ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ЗАДАЧА О ДИЕТЕ Ушакова С.А. Донской Государственный Технический Университет Ростов-на-Дону, Россия THE OPTIMIZATION PROBLEM OF THE DIET Ushakova S.A. Don State Technical University Rostov on Don, Russia Цель работы: овладеть навыками решения оптимизационной задачи о диете в среде ЭТ MS Excel и математического пакета Mathcad. Краткая теория Диета – специально подобранный по количеству, химическому составу, энергетической ценности (калорийности) и способы кулинарной обработки рацион, а также режим питания. В соответствии с диетой она должна удовлетворить потребности человека в основных питательных веществах (жиры, белки, углеводы), а также в незаменимых компонентах (витамины, микро- и макроэлементы). Они должны поступать в организм человека в оптимальном количестве, которое зависит от множества факторов: возраст, пол, вид работы, состояние здоровья, телесной массы и т.д. Пусть имеется m видов продуктов P1,P2,…….,Pm, содержащих питательные вещества и незаменимые компоненты B1, B2,…….,Bn. Известны величины aij – количество i питательного вещества в 100г продукта Pj. Кроме того известны величины bi – ежесуточная минимальная потребность организма в Bi питательном веществе. Также известны величины Sj и ej – стоимость и энергетическая ценность 100г продукта Pj соответственно. Оптимизационную задачу о диете можно сформулировать двумя способами. 1ый вариант Разработать диету с минимальной стоимостью, которая бы при этом обеспечивала минимальную суточную потребность человека в питательных веществах, при этом посчитать полученную калорийность. 2ой вариант Рассчитать диету с заданной калорийностью, обеспечивающую минимальную суточную потребность, после чего найти ее стоимость. Все данные сведем в следующую таблицу. Минимальные Минимальная вещества и суточная незаменимые потребность компоненты B1 b1 B2 b2 … … Bn bn Стоимость 100г продукта Калорийность 100г продукта Содержание питательных веществ в 100г продукта P1 P2 … Pm a11 a21 … an1 S1 e1 a12 a22 … an2 S2 e2 … a1m a2m … anm Sm em … … … ... Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель. Математическая модель задачи 1. Определим неизвестные и их количества: Обозначим xj (j=1,m) – количество (грамм) продукта Pj, вошедшего в диету. 2. Запишем целевую функцию: I. , , … , = ∙ ∙ ⋯ ∙ опт = опт , опт , … , =" II. , , … , = ∑ += 3. опт опт , опт , … , = ∑ 1 % ∙ опт 100 ∙ ∙ → ∙ % ∙ = заданное =" 1 ∙ ∙ опт 100 Ограничения: 3.1. 3.2. 3.3. / ∙ + / ∙ + ⋯ + / ∙ ≥ 2 7 100 5 / ∙ + / ∙ + ⋯ + / ∙ , : ≥ 2 штукограничений 100 6 … /3 ∙ + /3 ∙ + ⋯ + /3 ∙ 5 ,3 : ≥ 23 4 100 Неотрицательность: Минимальная суточная потребность: , : ≥ 0 Пределы функции: @3 ≤ ≤ B Таким образом целевые функции I и II и ограничения 3.1-3.3 образуют задачу о диете. Постановка задачи Пусть имеются n видов продуктов Р1,Р2,...,Рn, содержащих питательные вещества и незаменимые компоненты В1,В2,…,Вm. В 100 граммах продукта Рj содержится известное aij количество питательного вещества или незаменимого компонента Вi. Кроме того, известны: bi – ежесуточная минимальная потребность организма в веществах Вi (i=1,2,…,m), sj и еj – стоимость и энергетическая ценность (в килокалориях) 100 грамм продукта Рj (j=1,2,…,n). Требуется: 1. Выполнить математическую постановку задачи линейного программирования (ЗЛП); 2. Решить ЗЛП в среде электронных таблиц MS Excel и пакета MathСad. Питатель Мин. ные суточная вещества, потребно г сть, г 90 Белки, г 55 Жиры, г Углевод 330 ы, г Ретинол 0,00017 (вит А) Каротин 0,0059 (вит А) 0,0013 В1, мг 0,0017 В2, мг 0,018 РР, мг 0,08 С,мг Стоимость 100 г продукта (руб.) Энергетическая ценность 100 г продукта (Ккал.) Содержание питательных веществ в 100 г продукта Твор Колб Хлеб Крупа Мясо Мас ог аса Ябло Морк ржан гречне свин ло жирн варен ки овь ой вая ное ый ая 6,6 1 14 12,6 14,3 12,1 0,4 1,3 1,2 82,5 18 3,3 33,3 13,5 0,4 0,1 34,2 0,9 2,9 62,1 0 0 9,8 7,2 0 0,54 0,2 0,3 0,1 0 0,1 0 0 0,38 0,07 0,01 0 0 0,03 9 0,18 0,08 0,67 0 0 0,1 0,05 0 0,06 0,4 0,3 0,3 0,43 0,2 4,19 0 0,4 0,1 2,2 0 0,06 0,13 0 0 0,03 0,02 0,3 165 0,06 0,07 1 5 2,9 21 10 3,8 12 17 8 3,5 181 748 245 335 485 170 43 34 Решение с помощью пакета ЭТ MS Excel Для решения необходимо: 1. Набрать таблицу математической постановки добавив в нее столбец “фактическое суточное потребление”. В этот столбец записываются формулы левой части ограничения 3.1, после того как будет сформирована таблица 2. 2. Сформировать вторую таблицу, где перечислены продукты, переменные математической модели и количества каждого продукта, вошедшего в диету. 3. Записать целевую функцию I для составления диеты с минимальной потребностью. 4. Составить таблицу 3 с ограничением 3.3 с максимальным и минимальным количеством вошедшего продукта. 5. Записать калорийность полученной диеты. 6. Вызвать надстройку “Поиск решения”. Выполнить необходимые установки. 7. На следующем листе Excel сформулировать задачу разработки диеты с заданной калорийность. Подсчитать цену полученной диеты. Решение с помощью пакета MathСad Встроенные функции MathСad не позволяют сформулировать оптимизационную задачу с заданной калорийностью, поэтому решается только задача с минимальной стоимостью полученной диеты. Для решения задачи в среде пакета MathСad: 1. Зададим исходные данные. 2. Присвоим переменным начальные нулевые значения. 3. Определим целевую функцию – суммарную прибыль предприятия. 4. Введем служебное слово Given и, после него, систему ограничений. 5. Найдем оптимальное решение с помощью функции Minimize. 6. Вычислим минимальное значение и энергетическую ценность.