðåóãîëüíèêå ∆ 2 . Åñëè óãîë ϕ1 â òðåóãîëüíèêå ∆1 îáðàçîâàí ñòîðîíàìè p1 , q1 , à óãîë ϕ2 â òðåóãîëüíèêå ∆ 2 îáðàçîâàí ñòîðîíàìè p2 , q2 , òî äëÿ äëèí áèññåêòðèñ l1 , l2 ýòèõ óãëîâ èìååì ϕ ϕ 2 cos 1 2 cos 2 2 2 l1 = l = (8) 1 1 , 2 1 1 . + + p1 q1 p2 q2 Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ôîðìóëîé ϕ 2 cos 2 , l= (9) 1 1 + p q ñâÿçûâàþùåé äëèíó áèññåêòðèñû l ñî çíà÷åíèåì óãëà ϕ , â êîòîðîì îíà ïðîâåäåíà, à òàêæå ñ äëèíàìè p è q îáðàçóþùèõ ýòîò óãîë ñòîðîí òðåóãîëüíèêà. Óïðàæíåíèå 7. Âûâåäèòå ôîðìóëó (9). Âåðíåìñÿ ê ñîîòíîøåíèÿì (8). Òàê êàê ϕ2 > ϕ1 , p2 ≤ p1 , q2 ≤ q1 , òî l2 < l1 ïðîòèâîðå÷èå. Èòàê, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå òðåóãîëüíèêè ìîãóò èìåòü òîëüêî ðàâíûå ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé 2). Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñòîðîíû a1 , b1 , c1 òðåóãîëüíèêà ∆1 ñîîòâåòñòâåííû ñòîðîíàì a2 , b2 , c2 òðåóãîëüíèêà ∆ 2 , ïðè÷åì a1 < a2 , b1 ≥ b2 , c1 ≥ c2 . (10) Âîñïîëüçîâàâøèñü åùå îäíîé èçâåñòíîé ôîðìóëîé, ñâÿçûâàþùåé äëèíó áèññåêòðèñû ñ äëèíàìè ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, èìååì a12 la21 = b1c1 1 − 2 , (b1 + c1 ) (11) a22 2 la2 = b2c2 1 − 2 . (b2 + c2 ) 2 2 Ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâ (10), èç (11) ñëåäóåò la2 < la1 ïðîòèâîðå÷èå.