ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ñòàíîâêà êëåòîê â ïðÿìîóãîëüíèêå 1´ n , òî òàêàÿ ðàññòàíîâêà ñóùåñòâóåò è â ïðÿìîóãîëüíèêå m ´ n ñ ëþáûì m: íóæíî ïðîñòî çàäàòü îäíó è òó æå âå÷íî æèâóþ ðàññòàíîâêó âî âñåõ ñòðîêàõ. Ïðè n = 2 è n ³ 4 âå÷íî æèâûå ðàññòàíîâêè 1´ n ñóùåñòâóþò: êàæäàÿ èç ïåðå÷èñëåííûõ íèæå ðàññòàíîâîê âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå çà äâà øàãà (Æ æèâàÿ êëåòêà, Ì ìåðòâàÿ): ÆÌ « ÌÆ n=2 n³4 ÆÌÌÆÆÌÌÆ... « ÌÆÆÌÌÆÆÌ... n ÷åòíî n íå÷åòíî ÆÌÌÌÆÆÌÌÆ... « ÌÆÌÆÌÌÆÆÌ...  êâàäðàòå 3 ´ 3 òàêæå åñòü âå÷íî æèâàÿ ðàññòàíîâêà ïåðèîäà 2: ÆÆÌ ÌÌÆ ÌÌÌ « ÆÌÆ ÌÆÆ ÆÌÌ Ñëó÷àé 1´1 î÷åâèäåí. Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü ïðÿìîóãîëüíèê 1´ 3 (ñëó÷àé 3 ´ 1 àíàëîãè÷åí). Ìîæíî ñ÷èòàòü (âîçìîæíî, íà÷àâ ñî âòîðîãî øàãà), ÷òî ïåðâàÿ êëåòêà ìåðòâà. Òîãäà îñòàåòñÿ òðè âàðèàíòà, â êîòîðûõ åñòü æèâàÿ êëåòêà. Ýâîëþöèÿ âàðèàíòà ÌÆÆ âêëþ÷àåò â ñåáÿ è ÌÆÌ: ÌÆÆ ® ÆÌÌ ® ÌÆÌ ® ÆÌÆ ® ÌÌÌ , à âàðèàíò ÌÌÆ ñèììåòðè÷åí âàðèàíòó ÆÌÌ, êîòîðûé òàêæå âõîäèò â ýòîò ïðèìåð. 5. Âñåãäà. Ðåøåíèå. Ïóñòü m îáîçíà÷àåò ÷èñëî íîâîáðàíöåâ, ñòîÿùèõ ëèöîì ê ñåðæàíòó ñëåâà îò íåãî, à n ñïðàâà. Âíà÷àëå ïóñòü ñåðæàíò ñòàíåò íà ëåâûé êðàé øåðåíãè. Òîãäà m = = 0. Åñëè n = 0, òî çàäà÷à ðåøåíà. Åñëè æå n > 0, òî ïóñòü ñåðæàíò ïåðåäâèãàåòñÿ ïî øåðåíãå ñëåâà íàïðàâî. Åñëè îí ïðîõîäèò ÷åëîâåêà, ñòîÿâøåãî ê íåìó ñïèíîé, òî m óâåëè÷èâàåòñÿ íà 1, à n íå èçìåíÿåòñÿ. Åñëè ñåðæàíò ïðîõîäèò ÷åëîâåêà, ñòîÿâøåãî ê íåìó ëèöîì, òî m íå èçìåíÿåòñÿ, à n óìåíüøàåòñÿ íà 1. Åñëè íîâîáðàíåö ñòîÿë áîêîì, òî îáà ÷èñëà îñòàþòñÿ ïðåæíèìè. Âíà÷àëå ðàçíîñòü m n îòðèöàòåëüíà.  êîíöå (êîãäà ñåðæàíò äîéäåò äî ïðàâîãî êðàÿ) n = 0 è ïîòîìó m - n ³ 0 . Òàê êàê ÷èñëî m n öåëîå è ìîæåò ìåíÿòüñÿ çà îäèí øàã òîëüêî íà 1, òî â êàêîé-òî ìîìåíò îíî ðàâíî íóëþ, ÷òî è òðåáîâàëîñü. 6. Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà a + b > c è òîò ôàêò, ÷òî a2 - ab + b 2 > 0, ïîëó÷àåì ( ) a 3 + b 3 + 3abc = (a + b ) a 2 - ab + b 2 + 3abc > ( 2 > c a - ab + b 2 )+ 3abc = 2 c (a + b) > c × c2 = c 3 . 7. Îòðàçèì VDBE îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé DE. Ïî ñâîéñòâó âïèñàííûõ óãëîâ ÐAED = ÐACD = ÐBCD = ÐBED , ïîýòîìó ïðÿìàÿ ÀÅ ïåðåéäåò â ïðÿìóþ ÂÅ. Àíàëîãè÷íî, ïðÿìàÿ CD ïåðåéäåò â ïðÿìóþ BD. Çíà÷èò, òî÷êà I ïåðåéäåò â òî÷êó Â. Ïîýòîìó BF = IF, BG = IG è BI ^ FG . Íî ëó÷ BI áèññåêòðèñà óãëà FBG, ïîýòîìó VFBG ðàâíîáåäðåííûé, ò.