Задача 1. В поход собираются отправиться 25 скаутов. Перед

Задачи группы Евклида для учеников 3 – 5 классов.
Срок представления решений третьего тура 17 января 2013 г.
Решения посылай на почтовый адрес Tähe 4 – 143, Tartu 51010 (на конверте напиши KUUBIK).
Результаты и задачи следующего тура смотри на сайте http://www.teaduskool.ut.ee/kuubik
Задача 1. В поход собираются отправиться 25 скаутов. Перед отправлением нужно
приготовить палатки. На складе имеются 2-ух, 3-ёх и 4-ёх местные палатки. Одна 2-местная
палатка весит 6 кг, 3-местная 7 кг и 4-местная 10 кг.
a) Сколько палаток каждого вида нужно приготовить так, чтобы количество мест в палатках
точно соответствовало числу скаутов, и чтобы общее число палаток было наименьшим
возможным? Найди все возможности.
b) Сколько палаток каждого вида нужно приготовить так, чтобы количество мест в палатках
точно соответствовало числу скаутов, и чтобы общий вес палаток был наименьшим
возможным? Найди соответствующий вес всех палаток.
Задача 2. Известно, что одинаковые фигурки весят одинаково, и что все трое весов находятся
в равновесии (см. рисунки).
a) Какая из фигурок (квадрат, круг, треугольник или пятиугольник) весит меньше остальных?
Поясни свой ответ.
b) Найди, сколько грамм весит каждая из этих фигурок, если все четыре различные фигурки
вместе весят 180 грамм.
Задача 3. Найди наименьшее и наибольшее 5-значное натуральное число, в котором ровно
3 различные цифры, и
a) сумма всех цифр которого равна 18;
b) произведение всех цифр которого равно 18.
Замечание. Вопросы a) и b) этой задачи не связаны между собой.
Задача 4. Запиши в каждую клетку соответствующей доски одну цифру так,
чтобы слева направо в ряд и сверху вниз в столбик образовались бы
a) всего 6 различных трёхзначных чисел, сумма цифр каждого из которых была
бы равна 4. Найди одну из возможностей для такой записи цифр.
b) всего 8 различных четырёхзначных чисел, сумма цифр каждого из
которых была бы равна 5 (одно из таких чисел 2012 уже записано на доске).
Найди все различные возможности. Различными будем считать те
возможности, при которых на одной доске найдётся такое четырёхзначное
число, которого не окажется на другой доске.
Задача 5. Прямоугольник размером 5 10 поделён на единичные
клеточки. Этот прямоугольник и образующиеся при его разрезании
части можно резать только по прямой вдоль линий сетки так, чтобы
разрезаемая фигура распадалась ровно на две части.
a) Какое наименьшее количество разрезов нужно сделать для того,
чтобы из образовавшихся частей можно было составить наибольший возможный квадрат?
Запиши также размеры этого наибольшего квадрата.
b) Какое наименьшее количество разрезов нужно сделать для того, чтобы из
образовавшихся частей можно было составить наибольшую возможную рамку
квадратной формы? Запиши также размеры этой рамки. Например, на рисунке
изображена рамка квадратной формы размером 5 5.
Задача 6. В соревновании роботов-машин приняли участие роботы A и B. Их задача была как
можно быстрее преодолеть изображённую на рисунке трассу, которая состояла из
прямолинейных участков дороги равной длины, каждый из которых являлся подъёмом,
равниной или спуском. Обозначим эти участки соответственно буквами „x“, „y“ и „z“. Известно,
что робот A проходил каждый участок „х“ и участок „y“ за одно и то же время, а каждый участок
„z“ в 2 раза быстрее, чем участок „y“. Робот B проходил каждый участок „x“ в 2 раза медленнее,
чем участок „y“, но зато он проходил каждый участок „z“ в 3 раза быстрее, чем участок „y“.
Также известно, что участок дороги „y“ оба робота проходили одно и то же время.
a) Какой из роботов A или B быстрее преодолел изображённую на рисунке трассу? Поясни
свой ответ.
b) За какое время преодолел изображённую на рисунке трассу робот B, если роботу A
понадобилось на это 3 минуты и 18 секунд?
Задача 7. На рисунке изображён план квартиры. Все семь комнат этой квартиры обозначены
номерами от 1 до 7. Внутри квартиры всего 8 дверей, которые также обозначены на рисунке.
a) Сколько всего различных путей для того, чтобы добраться из
коридора по номером 1 до балкона под номером 7, если через каждую
дверь можно пройти не более одного раза?
b) Какое наибольшее количество дверей внутри квартиры можно
закрыть так, чтобы из любой комнаты этой квартиры можно было
добраться до любой другой комнаты этой квартиры? Поясни свой
ответ.
Задача 8. В книжном магазине на стенде в один ряд стоят упорядоченные по местам шесть
самых продаваемых книг этого магазина, среди которых две книги на эстонском, две на
английском и две на русском языке. Три из них в твёрдом и три в мягком переплёте. Известно
только, что две рядом стоящие книги написаны на разных языках и имеют различный переплёт,
и что на первом месте стоит книга на эстонском языке, у которой твёрдый переплёт.
a) На каком месте может стоять вторая книга на эстонском языке? Поясни свой ответ.
b) Книга в каком переплёте и на каком языке может стоять на шестом месте? Найди все
возможности.
Упорства и терпения при решении задач!