---(оставьте 3 пустые строки - 13 п

XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
УДК 004.942
ББК 22.18 + 32.973
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ТОЛЩИНЫ СЛОЯ
КОМПОЗИТНОЙ ОБОЛОЧКИ, ИЗГОТОВЛЕННОЙ ИЗ
ЛЕНТОЧНОГО АРМИРУЮЩЕГО МАТЕРИАЛА
Исаева В.Г. 1
(Южно-Российский Государственный Политехнический
Университет имени М.И. Платова (НПИ), Новочеркасск)
В данной статье представлено описание известного аналитического алгоритма расчёта толщины однонаправленного
спирального слоя, образованного волокнистым материалом,
собранным в ленту заданной ширины и толщины, с указанием
на его недостатки. После приводится описание разработанного автором алгоритма расчёта толщины слоя композитной
оболочки, изготовленной методом непрерывной намотки или
выкладкой ленточного армирующего материала. Далее приведён сравнительный анализ выше описанных алгоритмов.
Ключевые слова: оболочки из композиционных материалов,
намотка, ленточный армирующий материал, толщина слоя.
1. Введение
Проектирование многослойной композитной оболочки, изготавливаемой непрерывной жгутовой намоткой - это сложный
процесс, в результате которого стремятся получить оптимальную конструкцию, удовлетворяющую ряду требований.
В значительной степени на способность композитной оболочки удовлетворять предъявляемым требованиям влияет схема
армирования [2]. По этой причине целесообразно при ее выборе
иметь возможность оценки, пусть даже косвенной, значений
Виктория Геннадьевна Исаева, студент магистратуры (тел.8-95260-66-786).
1
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
эксплуатационных характеристик (масса, прочность и геометрические размеры) модели композитной конструкции. Для расчета
значений эксплуатационных характеристик модели необходимо
знать толщину каждого армирующего слоя и изделия в целом.
2. Аналитическая модель для расчета толщины
спирального слоя, образованного непрерывной
намоткой оболочки вращения
Задача расчета толщины композитной оболочки, изготовленной методом непрерывной намоткой не является новой. Она
решалась ранее, например в [3, 4].
Математическая модель для расчета толщины однонаправленного спирального слоя, образованного волокнистым материалом, собранным в ленту заданной ширины и толщины имеет
следующий вид [3]:
S
(1)
h( z ) =
,,
2πr cos α
где S = mbδ ;
m - число лент спирального однонаправленного слоя, проходящих через сечение оболочки радиуса r ;
b - ширина ленты;
δ - толщина ленты;
α - угол намотки по отношению к меридиану оболочки
вращения в сечении оболочки радиуса r (рисунок 1).
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
Рисунок 1 - Модель оболочки
Числитель в формуле (1) S = mbδ представляет собой количество материала, приходящееся на поперечное сечение
оболочки. Это количество не меняется вдоль оболочки для
случая непрерывной намотки.
Угол намотки α изменяется в пределах от 0 до π / 2 , следовательно, коэффициент 1 / cos α в формуле (1) принимает значения в диапазоне от 1 до 0. Таким образом, при увеличении угла
намотки толщина слоя h растет, а при α = π / 2 формулу (1)
применять нельзя, так как значение h становится равным бесконечности. Очевидно, формулу (1) нельзя применять и в том
случае, когда значение радиуса r вырождается в ноль. В этом
случае значение h также становится равным бесконечности.
Видно, что с уменьшением значения радиуса оболочки r расчет
толщина слоя.
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
3. Разработанный алгоритм расчёта толщины
слоя композитной оболочки, образованной
намоткой или выкладкой ленточного
армирующего материала
3.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОСТРОЕНИЯ ЛЕНТЫ НА
ПОВЕРХНОСТИ ОПРАВКИ
Для моделирования процесса наложения лент на поверхность оправки необходимо задать представление нитей (лент).
Лента будет описываться двумя последовательностями точек для левой и правой сторон ленты (рисунок 2).
Рисунок 2 – Представление ленты
Будем считать, что на поверхность оправки укладывается
лента известной ширины и толщины. Представим ее тремя
нитями: двумя крайними и средней (рисунок 3).
