vuu_14_043_06

48
ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014. Вып. 3
ФИЗИКА И ХИМИЯ
Теоретическая физика
УДК 530.145.65
И.П. Попов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФАЗОВОЙ СКОРОСТИ ВОЛН ДЕ БРОЙЛЯ
НА ОСНОВЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ И ДИФРАКЦИИ ЕДИНИЧНЫХ ЧАСТИЦ
Показано, что эксперименты по интерференции и дифракции единичных частиц позволяют косвенно установить значение фазовой скорости волн де Бройля. Рассмотрено возможное время начала и окончания интерференционной картины при прохождении единичной частицы через одну из щелей устройства для наблюдения
интерференции частиц. Установлено, что при фазовой скорости, меньшей скорости частицы, частица окажется
в детекторе раньше, чем возникнет интерференционная картина, поэтому ее местоположение не будет подчиняться распределению плотности вероятности, которое появится позднее. В то же время при фазовой скорости,
большей скорости частицы, частица окажется в детекторе тогда, когда интерференционная картина уже закончилась, поэтому местоположение частицы не будет подчиняться распределению плотности вероятности, которого уже нет. В результате установлено, что фазовая скорость волн де Бройля равна скорости частицы.
Ключевые слова: интерференция, дифракция, фазовая скорость, частица.
Фазовая скорость волн де Бройля считается принципиально ненаблюдаемой величиной. Этим отчасти объясняется наличие в литературе ее двух существенно отличающихся друг от друга значений:
c2
v  ,
(1)
v
v
v  ,
(2)
2
где c – скорость света, v – скорость частицы.
Первое выражение получено при обобщении формулы для волновой энергии на полную энергию частицы, а второе – на кинетическую. Измерить фазовую скорость не представляется возможным. Однако эксперименты по интерференции и дифракции единичных частиц позволяют косвенно
установить ее значение.
Оценка нижней границы фазовой скорости
Пусть фазовая скорость волн де Бройля удовлетворяет выражению (2) и пусть в момент t0 = 0
единичная частица проходит через одну из щелей устройства для наблюдения интерференции частиц.
Пусть в этот же момент времени часть волны де Бройля проходит через другую щель. Передние фронты волн от обеих щелей, распространяющиеся с фазовой скоростью, достигнут детектора в момент t0:
b
t2  ,
v
где b – расстояние до детектора.
Интерференционная картина возникнет в момент t2, не раньше.
Частица достигнет детектора в момент t1:
b
t1  .
v
Поскольку в соответствии с выражением (2) скорость частицы в два раза выше фазовой скорости,
частица окажется в детекторе раньше, чем возникнет интерференционная картина. Поэтому ее местоположение не будет подчиняться распределению плотности вероятности, которое появится позднее.
Таким образом, выражение (2) несовместимо с возможностью возникновения интерференционной
картины от единичных частиц. Следовательно, фазовая скорость должна удовлетворять соотношению
v  v.
(3)
Определение фазовой скорости волн де Бройля…
ФИЗИКА И ХИМИЯ
49
2014. Вып. 3
Оценка верхней границы фазовой скорости
Пусть фазовая скорость волн де Бройля для инертной частицы удовлетворяет выражению (1).
Это означает, что фазовая скорость в любом случае больше скорости частицы. Поэтому любая фаза
волны опережает частицу.
Пусть в момент t0 = 0 единичная частица проходит через одну из щелей устройства для наблюдения интерференции частиц. Пусть в этот же момент времени задний фронт части волны де Бройля
проходит через другую щель. Этот задний фронт, распространяющийся с фазовой скоростью, достигнет детектора в момент t1:
b
t1  ,
v
где b – расстояние до детектора. Интерференционная картина закончится в момент t1, не позднее.
Частица достигнет детектора в момент t2:
b
t2  .
v
Поскольку в соответствии с (1) скорость частицы меньше фазовой скорости, частица окажется
в детекторе тогда, когда интерференционная картина уже закончилась. Поэтому местоположение
частицы не будет подчиняться распределению плотности вероятности, которого уже нет.
Таким образом, условие (1) несовместимо с возможностью возникновения интерференционной
картины от единичных частиц. Следовательно, фазовая скорость должна удовлетворять соотношению
v  v.
(4)
Независимое подтверждение
Из сопоставления (3) и (4) следует, что
v  v.
(5)
С другой стороны, в [1-10] показано, что выражение для кинетической энергии свободной
инертной нерелятивистской частицы имеет вид
mv 2 
K

,
2
2
где ħ – постоянная Планка,  – частота волны де Бройля.
Из этого следует
mv 2

.
(6)

Импульс частицы равен
p = mv = ħk,
где k – волновое число. Отсюда
mv
.

