Ëèñòîê 6. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ: àíàëèç Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, 28.10.2012 Åñëè âåêòîð x ∈ Rn îïèñûâàåò ñîñòîÿíèå ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû, à óðàâíåíèå x (t) = f x(t), t îïèñûâàåò çàêîí åå ýâîëþöèè âî âðåìåíè, òî ìîæíî îæèäàòü, ÷òî íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû x(t0 ) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò âñå ïîñëåäóþùèå x(t), t > t0 . Èíûìè ñëîâàìè, èìååò ðåøåíèå, è ïðèòîì åäèíñòâåííîå, Çàäà÷à Êîøè: Äëÿ äàííîãî x0 ∈ Rn íàéòè ðåøåíèå x0 = f (x, t), òàêîå ÷òî x(t0 ) = x0 . Äåòåðìèíèðîâàííîñòü: 0 61 Ïðèâåäèòå ïðèìåð ôóíêöèè f , îïðåäåëåííîé äëÿ âñåõ x ∈ Rn è t ∈ R, òàêîé ÷òî Áåðèòå ðàçðûâíóþ f ào ) çàäà÷à Êîøè íå èìååò ðåøåíèÿ íè íà êàêîì èíòåðâàëå (−a, a). áv1 ) f íåïðåðûâíà, è çàäà÷à Êîøè èìååò ìíîãî ðåøåíèé íà ëþáîì èíòåðâàëå. â2 ) f ïîëèíîì, è çàäà÷à Êîøè íå èìååò ðåøåíèÿ íà âñåé ïðÿìîé R. Áåðèòå deg f = 2 Ïåðâûå äâà ïóíêòà íàðóøàþò ïðèíöèï äåòåðìèíèðîâàííîñòè çà ñ÷åò ðàçðûâíîñòè/íåãëàäêîñòè f , òàêèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïðîèòâîðå÷èâû/íåïîëíû. Íî äëÿ áîëüøèíñòâà èçó÷åííûõ íàìè óðàâíåíèé ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ x0 è t0 , ïîýòîìó äëÿ íèõ èìååò ñìûñë Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü t0 è t1 òàêîâû, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè x0 = f (x, t), x(t0 ) = x0 , ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî íà îòðåçêå [t0 , t1 ] ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì óñëîâèè x0 â îáëàñòè U ⊂ Rn . Îáîçíà÷èì çíà÷åíèå ýòîãî ðåøåíèÿ â ìîìåíò t ∈ [t0 , t1 ] ÷åðåç K(x0 , t). Îïðåäåëåííîå íàìè îòîáðàæåíèå K : U × [t0 , t1 ] → Rn íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì Êîøè. Îíî ïî òåêóùåìó ñîñòîÿíèþ ñèñòåìû îïðåäåëÿåò åå ñîñòîÿíèå ÷åðåç çàäàííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Ïîä îïåðàòîðîì Êîøè óðàâíåíèÿ âûñøåãî ïîðÿäêà ïîíèìàþò îïåðàòîð Êîøè ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû ïåðâîãî ïîðÿäêà. 62 Íàéäèòå îïåðàòîðû Êîøè äëÿ óðàâíåíèé àv1 ) x0 = x + 1, áx1 ) x0 = sin x, âo ) x00 = x, ão ) x0 = x2 , ä2 ) ëèíåéíîé ñèñòåìû x0 = A · x. Äëÿ êàêèõ f çàäà÷à Êîøè ðàçðåøèìà? Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ca,b öèëèíäð, çàäàííûé íåðàâåíñòâàìè |x| 6 b è |t| 6 a â ïðîñòðàíñòâå Rn × R, íà êîòîðîì îïðåäåëåíà f . Åñëè f íåïðåðûâíà, òî åå ìîäóëü äîñòèãàåò íà Ca,b ìàêñèìóìà, îáîçíà÷èì åãî M . Òåîðåìà Ïåàíî. Åñëè f íåïðåðûâíà íà Ca,b , òî íà îòðåçêå |t| 6 min(a, b/M ) ñóùå ñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ x0 = f x, t , òàêîå ÷òî x(0) = 0. Òåîðåìà Ïèêàðà-Ëèíäåë¼ôà-Ëèïøèöà. Åñëè ïðè ýòîì f ëèïøèöåâà ïî x íà Ca,b , òî åñòü ∃L ∀x1 , x2 , t : |x1,2 | 6 b, |t| 6 a ⇒ |f (x2 , t) − f (x1 , t)| < L|x2 − x1 |, òî ðåøåíèå íà óêàçàííîì èíòåðâàëå åäèíñòâåííî. (L íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì Ëèïøèöà.) √ 63 à2 ) f (x) = 3 x íå Ëèïøèöåâà íà (−1, 1), íî Ëèïøèöåâà íà (1, ∞), à f (x) = e|x| íàîáîðîò. Åñëè ôóíêöèÿ f á2 ) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà C èëè â2 ) a,b ëèíåéíà ïî x ïðè êàæäîì t è íåïðåðûâíà íà Ca,b , òî îíà Ëèïøèöåâà íà Ca,b . 64 Äîêàæåì îáå òåîðåìû â ïðåäïîëîæåíèÿõ áîëåå ñèëüíîé. Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà: àv1 ) Åñëè h : R → R ñæèìàþùàÿ (òî åñòü Ëèïøèöåâà ñ ÷èñëîì Ëèïøèöà < 1), òî, ïðèìåíÿÿ h ìíîãîãðàòíî ê ëþáîìó x ∈ R, ïîëó÷èì ôóíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. áv1 ) Åå ïðåäåë åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ x = h(x). 65 Âûáåðåì a0 < min(a, 1/L, b/M ), îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé èç îòðåçêà [−a0 , a0 ] â øàð |x| 6 b ÷åðåç Ca0 ,b . Âìåñòî h : R → R, ðàññìîòðèì 1 Rt îòîáðàæåíèå H : Ca0 ,b → Ca0 ,b , îïðåäåëåííîå ôîðìóëîé H(x) = 0 f (x(s), s)ds. à2 ) Óðàâíåíèå x = H(x) ðàâíîñèëüíî çàäà÷å Êîøè x0 = f (x, t), x(0) = 0. áv1 ) Åñëè x ∈ Ca0 ,b , òî çíà÷åíèå H(x) òàêæå ôóíêöèÿ îò t, ñîäåðæàùàÿñÿ â Ca0 ,b . â2 ) Ïðîñòðàíñòâî Ca0 ,b ïîëíî â ñìûñëå íîðìû ||x|| = maxt∈[−a0 ,a0 ] |x(t)| (òî åñòü ôóíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìåþò â íåì ïðåäåë). ã2 ) Îòîáðàæåíèå H ñæèìàþùåå â ñìûñëå íîðìû || · ||, òî åñòü ∃C < 1 ∀x : ||H(x)|| 6 C||x||, è ïðåäåë èòåðàöèé Ïèêàðà x0 = 0, x1 = H(x0 ), x2 = H(x1 ), . . . , ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ x = H(x) íà èíòåðâàëå (−a0 , a0 ). Ìû äîêàçàëè òåîðåìû Ïåàíî è Ïèêàðà, òîëüêî îòðåçîê, íà êîòîðîì íàéäåíî ðåøåíèå, ïðè áîëüøèõ L îêàæåòñÿ ìåíüøå, ÷åì õî÷åòñÿ. Ýòî èñïðàâëÿåòñÿ òàê: äx3 ) Ïîâòîðèòå ïóíêòû à-ã, ïåðåîáîçíà÷èâ a0 = min(a, b/M ) è ||x|| = maxt∈[−a0 ,a0 ] e−2Lt |x(t)|. Ïîïðîáóéòå îáúÿñíèòü, êàê ìîæíî áûëî äîãàäàòüñÿ äî e−2Lt . å3 ) Íàéäèòå êîíñòàíòû a0 è L è äâå èòåðàöèè Ïèêàðà äëÿ óðàâíåíèÿ x0 = (x − 1)2 ïðè a = 1, b = 3. Ñðàâíèòå ïîëó÷èâøååñÿ ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå è èíòåðâàë (−a0 , a0 ) ñ íàñòîÿùèì ðåøåíèåì è åãî îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ. æv1 ) Òåîðåìû Ïåàíî è Ïèêàðà ñôîðìóëèðîâàíû äëÿ çàäà÷è Êîøè, â êîòîðîé t0 = 0 è x0 = 0. Ðàñïðîñòðàíèòå èõ íà ïðîèçâîëüíûå t0 è x0 . ç3 )  óñëîâèÿõ òåîðåìû Ïèêàðà âûáåðåì b0 < b è a0 < b0 /M . Äîêàæèòå, ÷òî íà öèëèíäðå Ca0 ,b−b0 îïðåäåëåí îïåðàòîð Êîøè óðàâíåíèÿ x0 = f (x, t). 