Малая Северо-Восточная олимпиада школьников

Малая Северо-Восточная олимпиада школьников
Демонстрационный вариант 2 тура, 2014 год
7 класс
1. В классе 25 учеников. Каждый из них написал двум товарищам по записке.
Может ли оказаться, что каждый из них получил нечетное число записок?
2. В группе5 человек и их суммарный возраст — 237 года. Докажите, что из них
можно выбрать трех человек, сумма возрастов которых больше 142 лет.
3. Торт имеет форму равнобедренной трапеции, у которой
верхнее основание и боковые стороны в 2 раза меньше
нижнего основания. Можно ли торт разделить на 4 равные
части?
4. Шахматный король обошёл всю доску 8*8, побывав на каждой клетке по одному
разу, вернувшись последним ходом в исходную клетку. Докажите, что он сделал
чётное число диагональных ходов.
5. Двое по очереди ставят шахматных слонов в клетки доски 8×8 так, чтобы слоны
не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает?
Решения (7 класс)
1. Допустим, что каждый из учеников получил нечетное количество записок. Так
как всего учеников 25 — нечетно, то всеми учениками вместе получено
нечетное число записок (сумма нечетного числа нечетных чисел — нечетна). С
другой стороны, количество полученных записок равно количеству написанных,
т.е. 25 • 2 = 50. Но 50 — четное число. Противоречие
Ответ: Нет
2. Рассмотрим все возможные тройки из этой группы. Сумма их суммарных
возрастов, как легко подсчитать, равна 6*237 (т.к. каждый человек входит в 6
различных троек), а всего таких троек 10. Значит, есть тройка, суммарный
возраст в которой не меньше, чем 6*237/10, что больше 142.
3.
Ответ: Можно
4. При каждом недиагональном ходе меняется цвет поля, на котором стоит король,
а при диагональном — не меняется. Поскольку король обошёл всю доску и
вернулся обратно, то цвет поля менялся с белого на чёрный столько же раз,
сколько с чёрного на белый. А это значит, что недиагональных ходов король
сделал чётное число. Число диагональных ходов равно 64 минус число
недиагональных ходов — чётное число.
5. Второй должен ставить слоны симметрично относительно центральной линии
(оси) шахматной доски. Ясно, что в этом случае он не сможет проиграть. Т.к.
если он сделает проигрышный ход, то предыдущий ход первого тоже должен
быть проигрышным в силу симметрии.
Ответ: Второй