Проблемы Розенштейна

Проблемы Розенштейна
Андрей Фролов
Казанский государственный университет
Andrey.Frolov@ksu.ru
Усть-Каменогорск, 2009
Книга
J. G. Rosenstein, Linear orderings // Pure of Applied Mathematics,
92 (1982).
Вопрос 1 (Rosenstein 1982, Downey 1998)
Для каких множеств A = {a0 , a1 , . . . } (или тьюринговых
степеней, их содержащих) линейный порядок
η + a0 + η + a1 + η + · · · является конструктивизируемым? (Где
η — порядковый тип естественного упорядочения
рациональных чисел Q.)
Вопрос 2 (Rosenstein 1982)
Для каких функций f : Q → N линейный порядок
P
q∈Q
является конструктивизируемым?
f (q)
Определение
Бесконечное множество A = {a0 , a1 , a2 , ...} называется
η-представимым, если линейный порядок
η + a0 + η + a1 + η + a2 + η + · · ·
является конструктивизируемым.
Если в этом случае элементы {a0 , a1 , a2 , ...}
1) расположены в порядке строгого возрастания, то множество
A называется сильно η-представимым,
2) расположены в порядке неубывания, множество A
называется неубывающе η-представимым.
Взаимосвязь
Сильно η-представимость ⇒ неубывающе η-представимость ⇒
η-представимость.
Арифметическая иерархия
I
Каждое η-представимое множество есть Σ03 (L. J. Feiner
1970).
I
Каждое неубывающе (и, следовательно, сильно)
η-представимое множество есть ∆03 (J. G. Rosenstein 1982).
I
Каждое Σ02 - или Π02 -множество является сильно
η-представимым (J. G. Rosenstein 1982, S. Fellner 1976).
I
Существует ∆03 -множество, не являющееся
η-представимым (M. Lerman 1981).
Вопрос 1 (Rosenstein 1982)
Описать множества, являющееся (сильно) η-представимыми.
Теорема (Зубков, Фролов 2009)
Степень содержит неубывающе η-представимое множество
тогда и только тогда, когда она ∆03 .
Теорема (Зубков)
η-представимое множество является неубывающе
η-представимым тогда и только тогда, когда оно ∆03 .
Определение (Н.Г. Хисамиев)
X -вычислимая функция f (x, s) называется X -s-функцией, если
f (x, s) ≤ f (x, s + 1) для всех x, s ∈ N.
Теорема (K. Harris 2008)
Множество A является η-представимым тогда и только тогда,
когда существует ∅0 -s-функция f такая, что A является рангом
функции F (x) = lim f (x, s).
s→+∞
Теорема (K. Harris 2008)
Существует сильно η-представимое множество, не являющееся
рангом функции F (x) = lim f (x, s) ни для какой
s→+∞
∅0 -s-функции f (x, s), что x < y → F (x) < F (y ).
Вопрос (Downey 1998)
Описать все тьюринговые степени, содержащие сильно
η-представимые множества.
Теорема (M. Lerman 1981)
Каждая Σ03 -степень содержит η-представимое множество
(M. Lerman 1981).
Теорема (Зубков, в печати)
Тьюринговая степень содержит сильно η-представимое
множетсво тогда и только тогда, когда она содержит ранг
функции F (x) = lim f (x, s) для некоторой ∅0 -s-функции
s→+∞
f (x, s) такой, что x <L y → F (x) < F (y ) и (N, <L ) ∼
= ω.
Результаты
I
Если линейный порядок
P
f (q) конструктивизируемый
q∈Q
для f : Q → N, то graph(f ) ∈ ∆03 (J. Rosenstein 1982).
I
0
Если
P graph(f ) ∈ Π2 и f : Q → N, то линейный порядок
f (q) является контруктивизируемым (S. Fellner 1976).
q∈Q
I
0
Существует
P ∆3 -функция f : Q → N такая, что линейный
порядок
f (q) не имеет конструктивизации.
q∈Q
Вопрос 2 (Rosenstein 1982)
Всегда
ли верно graph(f ) ∈ Π02 , если линейный порядок
P
f (q) конструктивизируемый для f : Q → N?
q∈Q
Теорема (Фролов)
P
Существует конструктивизируемый линейный порядок
f (q),
q∈Q
Pe
где f : Q → N, не изоморфный никакому порядку
f (q), что
q∈Q
e
f : Q → N и graph(e
f ) ∈ Π02 .
Теорема (Зубков, Фролов 2009)
Если F (x) = lim f (x, s), где F : Q → N и f (x, s) есть
s→+∞
P
∅0 -s-функция, то линейный порядок
F (q)
q∈Q
конструктивизируемый.