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
Средняя нить
Крайние нити
Рисунок 3– Представление ленты на поверхности
Между поверхностью, заданной в виде r = r ( u , v ) и плоскостью u × v установим взаимно-однозначное соответствие:
каждой точке ( u , v ) плоскости отвечает точка на поверхности
оправки. Чтобы нанести ленту на плоскость, необходимо перенести все точки, расположенные на её границах, на плоскость и
заполнить область, образовавшуюся между двумя крайними
линиями.
Исходными данными для построения двух крайних нитей
ленты являются координаты точек средней линии и ширина
ленты.
Крайние нити ленты строятся фрагментами. Для построения
каждого фрагмента применяется алгоритм решения двухточечной краевой задачи для кривой на поверхности.
Для того чтобы воспользоваться алгоритмом решения краевой задачи для построения фрагмента крайней нити, необходимо задать следующие параметры:
- координаты двух точек, через которые нужно провести
кривую на поверхности;
- направления векторов касательных в заданных точках.
Указанные параметры можно получить после построения
средней нити.
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
3.2. МАТРИЦА ТОЛЩИНЫ
Каждой точке поверхности изделия должна отвечать высота
уложенного в данной точке материала. Для возможности определения высоты материала в любой точке поверхности, введем в
рассмотрение двумерный массив H (графически массив H
можно представить в виде плоскости (рисунок 4)). Каждой
ячейке массива H соответствует точка (ui , v j ) . В ячейках будем хранить значения высоты (толщины) уложенного материала
в соответствующей точке.
3.3. ПЕРЕВОД КРАЙНИХ НИТЕЙ ЛЕНТЫ В
ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Моделирование проводиться в дискретной форме, поэтому
чтобы нанести ленту на сетку, необходимо задать все точки на
её границе в целочисленном формате.
Так как в результате расчета и округления расстояние между точками крайней нити получится неоднородным, поэтому
используем точный и эффективный растровый алгоритм создания линий, разработанный Брезенхемом (Bresenham)[1].
Алгоритм Брезенхе́ма — это алгоритм, определяющий, какие точки двумерного растра нужно закрасить, чтобы получить
близкое приближение линии между двумя заданными точками
(рис. 4).
Рисунок 4 – Иллюстрация результата работы алгоритма
Брезенхема
В результате мы имеем четыре представления крайних нитей ленты: в виде непрерывных линий (рис. 5), в дискретном
виде до использования алгоритма Брезенхема и после его ис-
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
пользования (рис. 6 и рис. 7) и представление крайних нитей на
3D модели (рис. 8).
Рисунок 5 – Представление крайних нитей в непрерывном виде
для баллона.
Рисунок 6 – Представление крайних нитей в дискретном виде
до применения алгоритма Брезенхема для баллона.
Рисунок 7 – Представление крайних нитей в дискретном виде
после применения алгоритма Брезенхема для баллона.
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
Рисунок 8 - Представление крайних нитей на 3D модели для
баллона.
3.4. ПЕРЕНОС ЛЕНТЫ В МАТРИЦУ ТОЛЩИНЫ
Таким образом, сначала определяются все точки, ограничивающие область заполнения, затем заполняется область. Накладываемая лента добавляет свою высоту к каждой точке общей
высоты. Графический массив H представляет собой развернутую плоскость оправки. Для того чтобы заполнить толщину слоя
необходимо заполнить его витками с периодом, равным расстоянию между крайними точками средней нити витка. По
причине того, что период превышает размер оправки по координате V, при занесении в массив одного витка получаем отображение толщины на рисунке 9.
Рисунок 9 – Виток в графическом массиве H
Результат заполнения всего слоя, а также крайние нити ленты отображены на рис. 10.
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
Рисунок 10 – Заполненный слой и крайние нити ленты
3.5. ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МАТРИЦЫ
ТОЛЩИНЫ
Матрицу толщины целесообразно выводить в формате пиксельного изображения, так как в ней отсутствуют вещественные
значения.
В связи с погрешностью при переводе округленного значения координат по V из радиан в градусы рекомендуется увеличить вдвое количество точек по этой координате.
