Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò (ÃÓ) Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé Ìåòîäû îïòèìèçàöèè, âåñíà 2014 Ñåìèíàð 7, çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ Îáùåé çàäà÷åé ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íàçûâàåòñÿ çàäà÷à âèäà hc, xi → inf, xj > 0, j ∈ I+ , hai , bi 6 bi , i = 1, . . . , m, hai , bi = bi , i = m + 1, . . . , s, ãäå I+ ⊂ {1, . . . , n}. 1. Ïåðåïèøèòå îáùóþ çàäà÷ó â ìàòðè÷íîé ôîðìå, ñ÷èòàÿ ÷òî I+ = {1, . . . , k}. Êàíîíè÷åñêîé çàäà÷åé ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íàçûâàåòñÿ çàäà÷à âèäà hc, xi → inf, x > 0, Ax = b. Îñíîâíîé (ñòàíäàðòíîé) çàäà÷åé âèäà ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íàçûâàåòñÿ çàäà÷à hc, xi → inf, x > 0, Ãx 6 b̃. 2. Ïîêàæèòå, ÷òî êàíîíè÷åñêàÿ è îñíîâíàÿ çàäà÷à ñâîäÿòñÿ äðóã ê äðóãó, à îáùàÿ ê ëþáîé èç íèõ. 3. Ôîðìàëèçóéòå â âèäå çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñëåäóþùèå òåõíèêîýêîíîìè÷åñêèå çàäà÷è: a) Ïðîèçâîäñòâåííàÿ çàäà÷à, ìàêñèìèçàöèÿ ïðèáûëè. Èìåþòñÿ n òîâàðîâ è m ðåñóðñîâ. Íà÷àëüíûå çàïàñû j -ãî ðåñóðñà ðàâíû xj . Öåíà i-ãî òîâàðà ðàâíà pi . Äëÿ ïðîèçâîäñòâà åäèíèöû i-ãî òîâàðà íóæíî aij åäèíèö j -ãî ðåñóðñà. Òðåáóåòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñóììàðíóþ ñòîèìîñòü ïðîèçâåä¼ííîãî òîâàðà. b) Ïðîèçâîäñòâåííàÿ çàäà÷à, ìèíèìèçàöèÿ èçäåðæåê. Èìåþòñÿ n òîâàðîâ è m ðåñóðñîâ. Öåíà j -ãî ðåñóðñà ðàâíà qj . Äëÿ ïðîèçâîäñòâà åäèíèöû i-ãî òîâàðà íóæíî aij åäèíèö j -ãî ðåñóðñà. Òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü îáùóþ ñòîèìîñòü ïðîèçâîäñòâà yi åäèíèö i-ãî òîâàðà. c) Òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à. Èìååòñÿ n ïðîèçâîäèòåëåé è m ïîòðåáèòåëåé íåêîòîðîé ïðîäóêöèè. Ïðîèçâîäèòåëü i ìîæåò ïðîèçâåñòè íå áîëåå xi åäèíèö, ïîòðåáèòåëþ j òðåáóåòñÿ íå ìåíüøå yj åäèíèö. Äîñòàâêà îäíîé åäèíèöû îò ïðîèçâîäèòåëÿ i ê ïîòðåáèòåëþ j ñòîèò aij . Òðåáóåòñÿ îáåñïå÷èòü âñå ïîòðåáíîñòè, çàòðàòèâ íàèìåíüøóþ ñóììó. d) Òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à â ñåòè. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, íî ïðîèçâîäèòåëè è ïîòðåáèòåëè ñîåäèíåíû â ñåòü (îðèåíòèðîâàííûé ãðàô áåç öèêëîâ), íà êàæäîì ðåáðå êîòîðîé çàäàíà ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü, êîòîðóþ íåëüçÿ ïðåâûøàòü. Ëèíåéíûå ðàâåíñòâà è íåðàâåíñòâà çàäàþò íåêîòîðîå ìíîãîãðàííîå ìíîæåñòâî (ïîëèýäð) X . Òî÷êà v íàçûâàåòñÿ óãëîâîé òî÷êîé X , åñëè èç v = αu + (1 − α)w, u ∈ X , w ∈ X , α ∈ (0, 1) ñëåäóåò u = w = v . Åñëè X îïðåäåëåíî èç êàíîíè÷åñêîé çàäà÷è, ò.å. X = {x | x > 0, Ax = b}, òî òî÷êà v ÿâëÿåòñÿ óãëîâîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ íåêîòîðûõ j1 < · · · < jr âûïîëíåíî Aj1 vj1 + · · · + Ajr vjr = b è vj = 0, j 6= jl , ãäå r = rank A, à Aj1 , . . . , Ajr ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ñòîëáöû ìàòðèöû A.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìó Aj1 , . . . , Ajr íàçûâàþò áàçèñîì óãëîâîé òî÷êè, à vj1 , . . . , vjr áàçèñíûìè êîîðäèíàòàìè. Åñëè âñå áàçèñíûå êîîðäèíàòû ïîëîæèòåëüíû, òî òî÷êà íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîé, èíà÷å âûðîæäåííîé. 4. Ïóñòü X = {x | ha1 , xi 6 b, . . . , ham , xi 6 b}. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ óãëîâîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â íåé îáðàùàþòñÿ â òî÷íûå ðàâåíñòâà íå ìåíüøå n íåðàâåíñòâ hai , xi 6 b, ñðåäè êîòîðûõ n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ. Ñôîðìóëèðóéòå ïîíÿòèå íåâûðîæäåííîé òî÷êè, ñîõðàíÿþùååñÿ ïðè ñâåäåíèè ê êàíîíè÷åñêîé çàäà÷å è äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà íåâûðîæäåíà, åñëè â ðàâåíñòâî îáðàùàþòñÿ ðîâíî n íåðàâåíñòâ. 5. Íàéäèòå âñå óãëîâûå òî÷êè è èõ áàçèñû äëÿ ìíîæåñòâ: a) X1 = {x ∈ R4 | x > 0, x1 − 2x2 − x3 = 0, x1 + 3x2 + x4 = 1}; b) X2 = {x ∈ R5 | x > 0, x1 + x2 + x3 + x4 = 1, −x1 + 2x2 + x3 + x5 = 1} 6. Ïðè êàêèõ ai è b ìíîæåñòâî {x | x > 0, a1 x1 + · · · + an xn = b} íåïóñòî? Ñêîëüêî óãëîâûõ òî÷åê îíî ìîæåò èìåòü? 7. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêàÿ óãëîâàÿ òî÷êà äëÿ ìíîæåñòâà {x | x > 0, Ax = b} ÿâëÿåòñÿ óãëîâîé è äëÿ ìíîæåñòâà {x | x > 0, Ax 6 b}.