Фазовая скорость волны де Бройля с учетом (6) и (7) равна
 mv 2 
v  
 v,
k
 mv
что является независимым подтверждением (5).
k
(7)
Заключение
Приведенные рассуждения в равной мере справедливы для дифракции единичных частиц на
кристаллах.
Факты возникновения интерференционной и дифракционной картины от единичных частиц установлены экспериментально. Следовательно, из этих экспериментов очевидным образом следует соотношение (5), получившее к тому же независимое подтверждение в результатах других исследований.
50
И.П. Попов
2014. Вып. 3
ФИЗИКА И ХИМИЯ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Попов И.П. Формальное волновое преобразование уравнения прямолинейного равномерного движения
инертного тела // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Физика и химия. 2014. Вып. 1. С. 58-61.
2. Попов И.П. О влиянии инертности частицы на ее волновое представление // Вестник Забайкальского государственного университета. 2013. № 04 (95). С. 90-94.
3. Попов И.П. О волновой энергии инертной частицы // Зауральский научный вестник. 2013. № 1 (3).
4. Попов И.П. Аналоги уравнения Шрёдингера и меры движения // Зауральский научный вестник. 2014.
№ 1 (5). С. 35-37.
5. Попов И.П. Формальный подход к проблеме квантово-волнового дуализма // Зауральский научный вестник.
2014. № 2 (6). С. 48-49.
6. Попов И.П. Степенной ряд мер механического движения // Ученые записки Орловского государственного
университета. Естественные, технические и медицинские науки. 2014. № 6 (62). С. 37-39.
7. Попов И.П. Монохромная волновая функция свободной частицы // Зауральский научный вестник. 2014.
№ 1 (5). С. 34, 35.
8. Попов И.П. Об одном проявлении инертности // Естественные и технические науки. 2013. № 3 (65). С. 23-24.
9. Попов И.П. О мерах механического движения // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. № 3 (26). С. 13-15.
10. Попов И.П. Массо-скоростные меры механического движения // Вестн. Марийского государственного университета. 2014. № 2 (14). С. 16-18.
Поступила в редакцию 12.06.14
I.P. Popov
DETERMINATION OF THE PHASE VELOCITY OF DE BROGLIE WAVES
ON THE BASIS OF PARTICLE INTERFERENCE AND DIFFRACTION
It is shown that the experiments on interference and diffraction of single particles allow to set indirectly the phase velocity of de Broglie waves. The author considers the possible start and end times of the interference pattern during the
passage of a single particle through one of the slits of a device for observing the particle interference. It is found that if
the phase velocity is less than the velocity of the particle, the particle will come to the detector before the interference
occurs, so its location is not subject to the distribution of the probability density which will be available later. At the
same time, if the phase velocity is greater than the velocity of the particle, the particle will come to the detector when
the interference pattern is over, so the location of the particle will not obey the distribution of the probability density
which no longer exists. As a result, it is found that the phase velocity of de Broglie waves is equal to the speed of the
particle.
Keywords: interference, diffraction, phase velocity, particle.
Попов Игорь Павлович,
старший преподаватель кафедры
«Технология машиностроения, металлорежущие станки
и инструменты»
ФГБОУ ВПО «Курганский государственный университет»
640000, Россия, г. Курган, ул. Гоголя, 25
E-mail: ip.popow@yandex.ru
Popov I.P.,
Senior lecturer at Department of Technology
of mechanical engineering, machine tools
and instruments
Kurgan State University
Gogolya st., 25, Kurgan, Russia, 640000
E-mail: ip.popow@yandex.ru