НИС введение в инварианты Зайберга

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Введение в инварианты Зайберга-Виттена» для направления
01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра и 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины
НИС «Введение в инварианты Зайберга-Виттена»
для направления 01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Авторы программы: Горинов А.Г., PhD, gorinov@mccme.ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2015 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2015 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2015
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Ведение в инварианты Зайберга-Виттена» для направления
01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра и 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра, направления 01.04.01 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ОС НИУ ВШЭ;
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 01.03.01 «Математика»
подготовки бакалавра и по направлению 01.04.01 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2014 г.
2
Цели освоения дисциплины
НИС «Введение в инварианты Зайберга-Виттена» является введением в инварианты гладких 4-мерных многообразий, не приходящие из топологии. Одна из основных целей состоит в том, чтобы разобрать доказательство двух теорем Саймона Доналдсона: 1. существуют
гомеоморфные, но не диффеоморфные односвязные замкнутые (т.е., компактные и без границы) гладкие 4-многообразия; 2. Существуют нетривиальные препятствия к существованию гладкой структуры на односвязных замкнутых топологических многообразиях, в частности, оказывается, что многие такие многообразия несглаживаемы. Мы планируем также
разобрать необходимые пререквизиты из топологии, дифференциальной геометрии и уравнений с частными производными.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины





В результате освоения дисциплины студент должен научиться использовать при
решении конкретных задач
Расслоения со структурной группой и характеристические классы векторных
расслоений.
Связности и кривизну.
Теорему Атии-Зингера об индексе и ее следствия.
J-голоморфные кривые.
Инварианты Зайберга-Виттена.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Ведение в инварианты Зайберга-Виттена» для направления
01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра и 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Дескрипторы – основные приКод по
знаки освоения (показатели
ФГОС/ НИУ
достижения результата)
умение воспринимать
ПК-5
математические тексты ИК-М2.1
в форме устных сооб(МА)
щений
Способен воспринимать и
интерпретировать математические тексты в форме
устных сообщений разного
уровня строгости и детализованности, в т.ч. содержащие легко устранимые
ошибки
умение выступать с
ПК-6
Способен выступить с доустными сообщениями ИК-М2.2/
кладом (устным сообщенина тему собственных и 3.1/3.2(МА) ем) с изложением задач и
чужих исследований
результатов из области специализации студента (в т.ч.
собственных)
освоение специальной
ПК-8
Способен освоить специпредметной термино- ИК-М2.4.1/ альную предметную термилогии на русском и 2.4.2 (МА) нологию на русском и ананглийском языках
глийском языках для целей
профессионального и научного общения
умение публично опиПК-9
сать собственные
ИК-М2.5.1/
научные результаты и 2.5.2 (МА)
результаты других
учёных
умение найти научную ПК-10
информацию и адап- ИК-М4.1/
тировать её для устно- 4.2/4.6 (МА)
го изложения в докладе
4
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Формируется при работе на
семинаре в ходе восприятия
докладов других студентов
и последующего обсуждения этих докладов
Формируется в ходе подготовки доклада, выступления на семинаре и последующего обсуждения
Формируется в ходе всей
работы по дисциплине —
прослушивания и обсуждения (на английском языке)
докладов других студентов,
подготовки и выступления
(на английском языке) с докладом на семинаре
Формируется в ходе подготовки доклада, выступления на семинаре и последующего обсуждения
Способен публично описать собственные научные
результаты и результаты
других учёных из области
специализации студента
Способен находить необхо- Формируется в ходе подгодимую научную информа- товки доклада на семинаре
цию (в т.ч. с использованием электронных библиотечных ресурсов и баз данных) и адаптировать её для
устного изложения в докладе на семинаре
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно научных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра и магистра направления
подготовки «Математика»
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Ведение в инварианты Зайберга-Виттена» для направления
01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра и 01.04.01 «Математика» подготовки магистра

базовые курсы алгебры, геометрии и топологии (1 и 2 годы бакалавриата);
Желательно, но не необходимо также знакомство с некоторыми основными понятиями и
результатами из курсов:

пучки и гомологическая алгебра (I-II модули, 3, 4 год бакалавриата);

дифференциальная геометрия (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата);

алгебраическая геометрия (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата);

топология 1 и 2 (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата);

функциональный анализ 1 и 2 (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата);
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
- свободное владение основными понятиями алгебры, геометрии, топологии и анализа
- дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 Алгебраическая геометрия
 Дифференциальная топология
 Дифференциальная геометрия
 Теория представлений
 Математическая физика (квантовая теория поля).
5
№
1
2
3
4
5
6
7
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Расслоения, связности, кривизна, характеристические классы, редукция структурной
группы.
Алгебры Клиффорда: классификация алгебр
Клиффорда и их представлений, группы
$\mathrm{Pin}$ и $\mathrm{Spin}$.
Эллиптические операторы. Оператор Дирака
и его индекс. Первое препятствие к существованию гладкой структуры (теорема Рохлина).
Пространства модулей Зайберга-Виттена и
их основные свойства.
Инварианты Зайберга-Виттена.
Теорема Доналдсона о приведении формы
пересечения гладкого 4-многообразия к сумме квадратов, если она нечетна.
Примеры гомеоморфных, но не диффеоморфных односвязных замкнутых 4-
Всего
часов
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
Самостоятельная работа
13
7
6
13
8
5
17
9
8
14
8
6
18
16
10
8
8
8
17
10
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Ведение в инварианты Зайберга-Виттена» для направления
01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра и 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
многообразий.
Итого:
6
108
60
48
Формы контроля знаний студентов
Критерии оценки знаний, навыков
Умение разбираться с журнальной литературой и решать задачи на различные темы, обсуждаемые на семинаре.
6.1
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине
Итоговая оценка формируется из оценки за доклад по работе и/или части книги, которые студент изучает самостоятельно и рассказывает участникам (50%), и домашнего экзамена, состоящего из порядка 5 задач, которые нужно будет решить за несколько дней в конце семестра
(50%).
В диплом ставится результирующая итоговая оценка по учебной дисциплине.
7
Образовательные технологии
Студентам на дом даются задачи для самостоятельного решения, содержащие как рутинные
упражнения для усвоения пройденного теоретического материала, так и исследовательские
задачи, позволяющие проверить уровень понимания предмета в целом и требующие изучения дополнительного материала, а также известной исследовательской самостоятельности.
Решения записываются и потом индивидуально обсуждаются с преподавателем и его ассистентами. Допускается предварительная присылка решений по электронной почте. По
наиболее трудным и глубоким сюжетам заранее назначаются докладчики.
8
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Листочки с задачами, которые студенты решают самостоятельно. Некоторые из задач
могут быть близки по содержанию задачам домашнего экзамена.
Порядок формирования оценок по дисциплине
См. 6.2.
9
9.1
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Базовые учебники
1. Уравнения Зайберга-Виттена и их применения к топологии гладких четырехмерных
многообразий, Дж. Морган (в русском переводе выпущено в одной книге с обзором С.
Доналдсона).
2. Лекции об инвариантах Зайберга-Виттена, Дж. Мур.
11.2 Дополнительные учебники
3. A. Scorpan, The wild world of 4 manifolds, AMS, 2005.
4. Дж. Милнор, Дж. Сташефф, Характеристические классы, Мир, 1979.
5. P. Shanahan, The Atiyah-Singer index theorem: an introduction. Springer LNM, 1978