66 (Ëèíåéíûå ñèñòåìû) à1 ) Ïóñòü f (x, t) = A(t)·x, è ìàòðèöà A íåïðåðûâíî çàâèñèò îò t. Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ Ëèïøèöåâà íà Rn × [0, a] äëÿ ëþáîãî a. á3 ) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû x0 = A(t)·x, ìàòðèöà êîòîðîé íåïðåðûâíî çàâèñèò îò t, îïåðàòîð Êîøè îïðåäåëåí íà Rn × [0, a] ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì a. Èñïîëüçóéòå òåîðåìó Ïèêàðà ïðè b → ∞, ïðè ýòîì b/M → 1/L (÷èñëî Ëèïøèöà èç ïóíêòà a), âîçüìèòå a < 1/L â2 ) Äîêàæèòå, ÷òî îí îïðåäåëåí íà âñåì Rn × R. Èñïîëüçóéòå êîìïàêòíîñòü ëþáîãî [0, a] Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì îïåðàòîðà Êîøè K â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè t: îáîçíà÷èì K(x, t) ÷åðåç Kt (x), è áóäåì èçó÷àòü îòîáðàæåíèå Kt : Rn → Rn . 0t ã2 ) Äîêàæèòå, ÷òî Kt ëèíåéíî. ä2 ) Íàéäèòå îïåðàòîð Êîøè äëÿ A(t) = −t 0 . Çàìå÷àíèå 2. Ðàññóæäåíèå ñ èòåðàöèÿìè Ïèêàðà, äîêàçàâøåå ñóùåñòâîâàíèå îïåðà- òîðà Êîøè, äîêàçûâàåò è åãî íåïðåðûâíîñòü, à åñëè f íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìî, òî è íåïðåðûâíóþ äèôôåðåíöèðóåìîñòü. Äåòàëè ñì. â ó÷åáíèêå Àðíîëüäà.  ñâÿçè ñ óðàâíåíèÿìè ìàÿòíèêà óïîìèíàëîñü, ÷òî áëèçêèå ê íóëåâîìó ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x0 = f (x, t), â êîòîðîì f (x, t) = a1 (t)x + a2 (t)x2 + . . ., ñâÿçàíû ñ ðåøåíèÿìè åãî ëèíåàðèçàöèè y 0 = a1 (t)y . Òåïåðü ìû ìîæåì óêàçàòü ýòó ñâÿçü: 67 ào ) ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå îïåðàòîðà Êîøè K óðàâíåíèÿ x0 = f (x, t) â òî÷êàõ åãî (0, t) = 0, ∂K (0, t) = y(t) ðåøåíèå ëèíåàðèçîâàííîé íóëåâîãî ðåøåíèÿ òàêîâû: ∂K ∂t ∂x Ýòî ∂/∂x ïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà Êîøè: ∂K(x, t)/∂t = f (K(x, t), t) 0 çàäà÷è Êîøè y = a1 (t)y, y(0) = 1. á2 ) Íàéäèòå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îïåðàòîðà Êîøè óðàâíåíèÿ Çàäà÷è 19á â òî÷êàõ ðåøåíèÿ x(t) = 0. âx2 ) Òî æå äëÿ ðåøåíèÿ x(t) = 1. ãx2 ) Ñôîðìóëèðóéòå ðåçóëüòàò ïóíêòà à äëÿ ëèíåàðèçàöèé ñèñòåì óðàâíåíèé è óðàâíåíèé âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Ïðîèëëþñòðèðóéòå íà ëèíåàðèçàöèè ìàÿòíèêà. 2