Аналитическая геометрия Семестровый обязательный курс для студентов 1-го курса бакалавриата департамента математики, механики и компьютерных наук Института математики и компьютерных наук УрФУ (направление подготовки «Математика. Прикладная математика»). Краткое содержание курса: I. Векторная алгебра 1. Линейные операции над векторами: понятие вектора, сумма векторов, произведение вектора на число, критерий коллинеарности векторов, базис на плоскости и в пространстве, координаты вектора. 2. Скалярное произведение векторов: определение и свойства скалярного произведения, критерий ортогональности векторов, вычисление скалярного произведения векторов по координатам. 3. Векторное произведение векторов: определение и свойства векторного произведения, геометрический смысл векторного произведения, вычисление векторного произведения векторов по координатам, двойное векторное произведение и формула «бац минус цаб». 4. Смешанное произведение векторов: ориентация тройки векторов, определение и свойства смешанного произведения, критерий компланарности векторов, геометрический смысл смешанного произведения, вычисление смешанного произведения векторов по координатам. 5. Система координат. Координаты точки: понятие системы координат, координаты точки, деление отрезка в данном отношении, формулы замены системы координат, формулы поворота системы координат на плоскости. II. Прямые и плоскости 1. Прямая на плоскости: общее и параметрические уравнения линии на плоскости, виды уравнений прямой на плоскости (параметрические, каноническое, по двум точкам, общее, с угловым коэффициентом, в отрезках), взаимное расположение двух прямых, пучок прямых, главный вектор прямой и его свойства, полуплоскости, определяемые прямой, расстояние от точки до прямой на плоскости. 2. Плоскость: общее и параметрические уравнения поверхности, виды уравнений плоскости (параметрические, каноническое, по трем точкам, общее, в отрезках), взаимное расположение двух плоскостей, пучок плоскостей, главный вектор плоскости и его свойства, полупространства, определяемые плоскостью, расстояние от точки до плоскости. 3. Прямая в пространстве: общие и параметрические уравнения линии в пространстве, виды уравнений прямой в пространстве (параметрические, канонические, по двум точкам, общие), взаимное расположение прямой и плоскости, взаимное расположение двух прямых, общий перепендикуляр к скрещивающимся прямым, расстояние между скрещивающимися прямыми, расстояние от точки до прямой в пространстве. III. Квадрики на плоскости 1. Эллипс: каноническое уравнение, расположение эллипса на плоскости, зксцентриситет, фокусы, директрисы, физический смысл фокусов и эксцентриситета, оптическое свойство эллипса, две характеризации эллипса. 2. Гипербола: каноническое уравнение, асимптоты, расположение гиперболы на плоскости, фокусы, директрисы, оптическое свойство гиперболы, две характеризации гиперболы, «школьное» уравнение гиперболы, равносторонняя гипербола. 3. Парабола: каноническое уравнение, расположение параболы на плоскости, фокус, директриса, оптическое свойство параболы, характеризация параболы, «школьное» уравнение параболы. 4. Классификация квадрик на плоскости. IV. Квадрики в пространстве 1. Цилиндрические поверхности: определение, выбор плоской направляющей, каноническое уравнение, цилиндрические поверхности второго порядка. 2. Конические поверхности: определение, конус второго порядка как коническая поверхность. 3. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды: канонические уравнения эллипсоида, однополостного и двуполостного гиперболоидов, эллиптического и и гиперболического параболоидов, исследование формы этих поверхностей методом сечений, оптическое свойство эллиптического параболоида. 4. Классификация квадрик в пространстве. 5. Прямолинейные образующие квадрик в пространстве: определение прямолинейной образующей, уравнения и свойства прямолинейных образующих однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.