При анализе расположения линий нахлеста ленты было выявлена явная асимметрия, что связано с накапливанием погрешности в расчетах. Т.е. если при округлении координат одного
витка погрешность составляет k %, тогда при расчете слоя
общая погрешность составит n ⋅ k , где n - количество витков в
одном слое. Таким образом, выполняя преобразование координат витка до смещения на период, можно уменьшить погрешность в n раз, что устранит асимметрию.
4. Сравнительный анализ результатов работы
аналитического и численного алгоритмов
расчета толщины композитной оболочки
вращения
Проведем сравнение результатов работы аналитического
алгоритма и разработанного алгоритма. Для этого проведем
расчеты для одинаковых исходных данных.
Расчеты для изделия типа «баллон»:
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
Угол намотки 45 градусов. Результаты расчетов представлены
на рисунках 11, 12, 13 и 14.
а)
б)
Рисунок 11 – Образующая баллона и внешняя поверхность слоя
(45): а) – численный алгоритм; б) – аналитический алгоритм
б)
а)
Рисунок 12 – График изменения толщины слоя для баллона (45):
а) – численный алгоритм; б) – аналитический алгоритм
а)
б)
Рисунок 13 – График изменения угла намотки для баллона (45):
а) – численный алгоритм; б) – аналитический алгоритм
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
а)
б)
Рисунок 14 – Изменение оправки после построения слоя (45): а)
– численный алгоритм; б) – аналитический алгоритм
Сопоставляя результаты моделирования внешней поверхности слоя при использовании аналитического и разработанного
методов расчета толщины слоя можно сделать следующие
выводы:
- полученные результаты близки для разных геометрических оболочек и при разных параметрах схемы армирования,
что свидетельствует о принципиальной правильности предложенного численного алгоритма;
-численный алгоритм дает более реалистичное распределение толщины материала на краях зоны намотки.
Важным преимуществом численного алгоритма следует назвать возможность его адаптации для расчету толщины слоя
оболочек, не являющихся телами вращения, например, для
трубчатых оболочек.
Литература
1. ДОНАЛЬД ХЕРН, М. ПАУЛИН БЕЙКЕР Компьютерная
графика и стандарт OpenGL,// 3-е издание. Пер. с англ. –
М. : Издательский дом «Вильямс». 2005. – 1168 с. (+48 с цв.
ил.): ил. – Парал. тит. англ.
2. Композиционные материалы: справочник. - М.: Машиностроение, 1990. - 512 с.
3. МОРОЗОВ Е.В. Оптимальное проектирование композитных оболочек вращения. // Механика конструкций из композиционных материалов. Сборник научных статей. Выпуск 1.
- М.: Машиностроение, 1992.
XII ВСЕРОССИЙСКАЯ ШКОЛА-КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
"УПРАВЛЕНИЕ БОЛЬШИМИ СИСТЕМАМИ"
_____________________________________________________________________
4.
НИКИТЮК В.А., ФЕДОРОВ В.В. Определение механических и геометрических характеристик слоистой оболочки,
образованной перекрестной намоткой. // Прикл. механика. 1992. -№2.
ARTICLE TITLE, THE LAYER THICKNESS CALCULATE
ALGORITHM FOR THE COMPOSITE SHELL MADE OF
TAPE REINFORCING MATERIAL
Viktoriia Isaeva, Platov South-Russian State Polytechnical
University (NPI), Novocherkassk, student (mob. 8-952-60-66-786).
Abstract: This article describes the known analytic algorithm for
calculating the thickness of a unidirectional spiral layer formed
fibrous material collected in a given tape width, and thickness, with
an indication of its shortcomings. Following is a description of an
algorithm developed by the author for calculating the thickness of
the composite membrane produced by the method of continuous
winding or laying out a belt reinforcing material. The following is a
comparative analysis of the above-described algorithms.
Keywords: Shell made of composite material, winding, reinforcing material, layer thickness.
Статья представлена к публикации
членом редакционной коллегии …заполняется редактором…
Поступила в редакцию …заполняется редактором…
Опубликована …заполняется редактором…