- задачи, связанные с определением натуральных

ЛЕКЦИЯ № 13
Основные метрические задачи. Признаки перпендикулярности прямой и плоскости. Построение
нормали к плоскости и плоскости перпендикулярной прямой. Определение расстояния от точки
до плоскости. Признак перпендикулярности плоскостей. Построение взаимно перпендикулярных
плоскостей.
МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ - задачи, связанные с определением натуральных
величин, исследуемых объектов, в том числе, определение натуральных величин
отрезков, углов, а также построение перпендикулярных прямых и плоскостей.
ОСНОВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
(см. ЛЕКЦИЮ 2)
1) Определение натуральной величины отрезков и углов
Пример 1. Определение натуральной
величины отрезка (прямая задача).
Рис.13.1
Дано: проекции отрезка АВ: А1В1 и
А2В2.
Определить натуральную величину
отрезка АВ.
Рис.13.1
Пример 2. Построение отрезка с
заданными натуральной величиной и
направлением (обратная задача).
Рис.13.2
Дано: проекции прямой общего
положения n и проекции точки А ∈ n.
Построить проекции отрезка АВ ∈ n,
натуральная величина которого задана
отрезком.
Рис.13.2
1
2) Построение нормали (перпендикуляра) к плоскости
Решение задачи о построении нормали к плоскости основано на теореме о
проецировании прямого угла и признаке перпендикулярности прямой и
плоскости.
Теорема о проецировании прямого угла: если одна из сторон прямого угла
является линией уровня, то прямой угол проецируется на одну из плоскостей
проекций в натуральную величину.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум
пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости, следовательно,
перпендикулярна ко всякой горизонтали и фронтали этой плоскости.
n ⊥ Г ( h x f ), если n1 ⊥ h1 и
n2 ⊥ f2
Пример 3. Построение нормали к плоскости (прямая задача).
Дано: плоскость общего положения, заданная треугольником АВС.
Построить нормаль n к плоскости Г (АВС) в точке А. n ⊥ Г( ABC), n ⊃ A.
Решение: Рис.13.3
Построить в плоскости Г горизонталь h и фронталь f.
Построить прямую n ⊃ A и n1 ⊥ h1 ; n2 ⊥ f2
Рис.13.3
Рис.13.4
Пример 4. Построение плоскости, перпендикулярной данной прямой
(обратная задача).
Дано: n – прямая общего положения, точка М.
Задать плоскость Г ⊥ n в заданной точке М.
Решение: Рис.13.4.
Задать плоскость Г в точке М пересекающимися фронталью f и горизонталью h
так, чтобы выполнялись условия перпендикулярности прямой к плоскости Г.
Г( h x f ) ⊥ n , если h1 ⊥ n1 и f2 ⊥ n2
2
Пример 5. Определение расстояния от точки до плоскости
Дано: плоскость общего положения Г (АВС) и точка М вне плоскости.
Определить расстояние от точки М до плоскости Г (АВС).
Решение: Рис.13.5
1) Построить в заданной плоскости Г (АВС) фронталь и горизонталь.
2) Из точки М построить нормаль n к плоскости Г, исходя из условий
n ⊥ Г (h x f), если n1 ⊥ h1 и n2 ⊥ f2
3) Найти точку пересечения n c Г: n x Г = О, т.е. решить I ГПЗ (3 случай).
4) Найти натуральную величину отрезка МО.
Рис.13.5
3
Признак перпендикулярности двух плоскостей:
две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна плоскость включает в себя
(проходит через) перпендикуляр к другой плоскости.
Пример 6. Рис.13.6
Дана плоскость Г(h x f).
Построить плоскость Σ ⊥ Г.
Решение:
n ⊥ Г (n1 ⊥ h1, n2 ⊥ f2)
Σ (m x n) ⊥ Г(h x f), Σ ⊃ n
Рис.13.6
4