å. BF = = BG. Òàêèì îáðàçîì, âñå ñòîðîíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà BFIG ðàâíû, ÷òî è òðåáîâàëîñü. 8. x = ±1 , ó = 0. Ðåøåíèå. Çíàêè õ è ó ìîæíî âûáèðàòü ïðîèçâîëüíî, ïîýòîìó äîñòàòî÷íî íàéòè íåîòðèöàòåëüíûå ðåøåíèÿ. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå â âèäå (x 2 - 1)(x 2 + 1) = 2y2 . Ïóñòü ó > 0. Êàæäûé ïðîñòîé ìíîæèòåëü âõîäèò â ðàçëîæåíèå ÷èñëà y2 ÷åòíîå ÷èñëî ðàç. Åñëè îí íå ðàâåí 2, òî âõîäèò â ðàçëîæåíèå ðîâíî îäíîãî èç ÷èñåë x2 - 1 , x2 + 1 . Îáà ýòè ÷èñëà ÷åòíû (òàê êàê ÷åòíà ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ). Ïðè ýòîì â ðàçëîæåíèè x2 + 1 ñîäåðæèòñÿ îäíà äâîéêà ( x2 + 1 íè ïðè êàêîì íàòóðàëüíîì õ íå äåëèòñÿ íà 4). Êàê ñëåäñòâèå, ÐÅØÅÍÈß 63 2 â ðàçëîæåíèè x - 1 ñîäåðæèòñÿ ÷åòíîå ÷èñëî äâîåê. Òàêèì îáðàçîì, âñå ïðîñòûå ìíîæèòåëè âõîäÿò â ýòî ðàçëîæåíèå ÷åòíîå ÷èñëî ðàç, ò.å. x2 - 1 ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì. Íî åñëè äâà òî÷íûõ êâàäðàòà îòëè÷àþòñÿ íà 1, òî ìåíüøèé èç íèõ ðàâåí 0. Çíà÷èò, â äåéñòâèòåëüíîñòè x = ±1 è ó = 0. 9. Íå ìîãóò. Ðåøåíèå. Äîêàæåì, ÷òî ïðè êàæäîì ðàçðåçå ÷èñëî íåòóïûõ óãëîâ óâåëè÷èâàåòñÿ íå ìåíåå ÷åì íà 2. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè êîíåö ðàçðåçà ëåæèò íà ñòîðîíå êàêîãî-òî èç èìåþùèõñÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ, òî çäåñü îáðàçóåòñÿ íå ìåíåå îäíîãî íåòóïîãî óãëà. Åñëè æå ýòî âåðøèíà ìíîãîóãîëüíèêà, òî óãîë ïðè íåé ðàçáèâàåòñÿ íà äâà óãëà, ñóììà êîòîðûõ ìåíüøå 180°. Çíà÷èò, òåì áîëåå îäèí èç íèõ íåòóïîé. Åñëè óãîë ìíîãîóãîëüíèêà áûë íåòóïûì, òî îáà îáðàçîâàâøèõñÿ óãëà íåòóïûå. Òàêèì îáðàçîì, ïðè êàæäîì ðàçðåçå ÷èñëî íåòóïûõ óãëîâ óâåëè÷èâàåòñÿ. Òàê êàê èñõîäíûé òðåóãîëüíèê îñòðîóãîëüíûé, òî âíà÷àëå ÷èñëî íåòóïûõ óãëîâ ðàâíî òðåì. Ïîñëå k ðàçðåçîâ îíî íå ìåíüøå ÷åì 2k + 3. Åñëè âñå k + 1 ïîëó÷èâøèåñÿ ÷àñòè òóïîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè, òî ÷èñëî íåòóïûõ óãëîâ ðàâíî 3(k + 1) (k + 1) = 2k + 2 < 2k + 3. Ïîëó÷åíî èñêîìîå ïðîòèâîðå÷èå. 10. Òàíãåíñû óãëîâ òðåóãîëüíèêà ðàâíû 1, 2, 3. Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì óãëû òðåóãîëüíèêà â ïîðÿäêå íåóáûâàíèÿ α, β, γ. Òîãäà 0 < α ≤ π 3 , ïîýòîìó 0 < tg α ≤ 3 . Òàê êàê tg α π 3π íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî tg α = 1 , α = . Òîãäà β + γ = , îò4 4 êóäà tg β + tg γ −1 = tg (β + γ ) = 1 − tg β tg γ , (tg β − 1)(tg γ − 1) = 2 . ßñíî, ÷òî îäíà ñêîáêà ðàâíà 1, à äðóãàÿ 2, îòêóäà tg β = 2 , tg γ = 3 (ïîñêîëüêó β ≤ γ ). 11. 6. Ðåøåíèå. Ïóñòü ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû n, n + + 1, n + 2, n + 3. Òîãäà ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñîñòàâëÿåò 4n + 6. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà BCD ðàâíà ó÷åòâåðåííîé ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ECF. Çíà÷èò, SABD = SABCD − SBCD ≤ (4n + 6 ) − 4n = 6 . Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî çíà÷åíèå 6 âîçìîæíî. Ïðèìåðîì ñëóæèò ðàâíîáåäðåííàÿ òðàïåöèÿ ñ îñíîâàíèÿìè AD = 6, BC = 4 è âûñîòîé 2. 12. Âñåãäà. 13. Ìîæíî. Ðåøåíèå. Âïèøåì êðóã â êâàäðàò è ïîêðàñèì â ÷åðíûé öâåò òî÷êè êâàäðàòà, ëåæàùèå âíå êðóãà.  ïîëó÷åííûé êðóã âïèøåì êâàäðàò ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè ñòîðîíàì èñõîäíîãî êâàäðàòà. Ïîêðàñèì â áåëûé öâåò òî÷êè êðóãà, ëåæàùèå âíå âïèñàííîãî êâàäðàòà. Äàëåå äåéñòâóåì àíàëîãè÷íî. Ãðàíè÷íûå òî÷êè ôèãóðû âñåãäà ñ÷èòàåì ïðèíàäëåæàùèìè åé. Òàêèì îáðàçîì, ãðàíèöà êàæäîãî êâàäðàòà ïîêðàøåíà ÷åðíûì, êðîìå ÷åòûðåõ òî÷åê êàñàíèÿ âïèñàííîãî êðóãà, à ãðàíèöà êàæäîãî êðóãà áåëûì, êðîìå ÷åòûðåõ âåðøèí âïèñàííîãî êâàäðàòà. 14. Ïîëîæèì t = 100, c = t 3 + t + 1 , r = 3 c - t > 0 . Òî÷êà À ñ êîîðäèíàòàìè (t + r, c) ëåæèò íà ãðàôèêå ôóíêöèè y = x 3 , à òî÷êà  ñ êîîðäèíàòàìè (t, c ) íà ãðàôèêå ôóíêöèè y = x 3 + x + 1 . Ðàññòîÿíèå À ðàâíî r. Íî èç ðàâåíñòâà 3 (t + r ) = c = t3 + t + 1 ñëåäóåò, ÷òî 3t2r + 3tr 2 + r 3 = t + 1 , 1 t +1 < . 100 3t2 15. Ïóñòü {an } äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, Sn ñóììà ïåðâûõ n åå ÷ëåíîâ, kn = Sn-1 an . Òàê êàê an+1 > an , òî 3t2r < t + 1 , r < kn+1 = + an Sn S > n-1 = kn + 1 . an+1 an Ïî óñëîâèþ kn è kn+1 öåëûå, ïîýòîìó kn+1 £ kn . Çíà÷èò, ñ íåêîòîðîãî íîìåðà N ÷àñòíûå ðàâíû êîíñòàíòå k. Íî òîãäà k +1 Sn1 è, ñëåïðè n ³ N èìååì an = Sn-1 k , îòêóäà Sn = k